РК2

Вопрос № 1. Сформулировать определение производной функции в точке

Сформулировать определение производной функции в точке

Определение
Пусть $f(x)$ определена в $U(x_0)$. Производной $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

$$\begin{array}{c}f(x)\in C(U(x_0))\\ \Downarrow \\ \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}\end{array}$$

• Если ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\infty ;+\infty ;-\infty$, то это бесконечная производная.
• В противном случае — конечная числовая.

Вопрос № 2. Геометрический смысл производной. Вывести уравнение касательной и нормали к плоской кривой

Геометрический смысл производной. Вывести уравнение касательной и нормали к плоской кривой

Геометрический смысл
Производная $f^{\prime }(x_0)$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_0(x_0,f(x_0))$.

Касательная — это секущая $M_0{M}_1$ в предельном положении, когда $M_1\to M_0$.

Вывод уравнения касательной
Уравнение прямой, проходящей через точки $M_0(x_0,y_0)$ и $M_1(x_1,y_1)$:

$$\begin{array}{c}k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{x-x_0}\\ \frac{\Delta f}{\Delta x}(x-x_0)=y-y_0\\ y=\frac{\Delta f}{\Delta x}(x-x_0)+y_0\\ \text{Переходим к пределу при }\Delta x\to 0:\\ \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\frac{\Delta f}{\Delta x}(x-x_0)+y_0\right)=\left(\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}\right)(x-x_0)+y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+y_0\end{array}$$

Итог: $y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Вывод уравнения нормали
Нормаль — это прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.
Из условия перпендикулярности прямых: произведения их угловых коэффициентов равны $-1$.
$k_{норм}\cdot k_{кас}=-1⟹k_{норм}=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$
Уравнение нормали:
$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0),\text{при }{f}^{\prime }(x_0)\ne 0$

Вопрос № 3. Сформулировать определение дифференцируемости функции в точке

Сформулировать определение дифференцируемости функции в точке

Определение
Функция $f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, если её приращение можно представить в виде:
$\Delta f=A\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)\text{при }\Delta x\to 0$
где $A=const$, $\Delta x=x-x_0$.

Вопрос № 4. Доказать теорему о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной

Доказать теорему о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной

Формулировка
$f(x)\in D(x_0)⟺\exists f^{\prime }(x_0)$

Доказательство
1. Необходимость ($\Rightarrow$)

$$\begin{array}{c}\text{Дано: }f(x)\in D(x_0)\Rightarrow \Delta f=A\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x),\Delta x\to 0\\ \text{Разделим на }\Delta x\ne 0:\\ \frac{\Delta f}{\Delta x}=A+\frac{\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)}{\Delta x}\\ \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(A+\frac{\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)}{\Delta x}\right)=A\\ \Rightarrow \exists f^{\prime }(x_0)=A\end{array}$$

2. Достаточность ($\Leftarrow$)

$$\begin{array}{c}\text{Дано: }\exists f^{\prime }(x_0)\Rightarrow \exists \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=A\\ \text{По теореме о связи функции и её предела: }\\ \frac{\Delta f}{\Delta x}=A+\alpha (\Delta x),\text{ где }\alpha (\Delta x)\to 0\text{ при }\Delta x\to 0\\ \Delta f=A\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x\\ \text{Так как }\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\alpha (\Delta x)\Delta x}{\Delta x}=0\Rightarrow \alpha (\Delta x)\Delta x=\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)\\ \Rightarrow \Delta f=A\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)\Rightarrow f(x)\in D(x_0)\end{array}$$

Вопрос № 5. Связь дифференцируемости и непрерывности

Связь дифференцируемости и непрерывности

Теорема
Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
$f(x)\in D(x_0)⟹f(x)\in C(x_0)$
(Обратное неверно)

