РК1

1. Доказать, что в прямоугольной системе координат на плоскости любое уравнение первой степени задает прямую.

Любое уравнение первой степени в прямоугольной системе координат на плоскости($=>$ только 2 переменные) обязательно будет иметь вид $Ax+By+C=0$, причём хотя бы один из коэффициентов A или B будет ненулевым $=>$

$$\{\begin{array}{l}Ax+By+C=0\\ A^2+B^2\ne 0\end{array}=[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}Ax+By+C=0\\ A\ne 0\\ B=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}Ax+By+C=0\\ B\ne 0\\ A=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}Ax+By+C=0\\ A\ne 0\\ B\ne 0\end{array}\end{array}=[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}Ax=-(0\cdot y)-C\\ A\ne 0\\ B=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}By=-(0\cdot x)-C\\ B\ne 0\\ A=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}By=-Ax-C\\ A\ne 0\\ B\ne 0\end{array}\end{array}=$$ $$=[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=-\frac{C}{A}\\ A\ne 0\\ B=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}y=-\frac{C}{B}\\ B\ne 0\\ A=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}y=-\frac{Ax}{B}-\frac{C}{B}\\ A\ne 0\\ B\ne 0\end{array}\end{array}=[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x={с}_1\\ A\ne 0\\ B=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}y={с}_2\\ B\ne 0\\ A=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}y=kx+c_2\\ A\ne 0\\ B\ne 0\end{array}\end{array}$$

Системы:

1. Прямая, параллельная OX.
2. Прямая, параллельная OY.
3. Прямая с угловым коэффициентом.

Ч.Т.Д

2. Общее уравнение прямой на плоскости и его частные случаи.

Общее уравнение прямой на плоскости:

$$\{\begin{array}{l}Ax+By+C=0\\ A^2+B^2\ne 0\end{array}$$

Частные случаи:

1. $A\ne 0,B\ne 0,C\ne 0$

$$Ax+By+C=0=>By=-Ax-C=>y=-\frac{Ax}{B}-\frac{C}{B}=>y=kx+b_1$$

Прямая, пересекающая обе оси не в начале координат.
2. $A\ne 0,B\ne 0,C=0$

$$Ax+By=0=>By=-Ax=>y=-\frac{Ax}{B}=>y=kx$$

Прямая, пересекающая обе оси в начале координат.
3. $A=0,B\ne 0,C\ne 0$

$$0+By+C=0=>By=-C=>y=-\frac{C}{B}=>y=b_1$$

Прямая, параллельная OX и не совпадающая с ней.
4. $A\ne 0,B=0,C\ne 0$

$$Ax+0+C=0=>Ax=-C=>x=-\frac{C}{A}=>x=b_2$$

Прямая, параллельная OY и не совпадающая с ней.
5. $A=0,B\ne 0,C=0$

$$0+By+0=0=>y=0$$

Прямая, совпадающая с OX.
6. $A\ne 0,B=0,C=0$

$$Ax+0+0=0=>x=0$$

Прямая, совпадающая с OY.

3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Вывести формулу для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Прямые в пространстве относительно друг друга могут быть:

• Пересекающимися Когда имеют ровно одну общую точку. Такие прямые лежат в одной и только одной плоскости.

$$\begin{array}{c}a\cap b=c:c\in a,c\in b\\ \exists P:a\in P,b\in P\end{array}$$

• Параллельными
  Когда прямые не пересекаются, но при этом лежат в одной плоскости.

$$\begin{array}{c}a||b,\exists P:a\in P,b\in P\end{array}$$

• Скрещивающимися
  Когда прямые и не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

$$a/\Vert b,\nexists P:a\in P,b\in P$$

• Совпадающими
  Когда прямые имеют бесконечно много общих точек. Всегда лежат в одной плоскости, при том таких плоскостей, содержащих эти прямые, может быть бесконечное количество.

$$a=b$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Если прямые скрещивающиеся, то на них можно построить параллелепипед. Тогда расстояние между прямыми — высота этого параллелепипед:

$$\rho (a,b)=h=\frac{V}{S_{осн}}=\frac{|(\overrightarrow{M_1{M}_2},[\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2}])|}{|[\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2}]|}=\frac{\left|\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ e_1& m_1& n_1\\ e_2& m_2& n_2\end{array}\right|\right|}{|[\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2}]|}$$

где:

• $\overrightarrow{p_1}=(e_1,m_1,n_1)$ и $\overrightarrow{p_2}=(e_2,m_2,n_2)$ — направляющие векторы прямых $a$ и $b$.
• $\overrightarrow{M_1{M}_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ — вектор, соединяющий точку $M_1$ на первой прямой с точкой $M_2$ на второй.

