Экзамен

Билет 1

1. Теория (1 мод): Сформулировать и доказать теорему о пределе суммы (для функций или последовательностей).
2. Теория (2 мод): Сформулировать и доказать теорему Ферма.
3. Теория (1 мод): Точки разрыва функции и их классификация.
4. Теория (2 мод): Сформулировать определение дифференциала функции, его геометрический смысл.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{\cos 2x}}{x\sin x}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to \infty }{\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-1}\right)}^{x^2}$
7. Задача: Найдите асимптоты графика функции $y=\frac{x^3}{x^2-4}$.
8. Задача: Вычислите $y_x^{\prime }$, если $\{\begin{array}{l}x=\ln (1+t^2)\\ y=t-\text{arctg }t\end{array}$.
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции $y=\frac{1}{1+x^2}$ в точке с абсциссой $x_0=1$. Сделайте чертеж.
10. Задача: Найдите интервалы выпуклости вверх, вниз, точки перегиба графика функции $y=e^{-x^2}$. Постройте график функции в окрестности каждой из найденных точек.

Билет 2

1. Теория (1 мод): Сформулировать и доказать теорему Коши (контекст: критерий сходимости или теорема о среднем, чаще о среднем в вопросе №4, но здесь стоит №1).
2. Теория (2 мод): Сформулировать и доказать теорему о пределе промежуточной функции (“о двух милиционерах”).
3. Теория (1 мод): Выпишите второй замечательный предел.
4. Теория (2 мод): Сформулировать теорему о достаточном условии выпуклости вверх, вниз дважды дифференцируемой функции.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+\text{arctg }5x)}{e^x-1}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}(1+\sin x{)}^{\frac{1}{\sin 2x}}$
7. Задача: Найдите точки разрыва функции $y=e^{\frac{1}{x(x-3)}}$ и определите их характер. Постройте график в окрестности точек разрыва.
8. Задача: Вычислите $y_x^{\prime }$, если $\{\begin{array}{l}x=t^3+2t\\ y=\ln (1+t^4)\end{array}$
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции $y=\text{tg }2x$ в точке с абсциссой $x_0=0$. Сделайте чертеж.
10. Задача: Найдите интервалы выпуклости вверх, вниз, точки перегиба графика функции $y=2x+\text{arctg }x$. Постройте график.

Билет 3

1. Теория (1 мод): Сформулировать и доказать теорему о пределе частного.
2. Теория (2 мод): Сформулировать и доказать теорему Ролля.
3. Теория (1 мод): Сравнение бесконечно малых функций (определения: одного порядка, высшего порядка, эквивалентные, несравнимые).
4. Теория (2 мод): Сформулировать определение производной функции в точке, геометрический смысл.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{2x}-e^{-2x}-4x}{{\sin }^{3}x}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 1}(2-x{)}^{\text{tg}\frac{\pi x}{2}}$
7. Задача: Найдите точки разрыва функции $y=\frac{1}{1+2^{1/x}}$ и определите их характер. Постройте график в окрестности точек разрыва.
8. Задача: Вычислите $y^{\prime }$, если $y\sin x-\cos (x-y)=0$.
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции $y=\sqrt{x}$ в точке $x_0=4$. Сделайте чертеж.
10. Задача: Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции $y=x\ln x$. Постройте график.

Билет 4

1. Теория (1 мод): Сформулировать и доказать теорему о предельном переходе в неравенстве.
2. Теория (2 мод): Сформулировать и доказать теорему Бернулли — Лопиталя (для $0/0$ или $\infty /\infty$).
3. Теория (1 мод): Сформулировать теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях (необходимое и достаточное условие эквивалентности).
4. Теория (2 мод): Выписать формулу Маклорена для $y=\ln (1+x)$ с остаточным членом в форме Пеано.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1-3x)}{\sqrt{1+x}-1}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to \infty }{\left(\frac{3x-2}{3x+1}\right)}^{2x}$
7. Задача: Найдите асимптоты графика функции $y=x+\frac{\ln x}{x}$.
8. Задача: Вычислите $y_x^{\prime }$, если $\{\begin{array}{l}x=e^t\sin t\\ y=e^t\cos t\end{array}$.
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику $y=x^3-3x$ в точке $x_0=-1$. Сделайте чертеж.
10. Задача: Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба функции $y=x^4-6x^2$. Постройте график.