Вопрос № 6. Вывести формулу для производной произведения двух функций

Вывести формулу для производной произведения двух функций

Формула

$$\begin{array}{c}\frac{d(u\cdot v)}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot v+u\cdot \frac{dv}{dx}\\ d(u\cdot v)=vdu+udv\end{array}$$

Вывод формулы для производной произведения
Пусть $y=u(x)\cdot v(x)$. Дадим аргументу $x$ приращение $\Delta x$.

$$\begin{array}{c}\Delta y=u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)=\\ =(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=uv+u\Delta v+v\Delta u+\Delta u\Delta v-uv=\\ =u\Delta v+v\Delta u+\Delta u\Delta v\end{array}$$ $$\begin{array}{c}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(u\frac{\Delta v}{\Delta x}+v\frac{\Delta u}{\Delta x}+\Delta u\frac{\Delta v}{\Delta x}\right)=\\ =u{v}^{\prime }+v{u}^{\prime }+0\cdot v^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\end{array}$$

(Так как $u(x)$ дифференцируема, она непрерывна $\Rightarrow \lim \Delta u=0$).

Вопрос № 7. Вывести формулу для производной отношения двух функций

Вывести формулу для производной отношения двух функций

Свойство дифференциала
$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2},v\ne 0$

Вывод формулы

$$\begin{array}{c}{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=(u\cdot v^{-1}{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v^{-1}+u(-1\cdot v^{-2})v^{\prime }=\\ =\frac{u^{\prime }}{v}-\frac{u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2}\end{array}$$

Вопрос № 8. Сформулировать теорему о дифференцируемости сложной функции

Сформулировать теорему о дифференцируемости сложной функции

Формулировка
Пусть функция $u=\phi (x)$ имеет производную $u_x^{\prime }={\phi }^{\prime }(x)$ в точке $x$, а функция $y=f(u)$ имеет производную $y_u^{\prime }=f^{\prime }(u)$ в соответствующей точке $u=\phi (x)$. Тогда сложная функция $y=f(\phi (x))$ дифференцируема в точке $x$, и её производная вычисляется по формуле:

$y_x^{\prime }=f^{\prime }(\phi (x))\cdot {\phi }^{\prime }(x)$

• или в сокращенной записи: $y_x^{\prime }=y_u^{\prime }\cdot u_x^{\prime }$

Вопрос № 9. Сформулировать теорему о дифференцируемости обратной функции

Сформулировать теорему о дифференцируемости обратной функции

Теорема (вспомогательная)
Пусть $f(x)\in C([a,b])$ и монотонна на этом отрезке $[a,b]$. Тогда на отрезке с концами $c=f(a)$ и $d=f(b)$ существует однозначная обратная функция $x=f^{-1}(y)$, которая также непрерывна и монотонна.

Теорема о производной обратной функции
Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема и строго монотонна на интервале $(a,b)$, причем $f^{\prime }(x)\ne 0$ для любого $x\in (a,b)$. Тогда обратная функция $x=f^{-1}(y)$ также дифференцируема, и её производная вычисляется по формуле:

$(f^{-1}(y){)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(x)}\text{или}{x}_y^{\prime }=\frac{1}{y_x^{\prime }}$

Вопрос № 10. Дифференциал функции: определение, геометрический смысл

Дифференциал функции: определение, геометрический смысл

Определение
Дифференциалом (первого порядка) функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется главная линейная относительно $\Delta x$ часть приращения функции:
$df(x_0)=A\Delta x=f^{\prime }(x_0)dx$

• При условии, что $f(x)\in D(x_0)$, то есть $\Delta f=A\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)$.

Геометрический смысл
Дифференциал функции $df(x_0)$ есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке $x_0$, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$.
$\Delta f\approx df(x_0)(\text{при }\Delta x\to 0)$

Вопрос № 11. Доказать инвариантность формы записи дифференциала первого порядка

Доказать инвариантность формы записи дифференциала первого порядка

Теорема
Дифференциал инвариантен относительно формы его записи.

