Исследование функции с помощью производной 05.12.2025

Определение монотонности

$f(x)$ — монотонная на $(a,b)$, если $\forall x_1,x_2\in (a,b)$ при $x_1<x_2$ выполняется:

1. $f(x_1)\le f(x_2)$ — неубывающая
2. $f(x_1)\ge f(x_2)$ — невозрастающая

$f(x)$ — строго монотонная на $(a,b)$, если $\forall x_1,x_2\in (a,b)$ при $x_1<x_2$ выполняется:

1. $f(x_1)<f(x_2)$ — строго возрастающая
2. $f(x_1)>f(x_2)$ — строго убывающая

Теорема. Достаточное условие монотонности

Формулировка

Пусть $f(x)\in D((a,b))$.

• Если $\forall x\in (a,b)f^{\prime }(x)>0⟹f(x)$ строго возрастает на $(a,b)$.
• Если $\forall x\in (a,b)f^{\prime }(x)<0⟹f(x)$ строго убывает на $(a,b)$.

$$\begin{array}{c}\text{Пусть }f(x)\in D((a,b))\\ \text{Если }\forall x\in (a,b)f^{\prime }(x)>0/f^{\prime }(x)<0\\ \Downarrow \\ \text{на }(a,b)f(x)\text{ строго возрастает/убывает}\end{array}$$

Доказательство

Пусть $x_1,x_2\in (a,b)$, причём $x_1<x_2$. $f(x)$ удовлетворяет Th Лагранжа на $[x_1,x_2]$, так как:

• $f(x)\in C([x_1,x_2])$
• $f(x)\in D((x_1,x_2))$

По Th Лагранжа:

$$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1),c\in (x_1,x_2)$$

Так как $x_1<x_2$, то $(x_2-x_1)>0$. Следовательно, знак разности $f(x_2)-f(x_1)$ совпадает со знаком производной $f^{\prime }(c)$.

$$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(c)>0⟹f(x_2)-f(x_1)>0⟹f(x)\text{ строго возрастает}\\ f^{\prime }(c)<0⟹f(x_2)-f(x_1)<0⟹f(x)\text{ строго убывает}\end{array}$$

Экстремумы и критические точки

Определения

1. $c$ — критическая $⟺f^{\prime }(c)=0\vee \nexists f^{\prime }(c)$
2. $c$ — локальный максимум $⟺\exists U(c)\forall x\in U(c):f(x)\le f(c)$
3. $c$ — локальный минимум $⟺\exists U(c)\forall x\in U(c):f(x)\ge f(c)$
4. Точки строгого локального минимума и максимума называются точками строгого экстремума.
5. Значение $f(c)$ в точке локального экстремума $c$ является локальным экстремумом (максимумом или минимумом).

Теорема. Необходимое условие экстремума

Формулировка

Если в точке $c$ существует экстремум, то $c$ является критической точкой. $c\text{ — точка экстремума }⟹f^{\prime }(c)=0\vee \nexists f^{\prime }(c)$

Для дифференцируемой функции (Теорема Ферма): $\text{Если }f(x)\in D(U(c))\text{ и }c\text{ — точка экстремума }⟹f^{\prime }(c)=0$

Классификация экстремумов

• Гладкий экстремум: $f^{\prime }(c)=0$

  

• Острый экстремум: $\nexists f^{\prime }(c)$

  

Теорема. Достаточное условие экстремума (по первой производной)

Формулировка

Пусть $f(x)$ определена и дифференцируема в проколотой окрестности $\dot{U}(c)$ (быть может, за исключением самой этой точки). Пусть $f(x)\in C(c)$. Если $f^{\prime }(x)$ меняет знак при переходе через точку $c$, то $c$ является точкой экстремума.

$$\begin{array}{c}f(x)\in D(\dot{U}(c))\\ f(x)\in C(c)\\ \Downarrow \\ \text{если }{f}^{\prime }(x)\text{ меняет знак при переходе через }c⟹c\text{ — точка экстремума}\end{array}$$

Доказательство

Пусть $f^{\prime }(x)>0$ при $x<c$ и $f^{\prime }(x)<0$ при $x>c$ (переход с + на -).