Билет 5

1. Теория (1 мод): Сформулировать и доказать теорему о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел.
2. Теория (2 мод): Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
3. Теория (1 мод): Сформулировать теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций (взаимно обратные величины).
4. Теория (2 мод): Сформулировать и доказать теорему о связи дифференцируемости с непрерывностью.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos 4x}{1-\cos 2x}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}$
7. Задача: Найдите точки разрыва функции $y=\text{arctg}\frac{1}{x-1}$ и определите их характер.
8. Задача: Вычислите $y^{\prime }$, если $x^3+y^3-3xy=0$.
9. Задача: Составьте уравнение касательной к кривой $y=\ln x$ параллельно прямой $y=x-1$. Сделайте чертеж.
10. Задача: Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции $y=\frac{x}{x^2+1}$. Постройте график.

Билет 6

1. Теория (1 мод): Сформулировать и доказать теорему о пределе сложной функции.
2. Теория (2 мод): Сформулировать и доказать теорему о производной сложной функции.
3. Теория (1 мод): Свойства бесконечно малых функций (алгебраическая сумма, произведение на ограниченную функцию).
4. Теория (2 мод): Выписать формулу Маклорена для $y=\sin x$ с остаточным членом в форме Пеано.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to \frac{\pi }{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\cos 2x}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 1}(2x-1{)}^{\frac{3}{x-1}}$
7. Задача: Найдите асимптоты графика функции $y=\sqrt{x^2+4x}$.
8. Задача: Вычислите $y_x^{\prime }$, если $\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}$.
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику $y=e^{2x}$ в точке $x_0=0$.
10. Задача: Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба функции $y=(x-1)\sqrt[3]{x^2}$.

Билет 7

1. Теория (1 мод): Сформулировать и доказать теорему о связи двустороннего предела с односторонними.
2. Теория (2 мод): Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии возрастания (убывания) функции.
3. Теория (1 мод): Теорема о замене бесконечно малых на эквивалентные при вычислении предела (формулировка и условия применимости).
4. Теория (2 мод): Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии существования точек перегиба.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{n^2+2}{n^2-1}\right)}^{3n^2}$
7. Задача: Найдите точки разрыва функции $y=\frac{2}{x^2-1}$ и постройте график в их окрестности.
8. Задача: Вычислите $y^{\prime }$, если $\ln y+\frac{x}{y}=c$.
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику $y=\sin 3x$ в точке $x_0=\frac{\pi }{12}$.
10. Задача: Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции $y=x^2{e}^{-x}$.

Билет 8

1. Теория (1 мод): Сформулировать определение предела числовой последовательности.
2. Теория (2 мод): Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии существования экстремума (Теорема Ферма в применении к экстремумам).
3. Теория (1 мод): Определение бесконечно малой функции. Связь наличия конечного предела функции с бесконечно малой ($f(x)\to A\iff f(x)=A+\alpha (x)$).
4. Теория (2 мод): Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии существования точек перегиба.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin x}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}(\cos x+\sin x{)}^{\frac{1}{x}}$
7. Задача: Найдите асимптоты графика функции $y=\frac{x^3}{2(x+1{)}^2}$.
8. Задача: Вычислите $y_x^{\prime }$, если $\{\begin{array}{l}x=2\cos t\\ y=\sin 2t\end{array}$.
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику $y=\sqrt[3]{x-1}$ в точке $x_0=9$.
10. Задача: Исследуйте на выпуклость и перегибы функцию $y=\ln (x^2+1)$.

Билет 9

1. Теория (1 мод): Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения.
2. Теория (2 мод): Сформулируйте и докажите теорему о достаточном условии существования экстремума функции по первой производной.
3. Теория (1 мод): Сформулируйте теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях.
4. Теория (2 мод): Сформулируйте теорему Лагранжа.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{x^3+\ln (1+2x)}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}(1+\sin 2x\cos x{)}^{\text{ctg }2x}$
7. Задача: Найдите асимптоты графика функции $y=\frac{x^2+2x+5}{2x+1}$.
8. Задача: Вычислите $y^{\prime }$, если $y^2+2xy-3x^2=2$.
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции $y=x^2-x-6$ в точке с абсциссой $x_0=-2$. Сделайте чертеж.
10. Задача: Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции $y=\frac{x^2}{x^3-1}$. Постройте график функции в окрестности каждой из найденных точек экстремума.