$$[\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2}]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ e_1& m_1& n_1\\ e_2& m_2& n_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{m}_1& n_1\\ m_2& n_2\end{array}\right|\vec{i}-\left|\begin{array}{cc}{e}_1& n_1\\ e_2& n_2\end{array}\right|\vec{j}+\left|\begin{array}{cc}{e}_1& m_1\\ e_2& m_2\end{array}\right|\vec{k}$$ $$|[\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2}]|=\sqrt{{\left(\left|\begin{array}{cc}{m}_1& n_1\\ m_2& n_2\end{array}\right|\right)}^2+{\left(\left|\begin{array}{cc}{e}_1& n_1\\ e_2& n_2\end{array}\right|\right)}^2+{\left(\left|\begin{array}{cc}{e}_1& m_1\\ e_2& m_2\end{array}\right|\right)}^2}$$

4. Вывести нормальное уравнение плоскости, сформулировать геометрический смысл входящих в уравнение параметров.

Положение плоскости в пространстве будет вполне определенно, если зададим ее расстояние p от начала координат О и единичный вектор ${\vec{n}}^0$, перпендикулярный плоскости и направленный от начала координат к плоскости.

$П{р}_{{\vec{n}}^0}\overrightarrow{OM}=p=r{\vec{n}}^0=OA$
Это условие имеет место лишь для точек плоскости и нарушается, если точка M лежит вне плоскости. Таким образом, равенство выражает свойство, общее всем точкам плоскости и только им.
$П{р}_{{\vec{n}}^0}\vec{b}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{b}|}=>=r{\vec{n}}^0-p=0$
${\vec{n}}^0=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )\overrightarrow{OM}=\vec{r}=(x,y,z)$
$=>x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0$

Геометрический смысл параметров

$$\begin{array}{c}\begin{array}{l}\text{α - угол между вектором n0 и осью Ox}\\ \text{β - угол между вектором n0 и осью Oy}\\ \text{γ - угол между вектором n0 и осью Oz}\end{array}\}-\begin{array}{c}\text{Косинусы этих углов также}\\ \text{являются координатам}\\ \text{единичного вектора нормали}\end{array}\\ -p\text{ - расстояние от начала координат до плоскости, причём −p≥0}\end{array}$$

5. Преобразование общего уравнения плоскости к нормальному.

Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz+D=0$
В нём $\vec{n}=(A,B,C)$ - вектор нормали к плоскости.
$=>$ чтобы привести уравнение общего вида к виду нормального уравнения необходимо умножить все члены на нормирующий множитель $\lambda =\pm \frac{1}{|\vec{n}|}:$
$\lambda Ax+\lambda By+\lambda Cz+\lambda D=0$ $=>$

---

Необязательная часть, полезная для понимания.

$\vec{i}=(1,0,0)$
$\vec{j}=(0,1,0)$
$\vec{k}=(0,0,1)$

Нормальное уравнение плоскости - уравнение плоскости общего вида, вектор нормали которого единичный $=>$ найдём единичный вектор:

$${\vec{n}}^0=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{(A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}})=$$ $$=(\frac{A}{|\vec{n}|},\frac{B}{|\vec{n}|},\frac{C}{|\vec{n}|})=>{\vec{n}}^0\cdot \vec{i}={\vec{n}}^0\cdot (1,0,0)=\frac{A}{|\vec{n}|}$$ $${\vec{n}}^0\cdot \vec{i}=|\vec{n}||\vec{i}|\cos ({\vec{n}}^{\wedge }\vec{i})=>\cos ({\vec{n}}^{\wedge }Ox)=\frac{{\vec{n}}^0\cdot \vec{i}}{|\vec{n}||\vec{i}|}=>\cos \alpha ={\vec{n}}^0\cdot \vec{i}=\frac{A}{|\vec{n}|}$$

---

$=>\pm \frac{Ax}{|\vec{n}|}\pm \frac{By}{|\vec{n}|}\pm \frac{Cz}{|\vec{n}|}\pm \frac{D}{|\vec{n}|}=0$
Причём $\pm \frac{D}{|\vec{b}|}=-p:\lambda \cdot D\le 0$
Нормальное уравнение плоскости: $x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0$

6. Записать формулу нахождения расстояния от точки до плоскости.

$$M_0(x_0,y_0,z_0)P:Ax+By+Cz+D=0=>\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{|\sqrt{A^2+B^2+C^2}|}$$

7. Вывести векторное, канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.

