Вычисление производной 07.11.2025

1. Таблица производных

1. $C^{\prime }=0$
2. $(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1},\alpha \in R,\alpha =const$
3. $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
4. $(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
5. $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna},a>0,a\ne 1,a=const$
6. $(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna,a>0,a\ne 1,a=const$
7. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
8. $(\cos x)=-\sin x$
9. $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
10. $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$
11. $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
12. $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
13. $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
14. $(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

2. Вывод производных

1. $y^{\prime }=0,y=e$
   $\Delta y=0\forall x$
   ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{0}{\Delta x}=0$

2. $y^{\prime }=x^{\alpha }$
   Пусть $x\ne 0$
   $\Delta y=(x+\Delta x{)}^{\alpha }-x^{\alpha }$

$$y^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(x+\Delta x{)}^{\alpha }-x^{\alpha }}{\Delta x}=$$

Так как при $\frac{\Delta x}{x}\to 0$:

$$(1+\frac{\Delta x}{x}{)}^{\alpha }-1\sim \frac{\Delta x}{x}$$

Получается:

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{x^{\alpha }((1+\frac{\Delta x}{x}{)}^{\alpha }-1)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{x^{\alpha }\frac{\Delta x}{x}\alpha }{\Delta x}=\alpha x^{\alpha -1}$$

$x=0$
$\Delta y=(\Delta x{)}^{\alpha }$ $li{m}_{\Delta x\to 0}\frac{(\Delta x{)}^{\alpha }}{\Delta x}=li{m}_{\Delta x\to 0}\Delta x^{\alpha -1}$

• если $\alpha >1=>y^{\prime }(0)=0,(\ast )$
• если $\alpha =1=>y^{\prime }(0)=1,(\ast \ast )$
• если $\alpha <1=>y^{\prime }(0)\nexists ,(\ast \ast \ast )$

$y^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$ совпадает с $(\ast ),(\ast \ast ),(\ast \ast \ast )$

3. $y^{\prime }=e^x$
   $\Delta y=e^{x+\Delta x}-e^x$

$$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^x(e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{e^x\cdot \Delta x}{\Delta x}=e^x$$

4. $y=lnx$

$$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{ln(x+\Delta x)-lnx}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x\cdot x}=\frac{1}{x}$$

5. $y={\log }_{a}x$

$$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(x+\Delta x)-{\log }_{a}x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x\cdot \ln a}=$$ $$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x\cdot x\cdot \ln a}=\frac{1}{x\cdot \ln a}$$

6. $y=a^x$

$$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{a^x\cdot \Delta x\ln a}{\Delta x}=a^x\ln a$$

7. $y=\sin x$

$$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin (\Delta x+x)-\sin x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2\cos \frac{2x+\Delta x}{2}\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(2\cos \frac{2x+\Delta x}{2}\cdot \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x})=$$

Тут по формуле $\sin \alpha -\sin \beta =2\cdot \cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\alpha =\beta }{2}$

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\cos \frac{2x+\Delta x}{2}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=\cos x$$

8. $y=\cos x$

$$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos x\cos \Delta x-\sin x\sin \Delta x-\cos x}{\Delta x}=$$ $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(\frac{\cos x(\cos \Delta x-1)}{\Delta x}-\frac{\sin x\sin \Delta x}{\Delta x})=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos x(\cos \Delta x-1)}{\Delta x}-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\sin \Delta x}{\Delta x}=$$ $$=\cos x\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos \Delta x-1}{\Delta x}-\sin x\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}=\cos x\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\cos }^2\Delta x-1}{\Delta x(\cos \Delta x+1)}-\sin x\cdot 1=$$ $$=\cos x\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-{\sin }^2\Delta x}{\Delta x(\cos \Delta x+1)}-\sin x=\cos x\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-\sin \Delta x}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x}{\cos \Delta x+1}-\sin x=$$ $$=-\cos x\cdot 0-\sin x=-\sin x$$

9. $y=\tan x$

$$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\tan (\Delta x+x)-\tan x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin (\Delta x+x)}{\cos (\Delta x+x)}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\Delta x}=$$ $$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin (\Delta x+x)\cos x-\cos (\Delta x+x)\sin x}{\Delta x\cdot \cos (\Delta x+x)\cdot \cos x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin (\Delta x)}{\Delta x\cdot \cos (\Delta x+x)\cdot \cos x}=$$ $$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x\cdot \cos x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

10. $y=\cot x$

$$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cot (\Delta x+x)-\cot x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\cos (\Delta x+x)}{\sin (\Delta x+x)}-\frac{\cos x}{\sin x}}{\Delta x}=$$ $$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin x\cos (\Delta x+x)-\cos x\sin (\Delta x+x)}{\Delta x\cdot \sin (\Delta x+x)\cdot \sin x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin (-\Delta x)}{\Delta x\cdot \sin (\Delta x+x)\cdot \sin x}=$$ $$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-\sin \Delta x}{-\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{-\sin (\Delta x+x)\cdot \sin x}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$$

11. $y=\arcsin x=>x=\sin y$ $x^{\prime }=\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=\sqrt{1-x^2}$
    $y^{\prime }=\frac{1}{x^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
12. $y=\arccos x=>x=\cos y$
    Способ 1:
    $x^{\prime }=-\sin y=-\sqrt{1-{\cos }^{2}y}=-\sqrt{1-x^2}$
    $y^{\prime }=\frac{1}{x^{\prime }}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
    Способ 2(если известна производная $\arcsin$):
    $y=\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x$
    $y^{\prime }=(\frac{\pi }{2}{)}^{\prime }-{\arcsin }^{\prime }x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
13. $y=\arctan x=>x=\tan y$
    $x^{\prime }=\frac{1}{co{s}^{2}y}$ $y={\cos }^{2}y=\frac{1}{1+{\tan }^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}$
14. $y=arccotx=>x=\cot y$
    По способу 2:
    $y^{\prime }=arcco{t}^{\prime }x=(\frac{\pi }{2}{)}^{\prime }-{\arctan }^{\prime }x=-\frac{1}{1+x^2}$

3. Правила нахождения производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Th.

