Фундаментальная система решений (ФСР)

Определение 1

Любая совокупность из $k=n-r$ линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений (ФСР) этой однородной системы. Здесь $n$ — количество неизвестных, $r$ — ранг матрицы $A$.

Th 1 О ФСР Для однородной СЛАУ $AX=0$ с $n$ неизвестными и $RgA=r$ существует набор из $k=n-r$ решений ${\vec{x}}^1,{\vec{x}}^2,\dots ,{\vec{x}}^k$ этой СЛАУ, образующих ФСР.

Доказательство

1. Выпишем из исходной системы только базисные строки:

   $$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{r1}{x}_1+a_{r2}{x}_2+\cdots +a_{rn}{x}_n=0\end{array}(\tilde{A}X=\tilde{\Theta })$$

2. Разделим на базисные и свободные неизвестные:

   $$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1r}{x}_r=-a_{1,r+1}{x}_{r+1}-\cdots -a_{1n}{x}_n\\ \dots \\ a_{r1}{x}_1+\cdots +a_{rr}{x}_r=-a_{r,r+1}{x}_{r+1}-\cdots -a_{rn}{x}_n\end{array}(A_{Б}{X}_{Б}=-A_C{X}_C)$$

   Пусть $A_{Б}{X}_{Б}=-A_C{X}_C=\tilde{B}$ — квадратная СЛАУ, $\det A_{Б}\ne 0$, т.к. базис $\Rightarrow \exists !$ решение. Таким образом, любое решение зависит от свободных неизвестных $x_{r+1},\dots ,x_n$.

3. Представим следующим образом свободные неизвестные:

   $${\vec{e}}_1={\tilde{X}}_C^1=\left(\begin{array}{c}{x}_{r+1}\\ x_{r+2}\\ \dots \\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right);{\vec{e}}_2={\tilde{X}}_C^2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right);\dots ;{\vec{e}}_k={\tilde{X}}_C^k=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$

   Каждому свободному ${\vec{X}}_C^i$ вектору соответствует вектор базисных неизвестных ${\vec{X}}_{Б}^i$. Совокупность свободных и базисных неизвестных дают решение системы $({\vec{x}}^i)$: ${\vec{x}}^i=\left(\begin{array}{c}{\vec{X}}_{Б}^i\\ {\vec{X}}_C^i\end{array}\right),i=\overline{1,k},k=n-r$

   Такие решения образуют ФСР. Покажем это. Пусть существует некоторая линейная комбинация решений ${\vec{x}}^1,\dots ,{\vec{x}}^k$, равная нулевому столбцу: $c_1{\vec{x}}^1+c_2{\vec{x}}^2+\cdots +c_k{\vec{x}}^k=\vec{0}$

   $$c_1\left(\begin{array}{c}\dots \\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}\dots \\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+\cdots +c_k\left(\begin{array}{c}\dots \\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}⋮\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$$

$$\begin{array}{c}\text{Уравнения с }r+1\text{ до }n\text{ имеют вид:}\\ \{\begin{array}{l}{c}_1\cdot 1+c_2\cdot 0+\cdots +c_k\cdot 0=0\\ \dots \\ c_1\cdot 0+c_2\cdot 0+\cdots +c_k\cdot 1=0\end{array}\\ \Downarrow \\ c_1=c_2=\cdots =c_k=0\\ \Downarrow \\ \text{линейная независимость решений }{\vec{x}}^1,\dots ,{\vec{x}}^k▲\end{array}$$

Фундаментальные системы решений, в которых свободные неизвестные представимы в виде (${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,\dots ,{\vec{e}}_k$), когда в одном векторе стоит единица, остальные элементы нули, называют нормальными фундаментальными системами решений.

Th 2 О структуре общего решения однородной СЛАУ Если ${\vec{x}}^1,{\vec{x}}^2,\dots ,{\vec{x}}^k$ — ФСР для однородной СЛАУ $AX=0$, то любое её решение можно представить в виде $\vec{x}=C_1{\vec{x}}^1+C_2{\vec{x}}^2+\cdots +C_k{\vec{x}}^k$, где $C_i$ — некоторые постоянные.