Чтобы однозначно задать прямую $p$ в пространстве, необходимо:

1. Точка $M_0(x_0,y_0,z_0):M_0\in p$, радиус вектор которой - $r_0$.
2. Направление прямой, совпадающее с ненулевым вектором $\vec{s}(a,b,c):\vec{s}||p$.

Векторное уравнение

Это самый фундаментальный вид уравнения, из которого следуют остальные.

1. Возьмем на прямой произвольную точку $M(x,y,z)$. Её радиус-вектор — $\vec{r}$.
2. Рассмотрим вектор $\overrightarrow{M_{0}M}$, соединяющий точку $M_0$ и произвольную точку $M$

$$\begin{array}{l}{M}_0\in p\\ M\in p\end{array}\}=>\overrightarrow{M_{0}M}||p=>M_{0}M=\vec{s}\cdot t$$

Где $t$ - некоторое число.

3. Вектор $\overrightarrow{M_{0}M}$ можно выразить через радиус-векторы его конца и начала: $\overrightarrow{M_{0}M}=\vec{r}-\overrightarrow{r_0}=>\vec{r}-\overrightarrow{r_0}=t\cdot \vec{s}=>\vec{r}=\overrightarrow{r_0}+t\cdot \vec{s}$

Параметрическое уравнений

Параметрические уравнения — координатная запись векторного уравнения.

$$\begin{array}{l}\vec{r}=\overrightarrow{r_0}+t\cdot \vec{s}\\ \vec{r}=(x,y,z)\\ \overrightarrow{r_0}=(x_0,y_0,z_0)\\ \vec{s}=(s_x,s_y,s_z)\end{array}\}=>(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(s_x,s_y,s_z)=>$$ $$=>(x,y,z)=(x_0+t\cdot s_x,y_0+t\cdot s_y,z_0+t\cdot s_z)=>\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cdot s_x\\ y=y_0+t\cdot s_y\\ z=z_0+t\cdot s_z\end{array}$$

Каноническое уравнение

Канонические уравнения получаются из параметрических путем исключения параметра t.

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cdot s_x;\\ y=y_0+t\cdot s_y;\\ z=z_0+t\cdot s_z;\end{array}\begin{array}{c}{s}_x\ne 0\\ s_y\ne 0\\ s_z\ne 0\end{array}=>\{\begin{array}{l}t=\frac{x-x_0}{a_x}\\ t=\frac{y-y_0}{a_y}\\ t=\frac{z-z_0}{a_z}\end{array}=>$$ $$=>\frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y}=\frac{z-z_0}{a_z}$$

Сводная таблица

Тип уравнения	Формула	Что используется
Векторное	$\vec{r}=\overrightarrow{r_0}+t\cdot \vec{a}$	Радиус-векторы и направляющий вектор.
Параметрические	$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cdot a_x\\ y=y_0+t\cdot a_y\\ z=z_0+t\cdot a_z\end{array}$	Координаты точки, направляющего вектора и параметр.
Канонические	$\frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y}=\frac{z-z_0}{a_z}$	Координаты точки и направляющего вектора.

8. Общие уравнения прямой в пространстве.

Общими уравнениями прямой в пространстве называется система из двух линейных уравнений, каждое из которых задает плоскость, пересекающуюся с другой:

$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$

9. Определение угла между прямой и плоскость.

Углом между прямой и плоскостью (если прямая не перпендикулярна плоскости) называется острый угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

$$\begin{array}{l}\exists P-\text{Плоскость}\\ \exists L:/\Vert P-\text{Прямая}\end{array}\}=>(P^{\wedge }L)=(L^{\wedge }П{р}_{P}L)=\phi :0\le \phi \le \frac{\pi }{2}$$

10. Вывести формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью.

$$\begin{array}{c}P:Ax+By+Cz+D=0=>\vec{n}(A,B,C)-\text{Вектор нормали к плоскости P}\\ \vec{a}(x_a,y_a,x_a)-\text{Направляющий вектор прямой L, пересекающей плоскость P}\end{array}$$ $$\begin{array}{l}\cos (p_1^{\wedge }{p}_2)=\frac{({\vec{p}}_1,{\vec{p}}_2)}{|{\vec{p}}_1||{\vec{p}}_2|}\\ \vec{n}\perp P\end{array}\}=>|\cos ({\vec{a}}^{\wedge }\vec{n})=|\sin (L^{\wedge }P)=>(L^{\wedge }P)=\arcsin (\frac{(\vec{a},\vec{n})}{|\vec{a}||\vec{n}|})=$$ $$=(L^{\wedge }P)=\arcsin (\frac{A{x}_a+B{y}_a+C{z}_a}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}})$$

