Экзамен

Билет 1

1.1 а) Определение скрещивающихся прямых. Вывести формулу для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми (Вопросы 40, 41). 1.1 б) Найти координаты точки $A^{\prime }$, симметричной точке $A(2,-3,-4)$ относительно прямой $\frac{x+2}{4}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{-3}$. 1.2 а) Сформулировать определения и свойства скалярного и векторного произведений векторов (Вопрос 13 часть). 1.2 б) Найти скалярное произведение векторов $\bar{a}=\bar{p}+5\bar{q}$, $\bar{b}=3\bar{p}-5\bar{q}$, если $|\bar{p}|=4,|\bar{q}|=\sqrt{3},\angle (\bar{p},\bar{q})=\pi /6$. 2.1 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий совместности неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 80). 2.1 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}-x_1-2x_2+7x_3-5x_4=4\\ x_1+x_2-2x_3+2x_4=-1\\ -3x_1-x_2-4x_3=-3\\ 5x_1+2x_2+5x_3+x_4=4\end{array}$ Найти нормальную фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы, частное решение неоднородной системы; записать через них общее решение данной неоднородной системы. Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка (Вопрос 52). 2.2 б) Уравнение поверхности $4x^2-y^2+z^2+8x+2y-6z+16=0$ привести к каноническому виду. Сделать чертеж в канонической системе координат. Указать название данной поверхности, применив метод сечений.

Билет 2

1.1 а) Вывести: векторное, канонические, параметрические уравнения прямой в пространстве. Алгоритм перехода от общих уравнений прямой в пространстве к каноническим (Вопросы 35 часть, 36). 1.1 б) Найти координаты точки $A^{\prime }$, симметричной точке $A(-1,3,2)$ относительно прямой $\frac{x+2}{1}=\frac{y-6}{2}=\frac{z-1}{-1}$. 1.2 а) Правые и левые тройки векторов (Вопрос 18). Формула вычисления векторного произведения векторов в ортонормированном базисе (Вопрос 19). 1.2 б) Методами векторной алгебры найти площадь треугольника, построенного на векторах $\bar{a}=3\bar{p}-5\bar{q}$, $\bar{b}=\bar{p}+5\bar{q}$, если $|\bar{p}|=4,|\bar{q}|=1/5,\angle (\bar{p},\bar{q})=\pi /6$. 2.1 а) Сформулировать и доказать теорему о формулах Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений (Вопрос 70). 2.1 б) Решить матричное уравнение $A^{-1}XA=B$, если $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$. Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 79). 2.2 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}2x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+2x_2+x_3+2x_4=1\\ x_2+3x_3+2x_4=1\\ x_1+3x_2+4x_3+4x_4=2\end{array}$ Найти нормальную ФСР соответствующей однородной системы, частное решение неоднородной системы; записать через них общее решение данной неоднородной системы. Сделать проверку.

Билет 3

1.1 а) Сформулировать определение ортонормированного базиса. Указать связь координат вектора в ОНБ и его ортогональных проекций на направления векторов этого базиса. Направляющие косинусы вектора, их свойство (Вопросы 12, 16, 17). 1.1 б) Методами векторной алгебры найти площадь треугольника, построенного на векторах $\bar{a}=3\bar{p}-5\bar{q}$, $\bar{b}=\bar{p}+5\bar{q}$, если $|\bar{p}|=4,|\bar{q}|=1/5,\angle (\bar{p},\bar{q})=\pi /6$. 1.2 а) Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости и его координаты. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями (Вопросы 28, 29). 1.2 б) Написать уравнение плоскости, проходящей через точку $A(1,3,-5)$ перпендикулярно плоскостям $x-3y+5z+2=0$ и $2x-y+5z-1=0$. 2.1 а) Сформулировать определение гиперболы как геометрического места точек плоскости. Каноническое уравнение гиперболы (Вопрос 48). 2.1 б) Уравнение кривой второго порядка $x^2-y^2+2x-8y-11=0$ привести к каноническому виду. Определить тип кривой. Сделать чертеж в исходной системе координат. 2.2 а) Сформулировать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий существования ненулевых решения однородной СЛАУ (Вопросы 73, 75). 2.2 б) Найти общее решение и нормальную ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}2x_1-4x_2+5x_3+3x_4=0\\ 3x_1-6x_2+4x_3+2x_4=0\\ 4x_1-8x_2+17x_3+11x_4=0\end{array}$ Сделать проверку.

Билет 4

1.1 а) Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве (Вопрос 46). 1.1 б) Определить взаимное расположение двух прямых $L_1:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-3}$ и $L_2:\{\begin{array}{l}x+y+z-3=0\\ x-2y-z=0\end{array}$ и вычислить расстояние между ними. 1.2 а) Сформулировать определение геометрического вектора. Линейные операции над векторами и их свойства (без доказательства) (Вопросы 1, 2). 1.2 б) Даны векторы $\bar{a}=\bar{i}+2\bar{j}+2\bar{k}$, $\bar{b}=-\bar{i}+4\bar{j}+\bar{k}$. Найти $п{р}_{\bar{a}-\bar{b}}(\bar{a}+\bar{b})$ и угол между векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$. 2.1 а) Сформулировать определение однородной СЛАУ. Сформулировать определение ФСР. Сформулировать и доказать критерий существования ненулевых решений однородной СЛАУ (Вопросы 71, 73, 75). 2.1 б) Найти общее решение и ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}-6x_1+3x_2+4x_3+2x_4=0\\ -4x_1+2x_2+5x_3+3x_4=0\\ -8x_1+4x_2+17x_3+11x_4=0\end{array}$ Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение обратной матрицы. Сформулировать и доказать теорему о единственности обратной матрицы (Вопросы 57, 59). 2.2 б) Путем элементарных преобразований найти обратную матрицу к матрице $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$. Сделать проверку.

