Дифференциальное исчисление функции одним переменным 31.10.2025

1. Производная

Рассмотрим $f(x)$ и зафиксируем $x_0$
В $U(x_0)$ выберем точку $x_1=>\Delta x=x_1-x_0$
$\Delta f=f(x_1)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

опр.

Пусть $f(x)$ определена в $U(x_0)$. Производной $f(x)$ в $x_0$ называется

$$\underset{\Delta x\to x_0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to x_0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}$$

Если ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\infty ;+\infty ;-\infty$, то это бесконечная производная. В противном случае - конечная числовая.

2. Геометрический смысл производной

Через $M_0(x_0,y_0)$ и $M_1(x_1,y_1)$, где $y_0=f(x_0),y_1=f(x_1)$, проведём секцию $M_0{M}_1$ графика функции $f(x)$. Устремим точку $M_1$ к точке $M_0$, постепенно переведём секущую $M_0{M}_1$ в прямую, которая в $U^{\ast }(M_0)$ будет иметь с графиком $f(x)$ только одну общую точку.

опр.

Секущая $M_0{M}_1$ в предельном положении, когда $M_1\to M_0$, называется наклонной касательной графика $f(x)$ в точке $M_0$.

3. Уравнение секущей $y=kx+b$

$M_0:y_0=k{x}_0+b$
$M_1:y_1=k{x}_1+b$
Секущая: $y=M_0{M}_1=\frac{\Delta f}{\Delta x}(x-x_0)+y_0$
$\Delta f=y_1-y_0$
$\Delta x=x_1-x_0$

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(\frac{\Delta f}{\Delta x}(x-x_0)+y_0)=(\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x})(x-x_0)+y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+y_0$$

4.Дифференциал функции

Пусть:

$$f(x)\in D(x_0)=>\Delta f=A\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)$$

где $A$ не зависит от $\Delta x$

Тогда:
Главная линейная относительно $\Delta x$ часть приращения(то есть $A\Delta x$) называется дифференциалом(первым дифференциалом, дифференциалом первого порядка) функции $f(x)$ в точке $x_0$.

$\Delta f=df(x_0)+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x),\Delta x\to 0$
$\Delta f=f^{\prime }(x_0)\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x),\Delta x\to 0$

5. Дифференцирование функции

опр.

Функция $f(x)$ называется дифферинцируемой, если её приращение можно представить в виде:$\Delta f=A\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x),\Delta x\to 0$, где $A=const$,$\Delta x=x-x_0$

Th (определение дифференцируемости функции в точке $x_0$)

$$f(x)\in D(x_0)⟺\exists f^{\prime }(x_0)$$

Доказательство:

Необходимость $=>$

Дано: $f(x)\in D(x_0):\Delta f=A\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x),\Delta x\to 0$

$$f(x)\in D(x_0):\Delta f=A\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x),\Delta x\to 0|:\Delta x\ne 0$$ $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=A+\frac{\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)}{\Delta x}=>\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(A+\frac{\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)}{\Delta x})=A=>f^{\prime }(x_0)\exists ,f^{\prime }(x_0)=A$$

Достаточность $<=$

Дано: $f^{\prime }(x_0)\exists$
$\exists {\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}$
Пусть ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=A=>\frac{\Delta f}{\Delta x}=A+\alpha (\Delta x),\alpha (\Delta x)\to 0,\Delta x\to 0$
(по теореме о связи между функцией и пределом бесконечно малого)

Рассмотрим:
${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\alpha (\Delta x)\Delta x}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\alpha (\Delta x)=0=>\alpha (\Delta x)\Delta x=\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)=>f(x)\in D(x_0)$

Ч.Т.Д.

Th (о непрерывности дифференцируемой функции)

$$f(x)\in D(x_0)=>f(x)\in C(x_0)$$

Доказательство:

Пусть:

$$f(x)\in D(x_0)=>\Delta f=A\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)$$

Тогда:

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta f=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(A\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x))=0=>f(x)\in C(x_0)$$

Обратное неверно!

6. Обозначения

• $df(x_0)=dy$
• $\Delta x=dx$
• $df(x_0)=f^{\prime }(x_0)dx$