11. Сформулировать условия параллельности и ортогональности прямой и плоскости.

$$\begin{array}{c}P:Ax+By+Cz+D=0=>\vec{n}=(A,B,C)\\ \vec{a}=(a_x,a_y,a_z)\end{array}$$

Условие параллельности прямой и плоскости

Если прямая параллельна плоскости, то её направляющий вектор $\vec{a}$ должен быть ортогонален вектору нормали $\vec{n}$.

$$\begin{array}{c}\vec{a}\perp \vec{n}⟺\vec{a}\cdot \vec{n}=0=>A\cdot a_x+B\cdot a_y+C\cdot a_z=0\\ \text{Если }A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0=>L\in P\end{array}$$

Условие ортогональности прямой и плоскости

Если прямая ортогональна плоскости, то её направляющий вектор $\vec{a}$ должен быть параллелен вектору нормали $\vec{n}$.

$$\vec{a}\parallel \vec{n}⟺\frac{a_x}{A}=\frac{a_y}{B}=\frac{a_z}{C}$$

12. Определение скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение векторов - число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

$$(\vec{a},\vec{b})=\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cdot \cos ({\vec{a}}^{\wedge }\vec{b})$$

13. Сформулировать свойства скалярного произведения векторов.

1. Коммутативность: $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$
2. Дистрибутивность: $\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$
3. Ассоциативность по отношению к скалярному множителю: $(k\vec{a})\cdot \vec{b}=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$
4. Скалярный квадрат: $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$
5. Условие ортогональности: $\vec{a}\perp \vec{b}⟹\vec{a}\cdot \vec{b}=0$

14. Вывести формулу вычисления скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}\\ \vec{b}=(b_x,b_y,b_z)=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k}\end{array}=>\\ \\ =>\vec{a}\cdot \vec{b}=(a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k})\cdot (b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k})=\\ \\ \begin{array}{rl}=& (a_x\vec{i}\cdot b_x\vec{i})+(a_x\vec{i}\cdot b_y\vec{j})+(a_x\vec{i}\cdot b_z\vec{k})+\\ & (a_y\vec{j}\cdot b_x\vec{i})+(a_y\vec{j}\cdot b_y\vec{j})+(a_y\vec{j}\cdot b_z\vec{k})+\\ & (a_z\vec{k}\cdot b_x\vec{i})+(a_z\vec{k}\cdot b_y\vec{j})+(a_z\vec{k}\cdot b_z\vec{k})=\end{array}\\ \\ \begin{array}{rl}=& a_x{b}_x(\vec{i}\cdot \vec{i})+a_x{b}_y(\vec{i}\cdot \vec{j})+a_x{b}_z(\vec{i}\cdot \vec{k})+\\ & a_y{b}_x(\vec{j}\cdot \vec{i})+a_y{b}_y(\vec{j}\cdot \vec{j})+a_y{b}_z(\vec{j}\cdot \vec{k})+\\ & a_z{b}_x(\vec{k}\cdot \vec{i})+a_z{b}_y(\vec{k}\cdot \vec{j})+a_z{b}_z(\vec{k}\cdot \vec{k})=\end{array}\\ \\ \begin{array}{rl}=& a_x{b}_x(1)+a_x{b}_y(0)+a_x{b}_z(0)+\\ & a_y{b}_x(0)+a_y{b}_y(1)+a_y{b}_z(0)+\\ & a_z{b}_x(0)+a_z{b}_y(0)+a_z{b}_z(1)=\\ & \\ & =a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z\end{array}\end{array}$$

15. Определение ортонормированного базиса.

Ортонормированный базис - набор взаимно перпендикулярных единичных векторов.

$$\begin{array}{c}|\vec{i}|=|\vec{j}|=|\vec{k}|=1\\ \vec{i}\perp \vec{j};\vec{j}\perp \vec{k};\vec{i}\perp \vec{k}\end{array}$$

16. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на направления векторов этого базиса.

Вектор $\vec{a}$ в ортонормированном базисе $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ имеет координаты $(a_x,a_y,a_z)=>$

$$\{\begin{array}{l}{a}_x={\text{Пр}}_{\vec{i}}(\vec{a})\\ a_y={\text{Пр}}_{\vec{j}}(\vec{a})\\ a_z={\text{Пр}}_{\vec{k}}(\vec{a})\end{array}$$

17. Вывести формулы вычисления направляющих косинусов вектора, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе.

