6.130∫x2e−xdx
Первое интегрирование по частям:
{u=x2⇒du=2xdxdv=e−xdx⇒v=−e−x=−x2e−x−∫(−e−x)⋅2xdx=−x2e−x+2∫xe−xdx
Второе интегрирование по частям для ∫xe−xdx:
{u=x⇒du=dxdv=e−xdx⇒v=−e−x=−x2e−x+2(−xe−x−∫(−e−x)dx)=−x2e−x−2xe−x+2∫e−xdx=−x2e−x−2xe−x−2e−x+C=−e−x(x2+2x+2)+C
6.134∫xarctgxdx
Интегрирование по частям:
{u=arctgx⇒du=1+x21dxdv=xdx⇒v=2x2=2x2arctgx−∫2x2⋅1+x21dx=2x2arctgx−21∫1+x2x2dx
6.140∫x⋅3xdx
Интегрирование по частям:
{u=x⇒du=dxdv=3xdx⇒v=ln33x=x⋅ln33x−∫ln33xdx=ln3x3x−ln31∫3xdx=ln3x3x−ln31⋅ln33x+C=ln3x3x−(ln3)23x+C
6.142∫cos2xxdx
Интегрирование по частям:
{u=x⇒du=dxdv=cos2x1dx⇒v=tgx=xtgx−∫tgxdx=xtgx−∫cosxsinxdxt=cosx,dt=−sinxdx:
=xtgx−(−ln∣cosx∣)+C=xtgx+ln∣cosx∣+C
6.143∫cos(lnx)dxt=lnx⇒x=et,dx=etdt.
I=∫etcostdt
Первое интегрирование по частям:
{u=et⇒du=etdtdv=costdt⇒v=sintI=etsint−∫etsintdt
Второе интегрирование по частям для ∫etsintdt:
{u=et⇒du=etdtdv=sintdt⇒v=−cost∫etsintdt=−etcost−∫(−etcost)dt=−etcost+II=etsint−(−etcost+I)I=etsint+etcost−I2I=et(sint+cost)⇒I=2et(sint+cost)+C=2x(sin(lnx)+cos(lnx))+C
6.157I=∫a2−x2dx
Интегрирование по частям:
{u=a2−x2⇒du=a2−x2−xdxdv=dx⇒v=xI=xa2−x2−∫x⋅a2−x2−xdx=xa2−x2+∫a2−x2x2dx∫a2−x2x2dx=∫a2−x2a2−(a2−x2)dx=∫(a2−x2a2−a2−x2)dx=a2arcsinax−II=xa2−x2+a2arcsinax−I2I=xa2−x2+a2arcsinaxI=2xa2−x2+2a2arcsinax+C
6.151I=∫x2+adx
Интегрирование по частям:
{u=x2+a⇒du=x2+axdxdv=dx⇒v=xI=xx2+a−∫x2+ax2dx∫x2+a(x2+a)−adx=∫(x2+a−x2+aa)dx=I−aln∣x+x2+a∣I=xx2+a−(I−aln∣x+x2+a∣)2I=xx2+a+aln∣x+x2+a∣I=2xx2+a+2aln∣x+x2+a∣+C