Доказательство

Пусть ${\vec{x}}_0=\left(\begin{array}{c}{x}_1^0\\ ⋮\\ x_n^0\end{array}\right)$ — решение однородной СЛАУ $(AX=\Theta )$. Система (*) с матрицей $A_{m\times n}$ имеет ранг $r$ (верхний левый угол). Эта система записана в виде (**), т.е. отдельно базисные и свободные неизвестные: $A_{Б}{X}_{Б}=-A_C{X}_C$. $\det A_{Б}=\text{БМ (невыр. матр.)}$. Из теоремы о существовании ФСР, ФСР имеет вид ${\vec{x}}^i=\left(\begin{array}{c}{\vec{X}}_{Б}^i\\ {\vec{X}}_C^i\end{array}\right),i=\overline{1,k}$.

Составим матрицу $B$ из этих решений, включая ${\vec{x}}_0$:

$$\begin{array}{c}B=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1^0& x_1^1& \dots & x_1^k\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_r^0& x_r^1& \dots & x_r^k\\ x_{r+1}^0& x_{r+1}^1& \dots & x_{r+1}^k\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_n^0& x_n^1& \dots & x_n^k\end{array}\right)\\ \Downarrow \\ RgB\le k\\ (\text{ранг равен максимальному числу}\\ \text{линейно независимых столбцов})\end{array}$$

ФСР — столбцы линейно независимы.

Покажем, что $RgB\le k$. Система $A_{Б}{X}_{Б}=-A_C{X}_C\Rightarrow X_{Б}=-A_{Б}^{-1}{A}_C{X}_C\Rightarrow$ В коорд. виде:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^i={\alpha }_{1,r+1}{x}_{r+1}^i+\cdots +{\alpha }_{1n}{x}_n^i\\ \dots \\ x_r^i={\alpha }_{r,r+1}{x}_{r+1}^i+\cdots +{\alpha }_{rn}{x}_n^i\end{array}$$

Каждый столбец матрицы $B$ удовлетворяет этой системе, т.к. является решением. Первые $r$ строк матрицы $B$ линейно выражаются через остальные $r+1,\dots ,n\Rightarrow$ Элементарными преобразованиями получаем $r$ нулевых строк в матрице $B$.

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0\\ x_{r+1}^0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n^0& 0& \dots & 1\end{array}\right)\\ \text{Т.к. ранг не меняется }\Rightarrow RgB\le n-r=k\\ \Downarrow \\ RgB=k,\text{ столбцы }{\vec{x}}^1,\dots ,{\vec{x}}^k\\ \text{линейно независимы}⟹\end{array}$$

Первый столбец (по теореме о БМ) является линейной комбинацией остальных: ${\vec{x}}^0\to C_i$, что выполняется равенство $\vec{x}=C_1{\vec{x}}^1+\cdots +C_k{\vec{x}}^k$. $▲$

Следствие 1

Выражение $X_{ОО}=C_1{\vec{x}}^1+C_2{\vec{x}}^2+\cdots +C_k{\vec{x}}^k$ называют общим решением однородной СЛАУ.

Неоднородные СЛАУ

Определение

СЛАУ вида $AX=B$, где $B$ — столбец свободных членов с ненулевыми элементами, называется неоднородной СЛАУ.

Для решения неоднородной СЛАУ достаточно знать одно её частное решение и все решения однородной СЛАУ.

