ДЗ 3

№1 $y=x+\sin x$

1. Область определения

$D(y):x\in \mathbb{R}$

2. Чётность

$$\begin{array}{c}y(-x)=-x+\sin (-x)=-x-\sin x=-(x+\sin x)=-y(x)\end{array}$$

$y=x+\sin x$ — нечётная

3. Периодичность

$y=x+\sin x$ состоит из периодичной $\sin x$ и линейной $x^1\Rightarrow$

$y=x+\sin x$ — не периодична

4. Монотонность и экстремумы

Критические и стационарные точки

$$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=(x+\sin x{)}^{\prime }=1+\cos x\\ \\ y^{\prime }=0\Rightarrow 1+\cos x=0\Rightarrow \cos x=-1\end{array}$$

Стационарные точки

$x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Монотонность

$$\begin{array}{c}\forall x\cos x\ge -1\Rightarrow 1+\cos x\ge 0\\ \Downarrow \\ \forall x{y}^{\prime }\ge 0\end{array}$$

$\forall x\Rightarrow y^{\prime }\ge 0\Rightarrow y$ — монотонно возрастающая по всей области определения

Экстремумы

$y$ — монотонно возрастающая по всей области определения $\Rightarrow$ экстремумов нет

5. Выпуклости и перегибы

Точки перегиба

$$\begin{array}{c}{y}^{\prime \prime }=(1+\cos x{)}^{\prime }=-\sin x\\ \\ y^{\prime \prime }=0\Rightarrow -\sin x=0\end{array}$$

Точки перегиба

$x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Выпуклости

Интервалы

• При $x\in (2k\pi ;2k\pi +\pi )\Rightarrow \sin x>0\Rightarrow y^{\prime \prime }<0\Rightarrow$ выпукла вверх ($\cap$)
• При $x\in (2k\pi +\pi ;2k\pi +2\pi )\Rightarrow \sin x<0\Rightarrow y^{\prime \prime }>0\Rightarrow$ выпукла вниз ($\cup$)

6. Асимптоты

Вертикальные асимптоты

$x\in \mathbb{R}\Rightarrow$ вертикальных асимптот нет

Наклонные и горизонтальные асимптоты

$$\begin{array}{c}y=kx+b\\ k=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\sin x}{x}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }1=1\\ b=\underset{x\to +\infty }{\lim }(y-kx)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+\sin x-1\cdot x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sin x-\text{не существует}\end{array}$$

Асимптот нет, однако прямые $y=x\pm 1$ ограничивают график.

7. График

x	$0$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
y	$0$	$\frac{\pi }{2}+1$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}-1$	$2\pi$

---

№2 $y=\sqrt[3]{(x+4{)}^2}+\sqrt[3]{(x-4{)}^2}$

1. Область определения

$D(y):x\in \mathbb{R}$

2. Чётность

$$\begin{array}{c}y(-x)=\sqrt[3]{(-x+4{)}^2}+\sqrt[3]{(-x-4{)}^2}=\sqrt[3]{(-(x-4){)}^2}+\sqrt[3]{(-(x+4){)}^2}=\\ =\sqrt[3]{(x-4{)}^2}+\sqrt[3]{(x+4{)}^2}=y(x)\end{array}$$

$y$ — чётная

3. Периодичность

$y=\sqrt[3]{(x+4{)}^2}+\sqrt[3]{(x-4{)}^2}$ состоит из линейных не периодичных $\sqrt[3]{(x+4{)}^2}$ и $\sqrt[3]{(x-4{)}^2}\Rightarrow$

$y=\sqrt[3]{(x+4{)}^2}+\sqrt[3]{(x-4{)}^2}$ — не периодична

4. Монотонность и экстремумы

Критические и стационарные точки

$$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=(\sqrt[3]{(x+4{)}^2}+\sqrt[3]{(x-4{)}^2}{)}^{\prime }=((x+4{)}^{\frac{2}{3}}{)}^{\prime }+((x-4{)}^{\frac{2}{3}}{)}^{\prime }=\frac{2}{3\sqrt[3]{x-4}}+\frac{2}{3\sqrt[3]{x+4}}\\ \\ y^{\prime }=0\Rightarrow \frac{2}{3\sqrt[3]{x-4}}+\frac{2}{3\sqrt[3]{x+4}}=0\Rightarrow \frac{6\sqrt[3]{x+4}+6\sqrt[3]{x-4}}{9\sqrt[3]{x^2-16}}=0\\ \{\begin{array}{l}6\sqrt[3]{x+4}+6\sqrt[3]{x-4}=0\\ 9\sqrt[3]{x^2-16}\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x\ne \pm 4\end{array}\end{array}$$

