3.1.3-15.09.2026 Приложения двойных интегралов

Re: Вычислять двойные интегралы мы уже научились! Теперь переходим к их практическому применению в геометрии и механике.

---

I. Геометрические приложения двойного интеграла

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
  % Оси координат
  \draw[->] (0,0) -- (4.8,0) node[right] {$y$};
  \draw[->] (0,0) -- (0,4.8) node[above] {$z$};
  \draw[->] (0,0) -- (-2.2,-2.2) node[below left] {$x$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Основание S в плоскости Oxy
  \draw[thick, fill=blue!15, fill opacity=0.7] (2.2,-1.1) ellipse [x radius=1.3, y radius=0.6];
  \node at (2.2,-1.1) {$S$};
 
  % Образующие цилиндроида
  \draw[dashed, gray] (0.9,-1.1) -- (0.9, 2.6);
  \draw[dashed, gray] (3.5,-1.1) -- (3.5, 3.1);
 
  % Тело V (цилиндроид)
  \draw[thick] (0.9, 2.6) -- (0.9, -1.1);
  \draw[thick] (3.5, 3.1) -- (3.5, -1.1);
 
  % Верхняя поверхность (крыша f(x,y))
  \filldraw[thick, fill=orange!25, fill opacity=0.8] 
    plot [smooth cycle, tension=0.8] coordinates {(0.9,2.6) (2.0,2.1) (3.5,3.1) (2.7,4.0) (1.3,3.7)};
  \node at (2.2, 3.2) {$f(x,y)$};
  \node[above left] at (1.3,3.7) {$S_n$};
 
  \node at (2.2, 1.2) {$V$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Основные геометрические формулы

1. Объём цилиндроида (геометрический смысл двойного интеграла):
   Объём тела, ограниченного снизу плоскостью $z=0$, сверху — поверхностью $z=f(x,y)\ge 0$, а с боков — цилиндрической поверхностью с направляющей границей области $S$: $V={\iint }_{S}f(x,y)dxdy$

2. Площадь плоской фигуры (площадь основания):
   Если «высота» цилиндроида $f(x,y)\equiv 1$, то его объём численно равен площади основания: $S={\iint }_{S}dxdy$

3. Площадь криволинейной поверхности («крыши»):
   Площадь гладкой поверхности $z=f(x,y)$, проецирующейся на плоскость $Oxy$ в область $S$: $S_n={\iint }_S\sqrt{1+{\left(f_x^{\prime }\right)}^2+{\left(f_y^{\prime }\right)}^2}dxdy$

---

Пример (повтор): Площадь эллипса

Площадь эллипса

Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Решение:
Перейдём к обобщённым полярным координатам: $\{\begin{array}{l}x=ar\cos \phi \\ y=br\sin \phi \end{array}⟹J=abr$

Граница эллипса: $r=1$.
Используя симметрию (вычисляем по 1-й четверти и умножаем на 4): $S={\iint }_{S}dxdy=4{\int }_0^{\pi /2}d\phi {\int }_0^{1}abrdr=4\cdot \frac{\pi }{2}\cdot ab{\frac{r^2}{2}|}_0^1=\pi ab$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth]
  \draw[->] (-2.2,0) -- (2.2,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-1.4) -- (0,1.4) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  \filldraw[fill=blue!15, draw=blue!80!black, thick] (0,0) ellipse [x radius=1.6, y radius=0.9];
  \node at (0.6,0.3) {$r \le 1$};
  
  \fill (1.6,0) circle [radius=1pt] node[below] {$a$};
  \fill (0,0.9) circle [radius=1pt] node[left] {$b$};
  \node[above right] at (1.1,0.7) {$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

---

Задача 1 (Демидович, № 2198)

Демидович, № 2198

Найти объём тела, ограниченного поверхностями: $\{y=\sqrt{x},y=2\sqrt{x},x+z=6,z=0\}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]
  % 2D проекция на Oxy
  \begin{scope}[shift={(6.0,0)}]
    \draw[->] (-0.5,0) -- (4.5,0) node[below] {$x$};
    \draw[->] (0,-0.5) -- (0,3.5) node[left] {$y$};
    \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
    % Параболы y = sqrt(x) и y = 2*sqrt(x) при x от 0 до 3.6 (масштаб x: 6 -> 3.6)
    \draw[thick, blue, domain=0:3.6, samples=50] plot ({\x}, {1.3*sqrt(\x)}) node[above left] {$y = 2\sqrt{x}$};
    \draw[thick, red, domain=0:3.6, samples=50] plot ({\x}, {0.65*sqrt(\x)}) node[below right] {$y = \sqrt{x}$};
    