Доказательство
Пусть $f(x)=v(u(x))$.
Существуют $u^{\prime }(x_0)$ и $v^{\prime }(u_0)$, где $u_0=u(x_0)$.

Тогда:
$df(x_0)=f^{\prime }(x_0)dx=v^{\prime }(u_0)u^{\prime }(x_0)dx=v^{\prime }(u_0)du$
(Форма $v^{\prime }(u)du$ сохраняется независимо от того, является $u$ независимой переменной или функцией).

Вопрос № 12. Теорема Ферма

Теорема Ферма

Формулировка
Если функция определена в некоторой окрестности точки $c$, дифференцируема в точке $c$, и принимает в ней экстремальное значение, то её производная в этой точке равна 0.

$f(x)$ опр в $U(c),f(x)\in D(c)$
$f(c)={\max }_{U(c)}f(x)\text{либо}f(c)={\min }_{U(c)}f(x)$
$\Downarrow$
$f^{\prime }(c)=0$

Вопрос № 13. Сформулировать теорему Ролля

Сформулировать теорему Ролля

Формулировка
Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет условиям:

1. $f(x)\in C([a,b])$
2. $f(x)\in D((a,b))$
3. $f(a)=f(b)$

$\exists c\in (a,b):f^{\prime }(c)=0$

Вопрос № 14. Дать геометрическую интерпретацию теоремы Ролля

Дать геометрическую интерпретацию теоремы Ролля

Интерпретация
Если функция $f(x)$ удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля (непрерывна на отрезке, дифференцируема внутри, значения на концах равны), то на интервале $(a,b)$ существует хотя бы одна точка $c$, в которой касательная к графику функции параллельна оси $OX$.

Вопрос № 15. Сформулировать теорему Лагранжа

Сформулировать теорему Лагранжа

Формулировка
Пусть $f(x)$ удовлетворяет условиям:
4. $f(x)\in C([a,b])$
5. $f(x)\in D((a,b))$

$\exists c\in (a,b):\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$

Вопрос № 16. Дать геометрическую интерпретацию теоремы Лагранжа

Дать геометрическую интерпретацию теоремы Лагранжа

Интерпретация
Если соединить на графике точки $A(a,f(a))$ и $B(b,f(b))$ хордой, то обязательно найдётся хотя бы одна точка $c\in (a,b)$, в которой касательная к графику $f(x)$ будет параллельна этой хорде.

Вопрос № 17. Сформулировать теорему Коши

Сформулировать теорему Коши

Формулировка
Пусть $f(x),g(x)$ удовлетворяют условиям:
6. $f(x),g(x)\in C([a,b])$
7. $f(x),g(x)\in D((a,b))$
8. $g^{\prime }(x)\ne 0\forall x\in (a,b)$

$\exists c\in (a,b):\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$

Вопрос № 18. Сформулировать теорему Бернулли — Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций

Сформулировать теорему Бернулли — Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций

Формулировка
Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ удовлетворяют условиям:
9. $f(x),g(x)\in C((a,b])$ и $f(x),g(x)\in D((a,b))$
10. $\forall x\in (a,b)g^{\prime }(x)\ne 0$
11. $\exists {\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=l$
12. ${\lim }_{x\to a+0}f(x)=0$ и ${\lim }_{x\to a+0}g(x)=0$

$\exists {\lim }_{x\to a+0}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=l$

Вопрос № 19. Выписать формулы Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа. Указать условия их применимости.

Выписать формулы Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа. Указать условия их применимости.

Формула Тейлора

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+r_n(x)$$

где $P_n(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$ — многочлен Тейлора степени $n$.

