Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Координатная форма

Система вида:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \dots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}(1)$$

• $x_1,\dots ,x_n$ — неизвестные
• $a_{ij}$ — коэффициенты СЛАУ
• $b_1,\dots ,b_m$ — свободные члены

Векторная запись

Обозначим столбцы:

$${\vec{a}}_1=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ \dots \\ a_{m1}\end{array}\right),{\vec{a}}_2=\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ \dots \\ a_{m2}\end{array}\right),\dots ,{\vec{a}}_n=\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ \dots \\ a_{mn}\end{array}\right),\vec{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ \dots \\ b_m\end{array}\right)$$

Тогда: $x_1{\vec{a}}_1+x_2{\vec{a}}_2+\cdots +x_n{\vec{a}}_n=\vec{b}(2)$ (2) — векторная запись СЛАУ. Представляет столбец $\vec{b}$ в виде линейной комбинации столбцов ${\vec{a}}_j$.

Матричная форма

Если представить СЛАУ (1) как произведение матриц:

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)⟹AX=B$$

• $A$ — матрица $m\times n$
• $X$ — столбец неизвестных $n\times 1$
• $B$ — столбец свободных членов $m\times 1$

Виды СЛАУ по столбцу $B$

• Однородная: если $b_i=0\forall i=\overline{1,m}$ (или $AX=\Theta$).
• Неоднородная: иначе.

Пример 1

$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2=0\\ 2x_1+3x_2=1\end{array}\iff \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\text{— неоднородная СЛАУ}$

Решения и типы СЛАУ

Определение

Решением СЛАУ (1) называют любую совокупность чисел $x_1^0,\dots ,x_n^0$, которая при подстановке в каждое уравнение системы превращает это уравнение в тождество.

Классификация

1. Совместная — имеет хотя бы одно решение.
2. Несовместная — не имеет решений.
3. Определенная — имеет единственное решение.
4. Неопределенная — имеет более одного решения.

Замечания:

• Однородная СЛАУ всегда совместна, так как имеет тривиальное решение $X={\Theta }_{n\times 1}$.
• Если $m=n$, то СЛАУ квадратная.
• Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Критерий совместности СЛАУ

Теорема Кронекера — Капелли

Для совместности СЛАУ $AX=B$ необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы был равен рангу её расширенной матрицы $(A|B)$. $RgA=Rg(A|B)=r$

Доказательство

1. Необходимость ($\Rightarrow$) Пусть СЛАУ совместна $\Rightarrow \exists X_0=(x_1^0,\dots ,x_n^0{)}^T$, такой что $A{X}_0=B$. В векторной форме: $x_1^0{\vec{a}}_1+\cdots +x_n^0{\vec{a}}_n=\vec{b}$. Следовательно, последний столбец в расширенной матрице $(A|B)$ является линейной комбинацией остальных столбцов матрицы $A$. $\Rightarrow (A|B)\sim (A|\Theta )\Rightarrow RgA=Rg(A|B)▲$

2. Достаточность ($\Leftarrow$) Пусть $RgA=Rg(A|B)=r$, где $r\le \min (m,n)$. Тогда базисные столбцы матрицы $A$ будут одновременно являться и базисными столбцами расширенной матрицы $(A|B)$. Предположим, что базисными столбцами являются первые $r$ столбцов. Согласно теореме о базисном миноре (любые столбцы являются линейной комбинацией столбцов БМ), следует: $\exists \text{ такие числа }\{x_i^0\},\text{ что }{\vec{a}}_1{x}_1^0+\cdots +{\vec{a}}_r{x}_r^0=\vec{b}$ $\iff {\vec{a}}_1{x}_1^0+\cdots +{\vec{a}}_r{x}_r^0+{\vec{a}}_{r+1}\cdot 0+\cdots +{\vec{a}}_n\cdot 0=\vec{b}$ $\Rightarrow A{X}_0=B,\text{ где }{X}_0=(x_1^0\dots x_r^0,0\dots 0{)}^T\Rightarrow \text{СЛАУ совместна }▲$

