Дифференциал функции и производные высших порядков 14.11.2025

Односторонние бесконечные производные

опр.

$$\begin{array}{c}f(x)\in C(a)=>\exists \underset{\Delta x\to 0+0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=f_{+}^{\prime }(a)=>\\ f_{+}^{\prime }(a)-\text{правая производная в точке }a\end{array}$$ $$\begin{array}{c}f(x)\in C(a)=>\exists \underset{\Delta x\to 0-0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=f_{-}^{\prime }(a)=>\\ f_{-}^{\prime }(a)-\text{левая производная в точке }a\end{array}$$

Если $\exists f_{+}^{\prime }(a)\ne f_{-}^{\prime }(a)$ тогда $\tan$ угла наклона слева и справа будет разным.

Пусть $f(x)\in C(a),{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\infty$
Тогда касательная к графику функции в точке а параллельна оси OY и перпендикулярно оси OX.

1. $f^{\prime }(a)=+\infty$
   

2. $f^{\prime }(a)=-\infty$
   

3. $f_{+}^{\prime }(a)=+\infty ,f_{-}^{\prime }(a)=-\infty$
   

4. $f_{+}^{\prime }(a)=-\infty ,f_{-}^{\prime }(a)=+\infty$
   

Свойство дифференциала

1. $d(u+v)=du+dv$

$$\begin{array}{c}\Delta (u+v)=\Delta u+\Delta v=A\Delta x+o(\Delta x)+B\Delta x+o(\Delta x)=>\\ du=Adx\\ dv=Bdx\\ d(u+v)=(A+B)dx\end{array}$$

2. $d(u\cdot v)=udv+vdu$

$$\begin{array}{c}\frac{d(u\cdot v)}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx}\\ d(u\cdot v)=vdu+udv\end{array}$$

3. $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2},v\ne 0$

$$\begin{array}{c}\frac{d(\frac{u}{v})}{dx}=\frac{\frac{du}{dx}\cdot v-\frac{dv}{dx}\cdot u}{v^2}\\ d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}\end{array}$$

Доказательство производной отношения

$$\begin{array}{c}(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2}\\ (u\cdot v^{-1}{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v^{-1}+u(-1\cdot v^{-2})v^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{v}-\frac{u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2}\end{array}$$

Приблизительные вычисления

$$\begin{array}{c}f(x)\in D(x_0)=>\Delta f=df(x_0)+o(\Delta x),\Delta x\to 0\\ f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=df(x_0)+o(\Delta x),\Delta x\to 0\\ f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+df(x_0)\end{array}$$

Пример:

$$\begin{array}{c}\ln 1,1=?\\ x_0=1,\Delta x=0,1=dx\\ f(x)=\ln x\\ df(x_0)=f^{\prime }(x_0)dx\\ (\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}\\ df(x_0)=\frac{1}{1}\cdot 0,1=0,1\end{array}$$

Th. (Инвариантность формы дифференциала)

Дифференциал инвариантен относительно формы его записи.
Пусть $f(x)=v(u(x))$
$\exists u^{\prime }(x_0)v^{\prime }(u_0),$ где $u_0=u(x_0)$

$$=>df(x_0)=f^{\prime }(x_0)dx=v^{\prime }(u_0)u^{\prime }(x_0)dx=v^{\prime }(u_0)du$$

Производные и дифференциалы высших порядков

опр.

Производные второго порядка функции f(x) называется: производная от производной f(x).
$(f^{\prime }(x))=f^{\prime \prime }(x)=\frac{d^{2}f}{d{x}^2}$

опр.

Дифференциалом второго порядка от функции f(x) называется дифференциал дифференциала от функции f(x).
$d^{2}f(x_0)=d(df(x_0))=f^{\prime \prime }(x_0)d{x}^2$
$d{x}^2=(dx{)}^2$

опр.

Производной n-ного порядка f(x) называется производная от производной n-1-го порядка.
$f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x){)}^{\prime }$

опр.

Дифференциалом n-го порядка функции f(x) называется дифференциал n-1-го порядка от функции f(x).

Производная функции, заданной параметрически

Пусть задана параметрическая функция:
$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array},\alpha \le t\le \beta$
Рассмотрим $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$

$$dy={\psi }^{\prime }(t)dt$$ $$dx={\phi }^{\prime }(t)dt$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)dt}{{\phi }^{\prime }(t)dt}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$$ $$\{\begin{array}{l}{y}_x^{\prime }=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}\\ x=\phi (t)\end{array}\{\begin{array}{l}{y}_{xx}^{\prime \prime }=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\phi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\phi }^{\prime \prime }(t)}{({\phi }^{\prime }(t){)}^3}\\ x=\phi (t)\end{array}$$