Th 3 О структуре общего решения неоднородной СЛАУ Пусть $X_{ЧН}$ — частное решение (ЧН - частное неоднородное) СЛАУ $AX=B$, $X_{ОО}$ — решение соответствующей однородной системы (ОО - общее однородное) $AX=0$. Тогда решение СЛАУ $AX=B$ можно представить в виде: $X_{ОН}=X_{ОО}+X_{ЧН}$

Доказательство

1. ($\Rightarrow$) Пусть $X_{ОН}$ — решение СЛАУ $AX=B$. $A(X_{ОН}-X_{ЧН})=A{X}_{ОН}-A{X}_{ЧН}=B-B=\Theta \Rightarrow$ $X_{ОО}=X_{ОН}-X_{ЧН}$ — решение соотв. однородной СЛАУ $\Rightarrow$ $X_{ОН}=X_{ОО}+X_{ЧН}$.
2. ($\Leftarrow$) Пусть $X_{ОО}$ — произвольное решение соотв. однор. СЛАУ, то $X_{ОН}=X_{ОО}+X_{ЧН}$ — решение $AX=B$, т.к. $A(X_{ОО}+X_{ЧН})=A{X}_{ОО}+A{X}_{ЧН}=\Theta +B=B$. $▲$

Найдём частное решение неоднородной СЛАУ. $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ \dots \\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$ Пусть БМ находится в верхнем левом углу $Rg(A)=r$, тогда исходная система эквивалентна: $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ \dots \\ a_{r1}{x}_1+\cdots +a_{rn}{x}_n=b_r\end{array}$ Отделим базисные неизвестные от свободных: $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1r}{x}_r=-a_{1,r+1}{x}_{r+1}-\cdots -a_{1n}{x}_n+b_1\\ \dots \\ a_{r1}{x}_1+\cdots +a_{rr}{x}_r=-a_{r,r+1}{x}_{r+1}-\cdots -a_{rn}{x}_n+b_r\end{array}$ Все свободные неизвестные примем равными нулю: $x_{r+1}=\cdots =x_n=0X_C=\vec{0}\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1r}{x}_r=b_1\\ \dots \\ a_{r1}{x}_1+\cdots +a_{rr}{x}_r=b_r\end{array}\text{ — система имеет единственное решение }\Rightarrow X_{ЧН}=\left(\begin{array}{c}{X}_{Б}\\ \vec{0}\\ \dots \\ \vec{0}\end{array}\right)\begin{array}{c}{X}_{Б}\\ X_C\end{array}$

Th 4 Если $X_{ЧН}^{\prime }$ и $X_{ЧН}^{\prime \prime }$ — 2 частных решения неоднородной СЛАУ, то их разность $Y=X_{ЧН}^{\prime }-X_{ЧН}^{\prime \prime }$ является решением соответствующей однородной СЛАУ.

Доказательство: $X_{ЧН}^{\prime }$ и $X_{ЧН}^{\prime \prime }$ решения $\Rightarrow A(X_{ЧН}^{\prime }-X_{ЧН}^{\prime \prime })=A{X}_{ЧН}^{\prime }-A{X}_{ЧН}^{\prime \prime }=B-B=\Theta$. $▲$

Пример 1

$$\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3+4x_4+2x_5=2\\ 3x_1+4x_2-x_3-x_4-2x_5=14\\ x_1+3x_2-5x_3+x_4=12\\ 4x_1+2x_2+3x_3+7x_4+4x_5=18\end{array}$$

Запишем расширенную матрицу $(A|B)$. Найдём ранг, используя элементарные преобразования.

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cccccc}2& -1& 1& 4& 2& 2\\ 3& 4& -1& -1& -2& 14\\ 1& 3& -5& 1& 0& 12\\ 4& 2& 3& 7& 4& 18\end{array}\right)\stackrel{(1)\leftrightarrow (3)}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 3& -5& 1& 0& 12\\ 3& 4& -1& -1& -2& 14\\ 2& -1& 1& 4& 2& 2\\ 4& 2& 3& 7& 4& 18\end{array}\right)\underset{(4)-4(1)}{\overset{\stackrel{(2)-3(1)}{\to }}{\to }}(3)-2(1)\\ \left(\begin{array}{cccccc}1& 3& -5& 1& 0& 12\\ 0& -5& 14& -4& -2& -22\\ 0& -7& 11& 2& 2& -22\\ 0& -10& 23& 3& 4& -30\end{array}\right)\underset{(4)-2(2)}{\overset{(3)\cdot 5-(2)\cdot 7}{\to }}\end{array}$$ $$\left(\begin{array}{cccccc}1& 3& -5& 1& 0& 12\\ 0& -5& 14& -4& -2& -22\\ 0& 0& -43& 38& 24& 44\\ 0& 0& -5& 11& 8& 14\end{array}\right)\stackrel{(4)\cdot 342-(3)\cdot 66}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 3& -5& 1& 0& 12\\ 0& -5& 14& -4& -2& -22\\ 0& 0& -43& 38& 24& 44\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)⟹Rg=3$$

