ДЗ 2

1. $x^2+5y^2-6x+20y+4=0;C(3-\sqrt{5};0)$

1) Канонический вид:

$$\begin{array}{c}(x^2-6x)+(5y^2+20y)+4=0\\ (x^2-6x+9-9)+5(y^2+4y+4-4)+4=0\\ (x^2-6x+9)+5(y^2+4y+4)-9-4\cdot 5+4=0\\ (x-3{)}^2+5(y+2{)}^2=25\\ \frac{(x-3{)}^2}{25}+\frac{(y+2{)}^2}{5}=1\end{array}$$

Это каноническое уравнение эллипса вида $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

2) Преобразование параллельного переноса:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-3\\ y^{\prime }=y+2\end{array}\Rightarrow \frac{x^{\prime 2}}{25}+\frac{y^{\prime 2}}{5}=1$$

3) Характеристики эллипса:

• Полуоси: $a^2=25\Rightarrow a=5$ $b^2=5\Rightarrow b=\sqrt{5}$
• Эксцентриситет: $\epsilon =\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{25-5}}{5}=\frac{\sqrt{20}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=0,4\sqrt{5}$
• Центр $O^{\prime }$: $x^{\prime }=0\Rightarrow x_0-3=0\Rightarrow x_0=3$ $y^{\prime }=0\Rightarrow y_0+2=0\Rightarrow y_0=-2$ $O^{\prime }(3;-2)$
• Вершины: $A_{+}=(x_0+a;y_0)=(3+5;-2)=(8;-2)$ $A_{-}=(x_0-a;y_0)=(3-5;-2)=(-2;-2)$ $B_{+}=(x_0;y_0+b)=(3;-2+\sqrt{5})$ $B_{-}=(x_0;y_0-b)=(3;-2-\sqrt{5})$
• Фокусы: $F_{+}(x_0+c;y_0)=(3+2\sqrt{5};-2)$ $F_{-}(x_0-c;y_0)=(3-2\sqrt{5};-2)$
• Расстояние от точки C до фокусов: $P(F_{-},C)=a+\epsilon (x_c-x_0)=5+0,4\sqrt{5}(3-\sqrt{5}-3)=5+0,4\sqrt{5}(-\sqrt{5})=5-2=3$ $P(F_{+},C)=a-\epsilon (x_c-x_0)=5-0,4\sqrt{5}(3-\sqrt{5}-3)=5+2=7$

4) Проверка принадлежности точки $C$ эллипсу:

$$\begin{array}{l}{P}_{-}+P_{+}=3+7=10\\ 2a=2\cdot 5=10\end{array}\}\Rightarrow \text{точка }C(3-\sqrt{5};0)\text{ лежит на эллипсе.}$$

---

2. $2y^2-x-4y+3=0;C(3;0)$

1) Канонический вид:

$$\begin{array}{c}2(y^2-2y)-x+3=0\\ 2(y^2-2y+1-1)=x-3\\ 2((y-1{)}^2-1)=x-3\\ 2(y-1{)}^2-2=x-3\\ 2(y-1{)}^2=x-1\\ (y-1{)}^2=\frac{1}{2}(x-1)\end{array}$$

Это каноническое уравнение параболы вида $(y-y_0{)}^2=2p(x-x_0)$.

2) Преобразование параллельного переноса:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-1\\ y^{\prime }=y-1\end{array}\Rightarrow y^{\prime 2}=0,5x^{\prime }$$

3) Характеристики параболы:

• Параметр: $2p=0,5\Rightarrow p=0,25$
• Центр (Вершина) $O^{\prime }$: $x^{\prime }=0\Rightarrow x_0-1=0\Rightarrow x_0=1$ $y^{\prime }=0\Rightarrow y_0-1=0\Rightarrow y_0=1$ $O^{\prime }(1;1)$
• Фокус: $F=(x_0+\frac{p}{2};y_0)=(1+0,125;1)=(1,125;1)$
• Уравнение директрисы: $d:x=x_0-\frac{p}{2}=1-0,125=0,875$
• Расстояние от $C$ до фокуса и директрисы: $\rho (F,C)=(x_c-x_0)+\frac{p}{2}=(3-1)+0,125=2,125$ ${\rho }_d(x_d,x_c)=x_c-x_d=3-0,875=2,125$

