Ранг матрицы

Определение 1

Минором k-го порядка матрицы $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$ (где $1\le k\le \min (m,n)$) называют определитель матрицы, составленной из элементов матрицы А, расположенных на пересечении k строк и k столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов. Строки (столбцы), входящие в минор, попарно различны, расположены в порядке возрастания.

Обозначения: $M_{i_1,i_2\dots i_k}^{j_1,j_2\dots j_k}$, где $i$ — строки, $j$ — столбцы.

Пример:

$A={\left(\begin{array}{ccccc}2& 1& 2& 0& 4\\ 3& 4& 5& 1& 0\\ 1& 7& 0& 4& 8\\ 0& 1& 6& 3& 1\end{array}\right)}_{4\times 5}$

• $M_1^1=|2|=2$ — минор 1-го порядка
• $M_{23}^{34}=\left|\begin{array}{cc}5& 1\\ 0& 4\end{array}\right|=20-0=20$ — минор 2-го порядка (пересеч. 2 и 3 строк и 3 и 4 столбцов)
• $M_{134}^{245}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 7& 0& 8\\ 1& 3& 1\end{array}\right|=124$ — минор 3-го порядка
• Максимальный порядок — минор 4-го порядка.

Определение 2

Рангом матрицы называют максимальный порядок отличного от нуля минора ($RgA$).

• Если квадратная матрица $A_{nn}$ невырождена, то ранг равен её порядку $n$.
• Если квадратная матрица вырождена, то ранг меньше её порядка.
• Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых диагональных элементов.

Следствия:

$$\begin{array}{c}\text{I}A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})\Rightarrow \\ \{0\le RgA\le \min (m,n);RgA=0\iff A={\Theta }_{m\times n}\}\\ \\ \text{II}RgA=Rg{A}^T\\ (\text{т.к. минор-определитель, а в нем строки и столбцы равноправны})\\ \\ \text{III}\text{Ранг матрицы не меняется при элементарных}\\ \text{преобразованиях её строк и столбцов (ранг инвариантен).}\end{array}$$

Определение 3

Минор матрицы А называют базисным, если выполнены 2 условия: 1) он не равен нулю; 2) его порядок равен рангу матрицы А. Строки (столбцы), образующие БМ, называют базисными.

Линейная зависимость строк и столбцов

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{k1}& a_{k2}& \dots & a_{kn}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$ Пусть $a_1,\dots ,a_m$ — строки матрицы А. Линейной комбинацией строк $a_1,\dots ,a_m$ называется выражение: ${\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+\cdots +{\alpha }_m{a}_m,\text{ где }{\alpha }_i-\text{действительные числа.}$

Определение 4

Строки $a_1,\dots ,a_m$ называют линейно зависимыми, если найдутся такие числа ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$, не равные нулю одновременно, что справедливо равенство: ${\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+\cdots +{\alpha }_m{a}_m=\vec{0}$ Где $\vec{0}(0,0\dots 0)$ — нулевая строка. Если же такие числа не существуют, т.е. из равенства ${\alpha }_1{a}_1+\cdots +{\alpha }_m{a}_m=\vec{0}$ следует, что все числа ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ равны нулю, то строки называют линейно независимыми.

Th 1 Критерий линейной зависимости Для того чтобы строки $a_1,\dots ,a_m$ были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы одна из них являлась линейной комбинацией остальных.

Доказательство:

1. $▲(\Rightarrow )$ Пусть $a_1,\dots ,a_m$ — линейно зависимы $\Rightarrow \exists$ х.б. 1 коэф-т ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\ne 0$. Пусть ${\alpha }_1\ne 0$, тогда ${\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+\cdots +{\alpha }_m{a}_m=0$. ${\alpha }_1\ne 0\Rightarrow a_1=-\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_1}{a}_2-\cdots -\frac{{\alpha }_m}{{\alpha }_1}{a}_m$, т.е. $a_1$ является лин. комб. остальных строк $a_2\dots a_m▲$.
2. $▲(\Leftarrow )$ Пусть строка $a_1$ является линейной комбинацией остальных строк: $a_1={\beta }_2{a}_2+\cdots +{\beta }_m{a}_m$, тогда $a_1-{\beta }_2{a}_2-\cdots -{\beta }_m{a}_m=\vec{0}$ — линейная комбинация, где коэф. при $a_1$ равен $1\ne 0\Rightarrow$ линейно зависимы $▲$.

Во всех рассуждениях все, что касается строк справедливо и для столбцов.

Th 2 О базисном миноре

1. Строки (столбцы) матрицы А, входящие в ее базисный минор, линейно независимы.
2. Любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

