Матрицы

Матрица размерности $m\times n$ — прямоугольная таблица вещественных чисел, которые расположены в “m” строках и “n” столбцах.

a_{11} & a_{12} & \dots &

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1n}& & & \\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

где $a_{ij}$ — элемент матрицы
$i$ — номер строки, $i=\overline{1,m}$
$j$ — номер столбца, $j=\overline{1,n}$
Обозначают $A,B,C$ и т.д.

Пример 1

$A={\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)}_{2\times 3}$

Виды матриц

Элементами матриц могут быть комплексные числа, многочлены, матрицы.
Мы будем рассматривать множество всех числовых матриц типа $m\times n$, элементами которых являются действительные числа. Это множество обычно обозначают $M_{m\times n}(\mathbb{R})$.

1. Матрица типа $1\times n$ — матрица-строка:
$A=(a_1{a}_2\dots a_n)$

2. Матрица типа $m\times 1$ — матрица-столбец:
$A=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \dots \\ a_m\end{array}\right)$

3. Если $m=n$ (число строк равно числу столбцов) — квадратная матрица порядка “n”
$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$

• $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$ — элементы главной диагонали
• $a_{1n},a_{2,n-1},\dots ,a_{n1}$ — элементы побочной диагонали

4. Если $m\ne n$ — прямоугольная матрица

5. Диагональная матрица:
$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \dots & 0\\ 0& a_{22}& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$

6. Единичная матрица:
$E=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)$

7. Матрицу ${\Theta }_{m\times n}$, элементы которой равны нулю, называют нулевой матрицей.

8. Верхняя треугольная матрица:
$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$

9. Нижняя треугольная матрица:
$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \dots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$

Линейные операции над матрицами

Опр. 1

Матрицы A и B равны ($A=B$), если $A\in M_{mn}(\mathbb{R})$, $B\in M_{mn}(\mathbb{R})$ и $a_{ij}=b_{ij}$ — совпадают соответствующие элементы ($i=\overline{1,m},j=\overline{1,n}$).

Опр. 2

Суммой матриц $A+B$, где $A=(a_{ij})\in M_{mn}(\mathbb{R})$, $B=(b_{ij})\in M_{mn}(\mathbb{R})$, называют матрицу $C=(c_{ij})\in M_{mn}(\mathbb{R})$, где $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

$$A+B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \dots & b_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ b_{m1}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}+b_{11}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}+b_{m1}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

Складывать можно только матрицы одного размера!

Операции сложения и умножения на число аналогичны операциям над векторами. Они также являются линейными операциями.
Пусть $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$, $C=(c_{ij})$, $\Theta$ — нулевая матрица.

1. Сложение коммутативно: $A+B=B+A$
2. Сложение ассоциативно: $(A+B)+C=A+(B+C)$
3. $\exists \Theta \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, что $\forall A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}):A+\Theta =A$
4. $\forall A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})\exists !B\in M_{m\times n}(\mathbb{R}):A+B=\Theta$. $B$ — противоположная матрица $-A$.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы $A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ на число $\lambda \in \mathbb{R}$ называют матрицу $C=(c_{ij})\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, элементы которой равны: $c_{ij}=\lambda a_{ij}$.

$C=\lambda A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda a_{11}& \dots & \lambda a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ \lambda a_{m1}& \dots & \lambda a_{mn}\end{array}\right)$

Свойства умножения матрицы на число:

1. Умножение матрицы на число ассоциативно:
   $(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$
2. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы чисел:
   $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$
3. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы матриц:
   $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
4. Умножение на единицу не меняет матрицу:
   $1\cdot A=A$

Транспонирование матриц

Пусть $A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, тогда её транспонированной матрицей называют матрицу $A^T=(c_{ij})\in M_{n\times m}(\mathbb{R})$, что $c_{ij}=a_{ji}$.
Т.е. транспонированная матрица получается в результате замены строк данной матрицы соответствующими столбцами.

$${\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)}_{m\times n}^T={\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{m1}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{1n}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)}_{n\times m}\text{т.е. строки и столбцы меняются местами}$$

Пример 2

${\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)}_{2\times 3}^T={\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)}_{3\times 2}{\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right)$

Свойства транспонирования:
1. $(A^T{)}^T=A$
2. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
3. $(\lambda A{)}^T=\lambda A^T,\lambda \in \mathbb{R}$
4. $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

Квадратная матрица $A$ называется:

• Симметрической, если $A^T=A$
  (Элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой. Т.е. $a_{ij}=a_{ji}$)
• Кососимметрической, если $A^T=-A$
  (Элементы, симметричные относительно главной диагонали, отличаются знаком, а диагональные равны нулю. Т.е. $a_{ij}=-a_{ji}$, при $i=j[a_{jj}]=-[a_{jj}]=0$)

Пример 3

$\left(\begin{array}{ccc}3& 6& -1\\ 6& 1& 4\\ -1& 4& 2\end{array}\right)$ — симметричная
$\left(\begin{array}{ccc}0& 6& -1\\ -6& 0& 4\\ 1& -4& 0\end{array}\right)$ — кососимметричная

Умножение матриц

Пусть $A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ и $B=(b_{ij})\in M_{n\times p}(\mathbb{R})$.
Под произведением матриц $AB$ понимают матрицу $C=(c_{ij})\in M_{m\times p}(\mathbb{R})$, т.е. $A_{m\times n}\times B_{n\times p}=C_{m\times p}$ (кол-во столбцов 1-й матрицы равно кол-ву строк 2-й матрицы).
”Строка на столбец”: $c_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}$

Пример 4

${\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 5& 1& 1\end{array}\right)}_{2\times 3}\times {\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)}_{3\times 2}=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 1& 3\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 1\\ 5\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 1& 5\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 1\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ 8& 8\end{array}\right)}_{2\times 2}$

