1. Параметрически заданная функция
Вид
{y=y(t)x=x(t)
Вычисление производной
{yx′=x′(t)y′(t)x=x(t)
Примеры РК2
{y=t3x=2t−1
{yt′=3t2xt=2;{yx=1,5t2x=2t−1
{y=e2tx=et
{yt′=e2txt′=et;{yx′=etx=et
{y=tlntx=tlnt t=1
{yt′=t21−lntxt=lnt+1;{yx′=t2(1+lnt)1−lntx=tlnt;yx′(t=1)=11=1
{y=etsintx=etcost t=4π
{yt′=etsint+etcostxt′=etcost−etsint;{yx′=sint−costsint+costx=etcost;yx′(t=4π)=02=∞
2. Логарифмическая функция
Без него не обойтись при дифференцировании функций вида y=f(x)g(x)
y=elnf(x)g(x)=eg(x)lnf(x)=>y′=(eg(x)lnf(x))′=eg(x)lnf(x)⋅(g(x)⋅lnf(x))′
Формула в этом случае: y′=y(lny)′
Примеры
y=xsinx
y′=xsinx(cosxlnx+xsinx)
y=(1−x1)x
y′=(1−x1)x(ln(1−x1)+1+x1x)
y=3(x+2)2(x+3)3x−1
y′=3(x+2)2⋅(x+3)3x−1⋅(ln3(x+2)2⋅(x+3)3x−1)′=
=y⋅(lnx−1−ln(3(x+2)2⋅(x+3)3))=y⋅(x−10.5−3x+62−x+31,5)
3. Неявно заданная функция
Вид: F(x,y)=0
(F(x,y))x′=0x′=0=>Найдём y′(x)
Примеры
x2+y2=1, yx′
x2+y2−1=0=>(x2+y2−1)x′=0=>2x+2y⋅yx′−0=0=>yx′=−yx
x+y=a
x+y−a=0=>(x+y−a)x′=0=>2x1+2y1⋅yx′=0=>yx′=−yx
xy=arctanyx
(xy−arctanyx)x′=0=>y+xyx′−1+(yx)21⋅y2y−xy′=0=>
=>y+xyx′−y2+x2y−xyx′=0=>y+xyx′−y2+x2y+y2+x2xyx′=0=>
=>yx′(x+y2+x2x)+y−y2+x2y=>yx′=x+y2+x2xy2+x2y−y
yey=ex+1
(yey−ex+1)x′=0=>yx′ey+yeyyx′−ex+1=0=>yx′=ey+yeyex+1
4. Производные высших порядков
y′′′′=(y′′′)′=((y′′)′)′=(((y′)′)′)′
Примеры
y=ln31+x2
y′′=(y′)′=(3+3x22x)′=(3+3x2)22x
{x=lnty=t3
{xt′=t1yt′=3t2;{x=lntyx′=3t3;{xt′=t1(yt′)t′=9t2;{x=lntyxx′′=9t3
y=x+arctan(y)
(y−x−arctan(y))x′=0;yx′=y21+1yxx′′=−y32
x4+y4−xy=0
(x4+y4−xy)x′=0=>yx′=4y3−xy−4x3=>yxx′′=(4y3−x)2(yx′−12x)(4y3−x)−(4yx′−1)(y−4x3)