    \draw[thick] (3.6,0) node[below] {$6$} -- (3.6,2.47);
    
    \fill[gray!25, opacity=0.7] 
      plot[domain=0:3.6, samples=40] ({\x}, {1.3*sqrt(\x)}) -- (3.6, 1.23) --
      plot[domain=3.6:0, samples=40] ({\x}, {0.65*sqrt(\x)}) -- cycle;
    \node at (2.2,1.3) {$S$};
  \end{scope}
 
  % 3D эскиз
  \draw[->] (0,0) -- (4.2,0) node[right] {$y$};
  \draw[->] (0,0) -- (0,4.0) node[above] {$z$};
  \draw[->] (0,0) -- (-2.2,-2.2) node[below left] {$x$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Плоскость x + z = 6
  \draw[thick, dashed] (-1.8,-1.8) node[left] {$6$} -- (0,3.2) node[left] {$6$};
  \node[above right] at (-0.8, 1.8) {$z = 6 - x$};
 
  \draw[thick, blue] (0,0) to[out=20, in=200] (2.2,0.8);
  \draw[thick, blue] (0,0) to[out=40, in=210] (2.8,1.8);
  \draw[dashed] (-1.8,-1.8) -- (2.2,0.8);
  \draw[dashed] (-1.8,-1.8) -- (2.8,1.8);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. Тело: снизу ограничено плоскостью $z=0$, сверху — плоскостью $z=6-x$.
2. Область $S$ (проекция на плоскость $Oxy$):
   Ограничена линиями $y=\sqrt{x}$, $y=2\sqrt{x}$ и прямой $x=6$ (пересечение плоскости $x+z=6$ с плоскостью $z=0$).
   Пределы изменения переменных: $0\le x\le 6,\sqrt{x}\le y\le 2\sqrt{x}$
3. Вычисление объёма: $V={\iint }_S(6-x)dxdy={\int }_0^{6}dx{\int }_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}}(6-x)dy={\int }_0^6(6-x)(2\sqrt{x}-\sqrt{x})dx={\int }_0^6(6-x)\sqrt{x}dx$ $={\int }_0^6\left(6x^{1/2}-x^{3/2}\right)dx={\left(6\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}-\frac{2}{5}{x}^{5/2}\right)|}_0^6={\left(4x\sqrt{x}-\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}\right)|}_0^6$ $=4\cdot 6\sqrt{6}-\frac{2}{5}\cdot 36\sqrt{6}=24\sqrt{6}-\frac{72}{5}\sqrt{6}=\frac{48}{5}\sqrt{6}$

---

Задача 2 (Демидович, № 2200)

Демидович, № 2200

Найти объём тела, ограниченного плоскостями: $\left\{x+y+z=a,3x+y=a,\frac{3}{2}x+y=a,y=0,z=0\right\}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth]
  % 2D проекция основания на Oxy
  \begin{scope}[shift={(5.5,0)}]
    \draw[->] (-0.3,0) -- (3.0,0) node[below] {$x$};
    \draw[->] (0,-0.3) -- (0,3.0) node[left] {$y$};
    \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
    \coordinate (A) at (0,2.4); % y = a
    \coordinate (B) at (0.8,0); % x = a/3
    \coordinate (C) at (1.6,0); % x = 2a/3
 
    \filldraw[fill=red!20, draw=red!80!black, thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
    \node at (0.8,0.7) {$S$};
 
    \draw[thick, blue] (-0.2, 3.0) -- (1.0, -0.6) node[above right] {\scriptsize $3x+y=a$};
    \draw[thick, green!60!black] (-0.2, 2.7) -- (2.0, -0.6) node[above right] {\scriptsize $\frac{3}{2}x+y=a$};
 
