КР

№1

Эллипс $(X,y)$

Определение

Эллипс — геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов $F_1$ и $F_2$) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b)$

• $a$ — большая полуось
• $b$ — малая полуось

Чертёж

Гипербола $(X,y)$

Определение

Гипербола — геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов $F_1$ и $F_2$) есть величина постоянная ($2a$), меньшая, чем расстояние между фокусами ($2c$).

Каноническое уравнение

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

• Фокусы расположены на оси $Ox$ симметрично относительно начала координат: $F_1(-c;0),F_2(c;0)$.
• $b^2=c^2-a^2$.

Чертёж

Парабола $(y,X)$

Определение

Парабола — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (фокуса $F$) и заданной прямой (директрисы $d$), не проходящей через эту точку.

Каноническое уравнение

$$\begin{array}{c}F\left(\frac{p}{2};0\right),d:x=-\frac{p}{2}\\ \text{Вершина в начале координат }(0;0)\\ \text{Ось симметрии }Ox\end{array}$$

$y^2=2px,(p>0)$

• $p$ — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы).

Чертёж

№2

Гипербола $3x^2-30x-y^2-2y+63=0(X,y)$

Каноническое уравнение

$$\begin{array}{c}3(x^2-10x)-(y^2+2y)=-63\\ 3(x^2-10x+25-25)-(y^2+2y+1-1)=-63\\ 3((x-5{)}^2-25)-((y+1{)}^2-1)=-63\\ 3(x-5{)}^2-75-(y+1{)}^2+1=-63\\ 3(x-5{)}^2-(y+1{)}^2=11\\ \frac{(x-5{)}^2}{11/3}-\frac{(y+1{)}^2}{11}=1\end{array}$$

Гипербола

• Каноническое уравнение: $\frac{(x-5{)}^2}{11/3}-\frac{(y+1{)}^2}{11}=1$
• Центр: $O^{\prime }(5;-1)$
• Полуоси: $a=\sqrt{\frac{11}{3}}\approx 1.91,b=\sqrt{11}\approx 3.32$

Чертёж

Парабола $y^2+4x-4y+8=0(y,X)$

Каноническое уравнение

$$\begin{array}{c}(y^2-4y+4)-4+4x+8=0\\ (y-2{)}^2+4x+4=0\\ (y-2{)}^2=-4(x+1)\end{array}$$

Парабола

• Вид: $(y-y_0{)}^2=-2p(x-x_0)$ (ветви влево)
• Вершина: $O^{\prime }(-1;2)$
• Параметр: $p=-2$

Чертёж

№3

Парабола по фокусу и директрисе $(x,Y)$

Дано:

• Фокус: $F(-4;-2)$
• Директриса: $d:y=4$

Каноническое уравнение

$$\begin{array}{c}\text{Директриса }y=4\Rightarrow \text{Ось симметрии }||Oy\Rightarrow x_{O^{\prime }}=x_F=-4\\ O^{\prime }=\left(x_F;\frac{y_d+y_F}{2}\right)=\left(-4;\frac{4+(-2)}{2}\right)=(-4;1)\\ y_F<y_d\Rightarrow \text{Фокус ниже директрисы }\Rightarrow \text{Ветви вниз}\end{array}$$

Парабола

$(x+4{)}^2=-12(y-1)$

• Вершина: $O^{\prime }(-4;1)$
• Параметр: $2p=-12\Rightarrow p=-6$

Чертёж

Эллипс по фокусу, центру и эксцентриситету $(Y,x)$

Дано:

• Центр: $O^{\prime }(-2;2)$
• Фокус: $F_1(-2;-1)$
• Эксцентриситет: $\epsilon =0.5$

Каноническое уравнение

$$\begin{array}{c}{x}_{O^{\prime }}=x_{F_1}=-2\Rightarrow \text{Большая ось }||Oy\text{ (вертикальный эллипс)}\\ c=|y_{O^{\prime }}-y_{F_1}|=|2-(-1)|=3\\ \epsilon =\frac{c}{b_{\text{max}}}\Rightarrow 0.5=\frac{3}{b}\Rightarrow b=6\\ a^2=b^2-c^2=36-9=27\end{array}$$

