РК2

Вопрос №1. Определить линейные операции над матрицами и сформулировать их свойства.

Определить линейные операции над матрицами и сформулировать их свойства.

Опр. 2
Суммой матриц $A+B$, где $A=(a_{ij})\in M_{mn}(\mathbb{R})$, $B=(b_{ij})\in M_{mn}(\mathbb{R})$, называют матрицу $C=(c_{ij})\in M_{mn}(\mathbb{R})$, где $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

$$A+B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \dots & b_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ b_{m1}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}+b_{11}& \dots & a_{1n}+b_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}+b_{m1}& \dots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

Складывать можно только матрицы одного размера!

Произведением матрицы $A=(a_{ij})\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ на число $\lambda \in \mathbb{R}$ называют матрицу $C=(c_{ij})\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, элементы которой равны: $c_{ij}=\lambda a_{ij}$.

$C=\lambda A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda a_{11}& \dots & \lambda a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ \lambda a_{m1}& \dots & \lambda a_{mn}\end{array}\right)$

Свойства сложения:

1. Коммутативно: $A+B=B+A$
2. Ассоциативно: $(A+B)+C=A+(B+C)$
3. $\exists \Theta \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, что $\forall A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}):A+\Theta =A$
4. $\forall A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})\exists !B\in M_{m\times n}(\mathbb{R}):A+B=\Theta$. $B$ — противоположная матрица $-A$.

Свойства умножения матрицы на число:

1. Умножение матрицы на число ассоциативно: $(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$
2. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы чисел: $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$
3. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы матриц: $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
4. Умножение на единицу не меняет матрицу: $1\cdot A=A$

Вопрос №2. Сформулировать определение линейной зависимости строк (столбцов) матрицы.

Сформулировать определение линейной зависимости строк (столбцов) матрицы.

Строки $a_1,\dots ,a_m$ называют линейно зависимыми, если найдутся такие числа ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$, не равные нулю одновременно, что справедливо равенство: ${\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+\cdots +{\alpha }_m{a}_m=\vec{0}$ Где $\vec{0}(0,0\dots 0)$ — нулевая строка. Если же такие числа не существуют, т.е. из равенства ${\alpha }_1{a}_1+\cdots +{\alpha }_m{a}_m=\vec{0}$ следует, что все числа ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ равны нулю, то строки называют линейно независимыми.

Вопрос №3. Сформулировать и доказать критерий линейной зависимости строк (столбцов) матрицы.

Сформулировать и доказать критерий линейной зависимости строк (столбцов) матрицы.

Th 1 Критерий линейной зависимости Для того чтобы строки $a_1,\dots ,a_m$ были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы одна из них являлась линейной комбинацией остальных.

Доказательство:

1. $▲(\Rightarrow )$ Пусть $a_1,\dots ,a_m$ — линейно зависимы $\Rightarrow \exists$ х.б. 1 коэф-т ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\ne 0$. Пусть ${\alpha }_1\ne 0$, тогда ${\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+\cdots +{\alpha }_m{a}_m=0$. ${\alpha }_1\ne 0\Rightarrow a_1=-\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_1}{a}_2-\cdots -\frac{{\alpha }_m}{{\alpha }_1}{a}_m$, т.е. $a_1$ является лин. комб. остальных строк $a_2\dots a_m▲$.
2. $▲(\Leftarrow )$ Пусть строка $a_1$ является линейной комбинацией остальных строк: $a_1={\beta }_2{a}_2+\cdots +{\beta }_m{a}_m$, тогда $a_1-{\beta }_2{a}_2-\cdots -{\beta }_m{a}_m=\vec{0}$ — линейная комбинация, где коэф. при $a_1$ равен $1\ne 0\Rightarrow$ линейно зависимы $▲$.

Вопрос №4. Сформулировать определение элементарных преобразований над строками (столбцами) матрицы.

Сформулировать определение элементарных преобразований над строками (столбцами) матрицы.

