Комплексные числа 15.12.2025

Комплексные числа

1. Определение и основные понятия

Комплексное число — это число вида $z=x+iy$, где $x,y\in \mathbb{R}$, а $z\in \mathbb{C}$. Множество всех комплексных чисел обозначается $\mathbb{C}$.

Компоненты числа:

• $x=\text{Re}(z)$ — действительная (вещественная) часть
• $y=\text{Im}(z)$ — мнимая часть
• $i$ — мнимая единица, определяемая свойством $i^2=-1$.

2. Геометрическая интерпретация

Комплексные числа удобно представлять на комплексной плоскости (модифицированная Декартова система координат):

• Ось абсцисс ($Ox$): Действительная ось $\text{Re}(z)$.
• Ось ординат ($Oy$): Мнимая ось $\text{Im}(z)$.

Каждому числу $z=x+iy$ ставится в соответствие точка $M(x,y)$ или радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$.

3. Алгебраические свойства и операции

Пусть $z_1=x_1+i{y}_1$ и $z_2=x_2+i{y}_2$.

$$\begin{array}{c}\text{1. Равенство: }{z}_1=z_2⟺\{\begin{array}{l}{x}_1=x_2\\ y_1=y_2\end{array}\\ \text{2. Сложение: }{z}_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)\\ \text{3. Умножение: }{z}_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)\\ \text{4. Сопряжение: }\text{Число }\bar{z}=x-iy\text{ называется комплексно-сопряженным к }z.\end{array}$$

Основная теорема алгебры (следствие): Уравнение $z^n=a$ ($a\in \mathbb{C},a\ne 0$) имеет ровно $n$ различных решений на множестве $\mathbb{C}$.

4. Формы представления комплексного числа

I. Алгебраическая форма

$z=x+iy$

II. Тригонометрическая форма

$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$

Где:

• $|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}$ — модуль комплексного числа (длина вектора $\overrightarrow{OM}$).
• $\phi =\text{arg}(z)$ — аргумент комплексного числа (угол между положительным направлением оси $\text{Re}$ и вектором $\overrightarrow{OM}$).

III. Показательная форма

$z=|z|e^{i\phi }$