Угол $\phi$ между двумя векторами в ортонормированном базисе $\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$ и $\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)$:

$$\begin{array}{c}\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \phi \\ \cos \phi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\\ \phi =\arccos (\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|})=\arccos (\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}})\end{array}$$

Направляющий косинус вектора - косинус угла между вектором и конкретной осью. В ортонормированном базисе оси:
$OX=\vec{i}=(1,0,0)$
$OY=\vec{j}=(0,1,0)$
$OZ=\vec{k}=(0,0,1)$
Направляющие векторы на оси:

$$\begin{array}{c}OX:\phi =\arccos (\frac{\vec{a}\cdot \vec{i}}{|\vec{a}||\vec{i}|})=\arccos (\frac{a_x\cdot 1+a_y\cdot 0+a_z\cdot 0}{|\vec{a}|\cdot 1})=\arccos (\frac{a_x}{|\vec{a}|})\\ OY:\phi =\arccos (\frac{\vec{a}\cdot \vec{j}}{|\vec{a}||\vec{j}|})=\arccos (\frac{a_x\cdot 0+a_y\cdot 1+a_z\cdot 0}{|\vec{a}|\cdot 1})=\arccos (\frac{a_y}{|\vec{a}|})\\ OZ:\phi =\arccos (\frac{\vec{a}\cdot \vec{k}}{|\vec{a}||\vec{k}|})=\arccos (\frac{a_x\cdot 0+a_y\cdot 0+a_z\cdot 1}{|\vec{a}|\cdot 1})=\arccos (\frac{a_z}{|\vec{a}|})\end{array}$$

18. Правые и левые тройки векторов.

Упорядоченная тройка векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in V_3$ называется правой либо левой, если при рассмотрении векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с конца вектора $\vec{c}$ вектор $\vec{a}$ находится справа либо слева от вектора $\vec{b}$ соответственно, то есть переход от вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ по кратчайшему направлению осуществляется по либо против часовой стрелки соответственно.

19. Определение векторного произведения векторов.

Векторным произведением вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}$:

1. $[\vec{a},\vec{b}]=\vec{c}$
2. $\vec{c}\perp \vec{a},\vec{c}\perp \vec{b}$
3. $|\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin ({\vec{a}}^{\wedge }\vec{b})$
4. Упорядоченная тройка $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ - правая.

20. Сформулировать свойства векторного произведения векторов.

1. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: $|[\vec{a},\vec{b}]|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin ({\vec{a}}^{\wedge }\vec{b})$
2. Антикоммутативность: $[\vec{a},\vec{b}]=-[\vec{b},\vec{a}]$
3. Ассоциативность по отношению к векторному множителю: $[\lambda \vec{a},\phi \vec{b}]=\lambda \phi [\vec{a},\vec{b}]$
4. Дистрибутивность: $[\vec{a}+\vec{b},\vec{c}]=[\vec{a},\vec{c}]+[\vec{b},\vec{c}]$
5. $[\vec{a},\vec{a}]=0$

21. Вывести формулу вычисления векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

Пусть:

$$\begin{array}{c}\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}\\ \vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k}\end{array}$$

Тогда:

$$\begin{array}{c}[\vec{a},\vec{b}]=[a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k},b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k}]=\\ \begin{array}{rl}& \\ =& a_x{b}_x[\vec{i},\vec{i}]+a_x{b}_y[\vec{i},\vec{j}]+a_x{b}_z[\vec{i},\vec{k}]+\\ & a_y{b}_x[\vec{j},\vec{i}]+a_y{b}_y[\vec{j},\vec{j}]+a_y{b}_z[\vec{j},\vec{k}]+\\ & a_z{b}_x[\vec{k},\vec{i}]+a_z{b}_y[\vec{k},\vec{j}]+a_z{b}_z[\vec{k},\vec{k}]=\\ & \\ =& a_x{b}_x\cdot 0+a_x{b}_y\cdot \vec{k}+a_x{b}_z\cdot (-\vec{j})+\\ & a_y{b}_x\cdot (-\vec{k})+a_y{b}_y\cdot 0+a_y{b}_z\cdot \vec{i}+\\ & a_z{b}_x\cdot j+a_z{b}_y\cdot (-\vec{i})+a_z{b}_z\cdot 0=\end{array}\\ \\ =(a_y{b}_z-a_z{b}_y)\vec{i}+(a_z{b}_x-a_x{b}_z)\vec{j}+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)\vec{k}=\\ \\ =\left|\begin{array}{cc}{a}_y& a_z\\ b_y& b_z\end{array}\right|\vec{i}-\left|\begin{array}{cc}{a}_x& a_z\\ b_x& b_z\end{array}\right|\vec{j}+\left|\begin{array}{cc}{a}_x& a_y\\ b_x& b_y\end{array}\right|\vec{k}\\ \\ =\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|\end{array}$$

22. Определение смешанного произведения векторов.