1. Рассмотрим интервал $[x,c)$ при $x<c$: По теореме Лагранжа:

$$\begin{array}{c}f(x)-f(c)=f^{\prime }(\xi )(x-c),\xi \in (x,c)\\ \text{Условия Th Лагранжа: }f\in C([x,c]),f\in D((x,c))\\ \exists \xi \in (x,c)\end{array}$$

Так как $x<c⟹x-c<0$. В интервале $(x,c)$ производная $f^{\prime }(\xi )>0$ (по условию $x<\xi <c$).

$$\begin{gathered} \Downarrow \\ f(x)-f(c)=\underset{>0}{\underbrace{f^{\prime }(\xi )}}\cdot \underset{<0}{\underbrace{(x-c)}}<0⟹f(x)<f(c) \end{gathered}$$

2. Рассмотрим интервал $(c,x]$ при $x>c$: По теореме Лагранжа:

$$\begin{array}{c}f(x)-f(c)=f^{\prime }(\xi )(x-c),\xi \in (c,x)\\ \text{Условия Th Лагранжа: }f\in C([c,x]),f\in D((c,x))\\ \exists \xi \in (c,x)\end{array}$$

Так как $x>c⟹x-c>0$. В интервале $(c,x)$ производная $f^{\prime }(\xi )<0$ (по условию $c<\xi <x$).

$$\begin{gathered} \Downarrow \\ f(x)-f(c)=\underset{<0}{\underbrace{f^{\prime }(\xi )}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{(x-c)}}<0⟹f(x)<f(c) \end{gathered}$$

Вывод:

$$\forall x\in \dot{U}(c)⟹f(x)<f(c)$$

Следовательно, $c$ — точка локального максимума.

(Аналогично доказывается для минимума при смене знака с - на +) Локальный минимум доказывается аналогично

Теорема. Достаточное условие экстремума (по второй производной)

Формулировка

Пусть $f(x)$ дважды дифференцируема в точке $c$ ($f(x)\in D^2(c)$). Пусть $f^{\prime }(c)=0$ и $f^{\prime \prime }(c)\ne 0$. Тогда:

• Если $f^{\prime \prime }(c)<0$, то $c$ — точка строгого локального максимума.
• Если $f^{\prime \prime }(c)>0$, то $c$ — точка строгого локального минимума.

$$\begin{array}{c}f(x)\in D^2(c)\\ f^{\prime }(c)=0,f^{\prime \prime }(c)\ne 0\\ \Downarrow \\ f^{\prime \prime }(c)<0⟹c\text{ — т. стр. лок. макс.}\\ f^{\prime \prime }(c)>0⟹c\text{ — т. стр. лок. мин.}\end{array}$$

Доказательство

Используем формулу Тейлора (Пеано) до 2-го порядка в окрестности точки $c$:

$$f(x)=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime }(c)}{2}(x-c{)}^2+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}((x-c{)}^2)$$

Так как $f^{\prime }(c)=0$, то:

$$f(x)-f(c)=\frac{f^{\prime \prime }(c)}{2}(x-c{)}^2+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}((x-c{)}^2)$$

Знак разности $f(x)-f(c)$ в малой проколотой окрестности $\dot{U}(c)$ определяется знаком главного члена $\frac{f^{\prime \prime }(c)}{2}(x-c{)}^2$, так как $(x-c{)}^2>0$ при $x\ne c$.

1. Пусть $f^{\prime \prime }(c)>0$:

$$⟹\frac{f^{\prime \prime }(c)}{2}(x-c{)}^2>0⟹f(x)-f(c)>0\forall x\in \dot{U}(c)$$

$f(x)>f(c)⟹c\text{ — точка строгого локального минимума.}$

2. Пусть $f^{\prime \prime }(c)<0$:

$$⟹\frac{f^{\prime \prime }(c)}{2}(x-c{)}^2<0⟹f(x)-f(c)<0\forall x\in \dot{U}(c)$$

$f(x)<f(c)⟹c\text{ — точка строгого локального максимума.}$