Экзамен

Векторная алгебра

1. Сформулировать определение геометрического вектора.

Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой. Вектор характеризуется:

1. Длиной (модулем) — расстоянием между началом и концом.
2. Направлением (прямой, на которой он лежит, и стрелкой ориентации).

2. Линейные операции над векторами и их свойства (без доказательства).

1. Сложение: Суммой $\vec{a}+\vec{b}$ называется вектор, идущий из начала $\vec{a}$ в конец $\vec{b}$ (при условии, что начало $\vec{b}$ помещено в конец $\vec{a}$ — правило треугольника). 2. Умножение на число: Произведением вектора $\vec{a}$ на число $\lambda \in \mathbb{R}$ называется вектор $\vec{b}$, такой что:

• $|\vec{b}|=|\lambda |\cdot |\vec{a}|$;
• $\vec{b}\uparrow \uparrow \vec{a}$, если $\lambda >0$, и $\vec{b}\uparrow \downarrow \vec{a}$, если $\lambda <0$.

Свойства линейных операций (аксиомы векторного пространства):

1. $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ (Коммутативность).
2. $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ (Ассоциативность).
3. $\exists \vec{0}:\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$ (Наличие нейтрального элемента).
4. $\forall \vec{a}\exists (-\vec{a}):\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$ (Наличие противоположного элемента).
5. $\alpha (\beta \vec{a})=(\alpha \beta )\vec{a}$ (Ассоциативность скалярного множителя).
6. $(\alpha +\beta )\vec{a}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}$ (Дистрибутивность относительно сложения чисел).
7. $\alpha (\vec{a}+\vec{b})=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}$ (Дистрибутивность относительно сложения векторов).
8. $1\cdot \vec{a}=\vec{a}$ (Унитарность).

3. Сформулировать определение ортогональной проекции вектора на направление.

Пусть задан вектор $\overrightarrow{AB}$ и ось $l$ (направление, задаваемое вектором $\vec{e}$). Опустим перпендикуляры из точек $A$ и $B$ на ось $l$, получим точки $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$. Ортогональной проекцией вектора $\overrightarrow{AB}$ на ось $l$ называется число, равное величине отрезка $A^{\prime }{B}^{\prime }$: ${\text{пр}}_l\overrightarrow{AB}=|A^{\prime }{B}^{\prime }|\text{, если }\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\uparrow \uparrow \vec{e}$ ${\text{пр}}_l\overrightarrow{AB}=-|A^{\prime }{B}^{\prime }|\text{, если }\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\uparrow \downarrow \vec{e}$ Геометрическая формула: ${\text{пр}}_l\vec{a}=|\vec{a}|\cos \phi$, где $\phi$ — угол между вектором и осью.

4. Линейная комбинация векторов.

Вектор $\vec{b}$ называется линейной комбинацией системы векторов ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\dots ,{\vec{a}}_n$, если он представим в виде суммы этих векторов с некоторыми вещественными коэффициентами ${\lambda }_i$: $\vec{b}={\lambda }_1{\vec{a}}_1+{\lambda }_2{\vec{a}}_2+\cdots +{\lambda }_n{\vec{a}}_n={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{\vec{a}}_i$

5. Сформулировать определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Система векторов ${\vec{a}}_1,\dots ,{\vec{a}}_n$ называется линейно зависимой, если существуют такие коэффициенты ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, не равные нулю одновременно (то есть $\sum {\lambda }_i^2\ne 0$), что их линейная комбинация равна нулевому вектору: ${\lambda }_1{\vec{a}}_1+\cdots +{\lambda }_n{\vec{a}}_n=\vec{0}$ Если же это равенство выполняется только в тривиальном случае (когда все ${\lambda }_i=0$), то система называется линейно независимой.

6. Сформулировать и доказать критерий линейной зависимости системы векторов.

Теорема: Система векторов (при $n\ge 2$) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.

Доказательство:

1. Необходимость ($\Rightarrow$): Пусть система линейно зависима. Значит, $\exists {\lambda }_1{\vec{a}}_1+\cdots +{\lambda }_n{\vec{a}}_n=\vec{0}$, где хотя бы один ${\lambda }_k\ne 0$. Разделим уравнение на ${\lambda }_k$ и выразим ${\vec{a}}_k$: ${\vec{a}}_k=-\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_k}{\vec{a}}_1-\cdots -\frac{{\lambda }_n}{{\lambda }_k}{\vec{a}}_n(\text{без слагаемого }k)$ Мы представили ${\vec{a}}_k$ как линейную комбинацию остальных.
2. Достаточность ($\Leftarrow$): Пусть один вектор выражается через другие, например: ${\vec{a}}_1={\beta }_2{\vec{a}}_2+\cdots +{\beta }_n{\vec{a}}_n$. Перенесем всё в одну сторону: $1\cdot {\vec{a}}_1-{\beta }_2{\vec{a}}_2-\cdots -{\beta }_n{\vec{a}}_n=\vec{0}$ Это линейная комбинация, равная нулю. Коэффициент при ${\vec{a}}_1$ равен $1\ne 0$, значит, коэффициенты не все равны нулю. Следовательно, система линейно зависима.

7. Доказательства условий линейной зависимости 2-х и 3-х векторов.