Элементарные преобразования — преобразования, при которых сохраняется эквивалентность матриц.
Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называют:

1. Умножение i-й строки на число $\lambda \ne 0$
2. Перестановка 2-х строк $(i\leftrightarrow j)$
3. Добавление к i-й строке матрицы её k-й строки с коэффициентом $\lambda$

Вопрос №5. Сформулировать определение обратной матрицы.

Сформулировать определение обратной матрицы.

Квадратную матрицу $A^{-1}\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ называют обратной к матрице $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$, если: $A^{-1}A=A{A}^{-1}=E$
где $E$ — единичная матр.

Вопрос №6. Сформулировать и доказать критерий существования обратной матрицы.

Сформулировать и доказать критерий существования обратной матрицы.

Th 3 Критерий существования обратной матрицы.
Для того чтобы квадратная матрица $A\in M_{nn}(\mathbb{R})$ имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы $\det A\ne 0$.

Доказательство:

1. Пусть $\exists A^{-1}\in M_{nn}(\mathbb{R})$ и $A{A}^{-1}=E$. Тогда $\det (A{A}^{-1})=\det E=1$. По свойству определителей: $\det (AB)=\det A\det B$. $\Rightarrow \det (A{A}^{-1})=\det A\det A^{-1}=1⟹\det A\ne 0$. $▲$
2. Пусть $A\in M_{nxn}(\mathbb{R})$ и $\det A\ne 0$. Введем понятие $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{D}_{ij}$ — алгебраическое дополнение. Рассмотрим матрицу $B$: $B=(b_{ij})=\left(\begin{array}{ccc}\frac{A_{11}}{\det A}& \dots & \frac{A_{n1}}{\det A}\\ \dots & \dots & \dots \\ \frac{A_{1n}}{\det A}& \dots & \frac{A_{nn}}{\det A}\end{array}\right)$ Покажем, что $C=AB$ имеет элементы… (доказательство $AB=BA=E⟹B=A^{-1}$). $\Rightarrow AB=BA=E\Rightarrow B=A^{-1}$ — обратная матрица. $▲$

Вопрос №7. Связь обратной и присоединенной матриц.

Связь обратной и присоединенной матриц.

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$
Матрица $A^{\ast }$: присоединенная матрица, транспонированная к матрице $A_{ij}$ алгебраических дополнений. (из эл-тов $A_{ij}$, где $j$ - номер стр, $i$ - номер столбца).

Вопрос №8. Сформулировать и доказать теорему о формулах Крамера.

Сформулировать и доказать теорему о формулах Крамера.

Th 4 СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера.

Вывод: Запишем уравнение AX=B в координатной форме. Для обратной матрицы: $A^{-1}=\frac{1}{\Delta }(A_{ij}{)}^T$, где ${\Delta }_{ij}$ — алг. доп-я. т.е. $X=\frac{1}{\Delta }{A}^{\ast }B$ — запишем это ур-е в координатной форме: $x_k=\frac{1}{\Delta }(b_1{A}_{1k}+b_2{A}_{2k}+\cdots +b_n{A}_{nk})=\frac{1}{\Delta }{\sum }_{i=1}^n{b}_i{A}_{ik}=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$

Это разложение по 1-му столбцу определителя, полученного заменой 1-го столбца матрицы A столбцом свободных членов (матрицы B). $x_1=\frac{{\Delta }_1}{\det A};\dots x_k=\frac{{\Delta }_k}{\Delta }$ ${\Delta }_j$ — определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой j-го столбца на столбец свободных членов.

Вопрос №9. Сформулировать и доказать теорему о единственности обратной матрицы.

Сформулировать и доказать теорему о единственности обратной матрицы.

Th 1
Если для $A\in M_{mn}(\mathbb{R})$ существует обратная матрица $A^{-1}$, то она единственная.