    \fill (A) circle [radius=1.2pt] node[left] {$a$};
    \fill (B) circle [radius=1.2pt] node[below] {$\frac{a}{3}$};
    \fill (C) circle [radius=1.2pt] node[below] {$\frac{2}{3}a$};
  \end{scope}
 
  % 3D эскиз
  \draw[->] (0,0) -- (3.5,0) node[right] {$y$};
  \draw[->] (0,0) -- (0,3.2) node[above] {$z$};
  \draw[->] (0,0) -- (-1.8,-1.8) node[below left] {$x$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  \fill (0,2.4) circle [radius=1pt] node[left] {$a$};
  \fill (2.4,0) circle [radius=1pt] node[above] {$a$};
  \draw[dashed] (0,2.4) -- (2.4,0);
  \node[above] at (1.2,1.8) {$x+y+z=a$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. «Крышка» тела: $z=a-x-y$ (плоскость $x+y+z=a$).

2. Основание $S$ в плоскости $Oxy$ ($z=0$):
   Ограничено прямыми $3x+y=a$, $\frac{3}{2}x+y=a$ и осью $y=0$.

   • Точка пересечения наклонных прямых: $3x+y=\frac{3}{2}x+y⟹\frac{3}{2}x=0⟹x=0,y=a$
   • Пересечение с осью $y=0$: $3x=a⟹x=\frac{a}{3};\frac{3}{2}x=a⟹x=\frac{2a}{3}$ Область $S$ — треугольник с вершинами $(0,a)$, $\left(\frac{a}{3},0\right)$, $\left(\frac{2a}{3},0\right)$.

3. Расстановка пределов интегрирования:
   Удобнее интегрировать сначала по $x$ (от левой прямой до правой), затем по $y\in [0,a]$:

   • Левая граница: $3x+y=a⟹x=\frac{a-y}{3}$;
   • Правая граница: $\frac{3}{2}x+y=a⟹x=\frac{2(a-y)}{3}$.

4. Вычисление: $V={\iint }_S(a-x-y)dxdy={\int }_0^{a}dy{\int }_{\frac{a-y}{3}}^{\frac{2(a-y)}{3}}(a-x-y)dx$ Сделаем замену под интегралом $u=(a-y)-x⟹du=-dx$: ${\int }_{\frac{a-y}{3}}^{\frac{2(a-y)}{3}}((a-y)-x)dx={-\frac{((a-y)-x{)}^2}{2}|}_{x=\frac{a-y}{3}}^{x=\frac{2(a-y)}{3}}$ $=-\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{a-y}{3}\right)}^2-{\left(\frac{2(a-y)}{3}\right)}^2\right]=-\frac{1}{2}\left(\frac{(a-y{)}^2}{9}-\frac{4(a-y{)}^2}{9}\right)=\frac{3(a-y{)}^2}{18}=\frac{(a-y{)}^2}{6}$

   Внешний интеграл: $V={\int }_0^a\frac{(a-y{)}^2}{6}dy={-\frac{(a-y{)}^3}{18}|}_0^a=0-\left(-\frac{a^3}{18}\right)=\frac{a^3}{18}$

---

Задача 3 (Демидович, № 2203)

Демидович, № 2203

Найти объём, заключённый между цилиндром $x^2+y^2=a^2$ и двуполостным гиперболоидом $x^2+y^2-z^2=-a^2$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth]
  \draw[->] (0,0) -- (3.2,0) node[right] {$y$};
  \draw[->] (0,-2.6) -- (0,2.8) node[above] {$z$};
  \draw[->] (0,0) -- (-1.6,-1.6) node[below left] {$x$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Цилиндр x^2 + y^2 = a^2
  \draw[thick, green!60!black] (-1.2,-2.2) -- (-1.2,2.2);
  \draw[thick, green!60!black] (1.2,-2.2) -- (1.2,2.2);
  \draw[thick, dashed, green!60!black] (0,0) ellipse [x radius=1.2, y radius=0.4];
 
  % Верхняя гиперболическая крыша
  \draw[thick, red] (-1.2,1.7) to[out=-40, in=220] (1.2,1.7);
  \fill (0,1.2) circle [radius=1pt] node[right] {$a$};
  \node[right, red] at (1.2,1.9) {\scriptsize $z = \sqrt{x^2+y^2+a^2}$};
 