1. Для двух векторов ($\vec{a},\vec{b}$): Они линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
   • Док-во: Если ЛЗ, то $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}=0$. Если $\alpha \ne 0$, то $\vec{a}=-(\beta /\alpha )\vec{b}$, т.е. векторы лежат на параллельных прямых.
2. Для трех векторов ($\vec{a},\vec{b},\vec{c}$): Они линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (параллельны одной плоскости).
   • Док-во: Если ЛЗ, то $\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$. Отложим от одной точки. Вектор $\alpha \vec{a}$ и $\beta \vec{b}$ лежат в плоскости векторов $\vec{a},\vec{b}$. Их сумма (по правилу параллелограмма) тоже лежит в этой плоскости. Значит, $\vec{c}$ лежит в той же плоскости.

8. Сформулировать определение базиса в пространстве геометрических векторов.

Базисом в трехмерном пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3$.

Основное свойство базиса: любой вектор $\vec{a}$ пространства может быть единственным образом представлен в виде разложения по базису: $\vec{a}=x{\vec{e}}_1+y{\vec{e}}_2+z{\vec{e}}_3$ Числа $x,y,z$ называются координатами вектора в этом базисе.

9. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в одном и том же базисе.

Пусть $\vec{a}=\{x_1;y_1;z_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2;y_2;z_2\}$ в некотором базисе.

1. Сложение: Координаты суммируются. $\vec{a}+\vec{b}=\{x_1+x_2;y_1+y_2;z_1+z_2\}$
2. Умножение на число: Каждая координата умножается на это число. $\lambda \vec{a}=\{\lambda x_1;\lambda y_1;\lambda z_1\}$

10. Доказать, что два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости.

Пусть ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ — неколлинеарные векторы, лежащие в плоскости $P$. Пусть $\vec{a}$ — произвольный вектор в той же плоскости. Отложим все векторы от одной точки $O$. Проведем через конец вектора $\vec{a}$ прямые, параллельные ${\vec{e}}_1$ и ${\vec{e}}_2$. Образуется параллелограмм (или фигура вырождается, если $\vec{a}$ коллинеарен базисному). Вектор $\vec{a}$ будет диагональю. По правилу параллелограмма $\vec{a}={\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2$, где ${\vec{a}}_1||{\vec{e}}_1$ и ${\vec{a}}_2||{\vec{e}}_2$. В силу коллинеарности существуют числа $x,y$, такие что ${\vec{a}}_1=x{\vec{e}}_1$ и ${\vec{a}}_2=y{\vec{e}}_2$. Следовательно, $\vec{a}=x{\vec{e}}_1+y{\vec{e}}_2$. Разложение возможно для любого вектора, значит, это базис.

11. Сформулировать и доказать теорему о единственности разложения вектора по базису.

Теорема: Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Доказательство (от противного): Пусть вектор $\vec{a}$ имеет два разложения по базису ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3$: $\vec{a}=x{\vec{e}}_1+y{\vec{e}}_2+z{\vec{e}}_3\text{и}\vec{a}=x^{\prime }{\vec{e}}_1+y^{\prime }{\vec{e}}_2+z^{\prime }{\vec{e}}_3$ Вычтем второе равенство из первого: $\vec{0}=(x-x^{\prime }){\vec{e}}_1+(y-y^{\prime }){\vec{e}}_2+(z-z^{\prime }){\vec{e}}_3$ Мы получили линейную комбинацию базисных векторов, равную нулю. Так как базисные векторы по определению линейно независимы (они некомпланарны), то такое равенство возможно только если все коэффициенты равны нулю: $x-x^{\prime }=0,y-y^{\prime }=0,z-z^{\prime }=0⟹x=x^{\prime },y=y^{\prime },z=z^{\prime }$ Разложения совпадают. Ч.Т.Д.

12. Сформулировать определение ортонормированного базиса.

Базис $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ называется ортонормированным (ОНБ), если выполнены два условия:

1. Ортогональность: Векторы попарно перпендикулярны. $(\vec{i},\vec{j})=0,(\vec{j},\vec{k})=0,(\vec{k},\vec{i})=0$.
2. Нормированность: Длина каждого вектора равна единице. $|\vec{i}|=1,|\vec{j}|=1,|\vec{k}|=1$.

13. Сформулировать определения и свойства скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

1. Скалярное произведение

Определение: Скалярным произведением двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла $\phi$ между ними. $(\vec{a},\vec{b})=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \phi$

Геометрические свойства:

• $(\vec{a},\vec{b})>0$, если угол острый.
• $(\vec{a},\vec{b})<0$, если угол тупой.
• Условие ортогональности: $(\vec{a},\vec{b})=0\iff \vec{a}\perp \vec{b}$ (или один из векторов нулевой).

Алгебраические свойства:

1. Коммутативность: $(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$.
2. Сочетательность относительно скаляра: $(\lambda \vec{a},\vec{b})=\lambda (\vec{a},\vec{b})$.
3. Дистрибутивность: $(\vec{a}+\vec{b},\vec{c})=(\vec{a},\vec{c})+(\vec{b},\vec{c})$.
4. Скалярный квадрат: $(\vec{a},\vec{a})=|\vec{a}{|}^2$.