Доказательство: Пусть у $A$ 2 обратные матрицы: $A_1^{-1}$ и $A_2^{-1}$. Тогда согласно определению обратной матрицы: $A_1^{-1}\cdot A=E$ и $A{A}_2^{-1}=E$. Далее: $A_1^{-1}=A_1^{-1}\cdot E=A_1^{-1}\cdot (A{A}_2^{-1})=(A_1^{-1}A)\cdot A_2^{-1}=E\cdot A_2^{-1}=A_2^{-1}$. Т.е. $A_1^{-1}=A_2^{-1}$, что и требовалось доказать.

Вопрос №10. Сформулировать и доказать теорему об обратной матрице к произведению двух матриц.

Сформулировать и доказать теорему об обратной матрице к произведению двух матриц.

Th 2 (О произведении двух обратных матриц)
Если матрицы A и B имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

Доказательство: $(AB)B^{-1}{A}^{-1}=E$ и $(B^{-1}{A}^{-1})AB=E$. из св-ва ассоц-ти: $(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AE{A}^{-1}=A{A}^{-1}=E$. $(B^{-1}{A}^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}EB=B^{-1}B=E$. $▲$

Вопрос №11. Решение матричных уравнений вида AX=B , XA=B, AXB=C.

Решение матричных уравнений вида AX=B , XA=B, AXB=C.

Пусть $A,B$ — невырожденные квадратные матрицы ($\det A\ne 0,\det B\ne 0$).

(1) $AX=B$ Умножаем обе части уравнения на $A^{-1}$ слева: $AX=B⟹A^{-1}(AX)=A^{-1}B⟹(A^{-1}A)X=A^{-1}B⟹EX=A^{-1}B⟹X=A^{-1}B$

(2) $XA=B$ Умножаем обе части уравнения на $A^{-1}$ справа: $XA=B⟹(XA)A^{-1}=B{A}^{-1}⟹X(A{A}^{-1})=B{A}^{-1}⟹XE=B{A}^{-1}⟹X=B{A}^{-1}$

(3) $AXB=C$ Умножаем на $A^{-1}$ слева и на $B^{-1}$ справа: 3. Умножаем слева на $A^{-1}$: $A^{-1}(AXB)=A^{-1}C⟹(A^{-1}A)XB=A^{-1}C⟹XB=A^{-1}C$ 4. Умножаем полученное выражение справа на $B^{-1}$: $(XB)B^{-1}=(A^{-1}C)B^{-1}⟹X(B{B}^{-1})=A^{-1}C{B}^{-1}⟹X=A^{-1}C{B}^{-1}$

Важно В матричном умножении $A^{-1}C{B}^{-1}\ne B^{-1}C{A}^{-1}$ (в общем случае), поэтому порядок множителей менять нельзя.

Вопрос №12. Сформулировать определения ранга матрицы и базисного минора.

Сформулировать определения ранга матрицы и базисного минора.

Рангом матрицы называют максимальный порядок отличного от нуля минора ($RgA$).

Минор матрицы А называют базисным, если выполнены 2 условия: 1) он не равен нулю; 2) его порядок равен рангу матрицы А.

Вопрос №13. Сформулировать теорему о базисном миноре. Сформулировать и доказать ее следствие для квадратных матриц.

Сформулировать теорему о базисном миноре. Сформулировать и доказать ее следствие для квадратных матриц.

Th 2 О базисном миноре

1. Строки (столбцы) матрицы А, входящие в ее базисный минор, линейно независимы.
2. Любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Следствие: Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её строки (столбцы) были линейно независимы. $▲$ ($A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ — невырождена $\Rightarrow$ ее ранг равен ее порядку $n$, $\det A=\text{БМ}\Rightarrow$ все строки (столбцы) лин. независимы (Th 2 БМ)). $⊚$ Строки (столбцы) матрицы $A\in M_{nn}(\mathbb{R})$ линейно независимы $\Rightarrow$ они являются базисными $\Rightarrow$ им соотв-ет определитель матрицы $A$, который является $БМ$ и $\Rightarrow \ne 0$, т.е. кв. матр A — невырождена $▲$

Вопрос №14. Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Вид системы:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}(\ast )\text{или }AX=\Theta$$

Однородная СЛАУ всегда совместна, так как имеет тривиальное решение $X={\Theta }_{n\times 1}$.