Билет 5

1.1 а) Вывести: векторное, канонические, параметрические уравнения прямой в пространстве; уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки (Вопрос 35). 1.1 б) Найти расстояние между скрещивающимися прямыми: $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t\\ z=1-t\end{array}\text{ и }\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1+2t\\ z=1\end{array}$ 1.2 а) Сформулировать определение базиса в пространстве геометрических векторов. Сформулировать и доказать теорему о единственности разложения вектора по базису (Вопросы 8, 11). 1.2 б) Написать разложение вектора $\bar{x}=(1,5,2)$ по векторам $\bar{a}=(-2,0,1),\bar{b}=(3,1,0),\bar{c}=(0,-1,-1)$. 2.1 а) Сформулировать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ. Сформулировать и доказать теорему существования ФСР однородной СЛАУ (Вопросы 73, 74). 2.1 б) Найти общее решение и нормальную ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+2x_3-x_5=0\\ -2x_1-x_4+x_5=0\\ -2x_2-4x_3+x_4-x_5=0\\ -2x_4=0\\ -x_1+x_2+2x_3+x_4-2x_5=0\end{array}$ Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать и доказать критерий существования обратной матрицы. Сформулировать определение присоединенной матрицы. Связь обратной и присоединенной матриц (Вопросы 58, 61, 62). 2.2 б) Решить матричное уравнение: $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)\cdot X\cdot \left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ Сделать проверку.

Билет 6

1.1 а) Вывести нормальное уравнение плоскости. Геометрический смысл входящих в уравнение параметров. Отклонение точки от плоскости (Вопросы 32, 33). 1.1 б) Найти расстояние от точки $A(4,1,2)$ до плоскости, проходящей через точки $M_1(-3,1,1),M_2(-9,1,-2),M_3(3,-5,4)$. 1.2 а) Сформулировать определения и свойства скалярного, векторного и смешанного произведений векторов (Вопрос 13). 1.2 б) Даны вершины треугольника $A(3,-1,1),B(-1,2,1),C(1,2,3)$. Используя методы векторной алгебры, вычислить длину его высоты, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$. 2.1 а) Сформулировать определение элементарных преобразований над строками (столбцами) матрицы. Изложить и обосновать метод нахождения ранга матрицы с помощью элементарных преобразований (Вопросы 68, 69). 2.1 б) Вычислить $B=11(A^{-1}{)}^T+A^T$, где $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 4\end{array}\right)$. 2.2 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 79). 2.2 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}4x_1+x_2+x_3+6x_4=-7\\ 2x_1+x_3+x_4=-2\\ 2x_1-x_2+2x_3+3x_4=1\\ 2x_1+2x_2-x_3+3x_4=-8\end{array}$ Найти нормальную ФСР соответствующей однородной системы, частное решение неоднородной системы; записать через них общее решение данной неоднородной системы. Сделать проверку.

Билет 7

1.1 а) Сформулировать определение базиса в пространстве геометрических векторов. Доказать, что два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости (Вопросы 8, 10). 1.1 б) Написать разложение вектора $\bar{x}=6\bar{i}+2\bar{j}-7\bar{k}$ по векторам $\bar{a}=2\bar{i}+\bar{j}-3\bar{k},\bar{b}=3\bar{i}+2\bar{j}-5\bar{k},\bar{c}=\bar{i}-\bar{j}+\bar{k}$. 1.2 а) Выписать различные виды уравнения плоскости: общее, нормальное, проходящей через три точки, «в отрезках». Вывести формулы для нахождения расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением (Вопросы 28, 30, 31, 32, 34). 1.2 б) Найти расстояние $d$ между двумя плоскостями ${\pi }_1:x+y+z-1=0$ и ${\pi }_2:2x+2y+2z-3=0$. 2.1 а) Сформулировать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ. Сформулировать и доказать теорему существования ФСР однородной СЛАУ (Вопросы 73, 74). 2.1 б) Найти общее решение и ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}8x_1-5x_2-6x_3+3x_4=0\\ 4x_1-x_2-3x_3+2x_4=0\\ 12x_1-7x_2-9x_3+5x_4=0\end{array}$ Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение обратной матрицы и критерий существования обратной матрицы. Сформулировать определение присоединенной матрицы. Связь обратной и присоединенной матриц (Вопросы 57, 58, 61, 62). 2.2 б) Решить матричное уравнение: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 3& 2& -4\\ 2& -1& 0\end{array}\right)\cdot X=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 0\\ 10& 2& 7\\ 10& 7& 8\end{array}\right)$ Сделать проверку.