---

2. Векторное произведение

Определение: Векторным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}=[\vec{a},\vec{b}]$, удовлетворяющий трем условиям:

1. Длина: Модуль вектора $\vec{c}$ численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $|\vec{c}|=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin \phi$
2. Направление: Вектор $\vec{c}$ перпендикулярен обоим векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($\vec{c}\perp \vec{a}$ и $\vec{c}\perp \vec{b}$).
3. Ориентация: Тройка векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ является правой (с конца вектора $\vec{c}$ кратчайший поворот от $\vec{a}$ к $\vec{b}$ виден против часовой стрелки).

Свойства:

1. Антикоммутативность: $[\vec{a},\vec{b}]=-[\vec{b},\vec{a}]$.
2. Сочетательность относительно скаляра: $[\lambda \vec{a},\vec{b}]=\lambda [\vec{a},\vec{b}]$.
3. Дистрибутивность: $[\vec{a}+\vec{b},\vec{c}]=[\vec{a},\vec{c}]+[\vec{b},\vec{c}]$.
4. Условие коллинеарности: $[\vec{a},\vec{b}]=\vec{0}\iff \vec{a}||\vec{b}$.

---

3. Смешанное произведение

Определение: Смешанным произведением трех векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ называется число, равное скалярному произведению вектора $\vec{a}$ на векторное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$: $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a},[\vec{b},\vec{c}])$

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$.

• Если $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})>0$, то тройка правая.
• Если $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})<0$, то тройка левая.

Свойства:

1. Циклическая перестановка: $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{b},\vec{c},\vec{a})=(\vec{c},\vec{a},\vec{b})$.
2. Перестановка соседних векторов меняет знак: $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-(\vec{b},\vec{a},\vec{c})$.
3. Линейность: $(\vec{a}+\vec{d},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a},\vec{b},\vec{c})+(\vec{d},\vec{b},\vec{c})$.
4. Условие компланарности: Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0$.

14. Вывести формулу вычисления скалярного произведения в ОНБ.

Дано: $\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k}$, $\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k}$. Найдем произведение $(\vec{a},\vec{b})$, перемножая скобки почленно (9 слагаемых): $(\vec{a},\vec{b})=x_1{x}_2(\vec{i},\vec{i})+x_1{y}_2(\vec{i},\vec{j})+\dots$

Свойства ОНБ:

• Скалярный квадрат орта: $(\vec{i},\vec{i})=|\vec{i}{|}^2=1$ (аналогично для $\vec{j},\vec{k}$).
• Произведение разных ортов: $(\vec{i},\vec{j})=0$ (ортогональность).

В итоге остаются только слагаемые с одинаковыми ортами: $(\vec{a},\vec{b})=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$

15. Вывести формулы вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ОНБ.

1. Длина: $|\vec{a}|=\sqrt{(\vec{a},\vec{a})}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
2. Угол: Из определения скалярного произведения $\cos \phi =\frac{(\vec{a},\vec{b})}{|\vec{a}||\vec{b}|}$. Подставляем координатные формулы: $\cos \phi =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$
3. Направляющие косинусы: Это косинусы углов с базисными векторами. Например, $\cos \alpha$ (угол с $\vec{i}$). $\cos \alpha =\frac{(\vec{a},\vec{i})}{|\vec{a}||\vec{i}|}=\frac{x\cdot 1+y\cdot 0+z\cdot 0}{|\vec{a}|\cdot 1}=\frac{x}{|\vec{a}|}$. Аналогично $\cos \beta =\frac{y}{|\vec{a}|},\cos \gamma =\frac{z}{|\vec{a}|}$.

16. Указать связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций...

Координаты вектора в ОНБ равны его ортогональным проекциям на оси, задаваемые базисными векторами. $x={\text{пр}}_{\vec{i}}\vec{a}$, $y={\text{пр}}_{\vec{j}}\vec{a}$, $z={\text{пр}}_{\vec{k}}\vec{a}$. Док-во: См. предыдущий вопрос (формулу направляющих косинусов). $x=|\vec{a}|\cos \alpha$, что и есть определение проекции.

17. Направляющие косинусы вектора, их свойство.

Определение: Косинусы углов $\alpha ,\beta ,\gamma$, которые вектор образует с положительными направлениями осей координат. Основное свойство: Сумма их квадратов равна единице. ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =\frac{x^2+y^2+z^2}{|\vec{a}{|}^2}=\frac{|\vec{a}{|}^2}{|\vec{a}{|}^2}=1$

18. Правые и левые тройки векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ с общим началом называется:

• Правой, если наблюдателю с конца вектора $\vec{c}$ кратчайший поворот от $\vec{a}$ к $\vec{b}$ кажется совершающимся против часовой стрелки.
• Левой, если этот поворот виден по часовой стрелке.

Пример: Стандартный базис $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ — правая тройка. (Правило буравчика/правой руки).

19. Формула вычисления векторного произведения векторов в ортонормированном базисе.

Векторное произведение можно формально записать как определитель, где первая строка — орты базиса: $[\vec{a},\vec{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|=(y_1{z}_2-z_1{y}_2)\vec{i}-(x_1{z}_2-z_1{x}_2)\vec{j}+(x_1{y}_2-y_1{x}_2)\vec{k}$

20. Формула вычисления смешанного произведения векторов, заданных своими координатами в ОНБ.

Смешанное произведение равно определителю третьего порядка, составленному из координат векторов: $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|$

21. Сформулировать и доказать критерий компланарности трех векторов.

