Кривые второго порядка

Кривая 2-го порядка на плоскости в прямоугольной системе координат:
$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$
$A^2+B^2+C^2\ne 0$

---

Эллипс

Геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек $F_1$ и $F_2$, называемых фокусами - есть величина постоянная (равная $2a$).
$|F_{1}M|+|F_{2}M|=2a$

Рассмотрим геометрическое построение эллипса.

Фиксируем на плоскости две точки $F_1$ и $F_2$ - фокусы.
Пусть расстояние между фокусами $F_1$ и $F_2$ равно $2c$.
Возьмем нить длиной $2a$. Зафиксируем её концы в точках $F_1$ и $F_2$. Это выполняется при условии $2a>2c$, следовательно, $a>c$.
Если натянуть нить карандашом, то можно начертить линию, которая будет эллипсом.

Расстояние $2c$ между фокусами - фокальное расстояние.

• При $a=c$ получается отрезок.
• При $c=0$ получается окружность (фокусы совпадают).

Если точка $M$ принадлежит эллипсу, то отрезки $F_{1}M$ и $F_{2}M$ - фокальные радиусы.

Уравнение эллипса

Рассмотрим на плоскости эллипс с фокусами $F_1$ и $F_2$.

Начало координат совпадает с центром эллипса, фокусы лежат на оси абсцисс. Такая система координат называется канонической системой координат для рассматриваемого эллипса.

$F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$, $M(x,y)$ принадлежит эллипсу.

Фокальные радиусы равны (по формуле расстояния между точками):
$|F_{1}M|=\surd ((x+c{)}^2+y^2)$
$|F_{2}M|=\surd ((x-c{)}^2+y^2)$

Из определения эллипса следует: $|F_{1}M|+|F_{2}M|=2a$

Запишем через координаты:
$\surd ((x+c{)}^2+y^2)+\surd ((x-c{)}^2+y^2)=2a$, преобразуем,
$\surd ((x+c{)}^2+y^2)=2a-\surd ((x-c{)}^2+y^2)$ - возведем в квадрат
$(x+c{)}^2+y^2=4a^2-4a\surd ((x-c{)}^2+y^2)+(x-c{)}^2+y^2$
$4xc=4a^2-4a\surd ((x-c{)}^2+y^2)$
$a\surd ((x-c{)}^2+y^2)=a^2-xc$
$a^2((x-c{)}^2+y^2)=(a^2-xc{)}^2$
$a^2(x^2-2xc+c^2+y^2)=a^4-2a^{2}xc+x^2{c}^2$
$a^2{x}^2-2a^{2}xc+a^2{c}^2+a^2{y}^2=a^4-2a^{2}xc+x^2{c}^2$
$x^2(a^2-c^2)+a^2{y}^2=a^2(a^2-c^2)$

Так как $a>c$, то $a^2-c^2>0$. Обозначим $a^2-c^2=b^2$.

$x^2{b}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2$

Разделим всё на $a^2{b}^2$:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ - каноническое уравнение эллипса

$x^2\le a^2$ ⇒ $-a\le x\le a$
$y^2\le b^2$ ⇒ $-b\le y\le b$

Эллипс симметричен относительно осей $Ox$, $Oy$ и начала координат.
Точки $A_1(-a,0)$, $A_2(a,0)$, $B_1(0,b)$, $B_2(0,-b)$ - вершины эллипса.
Число $a$ - большая полуось.
$b=\surd (a^2-c^2)$ - малая полуось.
Если $a=b$, то это окружность.

Эксцентриситет эллипса

Отношение фокального расстояния ($2c$) эллипса к его большой оси ($2a$) называют эксцентриситетом эллипса и обозначают $\epsilon$.

$\epsilon =\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

Так как $c<a$, то $\epsilon <1$. При $c=0$, $\epsilon =0$ (окружность).
Следовательно, для эллипса $0\le \epsilon <1$.

Фокальные радиусы можно записать:
$|F_{1}M|=a+\frac{c}{a}x=a+\epsilon x$
$|F_{2}M|=a-\frac{c}{a}x=a-\epsilon x$

Директрисы эллипса

Отношение расстояния от точки $M$ эллипса до фокуса к расстоянию от точки $M$ до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса $\epsilon$.

Уравнения директрис:
$d:x=\frac{a}{\epsilon }$ и $x=-\frac{a}{\epsilon }$

$\frac{|F_{2}M|}{|MN|}=\epsilon$

Директриса эллипса перпендикулярна той оси, на которой расположены фокусы, и отстоит от центра эллипса на расстоянии $d=\frac{a}{\epsilon }=\frac{a^2}{c}$.

Оптическое свойство эллипса

Если в один из фокусов поместить источник света, то все лучи после отражения от эллипса пройдут через второй фокус.

---

Гипербола

Геометрическое место точек (ГМТ) плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек $F_1$ и $F_2$ есть величина постоянная (равная $2a$).