Билет 8

1.1 а) Выписать различные виды уравнений прямой на плоскости. Указать геометрический смысл входящих в уравнения параметров. Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки (Вопросы 25, 26). 1.1 б) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(-3,1,0)$ и прямую $L:\{\begin{array}{l}x+2y-z+4=0\\ 3x-y+2z-1=0\end{array}$. 1.2 а) Сформулировать определения и свойства смешанного произведения векторов. Формула вычисления смешанного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе (Вопросы 13 часть, 20). 1.2 б) Методами векторной алгебры вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $\bar{a}=(3,1,3),\bar{b}=(0,5,-6),\bar{c}=(3,-1,-1)$. 2.1 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Связь решений неоднородной СЛАУ и соответствующей однородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 81 по смыслу списка). 2.1 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}-x_2+5x_3-4x_4=5\\ x_1+x_2-x_3+2x_4=-3\\ -6x_1-3x_2-9x_3=3\\ 3x_1+x_2+7x_3-2x_4=1\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное решение неоднородной системы; записать общее решение и сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение обратной матрицы. Сформулировать теорему о матрице, обратной произведению двух обратимых матриц (Вопросы 57, 60). 2.2 б) Решить матричное уравнение $(AB{)}^{-1}{X}^T=B$, если $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. Сделать проверку.

Билет 9

1.1 а) Отклонение точки от плоскости. Вывести формулы для нахождения расстояния от точки до плоскости, заданной нормальным и общим уравнениями (Вопросы 33, 34). 1.1 б) Найти расстояние от точки $A(3,0,2)$ до плоскости, проходящей через точки $M_1(-4,2,6),M_2(2,-3,0),M_3(-10,5,8)$. 1.2 а) Сформулировать определение ортонормированного базиса. Вывести формулу вычисления скалярного произведения в ОНБ (Вопросы 12, 14). 1.2 б) Даны векторы $\bar{a}=(4,1,5),\bar{b}=(0,5,2),\bar{c}=(-6,2,3)$, заданные своими координатами в ОНБ. Найти вектор $\bar{x}$, если $(\bar{x},\bar{a})=18,(\bar{x},\bar{b})=1,(\bar{x},\bar{c})=1$. 2.1 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий совместности неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 80). 2.1 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}-x_1-2x_2+3x_3-4x_4=4\\ x_2-x_3+x_4=-3\\ x_1+3x_2-3x_4=1\\ -7x_2+3x_3+x_4=13\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное решение; записать общее решение и сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка (Вопрос 52). 2.2 б) Уравнение кривой второго порядка $4x^2+16y^2+8x-32y-44=0$ привести к каноническому виду. Определить тип кривой. Сделать чертеж в исходной системе координат.

Билет 10

1.1 а) Вывести нормальное уравнение плоскости. Геометрический смысл входящих в уравнение параметров. Отклонение точки от плоскости (Вопросы 32, 33). 1.1 б) Найти расстояние от точки $A(3,-1,0)$ до плоскости, проходящей через точки $M_1(2,4,3),M_2(-1,1,6),M_3(2,5,2)$. 1.2 а) Сформулировать определение ортонормированного базиса. Вывести формулы вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе (Вопросы 12, 15). 1.2 б) Даны векторы $\bar{a}=(2,-1,2),\bar{b}=(1,-3,2),\bar{c}=(3,2,-4)$. Найти вектор $\bar{x}$, если $(\bar{x},\bar{a})=-5,(\bar{x},\bar{b})=-11,(\bar{x},\bar{c})=20$. 2.1 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий совместности неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 80). 2.1 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}-x_1-2x_2+7x_3-5x_4=4\\ x_1+x_2-2x_3+2x_4=-1\\ -3x_1-x_2-4x_3=-3\\ 5x_1+2x_2+5x_3+x_4=4\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное и общее решения. Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка (Вопрос 52). 2.2 б) Уравнение кривой второго порядка $4x^2+36y^2+8x-72y-104=0$ привести к каноническому виду. Определить тип кривой. Сделать чертеж в исходной системе координат.

Билет 11

1.1 а) Вывести: векторное, канонические, параметрические уравнения прямой в пространстве; уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки (Вопрос 35). 1.1 б) Найти координаты точки $M_0$ пересечения прямой $L:\{\begin{array}{l}x-2y-1=0\\ z-1=0\end{array}$ и плоскости $\pi :2x+2y+2z-1=0$. 1.2 а) Правые и левые тройки векторов. Сформулировать определение векторного произведения (Вопросы 13 часть, 18). 1.2 б) Методами векторной алгебры найти площадь треугольника с вершинами в точках $A(0,1,2),B(-5,1,0),C(2,0,0)$. 2.1 а) Сформулировать и доказать теорему о формулах Крамера для решения системы линейных алгебраических уравнений (Вопрос 70). 2.1 б) Решить матричное уравнение $A^{-1}{X}^{-1}=B^{-1}$, если $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$. Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий совместности неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 80). 2.2 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}6x_1-3x_2+4x_3+8x_4+13x_5=9\\ 6x_1-3x_2+2x_3+4x_4+5x_5=3\\ 2x_1-x_2+x_3+2x_4+3x_5=2\\ 4x_1-2x_2+x_3+x_4+2x_5=1\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное и общее решения. Сделать проверку.

