Выпуклость функции, точки перегиба, асимптоты 12.12.2025

Определение выпуклости

Пусть $f(x)\in C((a,b))$.

1. Выпуклость вниз (вогнутость): Функция $f(x)$ называется выпуклой вниз на $(a,b)$, если для любых точек $x_1,x_2\in (a,b)$ ($x_1<x_2$) график функции лежит ниже или на уровне хорды, соединяющей точки $A(x_1,f(x_1))$ и $B(x_2,f(x_2))$.

2. Выпуклость вверх (выпуклость): Функция $f(x)$ называется выпуклой вверх на $(a,b)$, если график лежит выше или на уровне хорды.

Условие выпуклости вниз: $\forall c\in (x_1,x_2):f(c)\le l(c)$ Условие выпуклости вверх: $\forall c\in (x_1,x_2):f(c)\ge l(c)$

Уравнение хорды $l(x)$: $l(x)=\frac{f(x_2)(x-x_1)+f(x_1)(x_2-x)}{x_2-x_1}$

Иллюстрация

// Здесь должен быть график
// График функции и хорды, показывающий выпуклость

Теорема. Достаточное условие выпуклости

Формулировка

Пусть $f(x)$ дважды дифференцируема на интервале, то есть $f(x)\in D^2(a,b)$.

• Если $\forall x\in (a,b)f^{\prime \prime }(x)\ge 0$, то $f(x)$ выпукла вниз на $(a,b)$.
• Если $\forall x\in (a,b)f^{\prime \prime }(x)\le 0$, то $f(x)$ выпукла вверх на $(a,b)$.

$$\begin{array}{c}f(x)\in D^2(a,b)\\ \forall x\in (a,b)f^{\prime \prime }(x)\ge 0⟹\text{Выпуклость вниз }(\cup )\\ \forall x\in (a,b)f^{\prime \prime }(x)\le 0⟹\text{Выпуклость вверх }(\cap )\end{array}$$

Доказательство

Рассмотрим разность между ординатой хорды $l(x)$ и функции $f(x)$ в точке $x\in (x_1,x_2)$. Используя теорему Лагранжа (или формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа), можно показать, что для некоторой точки $\xi \in (x_1,x_2)$: $l(x)-f(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi )(x-x_1)(x_2-x)$

Так как $x\in (x_1,x_2)$, то $(x-x_1)>0$ и $(x_2-x)>0$. Следовательно, знак разности $l(x)-f(x)$ полностью определяется знаком второй производной $f^{\prime \prime }(\xi )$.

1. Если $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$: $l(x)-f(x)\ge 0⟹f(x)\le l(x)$ График лежит ниже хорды $⟹$ выпуклость вниз.

2. Если $f^{\prime \prime }(x)\le 0$: $l(x)-f(x)\le 0⟹f(x)\ge l(x)$ График лежит выше хорды $⟹$ выпуклость вверх.

Точки перегиба

Определение

Точка перегиба — это точка $x_0$, в которой график функции меняет направление выпуклости (отделяет выпуклость вверх от выпуклости вниз).

Теорема (Необходимое условие)

Если точка $x_0$ является точкой перегиба графика функции $f(x)$ и в этой точке существует вторая производная $f^{\prime \prime }(x_0)$, то она равна нулю.

$x_0\text{ — точка перегиба}⟹f^{\prime \prime }(x_0)=0$

Асимптоты графика функции

Определение

Прямая $L$ называется асимптотой графика функции $y=f(x)$, если расстояние от точки $M(x,f(x))$ графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки $M$ от начала координат.

Виды асимптот

1. Вертикальная асимптота ($x=a$): ${\lim }_{x\to a}f(x)=\infty (\text{или }+\infty ,-\infty )$

2. Наклонная асимптота ($y=kx+b$): Существуют конечные пределы при $x\to +\infty$ (или $x\to -\infty$):

$$\begin{array}{c}k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}\\ b=\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-kx)\end{array}$$

Если $k=0$, асимптота называется горизонтальной ($y=b$).