1,2.1.1-14.02.2026. Методы интегрирования

Простое, табличное интегрирование

6.15 $\int \left(3x^2+2x+\frac{1}{x}\right)dx=x^3+x^2+\ln |x|+C$

6.16 $\int \frac{2x+3}{x^4}dx=\int \left(\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^4}\right)dx=\int (2x^{-3}+3x^{-4})dx$ $=2\cdot \frac{x^{-2}}{-2}+3\cdot \frac{x^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}+C$

6.23 $\int 2^x(1+3x^2\cdot 2^{-x})dx=\int (2^x+3x^2)dx$ $=\frac{2^x}{\ln 2}+3\cdot \frac{x^3}{3}+C=\frac{2^x}{\ln 2}+x^3+C$

6.26 $\int \frac{3-2{\mathrm{ctg}}^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx$ $\int \frac{3}{{\cos }^{2}x}dx-\int \frac{2}{{\sin }^{2}x}dx=3\mathrm{tg}x+2\mathrm{ctg}x+C$

6.43 $\int \frac{x^2-9}{x^2-8}dx=\int \frac{x^2-8-1}{x^2-8}dx=\int 1-\frac{1}{x-8}dx=x-\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln |\frac{x-2\sqrt{2}}{x+2\sqrt{2}}|+C$

По методу замены переменной

6.85 $\int \frac{x^3}{9-4x^8}dx$ $u=2x^4,du=8x^{3}dx\Rightarrow x^{3}dx=\frac{du}{8}$. $=\frac{1}{8}\int \frac{du}{3^2-u^2}=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2\cdot 3}\ln \left|\frac{3+u}{3-u}\right|+C=\frac{1}{48}\ln \left|\frac{3+2x^4}{3-2x^4}\right|+C$

6.92 $\int e^x\sqrt[3]{4+e^x}dx$ $u=4+e^x,du=e^{x}dx$. $=\int u^{1/3}du=\frac{3}{4}{u}^{4/3}+C=0.75(4+e^x{)}^{4/3}+C$

6.95 $\int \frac{e^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}dx$ $u=\arcsin x,du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$. $=\int e^{u}du=e^u+C=e^{\arcsin x}+C$ $=\int (u+1)du=\frac{u^2}{2}+u+C=\frac{1}{2}{\mathrm{tg}}^{2}x+\mathrm{tg}x+C$

6.59 $\int \frac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}}dx$ $u=x^2-1,du=2xdx\Rightarrow xdx=\frac{du}{2}$. $=\frac{1}{2}\int u^{-1/3}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}{u}^{2/3}+C=\frac{3}{4}(x^2-1{)}^{2/3}+C$

С лекции $\begin{array}{c}\int si{n}^{3}3x\cdot \cos 3xdx=|\\ t=\sin 3xx=\frac{1}{3}\arcsin tdx=\frac{1}{3\sqrt{1-t^2}}dt\\ \cos 3x=\sqrt{1-{\sin }^{2}3x}=\sqrt{1-t^2}\\ |=\frac{1}{3}\int {\sin }^{3}3x\cos 3xd3x=\frac{1}{3}{\sin }^{3}3xd\sin 3x=\frac{1}{12}{\sin }^{4}3x+C\end{array}$

По методу подведения под дифференциал

6.53 $\int 3^{4x}dx=\frac{1}{4}\int 3^{4x}d(4x)=\frac{1}{4}\cdot \frac{3^{4x}}{\ln 3}+C$

6.55 $\int \frac{\sin (\ln x)}{x}dx=-\cos (\ln x)+C$

По методу интегрирования по частям

$\int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)$ 6.126 $\int x\ln xdx$ $u=\ln x,du=\frac{dx}{x}$ $dv=xdx,v=\frac{x^2}{2}$ $=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$

6.125 $\int x\cos xdx$ $u=x,du=dx$ $dv=\cos xdx,v=\sin x$ $=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$

6.130 $\int x^2{e}^{-x}dx$ Первое интегрирование по частям: $\{\begin{array}{l}u=x^2\Rightarrow du=2xdx\\ dv=e^{-x}dx\Rightarrow v=-e^{-x}\end{array}$ $=-x^2{e}^{-x}-\int (-e^{-x})\cdot 2xdx=-x^2{e}^{-x}+2\int x{e}^{-x}dx$ Второе интегрирование по частям для $\int x{e}^{-x}dx$: $\{\begin{array}{l}u=x\Rightarrow du=dx\\ dv=e^{-x}dx\Rightarrow v=-e^{-x}\end{array}$ $=-x^2{e}^{-x}+2\left(-x{e}^{-x}-\int (-e^{-x})dx\right)$ $=-x^2{e}^{-x}-2x{e}^{-x}+2\int e^{-x}dx$ $=-x^2{e}^{-x}-2x{e}^{-x}-2e^{-x}+C=-e^{-x}(x^2+2x+2)+C$