Эллипс

$\frac{(x+2{)}^2}{27}+\frac{(y-2{)}^2}{36}=1$

• Полуоси: $a=\sqrt{27}\approx 5.2$ (горизонтальная), $b=6$ (вертикальная)
• Директрисы: $y=y_0\pm \frac{b}{\epsilon }=2\pm 12\Rightarrow y=14,y=-10$

Чертёж

Гипербола равноосная по центру и фокусу $(Y,x)$

Дано:

• Тип: Равносторонняя ($a=b$)
• Центр: $O^{\prime }(4;-1)$
• Фокус: $F_1(4;-3)$

Каноническое уравнение

$$\begin{array}{c}{x}_{O^{\prime }}=x_{F_1}=4\Rightarrow \text{Большая ось }||Oy\\ c=|y_{O^{\prime }}-y_{F_1}|=|-1-(-3)|=2\\ c^2=a^2+b^2\stackrel{a=b}{\to }{c}^2=2a^2\Rightarrow 4=2a^2\Rightarrow a^2=2,b^2=2\end{array}$$

Гипербола

$\frac{(y+1{)}^2}{2}-\frac{(x-4{)}^2}{2}=1$

• Центр: $(4;-1)$
• Директрисы: $y=-1\pm \frac{2}{2}=-1\pm 1$

Чертёж

Гипербола равноосная по центру и фокусу $(X,y)$

Каноническое уравнение

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}a=b(\text{равноосная})\\ O^{\prime }(1,-1)\\ F_1(3,-1)\end{array}\\ \\ y_{O^{\prime }}=y_{F1}=-1\Rightarrow \text{Действительная ось }||Ox\\ c=|x_{F1}-x_{O^{\prime }}|=|3-1|=2\\ c^2=a^2+b^2\Rightarrow 4=2a^2\\ \Downarrow \\ a^2=2;b^2=2\end{array}$$

Гипербола

$\frac{(x-1{)}^2}{2}-\frac{(y+1{)}^2}{2}=1$

Чертёж

№4

Гиперболический параболоид $y^2-z^2-6y+2z+2x+4=0(z,Y,X)$

Каноническое уравнение

$$\begin{array}{c}(y^2-6y+9)-9-(z^2-2z+1)+1+2x+4=0\\ (y-3{)}^2-(z-1{)}^2-8+4+2x=0\\ (y-3{)}^2-(z-1{)}^2+2x-4=0\\ (z-1{)}^2-(y-3{)}^2=2(x-2)\\ \frac{(z-1{)}^2}{2}-\frac{(y-3{)}^2}{2}=x-2\end{array}$$

Гиперболический параболоид (Седло)

• Канонический вид: $\frac{z^{\prime 2}}{p}-\frac{y^{\prime 2}}{q}=2x$
• Вершина: $O^{\prime }(2;3;1)$
• Параметры: $p=1,q=1$

Чертёж

Однополосный гиперболоид $x^2-4y^2+z^2+8x-4y+6z+17=0(x,z,Y)$

Каноническое уравнение

$$\begin{array}{c}(x^2+8x+16)-16-4(y^2+y+0.25)+1+(z^2+6z+9)-9+17=0\\ (x+4{)}^2-4(y+0.5{)}^2+(z+3{)}^2-7=0\\ (x+4{)}^2-4(y+0.5{)}^2+(z+3{)}^2=7\\ \frac{(x+4{)}^2}{7}-\frac{(y+0.5{)}^2}{1.75}+\frac{(z+3{)}^2}{7}=1\end{array}$$

Однополостный гиперболоид

• Центр: $O^{\prime }(-4;-0.5;-3)$
• Ось симметрии: Параллельна $Oy$

Чертёж