Критерий: Три ненулевых вектора компланарны (лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0$.

Доказательство: Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах: $V=|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|$.

• Если вектора компланарны, то они “сплющивают” параллелепипед в плоскость, его объем становится равным нулю.
• Обратно, если объем равен нулю, то вектора лежат в одной плоскости (так как их длины не нулевые).

22. Выписать формулу вычисления объема параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах...

Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов: $V_{пар}=|(\vec{a},\vec{b},\vec{c})|=\left|\det \left(\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right)\right|$ Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), построенного на этих же векторах, равен $\frac{1}{6}{V}_{пар}$.

---

Аналитическая геометрия

23. Прямоугольная декартова система координат в пространстве.

Прямоугольная декартова система координат (ПДСК) определяется выбором:

1. Точки начала координат $O$.
2. Ортонормированного базиса $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Оси координат $Ox,Oy,Oz$ проходят через точку $O$ сонаправленно векторам базиса. Радиус-вектор точки $M$ — это вектор $\overrightarrow{OM}$. Координаты точки $M(x,y,z)$ — это коэффициенты разложения $\overrightarrow{OM}$ по базису: $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.

24. Вывести формулу для нахождения длины отрезка и деления отрезка в заданном отношении.

1. Длина отрезка $M_1{M}_2$: Рассмотрим вектор $\overrightarrow{M_1{M}_2}$. Его координаты равны разности координат конца и начала: $\{x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\}$. Длина отрезка равна длине вектора: $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

2. Деление отрезка: Пусть $M$ делит $M_1{M}_2$ в отношении $\lambda =\frac{M_{1}M}{M{M}_2}$. Тогда $\overrightarrow{M_{1}M}=\lambda \overrightarrow{M{M}_2}$. Выразим через радиус-векторы: $\vec{r}-{\vec{r}}_1=\lambda ({\vec{r}}_2-\vec{r})$. Раскроем скобки и выразим $\vec{r}$: $\vec{r}(1+\lambda )={\vec{r}}_1+\lambda {\vec{r}}_2\Rightarrow \vec{r}=\frac{{\vec{r}}_1+\lambda {\vec{r}}_2}{1+\lambda }$. В координатах: $x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }$, и так же для $y,z$. (При $\lambda =1$ получаем формулы середины отрезка).

25. Выписать различные виды уравнений прямой на плоскости...

1. Векторное: $\vec{r}={\vec{r}}_0+t\vec{s}$. Геом. смысл: прямая проходит через точку ${\vec{r}}_0$ параллельно вектору $\vec{s}$.
2. Параметрические: $\{\begin{array}{l}x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\end{array}$. Смысл: покоординатная запись движения точки.
3. Каноническое: $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}$. Смысл: вектор $\overrightarrow{M_{0}M}$ коллинеарен $\vec{s}(l,m)$.
4. С угловым коэффициентом: $y=kx+b$. Смысл: $k=\text{tg}\alpha$ (угол наклона), $b$ — отсечение на оси $Oy$.
5. В отрезках: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Смысл: прямая проходит через точки $(a,0)$ и $(0,b)$.
6. Общее: $Ax+By+C=0$. Смысл: вектор $\vec{n}(A,B)$ перпендикулярен прямой.
7. Нормальное: $x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0$. Смысл: $p$ — расстояние от начала координат до прямой, $\alpha$ — угол нормали с осью $Ox$.

26. Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.

Пусть прямая проходит через $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)$. Возьмем $M_1$ как фиксированную точку. Вектор $\vec{s}=\overrightarrow{M_1{M}_2}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$ будет направляющим. Подставим в каноническое уравнение ($\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}$): $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

27. Доказать, что в ПДСК уравнение первой степени задает плоскость.

Рассмотрим уравнение $Ax+By+Cz+D=0$, где $A^2+B^2+C^2\ne 0$. Пусть $M_0(x_0,y_0,z_0)$ — какое-то решение этого уравнения ($A{x}_0+\cdots =0$). Вычтем из исходного уравнения тождество для $M_0$: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$. Это уравнение можно интерпретировать как скалярное произведение двух векторов: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=0$, где $\vec{n}=\{A,B,C\}$ и $\overrightarrow{M_{0}M}=\{x-x_0,\dots \}$. Равенство нулю скалярного произведения означает, что вектор $\overrightarrow{M_{0}M}$ перпендикулярен вектору $\vec{n}$. Геометрическое место точек $M$, таких что вектор $\overrightarrow{M_{0}M}$ перпендикулярен фиксированному вектору $\vec{n}$, есть плоскость, проходящая через $M_0$ перпендикулярно $\vec{n}$.

28. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости и его координаты.

Общее уравнение: $Ax+By+Cz+D=0$. Нормальный вектор: Вектор $\vec{n}=\{A;B;C\}$ — это ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости. Коэффициенты при переменных в общем уравнении являются координатами нормального вектора.

29. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей...

Пусть плоскости заданы уравнениями $A_{1}x+\cdots =0$ и $A_{2}x+\cdots =0$. Их нормали: ${\vec{n}}_1(A_1,B_1,C_1)$ и ${\vec{n}}_2(A_2,B_2,C_2)$.