6.134 $\int x\mathrm{arctg}xdx$ Интегрирование по частям: $\{\begin{array}{l}u=\mathrm{arctg}x\Rightarrow du=\frac{1}{1+x^2}dx\\ dv=xdx\Rightarrow v=\frac{x^2}{2}\end{array}$ $=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{1+x^2}dx=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}dx$

$=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\int \frac{(x^2+1)-1}{1+x^2}dx$ $=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\left(\int 1dx-\int \frac{1}{1+x^2}dx\right)$ $=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}(x-\mathrm{arctg}x)+C$

6.140 $\int x\cdot 3^{x}dx$ Интегрирование по частям: $\{\begin{array}{l}u=x\Rightarrow du=dx\\ dv=3^{x}dx\Rightarrow v=\frac{3^x}{\ln 3}\end{array}$ $=x\cdot \frac{3^x}{\ln 3}-\int \frac{3^x}{\ln 3}dx$ $=\frac{x{3}^x}{\ln 3}-\frac{1}{\ln 3}\int 3^{x}dx$ $=\frac{x{3}^x}{\ln 3}-\frac{1}{\ln 3}\cdot \frac{3^x}{\ln 3}+C=\frac{x{3}^x}{\ln 3}-\frac{3^x}{(\ln 3{)}^2}+C$

6.142 $\int \frac{x}{{\cos }^{2}x}dx$ Интегрирование по частям: $\{\begin{array}{l}u=x\Rightarrow du=dx\\ dv=\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx\Rightarrow v=\mathrm{tg}x\end{array}$ $=x\mathrm{tg}x-\int \mathrm{tg}xdx$ $=x\mathrm{tg}x-\int \frac{\sin x}{\cos x}dx$ $t=\cos x,dt=-\sin xdx$: $=x\mathrm{tg}x-(-\ln |\cos x|)+C=x\mathrm{tg}x+\ln |\cos x|+C$

6.143 $\int \cos (\ln x)dx$ $t=\ln x\Rightarrow x=e^t,dx=e^{t}dt$. $I=\int e^t\cos tdt$ Первое интегрирование по частям: $\{\begin{array}{l}u=e^t\Rightarrow du=e^{t}dt\\ dv=\cos tdt\Rightarrow v=\sin t\end{array}$ $I=e^t\sin t-\int e^t\sin tdt$ Второе интегрирование по частям для $\int e^t\sin tdt$: $\{\begin{array}{l}u=e^t\Rightarrow du=e^{t}dt\\ dv=\sin tdt\Rightarrow v=-\cos t\end{array}$ $\int e^t\sin tdt=-e^t\cos t-\int (-e^t\cos t)dt=-e^t\cos t+I$ $I=e^t\sin t-(-e^t\cos t+I)$ $I=e^t\sin t+e^t\cos t-I$ $2I=e^t(\sin t+\cos t)\Rightarrow I=\frac{e^t}{2}(\sin t+\cos t)+C$ $=\frac{x}{2}(\sin (\ln x)+\cos (\ln x))+C$

6.157 $I=\int \sqrt{a^2-x^2}dx$ Интегрирование по частям: $\{\begin{array}{l}u=\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow du=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx\\ dv=dx\Rightarrow v=x\end{array}$ $I=x\sqrt{a^2-x^2}-\int x\cdot \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$ $\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\int \frac{a^2-(a^2-x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\int \left(\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}-\sqrt{a^2-x^2}\right)dx$ $=a^2\arcsin \frac{x}{a}-I$ $I=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin \frac{x}{a}-I$ $2I=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin \frac{x}{a}$ $I=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C$

6.151 $I=\int \sqrt{x^2+a}dx$ Интегрирование по частям: $\{\begin{array}{l}u=\sqrt{x^2+a}\Rightarrow du=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}dx\\ dv=dx\Rightarrow v=x\end{array}$ $I=x\sqrt{x^2+a}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx$ $\int \frac{(x^2+a)-a}{\sqrt{x^2+a}}dx=\int \left(\sqrt{x^2+a}-\frac{a}{\sqrt{x^2+a}}\right)dx$ $=I-a\ln |x+\sqrt{x^2+a}|$ $I=x\sqrt{x^2+a}-(I-a\ln |x+\sqrt{x^2+a}|)$ $2I=x\sqrt{x^2+a}+a\ln |x+\sqrt{x^2+a}|$ $I=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}\ln |x+\sqrt{x^2+a}|+C$