Билет 10

1. Теория (2 мод): Сформулируйте и докажите теорему о достаточном условии экстремума функции по ее второй производной.
2. Теория (1 мод): Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.
3. Теория (1 мод): Сравнение бесконечно больших функций (соответствующие определения).
4. Теория (2 мод): Выпишите формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано для функции $y=\cos x$.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{4^x-1}{\text{arctg }3x}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 2}(3x-5{)}^{\text{ctg }\frac{\pi x}{2}}$
7. Задача: Найдите точки разрыва функции $y=3^{\frac{1}{x(x-3)}}$ и определите их характер. Постройте график в окрестности точек разрыва.
8. Задача: Вычислите $y_x^{\prime }$, если $\{\begin{array}{l}x=\text{tg }t\\ y=\sin 2t\end{array}$
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции $y=\arccos x$ в точке с абсциссой $x_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Сделайте чертеж.
10. Задача: Найдите интервалы выпуклости вверх, вниз, точки перегиба графика функции $y=\frac{x}{3x^2+1}$. Постройте график.

Билет 12

1. Теория (2 мод): Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.
2. Теория (1 мод): Сформулируйте определение предела числовой последовательности. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности.
3. Теория (2 мод): Выпишите формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано для функции $y=e^x$.
4. Теория (2 мод): Сформулируйте теорему Коши.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{\sin x}-1}{x^2+\ln (1+x)}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to \infty }{\left(\frac{x^3+4}{x^3+5}\right)}^{x(2x^2+1)}$
7. Задача: Найдите точки разрыва функции $y=\text{arctg}\frac{2x}{x-2}$ и определите их характер. Постройте график в окрестности точек разрыва.
8. Задача: Вычислите $y_x^{\prime }$, если $\{\begin{array}{l}x=\cos t\\ y=\text{ctg }5t\end{array}$
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции $y=e^{-x}$ в точке с абсциссой $x_0=-1$. Сделайте чертеж.
10. Задача: Найдите интервалы выпуклости вверх, вниз, точки перегиба графика функции $y=x{e}^{3x}$. Постройте график.

Билет 17

1. Теория (2 мод): Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа.
2. Теория (1 мод): Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.
3. Теория (1 мод): Выпишите первый замечательный предел.
4. Теория (2 мод): Сформулируйте теорему о необходимом условии существования экстремума дифференцируемой функции.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x^2}{4x^4+x^5}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}(\cos 3x{)}^{\frac{4}{x^2}}$
7. Задача: Найдите асимптоты графика функции $y=\frac{2x^2+2x+2}{3x+1}$.
8. Задача: Вычислите $y^{\prime }$, если $2x^2-3y^2+4xy+x=y$.
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции $y=1-4^{2x}$ в точке с абсциссой $x_0=\frac{1}{4}$. Сделайте чертеж.
10. Задача: Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции $y=\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x+1}$. Постройте график.

Билет 25

1. Теория (1 мод): Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции (доказательство для функций или последовательностей по выбору).
2. Теория (2 мод): Сформулируйте и докажите теорему о достаточном условии существования экстремума функции по первой производной.
3. Теория (1 мод): Сформулируйте теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях.
4. Теория (2 мод): Сформулируйте теорему Лагранжа.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{{\log }_2(1-5x)}{\text{tg }2x+\sin 3x}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 3}(4-x{)}^{{\left(\cos \frac{\pi x}{6}\right)}^{-1}}$
7. Задача: Найдите асимптоты графика функции $y=5x+\text{arcctg }x$.
8. Задача: Вычислите $y^{\prime }$, если $\text{arcctg}(2y)-xy+5x^2=-4$.
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции $y=\ln (x+1)$ в точке с абсциссой $x_0=0$. Сделайте чертеж.
10. Задача: Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции $y=(x+5)\sqrt[3]{x+3}$. Постройте график.

Билет 28

1. Теория (2 мод): Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.
2. Теория (1 мод): Сформулируйте определение предела числовой последовательности. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности.
3. Теория (2 мод): Выпишите формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано для функции $y=e^x$.
4. Теория (2 мод): Сформулируйте теорему Коши.
5. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to 0}\frac{3^x-1}{\text{arctg }5x}$
6. Задача: Вычислите предел: ${\lim }_{x\to \infty }{\left(\frac{x^2+7}{x^2-5}\right)}^{x(3x-1)}$
7. Задача: Найдите точки разрыва функции $y=\frac{1}{x^3-27}{e}^{\frac{1}{x-2}}$ и определите их характер. Постройте график в окрестности точек разрыва.
8. Задача: Вычислите $y_x^{\prime }$, если $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{t}}\\ y=\sqrt{t^3+1}\end{array}$
9. Задача: Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции $y=\text{ctg }2x$ в точке с абсциссой $x_0=-\frac{\pi }{8}$. Сделайте чертеж.
10. Задача: Найдите интервалы выпуклости вверх, вниз, точки перегиба графика функции $y=x^2+\frac{8}{x}-8$. Постройте график.