Вопрос №15. Формы записи однородной СЛАУ.

Формы записи однородной СЛАУ.

Координатная форма:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$

Векторная запись: $x_1{\vec{a}}_1+x_2{\vec{a}}_2+\cdots +x_n{\vec{a}}_n=\vec{0}$ Матричная форма: $AX=\Theta$

Вопрос №16. Сформулировать и доказать критерий существования ненулевых решений однородной СЛАУ.

Сформулировать и доказать критерий существования ненулевых решений однородной СЛАУ.

Th 2 Для того чтобы система линейных однородных уравнений (*) имела ненулевое (нетривиальное) решение, необходимо и достаточно, чтобы её ранг был меньше числа неизвестных. $RgA=r<n$

Доказательство: ($\Rightarrow$) Пусть исходная однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение. Ранг не может быть больше числа неизвестных. Если $n=r$ (ранг равен кол-ву неизвестных), то кол-во столбцов равно кол-ву строк (для базисного минора), т.е. матрица $A$ — квадратная (в пределах базиса). Тогда по определению однородная СЛАУ имеет единственное решение $X={\Theta }_{n\times 1}\Rightarrow RgA=r<n$. $▲$ (Доказательство от противного).

($\Leftarrow$) Пусть $RgA=r<n$. Рассмотрим систему (*). Пусть БМ содержит строки и столбцы с номерами $1\dots r$. Представим матрицу $\tilde{A}$ в виде блочной матрицы: $\hat{A}=(A_{Б}|A_{С})$. Тогда $\hat{A}X=\Theta$ можно представить в виде: $A_{Б}{X}_{Б}+A_{С}{X}_{С}=\Theta \Rightarrow A_{Б}{X}_{Б}=-A_{С}{X}_{С}\Rightarrow X_{Б}=-A_{Б}^{-1}{A}_{С}{X}_{С}$ Вывод: Решение зависит от вектора свободных неизвестных $X_{С}$, который может принимать любые значения (кроме нулевого, чтобы получить нетривиальное решение).

Вопрос №17. Сформулировать определение ФСР для однородной СЛАУ.

Сформулировать определение ФСР для однородной СЛАУ.

Определение 1 Любая совокупность из $k=n-r$ линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений (ФСР) этой однородной системы. Здесь $n$ — количество неизвестных, $r$ — ранг матрицы $A$.

Вопрос №18. Нормальная ФСР.

Нормальная ФСР.

Фундаментальные системы решений, в которых свободные неизвестные представимы в виде (${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,\dots ,{\vec{e}}_k$), когда в одном векторе стоит единица, остальные элементы нули, называют нормальными фундаментальными системами решений.

Вопрос №19. Сформулировать и доказать теорему о существовании ФСР для однородной СЛАУ.

Сформулировать и доказать теорему о существовании ФСР для однородной СЛАУ.

Th 1 О ФСР Для однородной СЛАУ $AX=0$ с $n$ неизвестными и $RgA=r$ существует набор из $k=n-r$ решений ${\vec{x}}^1,{\vec{x}}^2,\dots ,{\vec{x}}^k$ этой СЛАУ, образующих ФСР.

Доказательство: 5. Выпишем из исходной системы только базисные строки: $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{r1}{x}_1+a_{r2}{x}_2+\cdots +a_{rn}{x}_n=0\end{array}(\tilde{A}X=\tilde{\Theta })$ 6. Разделим на базисные и свободные неизвестные: $A_{Б}{X}_{Б}=-A_C{X}_C$ Пусть $A_{Б}{X}_{Б}=-A_C{X}_C=\tilde{B}$ — квадратная СЛАУ, $\det A_{Б}\ne 0$, т.к. базис $\Rightarrow \exists !$ решение. Таким образом, любое решение зависит от свободных неизвестных $x_{r+1},\dots ,x_n$.