  % Нижний гиперболический подпол
  \draw[thick, red] (-1.2,-1.7) to[out=40, in=-220] (1.2,-1.7);
  \fill (0,-1.2) circle [radius=1pt] node[right] {$-a$};
 
  % Объём V
  \node at (0.5,0.7) {$V$};
  \node[left, green!60!black] at (-1.2,1.0) {$x^2+y^2=a^2$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. Уравнение гиперболоида: $z^2=x^2+y^2+a^2⟹z=\pm \sqrt{x^2+y^2+a^2}$
   • Верхняя «крышка»: $z=+\sqrt{x^2+y^2+a^2}$;
   • Нижний «подпол»: $z=-\sqrt{x^2+y^2+a^2}$.
2. Симметрия относительно плоскости $Oxy$ ($z=0$):
   Объём тела равен удвоенному объёму верхней половины: $V=2{\iint }_{S}zdxdy=2{\iint }_S\sqrt{x^2+y^2+a^2}dxdy$ где область основания $S$ — круг $x^2+y^2\le a^2$.
3. Переход в полярную систему координат (ПСК):
   $x^2+y^2=r^2,dxdy=rdrd\phi ,0\le \phi \le 2\pi ,0\le r\le a$ Используем симметрию по 4 четвертям круга: $V=2\cdot 4{\int }_0^{\pi /2}d\phi {\int }_0^a\sqrt{r^2+a^2}\cdot rdr$ $=8\cdot \frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{2}{\int }_0^a(r^2+a^2{)}^{1/2}d(r^2+a^2)=2\pi {\left[\frac{2}{3}(r^2+a^2{)}^{3/2}\right]|}_0^a$ $=\frac{4\pi }{3}\left((2a^2{)}^{3/2}-(a^2{)}^{3/2}\right)=\frac{4}{3}\pi (2\sqrt{2}-1)a^3$

Методические замечания лектора

• В геометрических задачах следует активно использовать симметрию фигуры (это сокращает вычисления в разы).
• Соображения размерности: объём трёхмерного тела всегда пропорционален кубу линейного размера ($V=C\cdot a^3$). Если в ответе получилась степень, отличная от кубической, — допущена ошибка!
• Полезно вспомнить метод сечений для построения поверхностей (поиск следов в координатных плоскостях).

---

Задача 4 (Демидович, № 2216 — Задача Вивиани в двух постановках)

Демидович, № 2216

Постановка А: Вычислить площадь части поверхности сферы $x^2+y^2+z^2=a^2$, вырезанной цилиндром $x^2+y^2=ax$.
Постановка Б: Вычислить площадь части поверхности цилиндра $x^2+y^2=ax$, вырезанной сферой $x^2+y^2+z^2=a^2$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.3, >=stealth]
  \draw[->] (0,0) -- (3.2,0) node[right] {$y$};
  \draw[->] (0,0) -- (0,3.0) node[above] {$z$};
  \draw[->] (0,0) -- (-1.8,-1.8) node[below left] {$x$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Сфера
  \draw[thick] (0,0) circle [radius=2.0];
  \node[above right] at (1.4,1.4) {$x^2+y^2+z^2=a^2$};
 
  % Цилиндр Вивиани (вдоль оси z)
  \draw[thick, blue] (-0.7,-0.7) ellipse [x radius=0.6, y radius=0.3];
  \draw[thick, blue] (-1.3,-0.7) -- (-1.3,2.0);
  \draw[thick, blue] (-0.1,-0.7) -- (-0.1,2.0);
  \node[blue, right] at (-0.1,0.5) {$x^2+y^2=ax$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение пункта А (площадь поверхности сферы):