Остаточные члены
$r_n(x)$ — остаточный член ($0!=1$)

1. Форма Пеано:

• Условие: $f(x)\in D^n(a)$ (существует конечная $n$-я производная в точке $a$).
  $r_n(x)=\overline{\stackrel{ˉ}{o}}((x-a{)}^n)$

2. Форма Лагранжа:

• Условие: $f(x)$ имеет производную порядка $(n+1)$ в некоторой окрестности точки $a$.
  $r_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(a+\theta (x-a))\cdot (x-a{)}^{n+1},0<\theta <1$

Вопрос № 20, 21. Сформулировать необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) дифференцируемой функции

Сформулировать необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) дифференцируемой функции

Необходимое условие возрастания (убывания)

Теорема (Необходимое условие)
Пусть $f(x)\in D((a,b))$.

• Если $f(x)$ возрастает на $(a,b)$, то $f^{\prime }(x)\ge 0$ для всех $x\in (a,b)$.
• Если $f(x)$ убывает на $(a,b)$, то $f^{\prime }(x)\le 0$ для всех $x\in (a,b)$.

Теорема (Достаточное условие)
Пусть $f(x)\in D((a,b))$.

• Если $\forall x\in (a,b)f^{\prime }(x)>0$, то $f(x)$ строго возрастает на $(a,b)$.
• Если $\forall x\in (a,b)f^{\prime }(x)<0$, то $f(x)$ строго убывает на $(a,b)$.

Доказательство
Пусть $x_1,x_2\in (a,b)$, причём $x_1<x_2$.
$f(x)$ удовлетворяет Th Лагранжа на $[x_1,x_2]$ (непрерывна и дифференцируема).
По Th Лагранжа:
$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1),c\in (x_1,x_2)$
Так как $x_1<x_2$, то $(x_2-x_1)>0$. Следовательно, знак разности $f(x_2)-f(x_1)$ совпадает со знаком $f^{\prime }(c)$.

$$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(c)>0⟹f(x_2)-f(x_1)>0⟹f(x)\text{ строго возрастает}\\ f^{\prime }(c)<0⟹f(x_2)-f(x_1)<0⟹f(x)\text{ строго убывает}\end{array}$$

Вопрос № 22. Дать определение точек локального экстремума функции

Дать определение точек локального экстремума функции

Определения
1. Точка $c$ называется точкой локального максимума, если существует окрестность $U(c)$, такая что для всех $x\in U(c)$ выполняется $f(x)\le f(c)$.
2. Точка $c$ называется точкой локального минимума, если существует окрестность $U(c)$, такая что для всех $x\in U(c)$ выполняется $f(x)\ge f(c)$.
3. Точки максимума и минимума называются точками локального экстремума.

Вопрос № 23. Сформулировать необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции

Сформулировать необходимое условие существования экстремума дифференцируемой функции

Теорема Ферма
Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $c$ и имеет в этой точке экстремум, то её производная в этой точке равна нулю:
$f^{\prime }(c)=0$

(Для общей функции: если в точке $c$ экстремум, то $c$ — критическая точка, т.е. $f^{\prime }(c)=0$ или $\nexists f^{\prime }(c)$).

Вопрос № 24. Сформулировать достаточное условие существования экстремума функции по ее первой производной

Сформулировать достаточное условие существования экстремума функции по ее первой производной

Теорема
Пусть $f(x)$ непрерывна в точке $c$ и дифференцируема в проколотой окрестности $\dot{U}(c)$.
Если при переходе через точку $c$ производная $f^{\prime }(x)$ меняет знак:

• С плюса на минус ($f^{\prime }(x)>0$ при $x<c$, $f^{\prime }(x)<0$ при $x>c$) — $c$ точка локального максимума.
• С минуса на плюс ($f^{\prime }(x)<0$ при $x<c$, $f^{\prime }(x)>0$ при $x>c$) — $c$ точка локального минимума.