Билет 12

1.1 а) Определение и вывод формулы нахождения угла между прямой и плоскостью. Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (Вопросы 43, 47 - номер 47 из старого списка, в новом это Вопрос 45 (различное расположение)). Уточнение по новому списку: Вопрос 43 и 45. 1.1 б) Найти угол между плоскостью $x+y+2z+2=0$ и прямой: $\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1-t\\ z=-3+t\end{array}$ 1.2 а) Сформулировать определения и свойства смешанного произведения векторов. Формула вычисления смешанного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе (Вопросы 13, 20). 1.2 б) Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $\bar{a}=(3,1,3),\bar{b}=(0,5,-6),\bar{c}=(3,-1,-1)$. 2.1 а) Определение поверхности вращения. Уравнения поверхностей вращения и их названия (Вопрос 50). 2.1 б) Уравнение кривой второго порядка $4x^2+8x+16y-12=0$ привести к каноническому виду. Определить тип кривой. Сделать чертеж. 2.2 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 79). 2.2 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+2x_3=3\\ x_2+3x_4=2\\ 2x_1+2x_2+3x_3+2x_4=7\\ -x_1-2x_2-x_3-5x_4=-6\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное и общее решения. Сделать проверку.

Билет 13

1.1 а) Условия различного расположения прямой и плоскости в пространстве. Определение и вывод формулы нахождения угла между прямой и плоскостью (Вопросы 43, 45). 1.1 б) Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую $L_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y+5}{-1}=\frac{z-3}{0}$ параллельно прямой $L_2:x=-2t,y=3t,z=-3+t$. 1.2 а) Сформулировать определение и свойства смешанного произведения векторов. Формула вычисления смешанного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе (Вопросы 13, 20). 1.2 б) Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $\bar{a}=(3,0,6),\bar{b}=(-1,-4,2),\bar{c}=(2,3,2)$. 2.1 а) Сформулировать определение параболы как геометрического места точек плоскости. Вывести каноническое уравнение параболы в прямоугольной декартовой системе координат (Вопрос 49). 2.1 б) Уравнение кривой второго порядка $3x^2+6x+2y-5=0$ привести к каноническому виду. Определить тип. Сделать чертеж. 2.2 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 79). 2.2 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}2x_1-3x_2+5x_3+7x_4=1\\ 4x_1-6x_2+2x_3+3x_4=2\\ 2x_1-3x_2-11x_3-15x_4=1\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное и общее решения. Сделать проверку.

Билет 14

1.1 а) Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве (Вопрос 46). 1.1 б) Найти координаты точки $A^{\prime }$, симметричной точке $A(2,7,1)$ относительно плоскости $x-4y+z+7=0$. 1.2 а) Сформулировать определения и свойства скалярного и векторного произведений векторов (Вопрос 13). 1.2 б) Найти скалярное произведение векторов $\bar{a}=4\bar{p}+3\bar{q},\bar{b}=\bar{p}-3\bar{q}$, если $|\bar{p}|=\sqrt{3},|\bar{q}|=2,\angle (\bar{p},\bar{q})=\pi /6$. 2.1 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий совместности неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 80). 2.1 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}2x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+2x_2+x_3+2x_4=1\\ x_2+3x_3+2x_4=1\\ x_1+3x_2+4x_3+4x_4=2\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное и общее решения. Сделать проверку. 2.2 а) Выписать канонические уравнения эллипсоида и конуса. Исследование формы этих поверхностей методом сечений (Вопрос 54). 2.2 б) Уравнение поверхности $x^2+4y^2+9z^2-6x+8y-18z-14=0$ привести к каноническому виду. Определить тип поверхности. Сделать чертеж.

Билет 15

1.1 а) Взаимное расположение двух прямых в пространстве (Вопрос 38). Вывод условия принадлежности двух прямых одной плоскости (Вопрос 44). 1.1 б) Найти координаты точки $A^{\prime }$, симметричной точке $A(4,3,10)$ относительно прямой $L:x=1+2t,y=2+4t,z=3+5t$. 1.2 а) Сформулировать определение ортонормированного базиса. Сформулировать и доказать критерий компланарности трех векторов (Вопросы 12, 21). 1.2 б) Установить, в каких из случаев тройки векторов будут линейно зависимы, и представить $\bar{c}$ как лин. комбинацию $\bar{a}$ и $\bar{b}$:

1. $\bar{a}=(5,2,1),\bar{b}=(-1,4,2),\bar{c}=(-1,-1,6)$;
2. $\bar{a}=(6,4,2),\bar{b}=(-9,6,3),\bar{c}=(-3,6,3)$. 2.1 а) Сформулировать определение ранга и базисного минора матрицы. Сформулировать теорему о базисном миноре. Сформулировать и доказать её следствие для квадратных матриц (Вопросы 66, 67). 2.1 б) Какие значения может принимать ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 7\\ 1& 2& 8\\ -1& 1& \lambda \end{array}\right)$ при различных значениях параметра $\lambda$? 2.2 а) Сформулировать определение ФСР однородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий существования ненулевых решения однородной СЛАУ. Сформулировать теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ (Вопросы 73, 75, 76). 2.2 б) Найти общее решение и ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}2x_1-4x_2+5x_3+3x_4=0\\ 3x_1-6x_2+4x_3+2x_4=0\\ 4x_1-8x_2+17x_3+11x_4=0\end{array}$ Сделать проверку.