1. Уравнение сферы: $z=\pm \sqrt{a^2-(x^2+y^2)}$.
   Частные производные: $z_x^{\prime }=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},z_y^{\prime }=-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$ Элемент площади сферы: $dS=\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}dxdy=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}}dxdy=\frac{a}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy$
2. Цилиндр вырезает две симметричные «шапки» (сверху и снизу от плоскости $Oxy$): $S_n=2{\iint }_{S_1}\frac{a}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}dxdy$ где $S_1$ — основание цилиндра: $x^2+y^2\le ax⟺r\le a\cos \phi$, $\phi \in [-\pi /2,\pi /2]$.
3. Переход в ПСК с учётом симметрии по четвертям: $S_n=4{\int }_0^{\pi /2}d\phi {\int }_0^{a\cos \phi }\frac{ardr}{\sqrt{a^2-r^2}}=4a{\int }_0^{\pi /2}{\left[-\sqrt{a^2-r^2}\right]|}_0^{a\cos \phi }d\phi$ $=4a{\int }_0^{\pi /2}(a-a\sin \phi )d\phi =4a^2{(\phi +\cos \phi )|}_0^{\pi /2}=4a^2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=(2\pi -4)a^2$

---

Решение пункта Б (площадь поверхности цилиндра):

1. Ищем площадь боковой поверхности цилиндра: $x^2+y^2=ax⟹y=\pm \sqrt{ax-x^2}$
2. Линия пересечения сферы и цилиндра: $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=a^2\\ x^2+y^2=ax\end{array}⟹ax+z^2=a^2⟹x=a-\frac{z^2}{a}$ В проекции на плоскость $Oxz$ граница представляет собой параболу $z=\pm \sqrt{a(a-x)}$.
3. Дифференциал площади поверхности цилиндра (проекция на плоскость $Oxz$): $y_x^{\prime }=\frac{a-2x}{2\sqrt{ax-x^2}},y_z^{\prime }=0$ $dS=\sqrt{1+(y_x^{\prime }{)}^2+(y_z^{\prime }{)}^2}dxdz=\sqrt{1+\frac{(a-2x{)}^2}{4(ax-x^2)}}dxdz=\frac{a}{2\sqrt{ax-x^2}}dxdz$
4. Учитывая переднюю и заднюю половины цилиндра ($y>0$ и $y<0$), а также симметрию по $z$: $S_n=2\cdot 2{\int }_0^{a}dx{\int }_0^{\sqrt{a(a-x)}}\frac{a}{2\sqrt{ax-x^2}}dz=2a{\int }_0^a\frac{\sqrt{a(a-x)}}{\sqrt{x(a-x)}}dx$ $=2a\sqrt{a}{\int }_0^a\frac{dx}{\sqrt{x}}={2a\sqrt{a}\cdot (2\sqrt{x})|}_0^a=4a^2$

Сравнение постановок:

• Площадь сферы внутри цилиндра: $S_{\text{сферы}}=(2\pi -4)a^2\approx 2,28a^2$;
• Площадь цилиндра внутри сферы: $S_{\text{цилиндра}}=4a^2$.
  Разный выбор проецирующей плоскости диктуется формой поверхности!

---

Задача 5 (Демидович, № 2205 — тело «Корона»)

Демидович, № 2205

Найти объём тела, ограниченного плоскостью $z=0$, параболоидом $2az=x^2+y^2$ и однополостным гиперболоидом $x^2+y^2-z^2=a^2$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth]
  \draw[->] (0,0) -- (3.2,0) node[right] {$y$};
  \draw[->] (0,-0.3) -- (0,3.2) node[above] {$z$};
  \draw[->] (0,0) -- (-1.6,-1.6) node[below left] {$x$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Параболоид z = (x^2+y^2)/(2a)
  \draw[thick, blue, domain=-1.7:1.7, samples=40] plot ({\x}, {0.5*\x*\x});
  \node[blue, right] at (1.7,1.5) {$2az = x^2+y^2$};
 
  % Однополостный гиперболоид x^2+y^2 - z^2 = a^2 => z = sqrt(r^2 - a^2)
  \draw[thick, red, domain=1.0:1.7, samples=30] plot ({\x}, {sqrt(\x*\x - 1)});
  \draw[thick, red, domain=-1.7:-1.0, samples=30] plot ({\x}, {sqrt(\x*\x - 1)});
  \node[red, right] at (1.0,0.2) {$x^2+y^2-z^2=a^2$};
 
