РК1

Билет 3

1. Вывести нормальное уравнение плоскости. Преобразование общего уравнения плоскости к нормальному.

2. Найти ортогональную проекцию вектора $\vec{p}=2\vec{a}-3\vec{b}$ на вектор $\vec{q}=\vec{b}-\vec{a}$, если $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=\sqrt{2},\angle (\vec{a},\vec{b})=\frac{\pi }{4}$.

\begin{gathered} Пр_\vec p\vec q=\frac{\vec q\cdot\vec p}{|\vec q|^2}\cdot\vec q=\frac{(2\vec a-3\vec b)\cdot(\vec b-\vec a)}{(\vec b-\vec a)^2}\cdot\vec q=\frac{6\vec a\vec b-2|\vec a|^2-3|\vec b|^2}{|\vec b|^2+|\vec a|^2-2\vec a\vec b}\cdot\vec q=\\ =\frac{5|\vec a||\vec b|\cos\frac\pi4-2-6}{2+1-2|\vec a||\vec b|\cos\frac\pi4}\cdot\vec q=\frac{5-8}{3-2}\cdot q=-\frac{3}{1}\cdot(\vec b-\vec a)=3\vec a-3\vec b \end{gathered}

3. Найти, если это возможно, разложение вектора $\vec{c}=-5\vec{i}-9\vec{j}+17\vec{k}$ по векторам $\vec{a}=3\vec{i}-\vec{j}+5\vec{k}$ и $\vec{b}=7\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$.

Разложение возможно, если векторы компларны:

$$\begin{array}{c}\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}=\left|\begin{array}{ccc}3& -1& 5\\ 7& 3& -1\\ -5& -9& 17\end{array}\right|=3(51-9)-(-1)(119-5)+5(-63-(-15))=\\ 3(42)+114+5(-48)=126+114-240=0\end{array}$$

$=>$ Вектор $\vec{c}$ можно разложить по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$

$$\begin{array}{c}\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}=>\{\begin{array}{l}-5=3\alpha +7\beta \\ -9=-\alpha +3\beta \\ 17=5\alpha -\beta \end{array}=>\{\begin{array}{l}-5=3\alpha +7\beta \\ \alpha =3\beta +9\\ 17=5\alpha -\beta \end{array}\\ \\ 17=15\beta +45-\beta \\ \beta =-2=>\alpha =3\end{array}$$

4. Найти координаты точки $P^{\prime }$, симметричной точке $P(1,2,-5)$ относительно плоскости $3x+y-2z-1=0$.

Прямая, параллельная P и сонаправленная с вектором нормали плоскости:

$$\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2+t\\ z=-5-2t\end{array}$$

Найдем точку пересечения M прямой и плоскости.

$$\begin{array}{c}3(1+3t)+(2+t)-2(-5-2t)-1=0\\ 3+9t+2+t+10+4t-1=0⟹14t+14=0⟹t=-1\end{array}$$

Координаты точки M: $x_M=1-3=-2$, $y_M=2-1=1$, $z_M=-5+2=-3$. $M(-2,1,-3)$
Найдем координаты P’, используя M как середину отрезка PP’.
$x_M=\frac{x_P+x_{P^{\prime }}}{2}⟹x_{P^{\prime }}=2x_M-x_P=2(-2)-1=-5$.
$y_{P^{\prime }}=2y_M-y_P=2(1)-2=0$.
$z_{P^{\prime }}=2z_M-z_P=2(-3)-(-5)=-1$.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(-1,1,3)$ и параллельную прямым

$$\{\begin{array}{l}2x-2y+3z-4=0,\\ x+2y-4z+1=0\end{array}\text{и}\{\begin{array}{l}3x-y-z=0,\\ x+y-3z+1=0.\end{array}$$

1. Найдем направляющий вектор $\overrightarrow{a_1}$ первой прямой. $L_1:\{\begin{array}{l}2x-2y+3z-4=0\\ x+2y-4z+1=0\end{array}$. $\overrightarrow{n_1}=(2,-2,3),\overrightarrow{n_2}=(1,2,-4)$. $\overrightarrow{a_1}=[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}]=(8-6,-(-8-3),4-(-2))=(2,11,6)$.

2. Найдем направляющий вектор $\overrightarrow{a_2}$ второй прямой. $L_2:\{\begin{array}{l}3x-y-z=0\\ x+y-3z+1=0\end{array}$. $\overrightarrow{n_3}=(3,-1,-1),\overrightarrow{n_4}=(1,1,-3)$. $\overrightarrow{a_2}=[\overrightarrow{n_3},\overrightarrow{n_4}]=(3-(-1),-(-9-(-1)),3-(-1))=(4,8,4)$. Для удобства возьмем коллинеарный вектор $\overrightarrow{a_2^{\prime }}=(1,2,1)$.

3. Найдем нормаль к плоскости $\vec{n}$. $\vec{n}=[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2^{\prime }}]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 11& 6\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=(11-12,-(2-6),4-11)=(-1,4,-7)$.

4. Составим уравнение плоскости по точке $M_0(-1,1,3)$ и нормали $\vec{n}$. $-1(x-(-1))+4(y-1)-7(z-3)=0$ $-(x+1)+4(y-1)-7(z-3)=0$ $-x-1+4y-4-7z+21=0⟹-x+4y-7z+16=0$. Умножим на -1 для удобства: $x-4y+7z-16=0$.

Ответ: $x-4y+7z-16=0$.