1. Параллельность: Плоскости параллельны, если их нормали коллинеарны. $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$
2. Перпендикулярность: Плоскости перпендикулярны, если их нормали ортогональны (скалярное произведение равно 0). $A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$

30. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть $M_1,M_2,M_3$ — три точки, не лежащие на одной прямой. Возьмем произвольную точку $M(x,y,z)$ на плоскости. Векторы $\overrightarrow{M_{1}M},\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{M_1{M}_3}$ должны лежать в одной плоскости (быть компланарными). Условие компланарности — равенство нулю их смешанного произведения: $\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$

31. Уравнение плоскости “в отрезках”.

Если плоскость пересекает оси координат в точках $(a,0,0)$, $(0,b,0)$ и $(0,0,c)$, то ее уравнение можно записать в виде: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ Геометрический смысл параметров $a,b,c$ — величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

32. Вывести нормальное уравнение плоскости. Геометрический смысл...

Уравнение вида: $x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0$ Геометрический смысл:

• $p$ — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость ($p\ge 0$).
• $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ — направляющие косинусы этого перпендикуляра (нормального вектора единичной длины).

Приведение: Чтобы получить нормальное уравнение из общего $Ax+By+Cz+D=0$, нужно разделить его на нормирующий множитель $\mu =\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2}$. Знак $\mu$ выбирается противоположным знаку свободного члена $D$, чтобы $p$ (которое получится из $D/\mu$) стало положительным.

33. Отклонение точки от плоскости.

Отклонением $\delta$ точки $M_0$ от плоскости называется результат подстановки координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости: $\delta =x_0\cos \alpha +y_0\cos \beta +z_0\cos \gamma -p$.

• Если $\delta >0$, точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости.
• Если $\delta <0$, они по одну сторону.
• $|\delta |$ равно расстоянию от точки до плоскости.

34. Вывести формулы для нахождения расстояния от точки до плоскости...

Расстояние $d$ — это модуль отклонения $|\delta |$. Если плоскость задана общим уравнением $Ax+By+Cz+D=0$, то формула получается подстановкой координат точки и делением на длину нормального вектора: $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

35. Вывести: векторное, канонические, параметрические уравнения прямой в пространстве...

Прямая задается точкой $M_0({\vec{r}}_0)$ и направляющим вектором $\vec{s}(l,m,n)$.

1. Векторное: Для любой точки $M(\vec{r})$ на прямой вектор $\overrightarrow{M_{0}M}=\vec{r}-{\vec{r}}_0$ должен быть коллинеарен $\vec{s}$. Значит, $\vec{r}-{\vec{r}}_0=t\vec{s}⟹\vec{r}={\vec{r}}_0+t\vec{s}$.
2. Параметрические: Расписываем векторное уравнение по координатам: $\{\begin{array}{l}x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt\end{array}$ ($t$ — параметр).
3. Канонические: Выражаем $t$ из каждого уравнения системы: $t=\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$.
4. Через 2 точки: $\vec{s}=\overrightarrow{M_1{M}_2}$. Подставляем координаты вектора $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ вместо $l,m,n$: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$.

36. Алгоритм перехода от общих уравнений прямой в пространстве к каноническим.

Прямая задана как пересечение двух плоскостей (система двух общих уравнений).

1. Найти направляющий вектор $\vec{s}$: Так как прямая лежит в обеих плоскостях, она перпендикулярна обеим нормалям ${\vec{n}}_1$ и ${\vec{n}}_2$. Значит, $\vec{s}=[{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2]$ (векторное произведение).
2. Найти точку на прямой: Присвоить одной координате произвольное значение (например, $z=0$) и решить систему для двух оставшихся переменных. Получим точку $M_0$.
3. Записать каноническое уравнение, используя $M_0$ и $\vec{s}$.

37. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

(См. вопрос 29). Дополнительно:

• Совпадают: $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$.
• Параллельны: Коэффициенты при $x,y,z$ пропорциональны, а свободные члены — нет.
• Пересекаются: Коэффициенты при $x,y,z$ не пропорциональны.

38. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Пусть прямые заданы точками $M_1,M_2$ и векторами ${\vec{s}}_1,{\vec{s}}_2$.

1. Скрещиваются: Не лежат в одной плоскости. Критерий: $({\vec{s}}_1,{\vec{s}}_2,\overrightarrow{M_1{M}_2})\ne 0$.
2. Лежат в одной плоскости: Смешанное произведение равно 0.
   • Пересекаются: ${\vec{s}}_1$ не коллинеарен ${\vec{s}}_2$.
   • Параллельны: ${\vec{s}}_1||{\vec{s}}_2$, но прямые не совпадают (точка $M_1$ не лежит на второй прямой).
   • Совпадают.

39. Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

По их направляющим векторам ${\vec{s}}_1(l_1,m_1,n_1)$ и ${\vec{s}}_2(l_2,m_2,n_2)$.

1. Параллельность: $\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}$ (векторы коллинеарны).
2. Перпендикулярность: $l_1{l}_2+m_1{m}_2+n_1{n}_2=0$ (скалярное произведение равно 0).

40. Определение скрещивающихся прямых.

Прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Они не имеют общих точек и не параллельны.

