Кривые и поверхности второго порядка

Кривые второго порядка на плоскости

Характеристика	Эллипс	Гипербола	Парабола
Каноническое уравнение	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (при $a>b$)	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$y^2=2px$
Эксцентриситет ($\epsilon$)	$\epsilon =\frac{c}{a}<1$	$\epsilon =\frac{c}{a}>1$	$\epsilon =1$
Фокусное расстояние ($c$)	$c^2=a^2-b^2$	$c^2=a^2+b^2$	—
Полуоси / Параметры	$a$ — большая $b$ — малая	$a$ — действительная $b$ — мнимая	$p$ — фокальный параметр
Фокусы	$F_1(-c,0),F_2(c,0)$	$F_1(-c,0),F_2(c,0)$	$F(\frac{p}{2},0)$
Директрисы	$x=\pm \frac{a}{\epsilon }=\pm \frac{a^2}{c}$	$x=\pm \frac{a}{\epsilon }=\pm \frac{a^2}{c}$	$x=-\frac{p}{2}$
Фокальные радиусы (Расстояния $r_1,r_2$ от точки $M(x,y)$ до фокусов)	Сумма постоянна: $r_1+r_2=2a$ $r_{1,2}=a\pm \epsilon x$	Разность постоянна: $r_1-r_2=2a$ $r_{1,2}=\epsilon x\pm a$	Равно расстоянию до директрисы: $r=d$ $r=x+\frac{p}{2}$

---

Поверхности второго порядка в пространстве

Название	Каноническое уравнение	Полуоси / Параметры
Эллипсоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	$a,b,c$ — полуоси
Сфера	$x^2+y^2+z^2=R^2$	$R$ — радиус
Однополостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	$a,b$ — вещественные $c$ — мнимая полуось
Двуполостный гиперболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$	$a,b,c$ — полуоси
Конус	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$	$a,b,c$ — параметры формы
Эллиптический параболоид	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z$	$a,b$ — параметры ($a,b>0$)
Гиперболический параболоид («Седло»)	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z$	$a,b$ — параметры ($a,b>0$)
Эллиптический цилиндр	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$a,b$ — полуоси направляющей
Гиперболический цилиндр	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$a,b$ — полуоси направляющей
Параболический цилиндр	$y^2=2px$	$p$ — параметр направляющей