Вопрос № 25. Сформулировать достаточное условие существования экстремума по второй производной

Сформулировать достаточное условие существования экстремума по второй производной

Теорема
Пусть $f(x)$ дважды дифференцируема в точке $c$ ($f(x)\in D^2(c)$).
Пусть $f^{\prime }(c)=0$ и $f^{\prime \prime }(c)\ne 0$.
Тогда:

• Если $f^{\prime \prime }(c)<0$, то $c$ — точка строгого локального максимума.
• Если $f^{\prime \prime }(c)>0$, то $c$ — точка строгого локального минимума.

Вопрос № 26. Дать определения направлений вверх и вниз выпуклости графика функции

Дать определения направлений вверх и вниз выпуклости графика функции

Определения
1. График функции $y=f(x)$ называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале $(a,b)$, если он расположен не ниже любой своей касательной на этом интервале.
2. График функции $y=f(x)$ называется выпуклым вверх (выпуклым) на интервале $(a,b)$, если он расположен не выше любой своей касательной на этом интервале.

(Альтернативное определение через хорду: график выпуклый вниз, если он лежит ниже хорды, соединяющей любые две точки графика на этом интервале).

Вопрос № 27. Сформулировать достаточное условие выпуклости вверх и вниз графика дважды дифференцируемой функции

Сформулировать достаточное условие выпуклости вверх и вниз графика дважды дифференцируемой функции

Теорема
Пусть $f(x)$ дважды дифференцируема на интервале $(a,b)$.

• Если $\forall x\in (a,b)f^{\prime \prime }(x)>0$, то график функции имеет выпуклость вниз (вогнутость).
• Если $\forall x\in (a,b)f^{\prime \prime }(x)<0$, то график функции имеет выпуклость вверх.

Вопрос № 28. Дать определение точки перегиба графика функции

Дать определение точки перегиба графика функции

Определение
Точка $M_0(x_0,f(x_0))$ графика функции, в которой существует касательная и при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости (с выпуклости вверх на выпуклость вниз или наоборот), называется точкой перегиба.

Вопрос № 29. Сформулировать необходимое и достаточное условия существования точки перегиба графика функции

Сформулировать необходимое и достаточное условия существования точки перегиба графика функции

Необходимое условие
Если $x_0$ — точка перегиба графика функции $f(x)$ и функция имеет вторую производную в этой точке, то:
$f^{\prime \prime }(x_0)=0$

Достаточное условие
Пусть $f(x)$ имеет вторую производную в окрестности точки $x_0$. Если при переходе через точку $x_0$ вторая производная $f^{\prime \prime }(x)$ меняет знак, то точка $x_0$ является точкой перегиба.

• С $f^{\prime \prime }(x)<0$ на $f^{\prime \prime }(x)>0$: перегиб выпуклости вверх на выпуклость вниз.
• С $f^{\prime \prime }(x)>0$ на $f^{\prime \prime }(x)<0$: перегиб выпуклости вниз на выпуклость вверх.

Вопрос № 30. Дать определение наклонной асимптоты. Вывести уравнение наклонной асимптоты

Дать определение наклонной асимптоты. Вывести уравнение наклонной асимптоты

Определение
Прямая $L$ называется асимптотой графика функции $y=f(x)$, если расстояние от точки $M(x,f(x))$ графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки $M$ от начала координат ($x\to \infty$).
Наклонная асимптота задается уравнением $y=kx+b$.

Вывод уравнения
Пусть $y=kx+b$ — наклонная асимптота при $x\to +\infty$.
Тогда ${\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-(kx+b))=0$.

1. Найдем $k$:
Вынесем $x$ за скобку: ${\lim }_{x\to +\infty }x\left(\frac{f(x)}{x}-k-\frac{b}{x}\right)=0$.
Так как $x\to \infty$, то второй множитель должен стремиться к 0:
${\lim }_{x\to +\infty }\left(\frac{f(x)}{x}-k\right)=0⟹k={\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}$

2. Найдем $b$:
Из исходного предела ${\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-kx-b)=0$ следует:
$b={\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-kx)$

(Аналогично для $x\to -\infty$).