Основные теоремы дифференциального исчисления 21.11.2025

1. Теорема Ферма

Формулировка

Если функция определена в некоторой окрестности точки с, дифференцируема в точке c, и принимает в ней экстремальное значение, то её производная в этой точке равна 0.

$f(x)$ опр в $U(c),f(x)\in D(c)$
$f(c)={\max }_{U(c)}f(x)\text{либо}f(c)={\min }_{U(c)}f(x)$
$\Downarrow$
$f^{\prime }(c)=0$

Доказательство

Пусть $f(c)={\max }_{U(c)}f(x)$.
Следовательно, $\forall x\in U(c)f(x)\le f(c)$.

Отсюда следует, что:

1. Если $x<c⟹\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0(1)$
2. Если $x>c⟹\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0(2)$

Перейдём к пределу в $(1)$ и $(2)$ при $x\to c$:

$$\begin{array}{l}{\lim }_{x\to c-0}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0\\ {\lim }_{x\to c+0}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0\\ f(x)\in D(c)⟹\exists f^{\prime }(c)\end{array}\}⟹f^{\prime }(c)=\{\begin{array}{l}\ge 0\\ \le 0\end{array}⟹f^{\prime }(c)=0$$

2. Теорема Ролля

Формулировка

Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет условиям:

1. $f(x)\in C([a,b])$
2. $f(x)\in D((a,b))$
3. $f(a)=f(b)$

$\exists c\in (a,b):f^{\prime }(c)=0$

Геометрическая интерпретация

Если функция $f(x)$ удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, то на интервале $(a,b)$ существует точка $c$, в которой касательная параллельна оси OX.

Доказательство

Так как $f(x)\in C([a,b])$, то по теореме Вейерштрасса она достигает ${\max }_{x\in [a,b]}f(x)=M$ и ${\min }_{x\in [a,b]}f(x)=m$.

Возможные случаи:

1. $f(x)=const=C⟹\forall x\in [a,b]:f^{\prime }(x)=(C{)}^{\prime }=0$.
2. $f(x)\ne const⟹m<M(m\ne M)$. Так как $f(a)=f(b)$, то существует $c\in (a,b)$ такое, что $f(c)=m$ либо $f(c)=M$.

3. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)

Формулировка

Пусть $f(x)$ удовлетворяет условиям:

1. $f(x)\in C([a,b])$
2. $f(x)\in D((a,b))$

$\exists c\in (a,b):\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$

Геометрическая интерпретация

Если соединить на графике точки $f(a)$ и $f(b)$, обязательно найдётся касательная к графику $f(x)$ на интервале $(a,b)$, которая будет параллельна этой хорде.

Доказательство

Рассмотрим вспомогательную функцию: $F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

$F(x)$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1. $F(x)\in C([a,b])$ — верно
2. $F(x)\in D((a,b))$ — верно (так как $f(x)$ дифференцируема)
3. Значения на концах: $$\begin{array}{c}F(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=0\\ F(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=0\end{array}$$

Следовательно, по теореме Ролля $\exists c\in (a,b):F^{\prime }(c)=0$, что и доказывает утверждение.

4. Теорема Коши

Формулировка

Пусть $f(x),g(x)$ удовлетворяют условиям:

1. $f(x),g(x)\in C([a,b])$
2. $f(x),g(x)\in D((a,b))$
3. $g^{\prime }(x)\ne 0\forall x\in (a,b)$

$\exists c\in (a,b):\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$

Доказательство

1. $g(b)\ne g(a)$. Так как если бы $g(b)=g(a)$, то $g(x)$ удовлетворяла бы теореме Ролля и $\exists c_1\in (a,b):g^{\prime }(c_1)=0$. Это противоречит условию (3). Следовательно, $g(b)-g(a)\ne 0$.