Под смешанным произведением векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ подразумевается число $\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}=(\vec{a},[\vec{b},\vec{c}])$

23. Сформулировать свойства смешанного произведения векторов.

1. Циклическая перестановка векторов не меняет его величины. Противоположно для противного:

$$\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}=\{\vec{c},\vec{a},\vec{b}\}=\{\vec{b},\vec{c},\vec{a}\}=-\{\vec{c},\vec{b},\vec{a}\}=-\{\vec{b},\vec{a},\vec{c}\}=-\{\vec{a},\vec{c},\vec{b}\}$$

2. Ассоциативность относительно умножения векторов на число.

$$\{\alpha \vec{a},\beta \vec{b},\gamma \vec{c}\}=\alpha \beta \gamma \{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$$

3. Дистрибутивность.

$$\{{\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2,\vec{b},\vec{c}\}=\{{\vec{a}}_1,\vec{b},\vec{c}\}+\{{\vec{a}}_2,\vec{b},\vec{c}\}$$

24. Вывести формулу вычисления смешанного произведения векторов в ортонормированном базисе.

Пусть:

$$\begin{array}{c}\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}\\ \vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k}\\ \vec{c}=c_x\vec{i}+c_y\vec{j}+c_z\vec{k}\end{array}$$

Тогда:

$$\begin{array}{c}\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}=(\vec{a},[\vec{b},\vec{c}])=\vec{a}\cdot [b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k},c_x\vec{i}+c_y\vec{j}+c_z\vec{k}]=\\ \\ =\vec{a}\cdot \left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{cc}{b}_y& b_z\\ c_y& c_z\end{array}\right|\vec{i}-\left|\begin{array}{cc}{b}_x& b_z\\ c_x& c_z\end{array}\right|\vec{j}+\left|\begin{array}{cc}{b}_x& b_y\\ c_x& c_y\end{array}\right|\vec{k}\end{array}\right)\\ \\ =\left|\begin{array}{cc}{b}_y& b_z\\ c_y& c_z\end{array}\right|a_x-\left|\begin{array}{cc}{b}_x& b_z\\ c_x& c_z\end{array}\right|a_y+\left|\begin{array}{cc}{b}_x& b_y\\ c_x& c_y\end{array}\right|a_z\\ \\ =\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|\end{array}$$

25. Вывести нормальное уравнение прямой на плоскости, сформулировать геометрический смысл входящих в уравнение параметров.

p — расстояние от начала координат O(0,0) до прямой L. Перпендикуляр OP к L из начала координат O(0,0) имеет длину p, а также сонаправлен с единичным вектором нормали ${\vec{n}}^0$.
$\alpha$ - угол между вектором нормали ${\vec{n}}^0$ и осью OX
$\beta$ - угол между вектором нормали ${\vec{n}}^0$ и осью OY

$$=>{\vec{n}}^0=(\cos \alpha ,\cos \beta )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$

Пусть точка $M=(x,y)$ лежит на прямой L

$$=>\overrightarrow{PM}||L=>{\vec{n}}^0\perp \overrightarrow{PM}=>{\vec{n}}^0\cdot \overrightarrow{PM}=0$$

$\alpha$ угол между вектором нормали ${\vec{n}}^0$ и осью OX $=>\alpha$ - угол между прямой OP и осью OX

$$\begin{array}{c}=>P=(p\cos \alpha ,p\sin \alpha )=>\overrightarrow{PM}=(x-p\cos \alpha ,y-p\sin \alpha )\\ {\vec{n}}^0\cdot \overrightarrow{PM}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )\cdot (x-p\cos \alpha ,y-p\sin \alpha )=0\\ \cos \alpha (x-p\cos \alpha )+\sin \alpha (y-p\sin \alpha )=0\\ x\cos \alpha -p{\cos }^2\alpha +y\sin \alpha -p{\sin }^2\alpha =0\\ x\cos \alpha +y\sin \alpha -p({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )=0\\ x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0\end{array}$$

Геометрический смысл параметров

$$\begin{array}{c}\text{α - угол между вектором n0 и осью Ox. Косинус и синус этого угла так же являются}\\ \text{координатами единичного вектора нормали к прямой}\\ \begin{array}{c}\end{array}\\ -p\text{ - расстояние от начала координат до прямой, причём −p≥0}\end{array}$$

26. Преобразование общего уравнения прямой к нормальному.