7. Представим следующим образом свободные неизвестные: $${\vec{e}}_1={\tilde{X}}_C^1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right);{\vec{e}}_2={\tilde{X}}_C^2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right);\dots ;{\vec{e}}_k={\tilde{X}}_C^k=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$ Каждому свободному ${\vec{X}}_C^i$ вектору соответствует вектор базисных неизвестных ${\vec{X}}_{Б}^i$. Совокупность свободных и базисных неизвестных дают решение системы $({\vec{x}}^i)$: ${\vec{x}}^i=\left(\begin{array}{c}{\vec{X}}_{Б}^i\\ {\vec{X}}_C^i\end{array}\right),i=\overline{1,k},k=n-r$ Такие решения образуют ФСР. Покажем это. Пусть существует некоторая линейная комбинация решений ${\vec{x}}^1,\dots ,{\vec{x}}^k$, равная нулевому столбцу: $c_1{\vec{x}}^1+c_2{\vec{x}}^2+\cdots +c_k{\vec{x}}^k=\vec{0}$ Уравнения с $r+1$ до $n$ имеют вид: $c_1\cdot 1+c_2\cdot 0+\cdots =0\Rightarrow c_1=0$ … $c_k=0$ $\Downarrow$ линейная независимость решений ${\vec{x}}^1,\dots ,{\vec{x}}^k▲$

Вопрос №20. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ.

Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ.

Определение СЛАУ вида $AX=B$, где $B$ — столбец свободных членов с ненулевыми элементами, называется неоднородной СЛАУ.

Формы записи: Координатная:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ \dots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

Векторная: $x_1{\vec{a}}_1+x_2{\vec{a}}_2+\cdots +x_n{\vec{a}}_n=\vec{b}$ Матричная: $AX=B$

Вопрос №21. Определение совместной и несовместной СЛАУ.

Определение совместной и несовместной СЛАУ.

8. Совместная — имеет хотя бы одно решение.
9. Несовместная — не имеет решений.

Вопрос №22. Сформулировать и доказать критерий Кронекера-Капелли.

Сформулировать и доказать критерий Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера — Капелли

Для совместности СЛАУ $AX=B$ необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы был равен рангу её расширенной матрицы $(A|B)$. $RgA=Rg(A|B)=r$

Доказательство: 1. Необходимость ($\Rightarrow$) Пусть СЛАУ совместна $\Rightarrow \exists X_0=(x_1^0,\dots ,x_n^0{)}^T$, такой что $A{X}_0=B$. В векторной форме: $x_1^0{\vec{a}}_1+\cdots +x_n^0{\vec{a}}_n=\vec{b}$. Следовательно, последний столбец в расширенной матрице $(A|B)$ является линейной комбинацией остальных столбцов матрицы $A$. $\Rightarrow (A|B)\sim (A|\Theta )\Rightarrow RgA=Rg(A|B)▲$

2. Достаточность ($\Leftarrow$) Пусть $RgA=Rg(A|B)=r$, где $r\le \min (m,n)$. Тогда базисные столбцы матрицы $A$ будут одновременно являться и базисными столбцами расширенной матрицы $(A|B)$. Предположим, что базисными столбцами являются первые $r$ столбцов. Согласно теореме о базисном миноре (любые столбцы являются линейной комбинацией столбцов БМ), следует: $\exists \text{ такие числа }\{x_i^0\},\text{ что }{\vec{a}}_1{x}_1^0+\cdots +{\vec{a}}_r{x}_r^0=\vec{b}$ $\Rightarrow A{X}_0=B,\text{ где }{X}_0=(x_1^0\dots x_r^0,0\dots 0{)}^T\Rightarrow \text{СЛАУ совместна }▲$