Билет 16

1.1 а) Линейная комбинация векторов. Сформулировать определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Сформулировать и доказать критерий линейной зависимости системы векторов (Вопросы 4, 5, 6). 1.1 б) Написать разложение вектора $\bar{x}=(6,12,-1)$ по векторам $\bar{a}=(1,3,0),\bar{b}=(2,-1,1),\bar{c}=(0,-1,2)$. 1.2 а) Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки (Вопрос 30). Уравнение плоскости “в отрезках” (Вопрос 31). 1.2 б) Составить канонические уравнения прямой через $M(1,-1,1)$ ортогонально плоскости, содержащей $P(3,1,2)$ и прямую $\frac{x-2}{4}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{-4}$. 2.1 а) Сформулировать определение обратной матрицы. Сформулировать и доказать критерий существования обратной матрицы. Связь обратной и присоединенной матриц (Вопросы 57, 58, 62). 2.1 б) Решить матричное уравнение $A^{T}X=B^{-1}$, если $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение ФСР, критерий существования ненулевых решения однородной СЛАУ и теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ (Вопросы 73, 75, 76). 2.2 б) Найти общее решение и ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+4x_3-3x_4=0\\ 3x_1+5x_2+6x_3-4x_4=0\\ 4x_1+5x_2-2x_3+3x_4=0\\ 3x_1+8x_2+24x_3-19x_4=0\end{array}$ Сделать проверку.

Билет 17

1.1 а) Доказать, что в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве уравнение первой степени задает плоскость. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости и его координаты (Вопросы 27, 28). 1.1 б) Написать уравнение плоскости через точку $A(1,3,-5)$ перпендикулярно плоскостям $x-3y+5z+2=0$ и $2x-y+5z-1=0$. 1.2 а) Сформулировать определение ортонормированного базиса. Вывести формулы вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе (Вопросы 12, 15). 1.2 б) Найти угол между векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$, если $(\bar{a}-\bar{b},\bar{a}-\bar{b})+(2\bar{a}-\bar{b},2\bar{a}-\bar{b})=56,|\bar{a}|=2,|\bar{b}|=3$. 2.1 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий совместности неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 80). 2.1 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+2x_3=3\\ x_2+3x_4=2\\ 2x_1+2x_2+3x_3+2x_4=7\\ -x_1-2x_2-x_3-5x_4=-6\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное и общее решения. Сделать проверку. 2.2 а) Канонические уравнения параболоидов. Изложить метод сечений для исследования формы поверхности на примере параболоидов (Вопрос 51). 2.2 б) Уравнение кривой второго порядка $9x^2+y^2-18x+6y-18=0$ привести к каноническому виду. Определить тип и сделать чертеж.

Билет 18

1.1 а) Сформулировать определение базиса в пространстве геометрических векторов. Сформулировать и доказать теорему о единственности разложения вектора по базису (Вопросы 8, 11). 1.1 б) Написать разложение вектора $\bar{x}=\bar{i}+5\bar{j}+2\bar{k}$ по векторам $\bar{a}=-2\bar{i}+\bar{k},\bar{b}=3\bar{i}+\bar{j},\bar{c}=-\bar{j}-\bar{k}$. 1.2 а) Выписать различные виды уравнения плоскости: общее, нормальное, проходящей через три точки, «в отрезках». Указать геометрический смысл параметров (Вопросы 25 часть про плоскости, 28, 30, 31, 32). 1.2 б) Даны вершины тетраэдра $A(0,0,2),B(3,0,5),C(1,1,0),D(4,1,2)$. Методами векторной алгебры вычислить длину высоты $h$, опущенной из вершины $D$ на грань $ABC$. 2.1 а) Сформулировать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ. Сформулировать и доказать теорему существования ФСР однородной СЛАУ (Вопросы 73, 74). 2.1 б) Найти общее решение и ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}-2x_1+x_2-2x_3+2x_4+x_5=0\\ x_1+x_2-x_3+2x_4-2x_5=0\\ -2x_1-2x_2+x_3-x_4-2x_5=0\\ -3x_1-2x_3+3x_4-3x_5=0\end{array}$ Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение обратной матрицы и критерий существования обратной матрицы. Сформулировать определение присоединенной матрицы. Связь обратной и присоединенной матриц (Вопросы 57, 58, 61, 62). 2.2 б) Решить матричное уравнение: $X\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 1\\ 2& -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$ Сделать проверку.

Билет 19

1.1 а) Определение скрещивающихся прямых. Вывести формулу для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми (Вопросы 40, 41). 1.1 б) Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки $A(-1,0,4)$ на прямую $L:x=1+t,y=2t,z=4-t$. 1.2 а) Сформулировать определение базиса в пространстве геометрических векторов. Доказать, что два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости (Вопросы 8, 10). 1.2 б) Найти площадь треугольника на векторах $\bar{a}=(0,4,-3),\bar{b}=(2,-3,1)$. 2.1 а) Сформулировать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ. Сформулировать и доказать теорему существования ФСР однородной СЛАУ (Вопросы 73, 74). 2.1 б) Найти общее решение и ФСР для системы: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-x_5=0\\ -x_1-x_2+x_4-x_5=0\\ x_2-x_3+x_5=0\\ x_2-x_3+x_4-x_5=0\\ -x_1-x_2+x_4+x_5=0\end{array}$ Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение обратной матрицы. Сформулировать и доказать теорему о единственности обратной матрицы (Вопросы 57, 59). 2.2 б) Решить матричное уравнение $A^{T}X=B^{-1}$, если $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. Сделать проверку.