В уравнении прямой нормального вида вектор нормали единичный $=>$ чтобы привести уравнение прямой общего вида $Ax+By+C=0$ к уравнению прямой нормального вида необходимо умножить его на нормирующий множитель $k=\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}$:

$$\frac{A}{\pm \sqrt{A^2+B^2}}x+\frac{B}{\pm \sqrt{A^2+B^2}}y+\frac{C}{\pm \sqrt{A^2+B^2}}=0$$

27. Выписать формулу нахождения расстояния от точки до прямой.

Расстояние d от точки $M=(x_0,y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ на плоскости:

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Расстояние d от точки $M_0$ до точки $M_1$, лежащей на прямой L, имеющей направляющий вектор $\vec{a}$ в пространстве:

$$d=\frac{|[\overrightarrow{M_1{M}_0},\vec{a}]|}{|\vec{a}|}$$

28. Вывести уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть:

$$\begin{array}{c}M(x,y,z)-\text{Точка на искомой плоскости P}\\ \begin{array}{l}{M}_1(x_1,y_1,z_1)\\ M_2(x_2,y_2,z_2)\\ M_3(x_3,y_3,z_3)\end{array}\}-\text{Точки, не лежащие на одной прямой}\end{array}$$

Тогда возьмём 3 вектора, выходящие из одной из трёх данных точек, например из $M_1$:

$$\begin{array}{c}\overrightarrow{M_{1}M}=(x-x_1,y-y_1,z-z_1)\\ \overrightarrow{M_1{M}_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z1)\\ \overrightarrow{M_1{M}_3}=(x_3-x_1,y_3-y1,z_3-z_1)\end{array}$$

Три вектора компланарны, когда если их смешанное произведение равно нулю $=>$ точки $M_1,M_2,M_3$ образуют плоскость, в которой лежит точка $M$ при:

$$\begin{array}{c}\{\overrightarrow{M_{1}M},\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{M_1{M}_3}\}=0\\ \\ \left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0\end{array}$$

29. Выписать уравнение плоскости «в отрезках», указать геометрический смысл входящих в уравнение параметров.

$$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=1$$

Параметры a, b и c — это величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях, считая от начала координат.

• a — это абсцисса точки пересечения плоскости с осью Ox. Плоскость пересекает ось Ox в точке с координатами (a, 0, 0).
• b — это ордината точки пересечения плоскости с осью Oy. Плоскость пересекает ось Oy в точке с координатами (0, b, 0).
• c — это аппликата точки пересечения плоскости с осью Oz. Плоскость пересекает ось Oz в точке с координатами (0, 0, c).

30. Вывести формулу для нахождения угла между двумя прямыми в пространстве, заданными каноническими уравнениями.

Пусть заданы 2 прямые:

$$\begin{array}{c}{L}_1:\frac{x-x_1}{a_{1x}}=\frac{y-y_1}{a_{1y}}=\frac{z-z_1}{a_{1z}}\\ \\ L_2:\frac{x-x_2}{a_{2x}}=\frac{y-y_2}{a_{2y}}=\frac{z-z_2}{a_{2z}}\end{array}$$

Тогда угол между ними - угол между их направляющими векторами:

$$\begin{array}{c}\overrightarrow{a_1}=(a_{1x},a_{1y},a_{1z})\\ \overrightarrow{a_2}=(a_{2x},a_{2y},a_{2z})\\ \\ \overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{a_2}=|\overrightarrow{a_1}|\cdot |\overrightarrow{a_2}|\cdot \cos \phi \\ \cos \phi =\frac{\overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{a_2}}{|\overrightarrow{a_1}|\cdot |\overrightarrow{a_2}|}\\ \cos \phi =\frac{|a_{1x}{a}_{2x}+a_{1y}{a}_{2y}+a_{1z}{a}_{2z}|}{\sqrt{a_{1x}^2+a_{1y}^2+a_{1z}^2}\cdot \sqrt{a_{2x}^2+a_{2y}^2+a_{2z}^2}}\\ \phi =\arccos (\frac{|a_{1x}{a}_{2x}+a_{1y}{a}_{2y}+a_{1z}{a}_{2z}|}{\sqrt{a_{1x}^2+a_{1y}^2+a_{1z}^2}\cdot \sqrt{a_{2x}^2+a_{2y}^2+a_{2z}^2}})\end{array}$$

31. Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

На плоскости

1. $y=kx+b$

Пусть:

$$\begin{array}{c}{L}_1:y=k_{1}x+b_1\\ L_2:y=k_{2}x+b_2\end{array}$$

Тогда:

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{k}_1=k_2\\ b_1\ne b_2\end{array}=>L_1||L_2\\ \\ k_1\cdot k_2=-1=>L_1\perp L_2\end{array}$$