  % Точка касания z = a, r = a*sqrt(2)
  \draw[dashed] (-1.414,1) -- (1.414,1);
  \fill (1.414,1) circle [radius=1.2pt] node[above right] {\scriptsize $z=a$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. Линия пересечения поверхностей: $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=2az\\ x^2+y^2-z^2=a^2\end{array}⟹2az-z^2=a^2⟹z^2-2az+a^2=0⟹(z-a{)}^2=0⟹z=a$ Поверхности касаются по окружности $x^2+y^2=2a^2$ ($r=a\sqrt{2}$) на высоте $z=a$.
2. Разбиение объёма на две части:
   • $V_1$: центральная часть (под параболоидом над кругом радиуса $a$): $V_1={\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^a\frac{r^2}{2a}rdr=2\pi {\frac{r^4}{8a}|}_0^a=\frac{\pi a^3}{4}$
   • $V_2$: внешняя «корона» (в кольце $a\le r\le a\sqrt{2}$ между параболоидом и гиперболоидом): $V_2=2\pi {\int }_a^{a\sqrt{2}}\left(\frac{r^2}{2a}-\sqrt{r^2-a^2}\right)rdr=2\pi {\left[\frac{r^4}{8a}-\frac{1}{3}(r^2-a^2{)}^{3/2}\right]|}_a^{a\sqrt{2}}$ $=2\pi \left(\frac{4a^4-a^4}{8a}-\frac{a^3}{3}\right)=2\pi a^3\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{3}\right)=2\pi a^3\cdot \frac{1}{24}=\frac{\pi a^3}{12}$
3. Общий объём тела: $V=V_1+V_2=\frac{\pi a^3}{4}+\frac{\pi a^3}{12}=\frac{\pi a^3}{3}$

Изящное решение через метод сечений:

Сечение тела горизонтальной плоскостью $z=\text{const}$ представляет собой кольцо с внутренним радиусом от параболоида ($r_1^2=2az$) и внешним от гиперболоида ($r_2^2=a^2+z^2$): $S(z)=\pi (r_2^2-r_1^2)=\pi (a^2+z^2-2az)=\pi (a-z{)}^2$ Тогда объём вычисляется через элементарный одинарный интеграл: $V={\int }_0^{a}S(z)dz=\pi {\int }_0^a(a-z{)}^{2}dz={-\frac{\pi (a-z{)}^3}{3}|}_0^a=\frac{\pi a^3}{3}$

---

Задача 6 (Демидович, № 2219)

Демидович, № 2219

Вычислить площадь части поверхности цилиндра $x^2+y^2=2ax$, содержащейся между плоскостью $z=0$ и конусом $x^2+y^2=z^2$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
  % 3D
  \draw[->] (0,0) -- (3.2,0) node[right] {$y$};
  \draw[->] (0,0) -- (0,3.2) node[above] {$z$};
  \draw[->] (0,0) -- (-1.6,-1.6) node[below left] {$x$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  \draw[thick, blue] (-0.8,-0.8) ellipse [x radius=0.8, y radius=0.4];
  \draw[thick, red] (0,0) -- (2.0,2.0) node[above right] {$z = \sqrt{x^2+y^2}$};
 
  % Проекция на Oxz
  \begin{scope}[shift={(5.0,0)}]
    \draw[->] (-0.3,0) -- (3.0,0) node[below] {$x$};
    \draw[->] (0,-0.3) -- (0,3.0) node[left] {$z$};
    \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
    \draw[thick, blue, domain=0:2.0, samples=40] plot ({\x}, {sqrt(2*1.0*\x)});
    \node[blue, above] at (1.0,1.5) {$z^2 = 2ax$};
    \filldraw[fill=blue!15, opacity=0.7] (0,0) -- plot[domain=0:2.0, samples=40] ({\x}, {sqrt(2*\x)}) -- (2.0,0) -- cycle;
    \fill (2.0,0) circle [radius=1pt] node[below] {$2a$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. Поверхность — цилиндр: $y=\pm \sqrt{2ax-x^2}$.
2. Линия пересечения с конусом $z=\sqrt{x^2+y^2}$: $z^2=x^2+y^2=2ax⟹z=\sqrt{2ax}$
3. Элемент площади поверхности цилиндра (проецируем на $Oxz$): $y_x^{\prime }=\frac{a-x}{\sqrt{2ax-x^2}},y_z^{\prime }=0$ $dS=\sqrt{1+(y_x^{\prime }{)}^2+(y_z^{\prime }{)}^2}dxdz=\frac{a}{\sqrt{2ax-x^2}}dxdz$
4. С учётом симметрии по $y$ ($y>0$ и $y<0$): $S=2{\int }_0^{2a}dx{\int }_0^{\sqrt{2ax}}\frac{a}{\sqrt{2ax-x^2}}dz=2a{\int }_0^{2a}\frac{\sqrt{2ax}}{\sqrt{x(2a-x)}}dx=2a\sqrt{2a}{\int }_0^{2a}\frac{dx}{\sqrt{2a-x}}$ $={2a\sqrt{2a}\left(-2\sqrt{2a-x}\right)|}_0^{2a}=2a\sqrt{2a}\cdot 2\sqrt{2a}=8a^2$