Билет 20

1.1 а) Вывод условия принадлежности двух прямых одной плоскости. Выписать уравнение этой плоскости (Вопрос 44). 1.1 б) Составить уравнения проекции прямой $L:\{x=1,y=-2+t,z=-4+2t\}$ на плоскость $\pi :x+4y-3z+7=0$. 1.2 а) Линейные операции над векторами и их свойства. Сформулировать определение ортогональной проекции вектора на направление (Вопросы 2, 3). 1.2 б) Даны $\bar{a}=5\bar{i}+4\bar{k},\bar{b}=-3\bar{i}+\bar{j}+2\bar{k}$. Найти $п{р}_{\bar{a}+\bar{b}}(\bar{a}-\bar{b})$ и угол между векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$. 2.1 а) Выписать канонические уравнения гиперболоидов. Изложить метод сечений для исследования формы поверхности на примере гиперболоидов (Вопрос 53). 2.1 б) Уравнение кривой $4x^2-y^2-8x-6y-4=0$ к каноническому виду. Определить тип, сделать чертеж. 2.2 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий совместности неоднородной СЛАУ. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 79, 80). 2.2 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3+x_4=3\\ x_1+4x_2+5x_3+2x_4=2\\ 2x_1+9x_2+8x_3+3x_4=7\\ 3x_1+7x_2+7x_3+2x_4=12\\ 5x_1+7x_2+9x_3+2x_4=20\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное и общее решения. Проверка.

Билет 21

1.1 а) Сформулировать определение ортонормированного базиса. Вывести формулы вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе (Вопросы 12, 15). 1.1 б) Найти длину $\bar{a}+\bar{b}$, если $|\bar{a}|=11,|\bar{b}|=23,|\bar{a}-\bar{b}|=30$. 1.2 а) Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости и его координаты. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей (Вопросы 28, 29). 1.2 б) Уравнение плоскости через $A(1,0,1)$ и $B(1,-1,0)$ в направлении $\bar{p}=(2,-1,0)$. 2.1 а) Сформулировать определение гиперболы как геометрического места точек плоскости. Каноническое уравнение гиперболы (Вопрос 48). 2.1 б) Уравнение кривой $4x^2+4x+2y-1=0$ к каноническому виду. Определить тип, сделать чертеж. 2.2 а) Сформулировать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий существования ненулевых решений однородной СЛАУ (Вопросы 73, 75). 2.2 б) Найти общее решение и ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}5x_1+6x_2-2x_3+7x_4+4x_5=0\\ 2x_1+3x_2-x_3+4x_4+2x_5=0\\ 7x_1+9x_2-3x_3+5x_4+6x_5=0\\ 5x_1+9x_2-3x_3+x_4+6x_5=0\end{array}$ Сделать проверку.

Билет 22

1.1 а) Взаимное расположение двух прямых в пространстве (Вопрос 38). Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве (Вопрос 46). 1.1 б) Вычислить расстояние между двумя прямыми $L_1:\frac{x+5}{3}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-1}{-2}$ и $L_2:\{x=9+6t,y=-2t,z=2-t\}$. 1.2 а) Линейные операции над векторами и их свойства. Сформулировать определение ортогональной проекции вектора на направление (Вопросы 2, 3). 1.2 б) Даны $\bar{a}=5\bar{i}+4\bar{k},\bar{b}=-3\bar{i}+\bar{j}+2\bar{k}$. Найти $п{р}_{\bar{a}+\bar{b}}(\bar{a}-\bar{b})$ и угол между векторами $\bar{a}$ и $\bar{b}$. 2.1 а) Сформулировать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ. Сформулировать и доказать теорему существования ФСР однородной СЛАУ (Вопросы 73, 74). 2.1 б) Найти общее решение и ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}-2x_1+x_2-2x_3+2x_4+x_5=0\\ x_1+x_2-x_3+2x_4-2x_5=0\\ -2x_1-2x_2+x_3-x_4-2x_5=0\\ -3x_1-2x_3+3x_4-3x_5=0\end{array}$ Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение обратной матрицы. Сформулировать и доказать критерий существования обратной матрицы. Связь обратной и присоединенной матриц (Вопросы 57, 58, 62). 2.2 б) Найти обратную матрицу к $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 2\\ 2& 1& 4\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$ элементарными преобразованиями. Проверка.

Билет 23

1.1 а) Вывод условия принадлежности двух прямых одной плоскости. Выписать уравнение этой плоскости (Вопрос 44). 1.1 б) Уравнения проекции прямой $L:\{x=3+5t,y=-1+t,z=4+t\}$ на плоскость $\pi :2x-2y+3z-5=0$. 1.2 а) Сформулировать определение ортогональной проекции вектора на направление (Вопрос 3). Свойства и теоремы о проекциях в списке отсутствуют как отдельные пункты, но подразумеваются в вопросе 3. 1.2 б) Даны $\bar{a}=\bar{i}+2\bar{j}+2\bar{k},\bar{b}=-\bar{i}+4\bar{j}+\bar{k}$. Найти $п{р}_{\bar{a}-\bar{b}}(\bar{a}+\bar{b})$. 2.1 а) Сформулировать определение эллипса как геометрического места точек плоскости. Каноническое уравнение эллипса (Вопрос 47). 2.1 б) Уравнение кривой $4x^2+36y^2+8x-72y-104=0$ к каноническому виду. Определить тип, чертеж. 2.2 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий совместности неоднородной СЛАУ. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 80, 79). 2.2 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+3x_3-4x_4=4\\ x_2-x_3+x_4=-3\\ x_1+3x_2-3x_4=1\\ -7x_2+3x_3+x_4=-3\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное и общее решения. Проверка.