2. $Ax+By+C=0$

Пусть:

$$\begin{array}{c}{L}_1:A_{1}x+B_{1}y+C_1=0\\ L_2:A_{2}x+B_{2}y+C_2=0\end{array}$$

Тогда:

$$\begin{array}{c}\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=>L_1||L_2\\ \\ \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0=>A_1{A}_2+B_1{B}_2=0=>L_1\perp L_2\end{array}$$

В пространстве

Пусть:

$$\begin{array}{c}\overrightarrow{a_1}=(a_{1x},a_{1y},a_{1z})-\text{Направляющий вектор прямой L1}\\ \overrightarrow{a_2}=(a_{2x},a_{2y},a_{2z})-\text{Направляющий вектор прямой L2}\end{array}$$

Тогда:

$$\begin{array}{c}\frac{a_{1x}}{a_{2x}}=\frac{a_{1y}}{a_{2y}}=\frac{a_{1z}}{a_{2z}}=>L_1||L_2\\ \\ \overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{a_2}=0=>a_{1x}{a}_{2x}+a_{1y}{a}_{2y}+a_{1z}{a}_{2z}=0=>L_1\perp L_2\end{array}$$

32. Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов.

Набор векторов $\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},...,\overrightarrow{v_n}\}$ называется линейно зависимым, если последовательность $c_1,c_2,...,c_n$ нетривиальна, а их линейная комбинация равна нулевому вектору:

$$c_1\overrightarrow{v_1}+c_2\overrightarrow{v_2}+...+c_n\overrightarrow{v_n}=\vec{0}$$

33. Сформулировать и доказать критерий линейной зависимости векторов.

Критерий линейной зависимости:
Набор векторов $\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},...,\overrightarrow{v_n}\}$ является линейно зависимым тогда и только тогда, когда по крайней мере один из векторов этого набора можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.

Доказательство

1. Необходимость ($\Rightarrow$)

Дано: Набор векторов $\{\overrightarrow{v_1},...,\overrightarrow{v_n}\}$ является линейно зависимым.

Доказать:
Хотя бы один из этих векторов можно выразить как линейную комбинацию остальных.

Доказательство:

1. Поскольку набор векторов линейно зависим, по определению существует набор чисел $c_1,c_2,...,c_n$, не все из которых равны нулю:

$$c_1\overrightarrow{v_1}+c_2\overrightarrow{v_2}+...+c_n\overrightarrow{v_n}=\vec{0}$$

2. Так как не все коэффициенты равны нулю пусть $c_k\ne 0$.
3. Перенесем слагаемое $c_k\overrightarrow{v_k}$ в одну сторону равенства, а все остальные — в другую:

$$c_k\overrightarrow{v_k}=-c_1\overrightarrow{v_1}-...-c_{k-1}\overrightarrow{v_{k-1}}-c_{k+1}\overrightarrow{v_{k+1}}-...-c_n\overrightarrow{v_n}$$

4. $c_k\ne 0=>$

$$\overrightarrow{v_k}=\left(-\frac{c_1}{c_k}\right)\overrightarrow{v_1}+...+\left(-\frac{c_{k-1}}{c_k}\right)\overrightarrow{v_{k-1}}+\left(-\frac{c_{k+1}}{c_k}\right)\overrightarrow{v_{k+1}}+...+\left(-\frac{c_n}{c_k}\right)\overrightarrow{v_n}$$

Ч.Т.Д.

2. Достаточность ($\Leftarrow$)

Дано:
Один из векторов, например $\overrightarrow{v_k}$, можно представить в виде линейной комбинации остальных. Доказать:
Набор векторов $\{\overrightarrow{v_1},...,\overrightarrow{v_n}\}$ является линейно зависимым.

Доказательство:

1. Пусть вектор $\overrightarrow{v_k}$ выражается через остальные:

$$\overrightarrow{v_k}=d_1\overrightarrow{v_1}+...+d_{k-1}\overrightarrow{v_{k-1}}+d_{k+1}\overrightarrow{v_{k+1}}+...+d_n\overrightarrow{v_n}$$

где $d_i$ — некоторые числовые коэффициенты.

2. Перенесем вектор $\overrightarrow{v_k}$ в правую часть уравнения, чтобы слева остался нулевой вектор:

$$\vec{0}=d_1\overrightarrow{v_1}+...+d_{k-1}\overrightarrow{v_{k-1}}-1\cdot \overrightarrow{v_k}+d_{k+1}\overrightarrow{v_{k+1}}+...+d_n\overrightarrow{v_n}$$

3. Хотя бы один из коэффициентов не равен нулю $=>$ этот набор векторов является линейно зависимым.

Ч.Т.Д.