Блочные матрицы и Обратная матрица

Блочные матрицы

Матрица, элементами которой являются более мелкие матрицы (блоки), называется блочной.

Обозначим:

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}& a_{25}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}& a_{35}\end{array}\right)$$ $$M_{11}={\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right)}_{2\times 3}{M}_{12}={\left(\begin{array}{cc}{a}_{14}& a_{15}\\ a_{24}& a_{25}\end{array}\right)}_{2\times 2}$$ $$M_{21}={\left(\begin{array}{ccc}{a}_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)}_{1\times 3}{M}_{22}={\left(\begin{array}{cc}{a}_{34}& a_{35}\end{array}\right)}_{1\times 2}$$

$\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cc}{M}_{11}& M_{12}\\ M_{21}& M_{22}\end{array}\right)$

Прямая сумма матриц

Пусть $A=(a_{ij})\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ и $B=(b_{ij})\in M_{m\times m}(\mathbb{R})$ — квадр. матр.
Тогда под прямой суммой понимают квадратную блочную матрицу $C_{(m+n)\times (m+n)}$.

$A\oplus B=\left(\begin{array}{cc}A& {\Theta }_{n\times m}\\ {\Theta }_{m\times n}& B\end{array}\right)=C$
$\Theta$ — нулевая матрица

Пример

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\Rightarrow C=A\oplus B=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 0& 0\\ 3& 4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 4& 5& 6\\ 0& 0& 7& 8& 9\end{array}\right)$

Примечание: Прямая сумма двух квадратных матриц порядка $n$ и $m$ — это блочная матрица (блочно-диагональная), на главной диагонали которой расположены исходные слагаемые, а на побочной нуль-матрицы соответствующей размерности.

Свойства:

1. Ассоциативность: $(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$
2. Пусть $A_1,A_2\in M_{mm}(\mathbb{R})$, $B_1,B_2\in M_{nn}(\mathbb{R})$, тогда:
   • $(A_1\oplus B_1)+(A_2\oplus B_2)=(A_1+A_2)\oplus (B_1+B_2)$
   • $(A_1\oplus B_1)\cdot (A_2\oplus B_2)=(A_1{A}_2)\oplus (B_1{B}_2)$
3. $A\oplus B\ne B\oplus A$

$A=(12)$, $B=(34)$ $A\oplus B=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 0& 0& 3& 4\end{array}\right)$
$B\oplus A=\left(\begin{array}{cccc}3& 4& 0& 0\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right)$

Обратная матрица

Квадратную матрицу $A^{-1}\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ называют обратной к матрице $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$, если: $A^{-1}A=A{A}^{-1}=E$
где $E$ — единичная матр.

Пример

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 7\end{array}\right)\Rightarrow A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -5& 3\end{array}\right)$ $A^{-1}A=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ -5& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}21-20& 28-28\\ -15+15& -20+21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E$

Th 1
Если для $A\in M_{mn}(\mathbb{R})$ существует обратная матрица $A^{-1}$, то она единственная.

Доказательство: Пусть у $A$ 2 обратные матрицы: $A_1^{-1}$ и $A_2^{-1}$. Тогда согласно определению обратной матрицы: $A_1^{-1}\cdot A=E$ и $A{A}_2^{-1}=E$. Далее: $A_1^{-1}=A_1^{-1}\cdot E=A_1^{-1}\cdot (A{A}_2^{-1})=(A_1^{-1}A)\cdot A_2^{-1}=E\cdot A_2^{-1}=A_2^{-1}$. Т.е. $A_1^{-1}=A_2^{-1}$, что и требовалось доказать.

Th 2 (О произведении двух обратных матриц)
Если матрицы A и B имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

Доказательство: $(AB)B^{-1}{A}^{-1}=E$ и $(B^{-1}{A}^{-1})AB=E$. из св-ва ассоц-ти: $(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AE{A}^{-1}=A{A}^{-1}=E$. $(B^{-1}{A}^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}EB=B^{-1}B=E$. $▲$

Th 3 Критерий существования обратной матрицы.
Для того чтобы квадратная матрица $A\in M_{nn}(\mathbb{R})$ имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы $\det A\ne 0$.