1. $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
2. $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+v^{\prime }u$
3. $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2},v\ne 0$

Вывод теоремы

1. $f(x)=u(x)+v(x)$

$$\Delta f(x)=u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x)-u(x)-v(x)$$ $$f^{\prime }(x)=(u(x)+v(x){)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x)-u(x)-v(x)}{\Delta x}=$$ $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}=u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x)$$

2. $f(x)=u(x)v(x)$

$$\Delta f(x)=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)$$ $$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv}{\Delta x}=$$

Верхний переход - сокращение: $u(x+\Delta x)=u(x)+\Delta u=u+\Delta u$,аналогично для v.

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{uv+v\Delta u+u\Delta v+\Delta u\Delta v-uv}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v\Delta u+u\Delta v+\Delta u\Delta v}{\Delta x}=$$ $$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v\Delta u}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u\Delta v}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u\Delta v}{\Delta x}=$$ $$=v\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}+u\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta x}=v\cdot u^{\prime }+u\cdot v^{\prime }+0$$

3. $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

$$\Delta f(x)=\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}$$ $$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v}-\frac{u}{v}}{\Delta x}=$$

Тут тоже сокращение, как было в предыдущем пункте.

$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v(u+\Delta u)-u(v+\Delta v)}{\Delta x\cdot v\cdot (v+\Delta v)}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v\Delta u-u\Delta v}{\Delta x\cdot v\cdot (v+\Delta v)}=$$ $$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v\Delta u-u\Delta v}{\Delta x\cdot v^2}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{v\Delta u}{\Delta x\cdot v^2}-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u\Delta v}{\Delta x\cdot v^2}=\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2}$$

Следствие

$$(Cf(x){)}^{\prime }=C{f}^{\prime }(x)$$

4. Производная обратной функции

Th. (вспомогательная)

Пусть $f(x)\in C([a,b])$ и монотонна на этом отрезке [a,b]
$=>$ на [c,d], где $c=f(a),d=f(b)$
$\exists$ однозначная обратная функция $f^{-1}(y)=x=\phi (y):f^{-1}\in C([c,d])$ и монотонна

Th. о производной обратной функции

Пусть на [a,b] выполняются все условия предыдущей теоремы($f(x)\in C([a,b])$, f(x) монотонна отрезке [a,b], $c=f(a),d=f(b)$) и пусть $x\in [a,b]$ и в точке x $\exists f^{\prime }(x)\ne 0$
$=>$ обратная функция $x=f^{-}1(y)$ имеет в соответствующей точке производную $(f^{-}1(y){)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

Доказательство

По условиям теоремы $\exists x=f^{-}1(y)$
придадим приращение $\Delta y\ne 0$
$\Delta x=f^{-}1(y+\Delta y)-f^{-}1(y)\ne 0$
Рассмотрим

$$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$$

Пусть $\Delta y\to 0=>\Delta x\to 0$

$$(f^{-}1(y){)}^{\prime }=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta y}=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{{\lim }_{\Delta y\to 0}1}{{\lim }_{\Delta y\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f(x)}$$

5. Th. о производной сложной функции

Пусть $u=\phi (x)\exists u^{\prime }={\phi }^{\prime }(x)$ в точке x, $y=f(u)=f(\phi (x))$
$\exists f^{\prime }(u)$ в точке u
$=>y=f(u(x))$

$$\begin{array}{c}y=f(\phi (u))\in D(x)\\ y^{\prime }=f^{\prime }(\phi (x))\cdot {\phi }^{\prime }(x)\end{array}$$

Доказательство

Придадим приращению $\Delta x\ne 0$
$=>u(x)$ получит приращение $\Delta u$
$y=f(x)$ получит приращение $\Delta y$

$$\begin{array}{c}y=f(u)\in D(u):\Delta y=f^{\prime }(u)\cdot \Delta u+o(\Delta u)\\ \text{Представим }o(\Delta u)=\alpha (\Delta u)\Delta u,\alpha (\Delta u)\to 0,\Delta u\to 0=>\\ \Delta y=f^{\prime }(u)\Delta u+\alpha (\Delta u)\Delta u|:\Delta x\ne 0\\ \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha (\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}=>\\ \text{Справа:}{f}^{\prime }(u)\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\alpha (\Delta u)\cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)=>\\ \text{Рассмотрим:}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\alpha (\Delta u)=/\Delta x\to 0/\Delta u\to 0/=\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\alpha (\Delta u)=0\\ =>\exists \text{ предел справа}=>\exists \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\text{(слева)}\\ =>\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x)=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)\end{array}$$ $$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}\arctan \frac{1}{x+2},& x\le 0\\ \frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}-1},& x>0\end{array}\\ \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{\sqrt[3]{x}-1}=\end{array}$$