Билет 24

1.1 а) Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве (Вопросы 38, 39, 42). 1.1 б) Составить уравнение плоскости через точку $M_0(-2,3,0)$ и содержащей прямую $L:\{x=1,y=2+t,z=2-t\}$. 1.2 а) Сформулировать определение и свойства смешанного произведения векторов. Формула вычисления смешанного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе (Вопросы 13, 20). 1.2 б) Вычислить объем пирамиды на векторах $\bar{a}=(1,-2,-5),\bar{b}=(1,0,-1),\bar{c}=(2,-6,1)$. 2.1 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Связь решений неоднородной СЛАУ и соответствующей однородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 81 по смыслу). 2.1 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}-x_2+3x_3-3x_4=3\\ x_1+x_2-2x_3+x_4=-2\\ -5x_1-3x_2+4x_3+x_4=4\\ 4x_1+x_2+x_3-5x_4=1\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное и общее решения. Проверка. 2.2 а) Сформулировать определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений вида $AX=B,XA=B,AXB=C$. Сформулировать теорему о матрице, обратной произведению двух обратимых матриц (Вопросы 57, 64, 60). 2.2 б) Решить матричное уравнение $(AB{)}^{-1}{X}^T=B$, если $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. Проверка.

Билет 25

1.1 а) Вывести нормальное уравнение плоскости. Геометрический смысл входящих в уравнение параметров. Вывести формулы для нахождения расстояния от точки до плоскости, заданной нормальным уравнением (Вопросы 32, 34). 1.1 б) Уравнение плоскости, параллельной $2x+y-4z+5=0$ на расстоянии $d=\sqrt{21}$ от $A(1,2,0)$. 1.2 а) Сформулировать определения и свойства скалярного, векторного и смешанного произведений векторов (Вопрос 13). 1.2 б) Вычислить объем пирамиды на векторах $\bar{a}=(3,0,6),\bar{b}=(-1,-4,2),\bar{c}=(2,3,2)$. 2.1 а) Определение матрицы. Сформулировать определение элементарных преобразований над строками (столбцами) матрицы. Доказать критерий линейной зависимости строк (столбцов) матрицы (Вопросы 55, 68, 65). 2.1 б) Вычислить $B=11(A^{-1}{)}^T+A^T$, где $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 4\end{array}\right)$. 2.2 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 79). 2.2 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}3x_1+5x_2+2x_3+2x_4=4\\ 2x_1+7x_2+3x_3+x_4=6\\ 9x_1+4x_2+x_3+7x_4=2\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное и общее решения. Проверка.

Билет 26

1.1 а) Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки (Вопросы 28, 30). 1.1 б) Уравнение плоскости через две точки $A(4,5,2)$ и $B(6,2,4)$ параллельно вектору $\bar{p}=(1,2,1)$. 1.2 а) Сформулировать определение ортонормированного базиса. Вывести формулы вычисления направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе (Вопросы 12, 15). 1.2 б) Найти косинус угла между $\bar{a}$ и $\bar{b}$, если $3\bar{a}-2\bar{b}\perp -2\bar{a}+7\bar{b}$ и $\bar{a}-5\bar{b}\perp 7\bar{a}-5\bar{b}$. 2.1 а) Сформулировать определение неоднородной СЛАУ. Различные формы записи неоднородной СЛАУ. Сформулировать и доказать критерий совместности неоднородной СЛАУ (Вопросы 77, 78, 80). 2.1 б) Решить СЛАУ: $\{\begin{array}{l}9x_1+12x_2+3x_3+10x_4=13\\ 3x_1+2x_2+x_3+2x_4=3\\ 6x_1+8x_2+2x_3+5x_4=7\end{array}$ Найти нормальную ФСР, частное и общее решения. Проверка. 2.2 а) Определение поверхности вращения. Уравнения поверхностей вращения и их названия (Вопрос 50). 2.2 б) Уравнение кривой $2y^2-5x+4y-3=0$ к каноническому виду. Определить тип, чертеж.

Билет 27

1.1 а) Прямоугольная декартова система координат в пространстве. Вывести формулу для нахождения длины отрезка и деления отрезка в заданном отношении (Вопросы 23, 24). 1.1 б) Координаты точки $A^{\prime }$, симметричной $A(2,1,1)$ относительно $\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z}{0}$. 1.2 а) Сформулировать определение базиса в пространстве геометрических векторов. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в одном и том же базисе. Сформулировать определение ортонормированного базиса (Вопросы 8, 9, 12). 1.2 б) Разложение $\bar{x}=(2,-1,1)$ по $\bar{a}=(1,1,1),\bar{b}=(0,2,3),\bar{c}=(0,1,5)$. 2.1 а) Сформулировать определение ранга и базисного минора матрицы. Сформулировать теорему о базисном миноре. Сформулировать и доказать её следствие для квадратных матриц (Вопросы 66, 67). 2.1 б) При каком $\lambda$ матрица $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 5& \lambda -7& 1\\ 2& 3& 3\end{array}\right)$ имеет наименьший ранг? 2.2 а) Сформулировать определение ФСР, критерий существования ненулевых решений и теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ (Вопросы 73, 75, 76). 2.2 б) Найти общее решение и ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}2x_1+x_2-x_3+x_5=0\\ 2x_1-2x_2+x_3-x_4=0\\ -x_1+x_3-x_5=0\\ x_1+x_2-x_3-x_5=0\end{array}$ Сделать проверку.