41. Вывести формулу для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах ${\vec{s}}_1,{\vec{s}}_2$ и векторе $\overrightarrow{M_1{M}_2}$, соединяющем точки на прямых. Объем параллелепипеда $V=|({\vec{s}}_1,{\vec{s}}_2,\overrightarrow{M_1{M}_2})|$. Площадь основания $S=|[{\vec{s}}_1,{\vec{s}}_2]|$. Высота $h=\frac{V}{S}$: $d=\frac{|({\vec{s}}_1,{\vec{s}}_2,\overrightarrow{M_1{M}_2})|}{|[{\vec{s}}_1,{\vec{s}}_2]|}$

42. Угол между прямыми в пространстве.

Углом между прямыми называется острый (или прямой) угол между их направляющими векторами. $\cos \phi =\frac{|({\vec{s}}_1,{\vec{s}}_2)|}{|{\vec{s}}_1|\cdot |{\vec{s}}_2|}$

43. Определение и вывод формулы нахождения угла между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Пусть $\vec{s}$ — направляющий вектор прямой, $\vec{n}$ — нормаль к плоскости. Угол $\psi$ между $\vec{s}$ и $\vec{n}$ связан с искомым углом $\phi$: $\phi =90^{\circ }-\psi$ (или $\psi -90^{\circ }$). $\cos \psi =\sin \phi$. $\sin \phi =\frac{|(\vec{n},\vec{s})|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{s}|}$

44. Вывод условия принадлежности двух прямых одной плоскости...

Две прямые лежат в одной плоскости (компланарны), если они либо параллельны, либо пересекаются. Общее условие: смешанное произведение направляющих векторов и вектора, соединяющего точки на прямых, равно нулю: $({\vec{s}}_1,{\vec{s}}_2,\overrightarrow{M_1{M}_2})=0$. Уравнение плоскости ищется как уравнение плоскости, проходящей через точку $M_1$ параллельно векторам ${\vec{s}}_1$ и ${\vec{s}}_2$.

45. Условия различного расположения прямой и плоскости в пространстве.

Пусть прямая задана $\vec{s}$ и $M$, плоскость — $\vec{n}$ и $D$.

1. Прямая лежит в плоскости: Вектор $\vec{s}\perp \vec{n}$ (скалярное произведение 0) И точка $M$ удовлетворяет уравнению плоскости.
2. Параллельна: Вектор $\vec{s}\perp \vec{n}$, но точка $M$ НЕ удовлетворяет уравнению.
3. Пересекает: Вектор $\vec{s}$ не перпендикулярен $\vec{n}$ ($(\vec{s},\vec{n})\ne 0$).

46. Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве.

Расстояние от точки $M_1$ до прямой, проходящей через $M_0$ с вектором $\vec{s}$. Построим параллелограмм на векторах $\vec{s}$ и $\overrightarrow{M_0{M}_1}$. Искомое расстояние $d$ — это высота параллелограмма, опущенная на основание $\vec{s}$. Площадь $S=|[\vec{s},\overrightarrow{M_0{M}_1}]|$. Основание $b=|\vec{s}|$. $d=\frac{|[\vec{s},\overrightarrow{M_0{M}_1}]|}{|\vec{s}|}$

47. Определение эллипса. Каноническое уравнение.

Эллипс — геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная ($2a$), большая, чем расстояние между фокусами ($2c$). $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ где $b^2=a^2-c^2$.

48. Определение гиперболы. Каноническое уравнение.

Гипербола — ГМТ плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная ($2a$), меньшая, чем расстояние между фокусами. $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ где $b^2=c^2-a^2$.

49. Определение параболы. Вывести каноническое уравнение.

Парабола — ГМТ плоскости, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса) и фиксированной прямой (директрисы). Вывод: Пусть фокус $F(p/2,0)$, директриса $x=-p/2$. Расстояние до фокуса: $r=\sqrt{(x-p/2{)}^2+y^2}$. Расстояние до директрисы: $d=|x+p/2|$. $r=d\Rightarrow (x-p/2{)}^2+y^2=(x+p/2{)}^2$. $x^2-px+p^2/4+y^2=x^2+px+p^2/4$. $y^2=2px$.

50. Определение поверхности вращения...

Поверхность вращения образуется при вращении некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой.

• Эллипсоид вращения.
• Гиперболоиды вращения (однополостный, двуполостный).
• Параболоид вращения.
• Конус, Цилиндр.

51. Канонические уравнения параболоидов. Метод сечений.

1. Эллиптический параболоид: $\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z$ ($p,q>0$).
   • Сечения $z=h>0$: эллипсы.
   • Сечения $x=0$ или $y=0$: параболы. (Чаша).
2. Гиперболический параболоид: $\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=2z$.
   • Сечения $z=h$: гиперболы.
   • Сечения $x=0$ или $y=0$: параболы (ветви в разные стороны). (Седло).

52. Определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения...

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой (образующей), которая пересекает заданную кривую (направляющую) и остается параллельной заданному направлению. Если образующие параллельны $Oz$:

1. Эллиптический цилиндр: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
2. Гиперболический цилиндр: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.
3. Параболический цилиндр: $y^2=2px$.

53. Канонические уравнения гиперболоидов...

1. Однополостный: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$.
   • Сечения $z=h$: эллипсы (размера растут с $|h|$).
   • Сечения $x=0$: гиперболы. (Похож на “талию” или градирню).
2. Двуполостный: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$.
   • Сечения $z=h$ (при $|h|>c$): эллипсы.
   • Между $z=-c$ и $z=c$ поверхности нет. (Две чаши).