$||F_{1}M|-|F_{2}M||=2a$

Расстояние между фокусами $|F_1{F}_2|=2c$ — фокальное расстояние.
$F_{1}M$ и $F_{2}M$ — фокальные радиусы.
Заметим, что $2c>2a$, так как длина стороны треугольника всегда больше разности длин его сторон, следовательно $c>a$.

Уравнение гиперболы

Рассмотрим на плоскости гиперболу с фокусами $F_1$ и $F_2$ в прямоугольной системе координат. Фокусы лежат на оси абсцисс. Центр гиперболы в начале координат. Такая система координат называется канонической.

$F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$, $M(x,y)$ принадлежит гиперболе.

Вывод уравнения аналогичен выводу для эллипса, но исходит из определения разности расстояний. В результате преобразований, и обозначив $c^2-a^2=b^2$ (так как $c>a$), получаем:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ - каноническое уравнение гиперболы

Из уравнения следует, что $|x|\ge a$, то есть внутри полосы от $-a$ до $a$ точек гиперболы нет.
Гипербола симметрична относительно осей $Ox$, $Oy$ и начала координат.

Ось, проходящая через фокусы - действительная ось.
Перпендикулярная ей ось - мнимая ось.

Точки $A_1(-a,0)$, $A_2(a,0)$ - вершины гиперболы.
$a$ - действительная полуось.
$b$ - мнимая полуось.

Асимптоты гиперболы

Прямые $y=\frac{b}{a}x$ и $y=-\frac{b}{a}x$ - асимптоты гиперболы. Это прямые, к которым ветви гиперболы бесконечно приближаются, но никогда их не пересекают.

Построение гиперболы

Построение гиперболы начинается с прямоугольника с центром в начале координат и стороной $2a$, параллельной действительной оси, и стороной $2b$, параллельной мнимой оси.
Асимптоты - это продолжения диагоналей этого прямоугольника. Вершины гиперболы - точки пересечения сторон прямоугольника с действительной осью.

Эксцентриситет гиперболы

Отношение фокального расстояния к действительной оси: $\epsilon =\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}$.
Так как $c>a$, то для гиперболы $\epsilon >1$.

Директрисы гиперболы задаются уравнениями $x=\pm \frac{a}{\epsilon }$.
Игнорировать $d$ на графике

Оптическое свойство гиперболы

Если в один из фокусов гиперболы поместить источник света, то после отражения от гиперболы луч будет распространяться так, как будто он был выпущен из другого фокуса.

Виды гиперболы:

Сопряженная гипербола

Уравнение такой гиперболы:
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ — каноническое уравнение сопряженной гиперболы.

Если $a=b$, то есть угол между асимптотами равен $\frac{\pi }{2}$, такая гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Уравнение: при $a=b$ ⇒ $x^2-y^2=a^2$;
Уравнение асимптот: $y=\pm x$

Рассмотрим следующую гиперболу:
Пусть каноническая система координат $OX{Y}^{\prime }$ повернута на угол $\phi =\frac{\pi }{4}$ относительно системы координат $OXY$.

Запишем координаты базиса $i^{\prime },j^{\prime }$ через базис $i,j$**: **

• $i^{\prime }=\frac{\sqrt{2}}{2}i+\frac{\sqrt{2}}{2}j$
• $j^{\prime }=-\frac{\sqrt{2}}{2}i+\frac{\sqrt{2}}{2}j$

Отсюда получаем формулы для координат:

• $x^{\prime }=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y$
• $y^{\prime }=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y$

Тогда уравнение равносторонней гиперболы в канонической системе координат $OX{Y}^{\prime }$:
$x^2-y^2=a^2$

Подставляем координаты в это уравнение:
$\frac{1}{2}(x+y{)}^2-\frac{1}{2}(y-x{)}^2=a^2$
$\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2-y^2+2xy-x^2)=a^2$
$2xy=a^2$
$xy=\frac{1}{2}{a}^2$ — уравнение гиперболы в асимптотах.

Уравнение вида: $xy=-\frac{a^2}{2}$ — сопряженное уравнение для равносторонней гиперболы.

---

Парабола

Геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса) и фиксируемой прямой (директрисы).

Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается $p$.

Начало координат — в вершине параболы, ось абсцисс — ось параболы, положительное направление — направление фокуса. Такая система координат — каноническая.

• Координаты фокуса: $F(\frac{p}{2},0)$
• Уравнение директрисы: $d:x=-\frac{p}{2}$
• Координаты точки $N$ на директрисе: $N(-\frac{p}{2},y)$

Из определения: геометрическое место точек $M(x,y)$ равноудаленных от фокуса $F$ и прямой $d$:
$|FM|=|NM|$
$\sqrt{(x-\frac{p}{2}{)}^2+y^2}=\sqrt{(x+\frac{p}{2}{)}^2}$

Возводим в квадрат:
$(x-\frac{p}{2}{)}^2+y^2=(x+\frac{p}{2}{)}^2$
$x^2-xp+\frac{p^2}{4}+y^2=x^2+xp+\frac{p^2}{4}$
$y^2=2px$ — каноническое уравнение параболы.

Оптическое свойство параболы

Если источник света поместить в фокус, то все лучи после отражения от параболы будут параллельны её оси.