---

II. Механические приложения двойного интеграла

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
  \draw[->] (-0.3,0) -- (4.0,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.3) -- (0,3.2) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  \filldraw[fill=gray!20, draw=black, thick] 
    plot [smooth cycle, tension=0.8] coordinates {(1.0,1.0) (3.0,0.8) (3.5,2.4) (2.0,2.8) (0.8,1.8)};
  \node at (2.4,2.2) {$S, \; \rho(x,y)$};
 
  \fill[red] (2.0,1.7) circle [radius=2pt];
  \node[red, above right] at (2.0,1.7) {$C(x_c, y_c)$};
 
  \draw[dashed, red] (2.0,0) node[below] {$x_c$} -- (2.0,1.7) -- (0,1.7) node[left] {$y_c$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Физические характеристики пластинки $S$ с плотностью $\rho (x,y)$:

1. Масса пластинки: $M={\iint }_S\rho (x,y)dxdy$

2. Координаты центра масс: $x_c=\frac{1}{M}{\iint }_{S}x\cdot \rho (x,y)dxdy,y_c=\frac{1}{M}{\iint }_{S}y\cdot \rho (x,y)dxdy$

3. Моменты инерции относительно координатных осей:

   • Относительно оси $Ox$ (квадрат расстояния до оси равен $y^2$): $I_x={\iint }_S{y}^2\rho (x,y)dxdy$
   • Относительно оси $Oy$ (квадрат расстояния до оси равен $x^2$): $I_y={\iint }_S{x}^2\rho (x,y)dxdy$
   • Полярный момент инерции (относительно начала координат $O$, расстояние $r^2=x^2+y^2$): $I_0=I_x+I_y={\iint }_S(x^2+y^2)\rho (x,y)dxdy$

---

Задача 7 (Демидович, № 2227)

Демидович, № 2227

Вычислить координаты центра тяжести однородной фигуры ($\rho \equiv 1$), ограниченной кривыми: $y=\sin x,y=\frac{2}{\pi }x\left(0\le x\le \frac{\pi }{2}\right)$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.8, >=stealth]
  \draw[->] (-0.2,0) -- (2.0,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.2) -- (0,1.4) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  % y = sin(x) от 0 до pi/2 (pi/2 approx 1.57)
  \draw[thick, blue, domain=0:1.57, samples=40] plot ({\x}, {sin(\x r)}) node[right] {$y = \sin x$};
  % y = 2x/pi
  \draw[thick, red] (0,0) -- (1.57,1.0) node[below right] {$y = \frac{2}{\pi}x$};
 
  % Заливка области
  \fill[gray!25, opacity=0.7] 
    plot[domain=0:1.57, samples=40] ({\x}, {sin(\x r)}) -- (0,0) -- cycle;
 
  \draw[dashed] (1.57,0) node[below] {$\frac{\pi}{2}$} -- (1.57,1.0) -- (0,1.0) node[left] {$1$};
  \fill (1.57,1.0) circle [radius=1pt];
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. Масса (площадь) фигуры: $M={\iint }_{S}1dxdy={\int }_0^{\pi /2}dx{\int }_{\frac{2}{\pi }x}^{\sin x}dy={\int }_0^{\pi /2}\left(\sin x-\frac{2}{\pi }x\right)dx={\left[-\cos x-\frac{x^2}{\pi }\right]|}_0^{\pi /2}$ $=\left(0-\frac{\pi }{4}\right)-(-1-0)=1-\frac{\pi }{4}=\frac{4-\pi }{4}$