4) Проверка принадлежности точки $C$ параболе:

$$\rho (F,C)={\rho }_d(x_d,x_c)=2,125\Rightarrow \text{точка }C\text{ лежит на параболе.}$$

---

3. Гипербола с центром $O^{\prime }(3;-1)$, $\angle (\text{асимптота},OX)=60^{\circ }$; $C(0;-1+2\sqrt{6})$

1) Уравнение:

Так как угол наклона асимптоты $60^{\circ }$:

$$k=\text{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}=\frac{b}{a}\Rightarrow b=a\sqrt{3}\Rightarrow b^2=3a^2$$

Точка $C$ принадлежит гиперболе $\frac{(x-3{)}^2}{a^2}-\frac{(y+1{)}^2}{b^2}=1$:

$$\begin{array}{c}\frac{(0-3{)}^2}{a^2}-\frac{(-1+2\sqrt{6}+1{)}^2}{3a^2}=1\\ \frac{9}{a^2}-\frac{(2\sqrt{6}{)}^2}{3a^2}=1\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{24}{3a^2}=1\Rightarrow \frac{9}{a^2}-\frac{8}{a^2}=1\\ \frac{1}{a^2}=1\Rightarrow a^2=1\Rightarrow a=1\\ b^2=3\cdot 1=3\Rightarrow b=\sqrt{3}\end{array}$$

Итоговое уравнение:

$$\frac{(x-3{)}^2}{1}-\frac{(y+1{)}^2}{3}=1$$

2) Преобразование параллельного переноса:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-3\\ y^{\prime }=y+1\end{array}\Rightarrow \frac{x^{\prime 2}}{1}-\frac{y^{\prime 2}}{3}=1$$

3) Характеристики гиперболы:

• Полуоси: $a=1,b=\sqrt{3}$
• Эксцентриситет: $\epsilon =\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\frac{\sqrt{1+3}}{1}=2$
• Центр $O^{\prime }$: $x^{\prime }=0\Rightarrow x-3=0\Rightarrow x_0=3$ $y^{\prime }=0\Rightarrow y+1=0\Rightarrow y_0=-1$ $O^{\prime }(3;-1)$
• Вершины: $A_{+}(x_0+a;y_0)=(3+1;-1)=(4;-1)$ $A_{-}(x_0-a;y_0)=(3-1;-1)=(2;-1)$
• Фокусы ($c=2$): $F_{+}(x_0+c;y_0)=(3+2;-1)=(5;-1)$ $F_{-}(x_0-c;y_0)=(3-2;-1)=(1;-1)$
• Расстояние от $C$ до фокусов (согласно фото): $\rho (F_{+},C)=|\epsilon (x_c-x_0)+a|=|-3\cdot 2+1|=|-5|=5(\text{т.к. }\rho \ge 0)$ $\rho (F_{-},C)=|\epsilon (x_c-x_0)-a|=|-3\cdot 2-1|=|-7|=7$
• Уравнение асимптот: $\frac{y-y_0}{b}=\pm \frac{x-x_0}{a}\Rightarrow y+1=\pm \frac{\sqrt{3}}{1}(x-3)$ $y=\pm \sqrt{3}(x-3)-1$

4) Проверка:

$$C\in \text{гиперболе по условию задания}\Rightarrow \text{верно}.$$

---

4. $x^2+4y^2+4z^2+4x-8y+8z+8=0$

1) Канонический вид:

$$\begin{array}{c}(x^2+4x)+(4y^2-8y)+(4z^2+8z)+8=0\\ (x^2+4x+4-4)+4(y^2-2y+1-1)+4(z^2+2z+1-1)=-8\\ (x+2{)}^2-4+4(y-1{)}^2-4+4(z+1{)}^2-4=-8\\ (x+2{)}^2+4(y-1{)}^2+4(z+1{)}^2=4\\ \frac{(x+2{)}^2}{4}+\frac{(y-1{)}^2}{1}+\frac{(z+1{)}^2}{1}=1\end{array}$$

Каноническое уравнение типа эллипсоида.

2) Преобразование параллельного переноса:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+2\\ y^{\prime }=y-1\\ z^{\prime }=z+1\end{array}$$

3) Характеристики:

• Центр $O^{\prime }$: $x^{\prime }=0\Rightarrow x=-2$ $y^{\prime }=0\Rightarrow y=1$ $z^{\prime }=0\Rightarrow z=-1$ $O^{\prime }(-2;1;-1)$