Точки

• $x=0$ — стационарная точка
• $x=\pm 4$ — критические точки

Монотонность

Интервалы

• $x<-4\Rightarrow \frac{-}{+}\Rightarrow y^{\prime }<0\Rightarrow y\downarrow$
• $-4<x<0\Rightarrow \frac{-}{-}\Rightarrow y^{\prime }>0\Rightarrow y\uparrow$
• $0<x<4\Rightarrow \frac{+}{-}\Rightarrow y^{\prime }<0\Rightarrow y\downarrow$
• $x>4\Rightarrow \frac{+}{+}\Rightarrow y^{\prime }>0\Rightarrow y\uparrow$

Экстремумы

• $y(-4)=\sqrt[3]{(-4+4{)}^2}+\sqrt[3]{(-4-4{)}^2}=\sqrt[3]{64}=4\text{— точка минимума}$
• $y(0)=\sqrt[3]{(0+4{)}^2}+\sqrt[3]{(0-4{)}^2}=\sqrt[3]{(4{)}^2}+\sqrt[3]{(-4{)}^2}=4\sqrt[3]{2}\text{— точка максимума}$
• $y(4)=\sqrt[3]{(4+4{)}^2}+\sqrt[3]{(4-4{)}^2}=\sqrt[3]{64}=4\text{— точка минимума}$

5. Выпуклости и перегибы

Точки перегиба

$$\begin{array}{c}{y}^{\prime \prime }=0\Rightarrow (\frac{2}{3\sqrt[3]{x-4}}+\frac{2}{3\sqrt[3]{x+4}}{)}^{\prime }=0\\ -\frac{2}{9\sqrt[3]{(x-4{)}^4}}-\frac{2}{9\sqrt[3]{(x+4{)}^4}}=0\Rightarrow -\frac{18\sqrt[3]{(x+4{)}^4}+18\sqrt[3]{(x-4{)}^4}}{81\sqrt[3]{(x+4{)}^4(x-4{)}^4}}=0\\ \{\begin{array}{l}(x+4{)}^4=-(x-4{)}^4\text{— не имеет решений}\\ x\ne \pm 4\end{array}\end{array}$$

Критические точки второго рода

$x=\pm 4$

Выпуклости

$$\begin{array}{c}-\frac{18\sqrt[3]{(x+4{)}^4}+18\sqrt[3]{(x-4{)}^4}}{81\sqrt[3]{(x+4{)}^4(x-4{)}^4}}?0\end{array}$$

Интервалы

• $x<-4\Rightarrow -\frac{+}{+}\Rightarrow y^{\prime \prime }<0\Rightarrow y\cap$ (выпукла вверх)
• $-4<x<4\Rightarrow -\frac{+}{+}\Rightarrow y^{\prime \prime }<0\Rightarrow y\cap$ (выпукла вверх)
• $x>4\Rightarrow -\frac{+}{+}\Rightarrow y^{\prime \prime }<0\Rightarrow y\cap$ (выпукла вверх)

6. Асимптоты

Вертикальные асимптоты

$x\in \mathbb{R}\Rightarrow$ вертикальных асимптот нет

Наклонные и горизонтальные асимптоты

$$\begin{array}{c}y=kx+b\\ k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\frac{\sqrt[3]{(x+4{)}^2}+\sqrt[3]{(x-4{)}^2}}{x}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]\stackrel{L^{\prime }H}{=}\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{2}{3\sqrt[3]{x-4}}+\frac{2}{3\sqrt[3]{x+4}})=0\\ b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-kx)=\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt[3]{(x+4{)}^2}+\sqrt[3]{(x-4{)}^2}-0)=\infty \end{array}$$