54. Канонические уравнения эллипсоида и конуса...

1. Эллипсоид: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$. Замкнутая поверхность, все сечения — эллипсы.
2. Конус (второго порядка): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$.
   • Сечения $z=h\ne 0$: эллипсы.
   • Сечения через ось $z$: пересекающиеся прямые.

---

Матрицы и СЛАУ

55. Определение матрицы.

Матрицей размера $m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел, содержащая $m$ строк и $n$ столбцов. Числа называются элементами матрицы.

56. Элементарные преобразования матриц.

Операции, которые не меняют ранг матрицы (и множество решений СЛАУ):

1. Перестановка местами двух строк (или столбцов).
2. Умножение строки (столбца) на число, не равное нулю.
3. Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.

57. Сформулировать определение обратной матрицы.

Матрица $A^{-1}$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если при умножении на $A$ (как справа, так и слева) она дает единичную матрицу: $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E$

58. Сформулировать и доказать критерий существования обратной матрицы.

Критерий: Квадратная матрица $A$ имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырождена ($\det A\ne 0$). Доказательство:

1. Необходимость: Пусть $A^{-1}$ существует. Тогда $A{A}^{-1}=E$. По теореме об определителе произведения: $\det (A{A}^{-1})=\det A\cdot \det A^{-1}=\det E=1$. Произведение не ноль, значит $\det A\ne 0$.
2. Достаточность: Если $\det A\ne 0$, то можно построить матрицу по формуле $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$. Прямым умножением проверяется, что она удовлетворяет определению.

59. Сформулировать и доказать теорему о единственности обратной матрицы.

Теорема: Обратная матрица единственна. Доказательство: Предположим, у матрицы $A$ есть две обратные: $B$ и $C$. Тогда $AB=E$ и $CA=E$. Рассмотрим произведение $CAB$. С одной стороны: $C(AB)=CE=C$. С другой стороны: $(CA)B=EB=B$. Следовательно, $C=B$.

60. Сформулировать и доказать теорему о матрице, обратной произведению двух обратимых матриц.

Теорема: Если матрицы $A$ и $B$ обратимы, то их произведение $AB$ также обратимо, и выполняется равенство: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ Доказательство: По определению обратной матрицы, нам нужно показать, что произведение матрицы $AB$ на предполагаемую обратную $B^{-1}{A}^{-1}$ (справа и слева) равно единичной матрице $E$. Используя свойство ассоциативности умножения матриц $(XY)Z=X(YZ)$:

1. Умножение справа: $(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=A\cdot E\cdot A^{-1}=A{A}^{-1}=E$
2. Умножение слева: $(B^{-1}{A}^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}\cdot E\cdot B=B^{-1}B=E$ Так как в обоих случаях получена единичная матрица, то $B^{-1}{A}^{-1}$ действительно является обратной для $AB$. Ч.Т.Д.

61. Сформулировать определение присоединенной матрицы.

Присоединенной (союзной) матрицей $A^{\ast }$ к квадратной матрице $A$ называется матрица, составленная из алгебраических дополнений $A_{ij}$ к элементам $a_{ij}$, и затем транспонированная. То есть элемент $A^{\ast }$ на позиции $(i,j)$ равен $A_{ji}$ исходной матрицы.

62. Связь обратной и присоединенной матриц.

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot A^{\ast }$

63. Способы вычисления обратной матрицы.

1. Метод присоединенной матрицы: Вычислить определитель, найти все алгебраические дополнения, составить матрицу $A^{\ast }$, разделить на определитель.
2. Метод Гаусса-Жордана: Записать расширенную матрицу $(A|E)$. С помощью элементарных преобразований строк привести левую часть к $E$. Тогда правая часть превратится в $A^{-1}$. $(A|E)\sim (E|A^{-1})$.

64. Решение матричных уравнений вида $AX=B$, $XA=B$, $AXB=C$.

1. $AX=B$. Умножаем слева на $A^{-1}$: $A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B$.
2. $XA=B$. Умножаем справа на $A^{-1}$: $XA{A}^{-1}=B{A}^{-1}\Rightarrow X=B{A}^{-1}$.
3. $AXB=C$. Умножаем слева на $A^{-1}$, справа на $B^{-1}$: $X=A^{-1}C{B}^{-1}$.

65. Доказать критерий линейной зависимости строк (столбцов) матрицы.

(Этот вопрос дублирует вопрос №6, но в контексте матриц). Строки матрицы линейно зависимы $⟺$ одна из строк является линейной комбинацией остальных. (Доказательство см. в вопросе 6).

66. Сформулировать определение ранга и базисного минора матрицы.

Минор порядка $k$ — определитель матрицы, образованной элементами на пересечении любых $k$ строк и $k$ столбцов. Ранг матрицы ($r$) — это наивысший порядок минора, отличного от нуля. Базисный минор — любой минор порядка $r$ (равного рангу), который не равен нулю.

67. Теорема о базисном миноре. Следствие для квадратных матриц.

Теорема:

1. Строки (и столбцы), на которых стоит базисный минор, линейно независимы (базисные строки).
2. Любая другая строка матрицы является линейной комбинацией базисных строк. Следствие: Определитель квадратной матрицы не равен нулю $⟺$ ее строки (столбцы) линейно независимы.

68. Сформулировать определение элементарных преобразований...