$k=n-r=5-3=2$ Запишем полученную систему (выбираем базис $x_1,x_2,x_3$): $X=\left(\begin{array}{c}{X}_{Б}\\ X_C\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)$ $\{\begin{array}{l}{x}_1-5x_3+x_4=12\\ -5x_2+14x_3-4x_4-2x_5=-22\\ -43x_3+38x_4+24x_5=44\end{array}\Rightarrow \text{выразим }{X}_{Б}\Rightarrow$ $\{\begin{array}{l}{x}_1=5x_3-x_4+12\\ x_2=\frac{1}{5}(14x_3-4x_4-2x_5+22)\\ x_3=-\frac{1}{43}(-38x_4-24x_5+44)\end{array}$ (Для удобства обозначим $x_4=c_1,x_5=c_2$. Решение продолжается подстановкой)

Для свободных запишем $x_4=C_1,x_5=C_2$, получаем: $\{\begin{array}{l}{x}_1=5C_1-C_2+12\\ x_2=\dots \\ x_3=-\frac{14}{43}{C}_1+C_2-\dots \\ x_4=C_1\\ x_5=C_2\end{array}\text{ или }X=\left(\begin{array}{c}5C_1-C_2+12\\ -\frac{14}{5}{C}_1-C_2-\dots \\ \dots \\ C_1\\ C_2\end{array}\right)=C_1\left(\begin{array}{c}5\\ \dots \\ 1\\ 0\end{array}\right)+C_2\left(\begin{array}{c}-1\\ \dots \\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}12\\ -22\\ \dots \\ 0\\ 0\end{array}\right)$ ФСР: $X^1=\left(\begin{array}{c}⋮\\ 1\\ 0\end{array}\right);{\vec{x}}^2=\left(\begin{array}{c}⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right)$. $X_{ОН}=X_{ЧН}+X_{ОО}=X_{ЧН}+C_1{X}^1+C_2{X}^2$

Альтернативный способ: Возьмем за базисные неизвестные другие $X$, например $x_1,x_2,x_5$ (столбцы 1, 2, 5 линейно независимы). $\left(\begin{array}{cccccc}1& 3& 0& 5& -1& 12\\ 0& -5& -2& 14& -4& -22\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow \dots$ (Пример не закончен, но показана структура общего решения)

Th 5 Если решение $X^0$ неоднородной СЛАУ сложить с решением $Y$ соответствующей однородной СЛАУ, то получим решение исходной неоднородной СЛАУ.

Доказательство

$X^0$ — решение неоднородной СЛАУ $AX=B$. $Y$ — решение соответствующей однородной СЛАУ $AX=\Theta$. $⟹X=X^0+Y$ — решение исходной неоднородной $AX=B$.

($\Rightarrow$) Если $X$ — решение СЛАУ $AX=B$, то $A(X-X^0)=AX-A{X}^0=B-B=\Theta ⟹Y=X-X^0$ — решение соответствующей однородной СЛАУ. $⟹X=X^0+Y$.

($\Leftarrow$) Если $Y$ — решение соответствующей однородной СЛАУ $AX=\Theta$, то $X=X^0+Y$ — решение $AX=B$. $A(X^0+Y)=A{X}^0+AY=B+\Theta =B$. $▲$