2. Координата $x_c$: $M_y={\iint }_{S}xdxdy={\int }_0^{\pi /2}x\left(\sin x-\frac{2}{\pi }x\right)dx={\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx-\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi /2}{x}^{2}dx$

   • ${\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx={[-x\cos x+\sin x]|}_0^{\pi /2}=1$;
   • $\frac{2}{\pi }{\frac{x^3}{3}|}_0^{\pi /2}=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{{\pi }^3}{24}=\frac{{\pi }^2}{12}$. $M_y=1-\frac{{\pi }^2}{12}=\frac{12-{\pi }^2}{12}⟹x_c=\frac{M_y}{M}=\frac{\frac{12-{\pi }^2}{12}}{\frac{4-\pi }{4}}=\frac{12-{\pi }^2}{3(4-\pi )}$

3. Координата $y_c$: $M_x={\iint }_{S}ydxdy={\int }_0^{\pi /2}dx{\int }_{\frac{2}{\pi }x}^{\sin x}ydy=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}\left({\sin }^{2}x-\frac{4}{{\pi }^2}{x}^2\right)dx$ $=\frac{1}{2}{\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}-\frac{4x^3}{3{\pi }^2}\right]|}_0^{\pi /2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{24}⟹y_c=\frac{M_x}{M}=\frac{\frac{\pi }{24}}{\frac{4-\pi }{4}}=\frac{\pi }{6(4-\pi )}$

---

Задача 8 (Демидович, № 2237 — модельная задача)

Демидович, № 2237

Найти полярный момент инерции однородной пластинки ($\rho \equiv 1$), ограниченной кардиоидой $r=a(1+\cos \phi )$, относительно полюса.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]
  \draw[->] (-1.0,0) -- (3.2,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.0) -- (0,2.0) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  % Кардиоида r = a*(1 + cos(phi)), a = 1
  \filldraw[fill=red!15, draw=red!80!black, thick, domain=0:360, samples=100] 
    plot ({1*(1 + cos(\x))*cos(\x)}, {1*(1 + cos(\x))*sin(\x)});
 
  \fill (2.0,0) circle [radius=1.2pt] node[below right] {$2a$};
  \fill (0,1.0) circle [radius=1.2pt] node[above left] {$a$};
  \fill (0,-1.0) circle [radius=1.2pt] node[below left] {$-a$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. Полярный момент инерции: $I_0={\iint }_S{r}^2\cdot dS={\iint }_S{r}^2(rdrd\phi )={\iint }_S{r}^{3}drd\phi$
2. В силу симметрии кардиоиды относительно полярной оси: $I_0=2{\int }_0^{\pi }d\phi {\int }_0^{a(1+\cos \phi )}{r}^{3}dr=2{\int }_0^{\pi }{\frac{r^4}{4}|}_0^{a(1+\cos \phi )}d\phi =\frac{a^4}{2}{\int }_0^{\pi }(1+\cos \phi {)}^{4}d\phi$
3. Раскрываем скобки и понижаем степени: $(1+\cos \phi {)}^4=1+4\cos \phi +6{\cos }^2\phi +4{\cos }^3\phi +{\cos }^4\phi$ Интегралы от нечётных степеней косинуса на интервале $[0,\pi ]$ равны $0$: ${\int }_0^{\pi }\cos \phi d\phi =0,{\int }_0^{\pi }{\cos }^3\phi d\phi =0$ Для чётных степеней:
   • ${\int }_0^{\pi }1d\phi =\pi$;
   • ${\int }_0^{\pi }{\cos }^2\phi d\phi =\frac{\pi }{2}⟹6\cdot \frac{\pi }{2}=3\pi$;
   • ${\cos }^4\phi =\frac{3+4\cos 2\phi +\cos 4\phi }{8}⟹{\int }_0^{\pi }{\cos }^4\phi d\phi =\frac{3\pi }{8}$.
4. Итоговая сумма: ${\int }_0^{\pi }(1+\cos \phi {)}^{4}d\phi =\pi +3\pi +\frac{3\pi }{8}=\frac{35\pi }{8}$ $I_0=\frac{a^4}{2}\cdot \frac{35\pi }{8}=\frac{35}{16}\pi a^4$