(Дублирует вопрос 56).

69. Метод нахождения ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Метод: С помощью элементарных преобразований приводим матрицу к ступенчатому (трапециевидному) виду. Обоснование: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк (так как можно выделить треугольный минор, равный произведению диагональных элементов $\ne 0$).

70. Сформулировать и доказать теорему о формулах Крамера...

Теорема: Если определитель $\Delta$ матрицы системы $AX=B$ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое формулами: $x_i=\frac{{\Delta }_i}{\Delta }$ где ${\Delta }_i$ — определитель матрицы, полученной из $A$ заменой $i$-го столбца на столбец свободных членов $B$. Доказательство: $X=A^{-1}B=\frac{1}{\Delta }{A}^{\ast }B$. $i$-й элемент вектора $X$ равен $\frac{1}{\Delta }\cdot (\text{i-я строка }{A}^{\ast })\cdot (\text{столбец }B)$. $\text{i-я строка }{A}^{\ast }$ состоит из алгебраических дополнений $i$-го столбца матрицы $A$ ($A_{1i},A_{2i},\dots$). Сумма произведений элементов столбца $B$ на соответствующие алг. дополнения $i$-го столбца матрицы $A$ — это и есть разложение определителя ${\Delta }_i$ по $i$-му столбцу.

71. Сформулировать определения однородной СЛАУ.

СЛАУ называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю ($b_i=0$). Вид: $AX=\Theta$. Однородная система всегда совместна (имеет тривиальное решение $x_1=\cdots =x_n=0$).

72. Различные формы записи однородной СЛАУ.

1. Общая (система уравнений с $=0$).
2. Матричная: $AX=O$ (где $O$ — нулевой столбец).
3. Векторная: $x_1{\vec{a}}_1+x_2{\vec{a}}_2+\cdots +x_n{\vec{a}}_n=\vec{0}$ (линейная комбинация столбцов равна нуль-вектору).

73. Определение ФСР однородной СЛАУ, нормальной ФСР.

ФСР (Фундаментальная система решений) — это набор из $n-r$ линейно независимых решений однородной системы (где $n$ — число переменных, $r$ — ранг). Любое решение системы можно представить как лин. комбинацию векторов ФСР. Нормальная ФСР — такая ФСР, которая получается, если свободным переменным придавать значения строк единичной матрицы (1,0…0), (0,1…0) и т.д.

74. Теорема существования ФСР.

Если ранг матрицы $r$ меньше числа неизвестных $n$, то однородная СЛАУ имеет ФСР, состоящую из $n-r$ решений. Доказательство: Мы можем выразить $r$ базисных переменных через $n-r$ свободных. Полагая свободные переменные поочередно равными 1 (остальные 0), мы получим $n-r$ частных решений. Они будут линейно независимы, так как определитель из их “свободных частей” отличен от нуля (единичная матрица).

75. Критерий существования ненулевых решений однородной СЛАУ.

Однородная СЛАУ имеет ненулевое (нетривиальное) решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных ($r<n$). Для квадратной матрицы ($n\times n$): $\det A=0$.

76. Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ.

Общее решение однородной системы $X_{ОО}$ является линейной комбинацией векторов ФСР ${\vec{e}}_1,\dots ,{\vec{e}}_k$ с произвольными коэффициентами $C_i$: $X_{ОО}=C_1{\vec{e}}_1+C_2{\vec{e}}_2+\cdots +C_k{\vec{e}}_k$ где $k=n-r$.

77. Определение неоднородной СЛАУ.

СЛАУ называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов не равен нулю ($B\ne \Theta$).

78. Различные формы записи неоднородной СЛАУ.

Аналогично однородной, только справа столбец $B$. Матричная: $AX=B$. Векторная: $x_1{\vec{a}}_1+\cdots +x_n{\vec{a}}_n=\vec{b}$.

79. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.

Общее решение неоднородной СЛАУ ($X_{ОН}$) представляется в виде суммы какого-либо частного решения этой системы ($X_{ЧН}$) и общего решения соответствующей однородной системы ($X_{ОО}$): $X_{ОН}=X_{ЧН}+X_{ОО}$

80. Критерий совместности неоднородной СЛАУ (Кронекера-Капелли).

Теорема: СЛАУ совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы $A$ равен рангу расширенной матрицы $(A|B)$. $\text{rank}(A)=\text{rank}(A|B)$ Доказательство:

• Система $x_1{\vec{a}}_1+\cdots +x_n{\vec{a}}_n=\vec{b}$ имеет решение $⟺$ вектор $\vec{b}$ является линейной комбинацией столбцов ${\vec{a}}_i$.
• Это означает, что добавление столбца $\vec{b}$ к столбцам матрицы $A$ не увеличивает количество линейно независимых столбцов.
• Следовательно, ранг не меняется.

81. Теорема, связывающая решения неоднородной и однородной СЛАУ.

Теорема: Разность любых двух решений неоднородной системы является решением соответствующей однородной системы. Доказательство: Пусть $X_1$ и $X_2$ — решения неоднородной ($A{X}_1=B,A{X}_2=B$). Рассмотрим вектор $Y=X_1-X_2$. $AY=A(X_1-X_2)=A{X}_1-A{X}_2=B-B=\Theta$. Значит, $Y$ удовлетворяет однородному уравнению $AY=\Theta$.