Билет 8

1. Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов. Сформулировать свойства векторного произведения векторов. Вывести формулу вычисления векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

2. Найти угол $\phi$ между векторами $\vec{a}=\vec{m}+\vec{n}$ и $\vec{b}=\vec{m}-\vec{n}$, если $|\vec{m}|=\sqrt{2}$, $|\vec{n}|=1$, $\angle (\vec{m},\vec{n})=\frac{\pi }{4}$.

$$\begin{array}{c}\phi =\arccos (\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|})\\ \phi =\arccos (\frac{(\vec{m}+\vec{n})\cdot (\vec{m}-\vec{n})}{\sqrt{|\vec{m}+\vec{n}{|}^2}\sqrt{|\vec{m}-\vec{n}{|}^2}})\\ \phi =\arccos (\frac{|\vec{m}{|}^2-|\vec{n}{|}^2}{\sqrt{||\vec{m}{|}^2+|\vec{n}{|}^2+2\vec{m}\vec{n}|}\sqrt{||\vec{m}{|}^2+|\vec{n}{|}^2-2\vec{m}\vec{n}|}})\\ \phi =\arccos (\frac{2-1}{\sqrt{2+1+2\cdot 1}\sqrt{2+1-2\cdot 1}})\\ \phi =\arccos (\frac{1}{\sqrt{5}})\end{array}$$

3. Найти, если это возможно, разложение вектора $\vec{c}=-3\vec{i}+12\vec{j}+6\vec{k}$ по векторам $\vec{a}=-\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k}$ и $\vec{b}=2\vec{i}-3\vec{j}-4\vec{k}$.

$$\begin{array}{c}\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}=>\{\begin{array}{l}-3=-1\alpha +2\beta \\ 12=3\alpha -3\beta \\ 6=2\alpha -4\beta \end{array}=>\{\begin{array}{l}\alpha =3+2\beta \\ 12=3\alpha -3\beta \\ 6=2\alpha -4\beta \end{array}=>\{\begin{array}{l}\alpha =5\\ \beta =1\end{array}=>\\ \vec{c}=5\vec{a}+\vec{b}\end{array}$$

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки $M_1(5,-1,-4)$, $M_2(2,-3,1)$ и перпендикулярной плоскости $6x-5y+4z-1=0$. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку $M_0(0,-2,1)$ и ортогональной к найденной плоскости.

Уравнение плоскости

Вектор $\overrightarrow{M_1{M}_2}=(2-5,-3-(-1),1-(-4))=(-3,-2,5)$ лежит в плоскости $P=>\vec{n}\perp \overrightarrow{M_1{M}_2}$.
Нормальный вектор плоскости $P_0$ равен $\overrightarrow{n_0}=(6,-5,4)$.$P\perp P_0=>\vec{n}\perp \overrightarrow{n_0}$.
Вектор $\vec{n}$ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам $\overrightarrow{M_1{M}_2},{\vec{n}}_0=>$

$$\vec{n}=[\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{n_0}]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -3& -2& 5\\ 6& -5& 4\end{array}\right|=17\vec{i}+42\vec{j}+27\vec{k}=(17,42,27)$$

Уравнение плоскости по точке $M_1(5,-1,-4)$ и нормали $\vec{n}$:

$$\begin{array}{c}17(x-5)+42(y+1)+27(z+4)=0\\ 17x-85+42y+42+27z+108=0\\ 17x+42y+27z+65=0\end{array}$$

Уравнение прямой.

Направляющий вектор $\vec{a}$ прямой L параллелен вектору нормали $\vec{n}$ найденной плоскости $=>$
Берем $\vec{a}=\vec{n}=(17,42,27)$.
Канонические уравнения прямой:

$$\frac{x-0}{17}=\frac{y-(-2)}{42}=\frac{z-1}{27}$$

5. Составить уравнение плоскости, содержащей прямую $\frac{x+5}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-2}{2}$ и параллельной прямой $\{\begin{array}{l}2x-y+z-3=0,\\ x+2y-3z+5=0.\end{array}$

Направляющий вектор прямой $L_1:\frac{x+5}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-2}{2}-{\vec{a}}_1$
Направляющий вектор прямой $L_2:\{\begin{array}{l}2x-y+z-3=0,\\ x+2y-3z+5=0.\end{array}-{\vec{a}}_2$

$$\begin{array}{c}{\vec{a}}_1=(1,4,2)\\ \\ \overrightarrow{a_2}=[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -1& 1\\ 1& 2& -3\end{array}\right|=\\ =\vec{i}((-1)(-3)-1\cdot 2)-\vec{j}(2(-3)-1\cdot 1)+\vec{k}(2\cdot 2-(-1)\cdot 1)=\\ =\vec{i}(3-2)-\vec{j}(-6-1)+\vec{k}(4+1)=1\vec{i}+7\vec{j}+5\vec{k}\end{array}$$

Два вектора $\overrightarrow{a_1}$ и $\overrightarrow{a_2}$, лежат в искомой плоскости. Нормальный вектор $\vec{n}$ к этой плоскости должен быть перпендикулярен им обоим $=>$

$$\begin{array}{c}\vec{n}=[\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 4& 2\\ 1& 7& 5\end{array}\right|=\\ =\vec{i}(4\cdot 5-2\cdot 7)-\vec{j}(1\cdot 5-2\cdot 1)+\vec{k}(1\cdot 7-4\cdot 1)=\\ =\vec{i}(20-14)-\vec{j}(5-2)+\vec{k}(7-4)=6\vec{i}-3\vec{j}+3\vec{k}\\ \\ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\\ 2(x-(-5))-1(y-3)+1(z-2)=0\\ 2(x+5)-(y-3)+(z-2)=0\\ 2x+10-y+3+z-2=0\\ \\ 2x-y+z+11=0\end{array}$$