Доказательство:

1. Пусть $\exists A^{-1}\in M_{nn}(\mathbb{R})$ и $A{A}^{-1}=E$. Тогда $\det (A{A}^{-1})=\det E=1$. По свойству определителей: $\det (AB)=\det A\det B$. $\Rightarrow \det (A{A}^{-1})=\det A\det A^{-1}=1⟹\det A\ne 0$. $▲$

2. Пусть $A\in M_{nxn}(\mathbb{R})$ и $\det A\ne 0$. Введем понятие $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{D}_{ij}$ — алгебраическое дополнение матрицы A, где $D_{ij}$ — определитель, получаемый из элементов матрицы A, вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца, называемый минором элемента $a_{ij}$.

   Второй опр-ль алгебр. доп.: $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$

   Свойство: ${\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}={\delta }_{ij}=\det A$, если $i=j$ (сумма произв. эл-тов строки на алг. доп. этой же строки). Если $i\ne j$, сумма равна 0.

   Рассмотрим матрицу $B$: $B=(b_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}\frac{A_{11}}{\det A}& \dots & \frac{A_{n1}}{\det A}\\ \dots & \dots & \dots \\ \frac{A_{1n}}{\det A}& \dots & \frac{A_{nn}}{\det A}\end{array}\right)$ Покажем, что $C=AB$ имеет элементы… (доказательство $AB=BA=E⟹B=A^{-1}$). $\Rightarrow AB=BA=E\Rightarrow B=A^{-1}$ — обратная матрица. $▲$

Следствия из Th3:

1. $\det A^{-1}=(\det A{)}^{-1}$ $▲\det A\cdot \det A^{-1}=\det (A{A}^{-1})=\det E=1▲$
2. $(A^{-1}{)}^{-1}=A$ $▲(A^{-1}{)}^{-1}\cdot A^{-1}=E\Rightarrow (A^{-1}{)}^{-1}(A^{-1}A)=A\Rightarrow (A^{-1}{)}^{-1}=A▲$
3. $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$ $▲(A^T{)}^{-1}(A^{-1}{)}^T=(A^{-1}A{)}^T=E^T=E$.

Вычисление обратной матрицы

Рассмотрим 2 метода

I. С помощью присоединенной матрицы

$A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ — невырожденная матрица, тогда обратная к ней вычисляется:

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$
Матрица $A^{\ast }$: присоединенная матрица, транспонированная к матрице $A_{ij}$ алгебраических дополнений. (из эл-тов $A_{ij}$, где $j$ - номер стр, $i$ - номер столбца).

Пример

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\det A=1\cdot 1\cdot 1=1\ne 0\Rightarrow \exists A^{-1}$ $A^{\ast }=(A_{ij}{)}^T=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right)$

$A_{11}=1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1A_{21}=-1\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 1\end{array}\right|=-2A_{31}=1\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right|=4-3=1$ $A_{12}=-1\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=0A_{22}=1\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right|=1A_{32}=-1\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2\end{array}\right|=-2$ $A_{13}=1\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right|=0A_{23}=-1\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right|=0A_{33}=1\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1$

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right);A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

II. С помощью элементарных преобразований строк

1. Записывают блочную матрицу $(A|E)$.
2. Выполняют элементарные преобразования строк матрицы A, так чтобы получилась единичная матрица.
3. Все эти же преобразования выполняют с матрицей E.
4. В итоге E превращается в обратную матрицу.

Пример

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),\det A=4-6=-2\ne 0$

$(A|E)=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)\stackrel{(2)-3(1)}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)\stackrel{(1)+(2)}{\to }$ $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)\stackrel{(2)/(-2)}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& 1.5& -0.5\end{array}\right)=(E|A^{-1})$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1.5& -0.5\end{array}\right)$

Решение матричных уравнений

Пусть $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R}),\det A\ne 0$

(1) $AX=B$, если $B\in M_{n\times m}\Rightarrow X\in M_{n\times m}$ $n\times n\cdot n\times m\Rightarrow n\times m$ $AX=B⟹A^{-1}(AX)=A^{-1}B⟹(A^{-1}A)X=A^{-1}B⟹EX=A^{-1}B⟹X=A^{-1}B$

(2) $XA=B$, если $B\in M_{m\times n}\Rightarrow X\in M_{m\times n}$ $m\times n\cdot n\times n\Rightarrow m\times n$ $XA=B⟹(XA)A^{-1}=B{A}^{-1}⟹X(A{A}^{-1})=B{A}^{-1}⟹XE=B{A}^{-1}⟹X=B{A}^{-1}$

2-й способ — элементарные преобразования строк (1) $AX=B\to (A|B)$ — строим блочную матрицу.