2. Введём вспомогательную функцию: $F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$

   $F(x)$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

   1. $F(x)\in C([a,b])$ — верно
   2. $F(x)\in D((a,b))$ — верно
   3. Значения на концах: $$\begin{array}{c}F(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(a)-g(a))=f(a)\\ F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(b)-g(a))=f(a)\end{array}$$ Так как $F(a)$ не обязательно равно 0, но $F(a)=F(b)$ (в оригинале ошибка, должно быть $F(a)=F(b)=f(a)$ — по факту проверка даёт $F(a)=f(a)$, $F(b)=f(a)$? Нет, подставив в формулу, получаем $F(a)=f(a)$, $F(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)$. Значения равны).

   Следовательно, $\exists c\in (a,b):F^{\prime }(c)=0$.

   $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(x)$ $F^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g^{\prime }(c)=0$ $\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

Правило Лопиталя

Формулировка

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ удовлетворяют условиям:

1. $f(x),g(x)\in C((a,b])$ и $f(x),g(x)\in D((a,b))$
2. $\forall x\in (a,b)g^{\prime }(x)\ne 0$
3. $\exists {\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=l$
4. ${\lim }_{x\to a+0}f(x)=0$ и ${\lim }_{x\to a+0}g(x)=0$

$\exists {\lim }_{x\to a+0}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=l$

Доказательство

Доопределим $f(x)$ и $g(x)$ в точке $a$:

$$\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in (a,b]\\ 0,& x=a\end{array}\text{и}\{\begin{array}{ll}g(x),& x\in (a,b]\\ 0,& x=a\end{array}$$

Тогда $f(x),g(x)\in C([a,b])$.

$f(x),g(x)$ удовлетворяют теореме Коши на интервале $[a,x]$, где $x\in (a,b]$. Следовательно: $\exists c\in (a,x):\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\frac{f(x)}{g(x)}$

Предел левой части: Пусть $x\to a+0$, тогда $a<c<x<b⟹c\to a+0$.

${\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}={\lim }_{c\to a+0}\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}={\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Так как существует предел правой части (по условию), то существует и предел левой части: ${\lim }_{x\to a+0}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ Ч.Т.Д.

Обобщение

Теорема оказывается справедлива:

1. При $x\to a-0$
2. Если справедлива для $x\to a+0$ и $x\to a-0⟹$ при $x\to a$
3. При $x\to \pm \infty$
4. При ${\lim }_{x\to a+0}f(x)={\lim }_{x\to a+0}g(x)=\pm \infty$

Сравнение роста функций

Рассмотрим $\alpha ,\beta ,\gamma =const>0$.

1. Степенная и показательная:
   ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{e^{\alpha x}}{x^{\beta }}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\alpha e^{\alpha x}}{\beta x^{\beta -1}}$ Если $\beta \le 1⟹+\infty$. Иначе продолжаем дифференцировать:
   $=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{{\alpha }^2{e}^{\alpha x}}{\beta (\beta -1)x^{\beta -2}}=\cdots =+\infty$

2. Логарифмическая и степенная:
   ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln (\gamma x)}{x^{\beta }}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\frac{\gamma }{\gamma x}}{\beta x^{\beta -1}}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{\beta x^{\beta }}=0$

3. Периодическая:
   ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+\sin x}{x+\cos x}=[\frac{\infty }{\infty }]\ne {\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+\cos x}{x-\sin x}-\text{Не существует}$

4. Тригонометрическая и логарифмическая
   $\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\text{tg}x}{\text{arctg}x\cdot \ln (1-x^2)}=\left[\frac{0}{0}\right]=\begin{array}{c}/\text{arctg}x\sim x,x\to 0/\\ /\ln (1-x^2)\sim -x^2/\end{array}=-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\text{tg}x}{x^3}\stackrel{L^{\prime }H}{=}\\ \stackrel{L^{\prime }H}{=}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-\frac{1}{{\cos }^{2}x}}{3x^2}=-\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\cos }^{3}x-1}{{\cos }^{2}x\cdot x^2}=\frac{1}{2}\end{array}$