$b=\infty \Rightarrow$ наклонных и горизонтальных асимптот тоже нет

7. График

x	$-4$	$4$	$0$	$3$	$-5$
y	$4$	$4$	$4\sqrt[3]{2}$	$\sqrt[3]{49}+1$	$\sqrt[3]{81}+1$

---

№3 $y=x^2{e}^x$

1. Область определения

$D(y):x\in \mathbb{R}$

2. Чётность

$$y(-x)=(-x{)}^2{e}^{-x}=\frac{x^2}{e^x}\ne y(x)\ne -y(x)$$

$y$ — функция общего вида

3. Периодичность

$y=x^2{e}^x$ состоит из не периодичных функций $x^2$ и $e^x\Rightarrow$

$y$ — не периодична

4. Монотонность и экстремумы

Критические и стационарные точки

$$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=(x^2{e}^x{)}^{\prime }=2x{e}^x+e^x{x}^2\\ y^{\prime }=0\Rightarrow e^x(2x+x^2)=0\\ [\begin{array}{l}x=0\\ 2e^x+e^{x}x=0\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\end{array}$$

Стационарные точки

$x=0;x=-2$

Монотонность

Интервалы

• $x<-2\Rightarrow y^{\prime }>0\Rightarrow y\uparrow$
• $-2<x<0\Rightarrow y^{\prime }<0\Rightarrow y\downarrow$
• $x>0\Rightarrow y^{\prime }>0\Rightarrow y\uparrow$

Экстремумы

• $y(-2)=\frac{4}{e^2}\text{— точка максимума}$
• $y(0)=0\text{— точка минимума}$

Шаблон для остальных пунктов:

5. Выпуклости и перегибы

Точки перегиба

$$\begin{array}{c}{y}^{\prime \prime }=(2x{e}^x+x^2{e}^x{)}^{\prime }=2e^x+2x{e}^x+2x{e}^x+x^2{e}^x=e^x(x^2+4x+2)\\ y^{\prime \prime }=0\Rightarrow x^2+4x+2=0\\ D=16-8=8\\ x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{2}=-2\pm \sqrt{2}\\ (x-(-2-\sqrt{2}))(x-(-2+\sqrt{2}))=0\end{array}$$

Точки перегиба

$x=-2\pm \sqrt{2}$

Выпуклости

Интервалы

• При $x<-2-\sqrt{2}\Rightarrow y^{\prime \prime }>0\Rightarrow y\cup$
• При $-2-\sqrt{2}<x<-2+\sqrt{2}\Rightarrow y^{\prime \prime }<0\Rightarrow y\cap$
• При $-2+\sqrt{2}<x\Rightarrow y^{\prime \prime }>0\Rightarrow y\cup$

6. Асимптоты

Вертикальные асимптоты

$x\in \mathbb{R}\Rightarrow$ вертикальных асимптот нет

Наклонные и горизонтальные асимптоты

$$\begin{array}{c}y=kx+b\\ \text{При }x\to +\infty :\\ k_1=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2{e}^x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^x=+\infty (\text{не существует})\\ \\ \text{При }x\to -\infty :\\ k_2=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2{e}^x}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=[\infty \cdot 0]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{e^{-x}}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]\stackrel{L^{\prime }H}{=}\\ \stackrel{L^{\prime }H}{=}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{-e^{-x}}=0\\ b=\underset{x\to -\infty }{\lim }(y-k_{2}x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2{e}^x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{e^{-x}}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]\stackrel{L^{\prime }H}{=}\\ \stackrel{L^{\prime }H}{=}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x}{-e^{-x}}\stackrel{L^{\prime }H}{=}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{e^{-x}}=0\end{array}$$

Горизонтальная асимптота (при $x\to -\infty$)

$y=0$

7. График

x	$-5$	$-2-\sqrt{2}$	$-2$	$-2+\sqrt{2}$	$0$	$1$
y	$\frac{25}{e^5}$	$\frac{6+4\sqrt{2}}{e^{(2+\sqrt{2})}}$	$\frac{4}{e^2}$	$\frac{6-4\sqrt{2}}{e^{(2-\sqrt{2})}}$	$0$	$e$