Умножим матрицу-строку на матрицу-столбец: $A_{1\times n}\times B_{n\times 1}=(a_1{a}_2\dots a_n)\times \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ \dots \\ b_n\end{array}\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k{b}_k-\text{число}$

Пример: $(42-1)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=4\cdot 1+2\cdot 1+(-1)\cdot 1=5$

Если $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ \dots \\ a_n\end{array}\right)$ и $\vec{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ \dots \\ b_n\end{array}\right)$, то можно записать: $(\vec{a},\vec{b})={\vec{a}}^T\vec{b}$ (скалярное произведение).
Если $\vec{a}{\vec{b}}^T$: $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)(4-10)=\left(\begin{array}{ccc}1\cdot 4& 1\cdot (-1)& 1\cdot 0\\ 2\cdot 4& 2\cdot (-1)& 2\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& -1& 0\\ 8& -2& 0\end{array}\right)$

Квадратные матрицы можно перемножать, если они имеют один порядок. Тогда $\exists AB$ и $BA$.
Если $AB=BA$, то матрицы называют коммутирующими или перестановочными.

Свойства умножения матриц:

1. Умножение ассоциативно: $(AB)C=A(BC)$
2. Умножение дистрибутивно относительно сложения матриц: $(A+B)C=AC+BC$ $A(B+C)=AB+AC$
3. $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$ — ассоциативность
4. $A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, $B=(b_{ij})\in M_{n\times k}(\mathbb{R})$: $(AB{)}^T=B^T{A}^T$
5. $AE=EA=A$, $E$ — единичная матрица порядка $n$
6. $A\cdot \Theta =\Theta \cdot A=\Theta$, $\Theta$ — нулевая матрица

Возведение квадратных матриц в натуральную степень:
$A^1=A,A^{k+1}=A\cdot A^k$ — все матрицы одного порядка
$A^0=E$ — если матрица это же порядка

Элементарные преобразования матриц

Элементарные преобразования — преобразования, при которых сохраняется эквивалентность матриц.
Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называют:

1. Умножение i-й строки на число $\lambda \ne 0$ $\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots \\ a_{i1}& a_{i2}& \dots \end{array}\right)\stackrel{i\cdot \lambda }{\to }\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots \\ \lambda a_{i1}& \lambda a_{i2}& \dots \end{array}\right)$
2. Перестановка 2-х строк $(i\leftrightarrow j)$ $\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right)\stackrel{2\leftrightarrow 3}{\to }\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$
3. Добавление к i-й строке матрицы её k-й строки с коэффициентом $\lambda$: $\stackrel{2\to 2+\lambda \cdot 3}{\to }\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}+\lambda a_{31}& a_{22}+\lambda a_{32}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right)$

Это же справедливо для столбцов.

Элементарное преобразование строк (столбцов) матрицы А можно представить как умножение матрицы А ($m\times n$) на матрицу специального вида порядка $m$.

1. Умножение на число i-й строки: $B=E_i(\lambda )A,E={\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}_{3\times 3}\stackrel{2\to \lambda \cdot 2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}& \lambda a_{23}& \lambda a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right)$

2. Перестановка: $B=F_{ik}A,F:E\stackrel{2\leftrightarrow 3}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$ $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\end{array}\right)$

3. Добавление к i-й строке матрицы А(m×n) её k-й строки, умноженной на $\lambda$: $B=F_{ik}(\lambda )A,F:E\stackrel{2\to 2+\lambda \cdot 3}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& \lambda \\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& \lambda \\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right)=\dots$

Для столбцов: матрица А умножается на матрицу специального вида справа. $B=AE,A_{m\times n}\times E_{n\times n}$

Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк

Матрицы ступенчатого вида — матрицы типа $m\times n$, если для любой ее строки выполняется:

• под первым слева ненулевым элементом строки все элементы матрицы равны нулю;
• если перед этим элементом стоят нули, то под ними все элементы матрицы тоже нули.

Примеры: $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 4& 5\\ 0& 0& 0& 7\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 5\\ 0& 8& 0& 1\\ 0& 0& -1& -1\end{array}\right)$

Рассмотрим метод на примере

$\left(\begin{array}{cccc}1& -3& 2& 1\\ 2& 1& 1& -1\\ 3& -2& 2& -3\end{array}\right)\sim \{\begin{array}{l}2\to 2-1\cdot 2\\ 3\to 3+1\cdot (-3)\end{array}\sim \left(\begin{array}{cccc}1& -3& 2& 1\\ 0& 7& -3& -3\\ 0& 7& -4& -6\end{array}\right)\sim 3\to 3-2\sim$ $\sim \left(\begin{array}{cccc}1& -3& 2& 1\\ 0& 7& -3& -3\\ 0& 0& -1& -3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& -3& 2& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right)$

(Примечание: В примере показан переход от второй матрицы к третьей через вычитание строк, и последующее упрощение).

Подробно из рукописи: $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 3& 1\\ 2& 1& -2& 2\\ 1& -2& 3& 1\end{array}\right)\sim 2\leftrightarrow 3\sim \left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 1\\ 2& 1& -2& 2\\ 1& 0& 3& 1\end{array}\right)\sim \{\begin{array}{l}2\to 2-1\cdot 2\\ 3\to 3-1\cdot 1\end{array}\sim$ $\sim \left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 1\\ 0& 5& -8& 0\\ 0& 2& 0& 0\end{array}\right)\sim 3\to 3-2\cdot \frac{2}{5}\sim \left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 1\\ 0& 5& -8& 0\\ 0& 0& \frac{16}{5}& 0\end{array}\right)$