Билет 28

1.1 а) Вывести нормальное уравнение плоскости. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду. Отклонение точки от плоскости (Вопросы 32, 33). 1.1 б) Уравнение проекции прямой $L:\frac{x+1}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{3}$ на плоскость $\pi :x+5y-z-25=0$. 1.2 а) Правые и левые тройки векторов. Сформулировать определение и свойства векторного произведения векторов (Вопросы 13, 18). 1.2 б) Площадь треугольника на векторах $\bar{a}=4\bar{p}-3\bar{q},\bar{b}=\bar{p}+3\bar{q}$, если $|\bar{p}|=2/\sqrt{3},|\bar{q}|=2,\angle (\bar{p},\bar{q})=\pi /3$. 2.1 а) Сформулировать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ. Сформулировать и доказать теорему существования ФСР однородной СЛАУ (Вопросы 73, 74). 2.1 б) Найти общее решение и ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}3x_1+2x_2+x_3+3x_4+5x_5=0\\ 6x_1+4x_2+3x_3+5x_4+7x_5=0\\ 9x_1+6x_2+5x_3+7x_4+9x_5=0\\ 3x_1+2x_2+4x_4+8x_5=0\end{array}$ Сделать проверку. 2.2 а) Сформулировать определение эллипса как геометрического места точек плоскости. Каноническое уравнение эллипса (Вопрос 47). 2.2 б) Уравнение кривой $16x^2-9y^2-64x+18y-89=0$ к каноническому виду. Определить тип, чертеж.

Билет 29

1.1 а) Определение и вывод формулы нахождения угла между прямой и плоскостью. Условия различного расположения прямой и плоскости в пространстве (Вопросы 43, 45). 1.1 б) Координаты точки пересечения прямой $\{x=1+t,y=-1+t,z=1-t\}$ и плоскости $x+2y-z+2=0$. 1.2 а) Сформулировать определение векторного произведения. Формула вычисления векторного произведения векторов в ортонормированном базисе (Вопросы 13, 19). 1.2 б) Площадь треугольника на векторах $\bar{a}=\bar{p}-3\bar{q},\bar{b}=3\bar{p}+2\bar{q}$, если $|\bar{p}|=1/11,|\bar{q}|=2\sqrt{2},\angle (\bar{p},\bar{q})=\pi /4$. 2.1 а) Сформулировать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ. Сформулировать и доказать теорему существования ФСР однородной СЛАУ (Вопросы 73, 74). 2.1 б) Найти общее решение и ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}{x}_2+x_3-x_4=0\\ x_1-x_2+x_4-x_5=0\\ x_3+x_4-x_5=0\\ x_1+2x_3+x_4-2x_5=0\\ 2x_1+4x_3+2x_4-4x_5=0\end{array}$ Сделать проверку. 2.2 а) Выписать канонические уравнения гиперболоидов. Изложить метод сечений для исследования формы поверхности на примере гиперболоидов (Вопрос 53). 2.2 б) Уравнение кривой $x^2-y^2+2x-8y-11=0$ к каноническому виду. Тип, чертеж.

Билет 30

1.1 а) Сформулировать и доказать критерий компланарности трех векторов. Выписать формулу вычисления объема параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах в ОНБ (Вопросы 21, 22). 1.1 б) Разложение $\bar{x}=8\bar{i}+5\bar{k}$ по $\bar{a}=2\bar{i}+\bar{k},\bar{b}=\bar{i}+\bar{j},\bar{c}=4\bar{i}+\bar{j}+2\bar{k}$. 1.2 а) Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве (Вопрос 37). Формула угла между плоскостями в новом списке явно не выделена, но следует из вопроса 29 (условия параллельности и перпендикулярности) и вопроса 32 (нормальное уравнение), добавим для полноты: Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей (Вопрос 29). 1.2 б) Расстояние от $A(1,3,5)$ до прямой пересечения ${\pi }_1:2x+y+z-1=0$ и ${\pi }_2:3x+y+2z-3=0$. 2.1 а) Сформулировать определение обратной матрицы. Сформулировать и доказать критерий существования обратной матрицы (Вопросы 57, 58). 2.1 б) Решить матричное уравнение: $\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 5& -2\end{array}\right)\cdot X\cdot \left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14& 16\\ 9& 10\end{array}\right)$ Проверка. 2.2 а) Сформулировать определение фундаментальной системы решений (ФСР). Сформулировать и доказать критерий существования ненулевых решения однородной СЛАУ. Сформулировать теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ (Вопросы 73, 75, 76). 2.2 б) Найти общее решение и ФСР для системы уравнений: $\{\begin{array}{l}2x_1+3x_2+5x_3+6x_4=0\\ 3x_1+4x_2+6x_3+7x_4=0\\ 3x_1+x_2+x_3+4x_4=0\end{array}$ Сделать проверку.