(Док-во для строк) Пусть $A\in M_{mn}(\mathbb{R})$ и $RgA=r$

1. $▲$ Допустим, что строки, входящие в БМ, линейно зависимы. Следовательно, одна является линейной комбинацией остальных. Из свойства определителей следует, что такой минор будет равен нулю. Но он не равен нулю, т.к. является базисным. $\Rightarrow$ Базисные строки линейно независимы.
2. $▲$ Рассмотрим БМ, расположенный в верхнем левом углу матрицы. Т.е. он располагается на первых $r$ строках и первых $r$ столбцах матрицы. $A=\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1r}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2r}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{r1}& a_{r2}& \dots & a_{rr}& \dots & a_{rn}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mr}& \dots & a_{mn}\end{array}\right),\Delta =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1r}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{r1}& a_{r2}& \dots & a_{rr}\end{array}\right|$ Рассмотрим определитель порядка $r+1$, который получен добавлением к БМ k-й строки и j-го столбца матрицы А. $j=1\dots n,k=1\dots m$. ${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1r}& a_{1j}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{r1}& a_{r2}& \dots & a_{rr}& a_{rj}\\ a_{k1}& a_{k2}& \dots & a_{kr}& a_{kj}\end{array}\right|$ При $j\le r$ или $k\le r\Rightarrow {\Delta }_1=0$, т.к. получаем два одинаковых столбца или строки. При $j>r$ и $k>r\Rightarrow {\Delta }_1=0$, т.к. является минором матрицы А порядка $(r+1)$, а всякий такой минор равен нулю (по определению БМ). Итак, определитель ${\Delta }_1$ равен нулю при $j=1,n$ и $k=1,m$. Разложим определитель ${\Delta }_1$ по последнему столбцу: $a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{rj}{A}_{rj}+a_{kj}{A}_{kj}=0$ обозначим $A_{1j}=c_1,A_{2j}=c_2,\dots A_{rj}=c_r,A_{kj}=c_{r+1}$ — алгебр. дополн. тогда: $a_{1j}{c}_1+a_{2j}{c}_2+\cdots +a_{rj}{c}_r+a_{kj}{c}_{r+1}=0$. Учитывая, что $A_{kj}=c_{r+1}=\text{БМ}\ne 0\Rightarrow$ можно выразить $a_{kj}$: $a_{kj}=-\frac{c_1}{c_{r+1}}{a}_{1j}-\frac{c_2}{c_{r+1}}{a}_{2j}-\cdots -\frac{c_r}{c_{r+1}}{a}_{rj}$, т.е. лин. ком. остальных строк $▲$ ($j=\overline{1,n}$)

Следствие: Для того чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её строки (столбцы) были линейно независимы. $▲$ ($A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ — невырождена $\Rightarrow$ ее ранг равен ее порядку $n$, $\det A=\text{БМ}\Rightarrow$ все строки (столбцы) лин. независимы (Th 2 БМ)). $⊚$ Строки (столбцы) матрицы $A\in M_{nn}(\mathbb{R})$ линейно независимы $\Rightarrow$ они являются базисными $\Rightarrow$ им соотв-ет определитель матрицы $A$, который является $БМ$ и $\Rightarrow \ne 0$, т.е. кв. матр A — невырождена $▲$

Th 3 Для любой матрицы её ранг равен максимальному количеству линейно независимых строк (столбцов).

Вычисление ранга матрицы

Рассмотрим 2 метода поиска ранга матрицы.

1. Метод элементарных преобразований.
2. Метод окаймляющих миноров.

Метод 1.

Приводим матрицу к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк.

Пример:

$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 1& -1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\sim \{\begin{array}{l}(2):2(2)-(1)\\ (3):2(3)-(1)\end{array}\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 3& -1\\ 0& 1& -3\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\sim \{\begin{array}{l}(3):3(3)+(2)\\ (4):3(4)+(2)\end{array}\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 3& -1\\ 0& 0& -10\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ $\sim (4):5(4)+(3)\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 3& -1\\ 0& 0& -10\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\stackrel{/\text{на диаг. эл-ты}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& \dots & \dots \\ 0& 1& \dots \\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow RgA=3$

Метод 2.

Необходимо найти минор наивысшего порядка, отличного от нуля.

Определение 5

Минор M’ матрицы А называют окаймляющим для минора M, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы А. Порядок M’ на единицу больше M.

Th 3 Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие его миноры равны нулю, то он является базисным.

Пример:

${\left(\begin{array}{cccc}3& 1& -2& 0\\ 1& 2& 1& -1\\ 5& 5& 0& 2\\ 4& 3& -1& -1\end{array}\right)}_{4\times 4}$ $M_1^1=3\ne 0M_{12}^{12}=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=5\ne 0$ $M_{123}^{123}=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 1& 2& 1\\ 5& 5& 0\end{array}\right|=10-10=0M_{123}^{124}=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 1& 2& -1\\ 5& 5& 2\end{array}\right|=3-3=0$ $M_{124}^{123}=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 1& 2& 1\\ 4& 3& -1\end{array}\right|=-15+5+10=0M_{124}^{124}=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 1& 2& -1\\ 4& 3& -1\end{array}\right|=3-3=0$ Все окаймляющие миноры 3-го порядка равны нулю $\Rightarrow RgA=2$

Методом элементарных преобразований: $\left(\begin{array}{cccc}3& 1& -2& 0\\ 1& 2& 1& -1\\ 5& 5& 0& 2\\ 4& 3& -1& -1\end{array}\right)\sim (1)\leftrightarrow (2)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& -1\\ 3& 1& -2& 0\\ 5& 5& 0& 2\\ 4& 3& -1& -1\end{array}\right)\sim \{\begin{array}{l}(2):(2)-3(1)\\ (3):(3)-5(1)\\ (4):(4)-4(1)\end{array}\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& -1\\ 0& -5& -5& 3\\ 0& -5& -5& 7\\ 0& -5& -5& 3\end{array}\right)\sim$ $\sim \{\begin{array}{l}(3)-(2)\\ (4)-(2)\end{array}\Rightarrow 2\text{ строки }=7\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& -1\\ 0& -5& -5& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow RgA=2$

Определение 6

Миноры вида $M_1^1,M_{12}^{12},M_{123}^{123}\dots M_{1\dots k}^{1\dots k}$ — угловые миноры.