Пример 2

$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3=0\\ x_1-2x_2-5x_3=0\\ x_1+x_2+2x_3=1\end{array}(A|B)=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 1& -2& -5& 0\\ 1& 1& 2& 1\end{array}\right)\sim \cdots \sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 0& 1& 2& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$ $RgA=2\ne Rg(A|B)=3\Rightarrow \text{СЛАУ несовместна, решений нет.}$

Пример 3

$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2=1\\ 2x_1+x_2=2\end{array}\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 1& 2\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 0& -5& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$ $RgA=2=Rg(A|B)=2\Rightarrow \text{Система совместна.}$

Однородные системы

Вид системы:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}(\ast )\text{или }AX=\Theta$$

Th 2 Для того чтобы система линейных однородных уравнений (*) имела ненулевое (нетривиальное) решение, необходимо и достаточно, чтобы её ранг был меньше числа неизвестных. $RgA=r<n$

Доказательство

($\Rightarrow$) Пусть исходная однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение. Ранг не может быть больше числа неизвестных. Если $n=r$ (ранг равен кол-ву неизвестных), то кол-во столбцов равно кол-ву строк (для базисного минора), т.е. матрица $A$ — квадратная (в пределах базиса). Тогда по определению однородная СЛАУ имеет единственное решение $X={\Theta }_{n\times 1}\Rightarrow RgA=r<n$. $▲$ (Доказательство от противного).

($\Leftarrow$) Пусть $RgA=r<n$. Рассмотрим систему (*). Пусть БМ содержит строки и столбцы с номерами $1\dots r$.

$$M=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1r}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{r1}& \dots & a_{rr}\end{array}\right|\ne 0$$

Система: $\tilde{A}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)={\Theta }_{r\times 1}$ Представим матрицу $\tilde{A}$ в виде блочной матрицы: $\hat{A}=(A_{Б}|A_{С})$.

• $A_{Б}\in M_{r\times r}(\mathbb{R})$ — базисная матрица ($\det A_{Б}\ne 0$).
• $A_{С}\in M_{r\times (n-r)}(\mathbb{R})$ — свободная матрица (из небазисных столбцов).
• $X_{Б}\in M_{r\times 1}$ — вектор базисных неизвестных.
• $X_{С}\in M_{(n-r)\times 1}$ — вектор свободных неизвестных.

Тогда $\hat{A}X=\Theta$ можно представить в виде: $A_{Б}{X}_{Б}+A_{С}{X}_{С}=\Theta \Rightarrow A_{Б}{X}_{Б}=-A_{С}{X}_{С}\Rightarrow X_{Б}=-A_{Б}^{-1}{A}_{С}{X}_{С}$ Вывод: Решение зависит от вектора свободных неизвестных $X_{С}$, который может принимать любые значения (кроме нулевого, чтобы получить нетривиальное решение).

Следствия

1. Любая однородная СЛАУ $AX=\Theta$, где $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$, у которой число уравнений $m<n$ (меньше числа неизвестных), имеет нетривиальное решение, т.к. если $m<n$, то $Rg\le \min (m,n)=m<n$.
2. Однородная СЛАУ с квадратной матрицей $AX=\Theta$ ($A\in M_{n\times n}$) имеет нетривиальное решение т. и т.т., когда $A$ — вырожденная матрица ($\det A=0$). (Т.к. если $\det A=0$, то $RgA<n$).
3. Если столбцы ${\vec{x}}^1,{\vec{x}}^2,\dots ,{\vec{x}}^k$ — решения однородной СЛАУ $AX=0$, то любая их линейная комбинация $c_1{\vec{x}}^1+\cdots +c_k{\vec{x}}^k$ также является решением этой системы. (Док-во: $A(c_1{\vec{x}}^1+\dots )=c_{1}A{\vec{x}}^1+\cdots =c_1\vec{0}+\cdots =\vec{0}$).
4. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений. ($\exists x_0\ne 0\Rightarrow \forall \lambda \in \mathbb{R}⟹\lambda x_0$ — решение).