• преобразуем $A\to E$
• все преобр-я делаем на $B\to B_1$
• $(E|B_1)\to B_1$ — это решение

(2) $XA=B$ $\to$ транспонируем левую и правую часть ур-я. $(XA{)}^T=B^T⟹A^T{X}^T=B^T$. Пусть $A^T=C,X^T=Y,B^T=D$, тогда $CY=D⟹$ решаем методом (1) $Y=C^{-1}D⟹X=Y^T$. Формула: $A^T{X}^T=B^T⟹(CY=D)\to (C|D)$

Формулы Крамера

Рассмотрим случай решения матричного уравнения $AX=B$, где $A$ - квадратная невырожденная матрица. Это уравнение имеет единственное решение: $X=A^{-1}B$. $AX=BX=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

Запишем уравнение AX=B в координатной форме: $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right);X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right);B=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$

Для обратной матрицы: $A^{-1}=\frac{1}{\Delta }(A_{ij}{)}^T$, где ${\Delta }_{ij}$ — алг. доп-я. $A_{ij}$ — алг. доп-я эл-та $a_{ij}$ матрицы A. т.е. $X=\frac{1}{\Delta }{A}^{\ast }B$ — запишем это ур-е в координатной форме: $x_k=\frac{1}{\Delta }(b_1{A}_{1k}+b_2{A}_{2k}+\cdots +b_n{A}_{nk})=\frac{1}{\Delta }{\sum }_{i=1}^n{b}_i{A}_{ik}=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$

это разложение по 1-му столбцу определителя, полученного заменой 1-го столбца матрицы A столбцом свободных членов (матрицы B).

${\Delta }_1=\left|\begin{array}{cccc}{b}_1& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_n& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|;x_1=\frac{{\Delta }_1}{\det A};\dots {\Delta }_k\text{ — опр-ль, где вместо }k\text{-го ст. }j=\overline{1,n}.$

${\Delta }_j$ — определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой j-го столбца на столбец свободных членов. Таким образом получаем правило Крамера.

Th 4 СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера.

Метод Гаусса

Для решения уравнений вида AX=B, где A - квадратная, невырожденная матрица порядка n, применяется метод Гаусса. Пусть уравнение AX=B имеет вид $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$

Алгоритм решения методом Гаусса включает два этапа:

• прямой ход,
• обратный ход.

Записывается расширенная матрица системы $(A|B)$.

Прямой ход: Методом элементарных преобразований строк приводим матрицу A к верхнетреугольному (ступенчатому виду). На главной диагонали такой матрицы должны стоять единицы.

Обратный ход: Приводим получившуюся верхнетреугольную матрицу к единичной. Т.е. необходимо обнулить все элементы, находящиеся выше главной диагонали.

Рассмотрим метод Гаусса на примере

$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3=9\\ 2x_1-x_2+3x_3=13\\ 3x_1+2x_2-5x_3=-9\end{array}\text{Запишем расширенную матрицу.}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 9\\ 2& -1& 3& 13\\ 3& 2& -5& -9\end{array}\right)$

Прямой ход: 1-й шаг $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 9\\ 2& -1& 3& 13\\ 3& 2& -5& -9\end{array}\right)\underset{(3)-3(1)}{\overset{(2)-2(1)}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 9\\ 0& -5& 5& -5\\ 0& -4& -2& -36\end{array}\right)\sim$

2-й шаг $\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 9\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& -4& -2& -36\end{array}\right)\stackrel{(3)+4(2)}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 9\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& -6& -32\end{array}\right)$ (Примечание: в рукописи в 3-й строке стоит $323$, но пример решен как для $32-5$, либо присутствует ошибка в арифметике на фото. Приведено согласно визуальному ряду цифр шагов решения).

3-й шаг $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 9\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 1& 4\end{array}\right)$

Обратный ход: 4-й шаг $\stackrel{(2)+(3)}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 13\\ 0& 1& 0& 5\\ 0& 0& 1& 4\end{array}\right)$

5-й шаг $\stackrel{(1)-2(2)}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 3\\ 0& 1& 0& 5\\ 0& 0& 1& 4\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=5\\ x_3=4\end{array}$

Ответ: $X=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 4\end{array}\right)$