Экзамен

1. Сформулировать определение предела числовой последовательности.

Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ найдется такой номер $N$ (зависящий от $\epsilon$), что для всех номеров $n>N$ выполняется неравенство $|x_n-a|<\epsilon$.

Кванторная запись
$$\begin{gathered} {\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a\iff \forall \epsilon >0 \\ \exists N(\epsilon )\in \mathbb{N}:\forall n>N\Rightarrow |x_n-a|<\epsilon \end{gathered}$$

2. Сформулировать и доказать теорему о единственности предела сходящейся последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство 1 (от противного — геометрическое): Предположим, что ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$ и ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=b$, причем $a\ne b$. Пусть $\epsilon =\frac{|a-b|}{2}>0$. Согласно определению предела:

1. $\exists N_1:\forall n>N_1\Rightarrow |x_n-a|<\epsilon$ (попадают в $U_{\epsilon }(a)$)
2. $\exists N_2:\forall n>N_2\Rightarrow |x_n-b|<\epsilon$ (попадают в $U_{\epsilon }(b)$)

Возьмем $N=\max (N_1,N_2)$. Тогда для $\forall n>N$ элементы $x_n$ должны одновременно находиться в непересекающихся окрестностях $U_{\epsilon }(a)$ и $U_{\epsilon }(b)$, что невозможно. $U_{\epsilon }(a)\cap U_{\epsilon }(b)=\varnothing \Rightarrow \text{Противоречие.}$

Доказательство 2 (прямое — через неравенство треугольника): Рассмотрим модуль разности пределов $|a-b|$. Прибавим и вычтем под модулем $x_n$: $|a-b|=|a-x_n+x_n-b|=|(a-x_n)+(x_n-b)|$ Воспользуемся неравенством треугольника $|A+B|\le |A|+|B|$: $|a-b|\le |a-x_n|+|x_n-b|$ Перейдем к пределу при $n\to \infty$. Так как $x_n\to a$ и $x_n\to b$, то модули разностей стремятся к нулю: ${\lim }_{n\to \infty }(|a-x_n|+|x_n-b|)=0+0=0$ Получаем неравенство: $0\le |a-b|\le 0$ Следовательно, $|a-b|=0$, откуда $a=b$.

3. Сформулировать и доказать теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.

Теорема: Если функция $f(x)$ имеет конечный предел при $x\to a$, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки $a$.

Доказательство: Пусть ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$. По определению предела, возьмем $\epsilon =1$. $\exists \delta >0:\forall x\in {\dot{U}}_{\delta }(a)\Rightarrow |f(x)-A|<1$ Раскроем модуль: $|f(x)|-|A|\le |f(x)-A|<1\Rightarrow |f(x)|<|A|+1$ Обозначим $M=|A|+1$. Тогда $|f(x)|<M$ для всех $x$ из этой окрестности.

4. Сформулировать теорему о связи двустороннего предела функции с односторонними пределами.

Теорема: Предел функции $f(x)$ в точке $a$ существует и равен числу $A$ тогда и только тогда, когда существуют левосторонний и правосторонний пределы в этой точке, и они равны $A$.

Формула ${\lim }_{x\to a}f(x)=A⟺{\lim }_{x\to a-0}f(x)={\lim }_{x\to a+0}f(x)=A$

5. Сформулировать и доказать теорему о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел.

Теорема: Если ${\lim }_{x\to a}f(x)=A\ne 0$, то существует проколотая окрестность точки $a$, в которой знак функции совпадает со знаком предела. $\exists \dot{U}(a):\forall x\in \dot{U}(a)\Rightarrow \text{sgn}(f(x))=\text{sgn}(A)$

Доказательство: Пусть $A>0$. Положим $\epsilon =\frac{A}{2}>0$. По определению предела $\exists \delta >0$, что $\forall x\in {\dot{U}}_{\delta }(a)$: $|f(x)-A|<\frac{A}{2}\Rightarrow -\frac{A}{2}<f(x)-A<\frac{A}{2}$ $A-\frac{A}{2}<f(x)<A+\frac{A}{2}\Rightarrow \frac{A}{2}<f(x)<\frac{3A}{2}$ Так как $A/2>0$, то $f(x)>0$. (Аналогично доказывается для $A<0$).

6. Сформулировать и доказать теорему о предельном переходе в неравенстве (для последовательностей).

Теорема: Пусть даны две сходящиеся последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, причем $\lim x_n=a,\lim y_n=b$. Если начиная с некоторого номера $N$ выполняется неравенство $x_n\le y_n$, то $a\le b$.

Доказательство (от противного): Пусть $a>b$. Выберем окрестности точек $a$ и $b$ так, чтобы они не пересекались. Возьмем $\epsilon =\frac{a-b}{2}>0$.

1. Для $b$: $\exists N_1:\forall n>N_1\Rightarrow y_n<b+\epsilon =b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}$.
2. Для $a$: $\exists N_2:\forall n>N_2\Rightarrow x_n>a-\epsilon =a-\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}$.

Пусть $N_0=\max (N,N_1,N_2)$. Тогда $\forall n>N_0$: $y_n<\frac{a+b}{2}<x_n\Rightarrow y_n<x_n$ Это противоречит условию $x_n\le y_n$. Значит, предположение неверно, и $a\le b$.

7. Сформулировать и доказать теорему о пределе промежуточной функции.

Теорема: Пусть в некоторой проколотой окрестности $\dot{U}(a)$ выполняется неравенство $\phi (x)\le f(x)\le \psi (x)$. Если ${\lim }_{x\to a}\phi (x)=A$ и ${\lim }_{x\to a}\psi (x)=A$, то ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$.

Доказательство: Для $\forall \epsilon >0$:

1. $\exists {\delta }_1:\forall x\in {\dot{U}}_{{\delta }_1}(a)\Rightarrow A-\epsilon <\phi (x)<A+\epsilon$.
2. $\exists {\delta }_2:\forall x\in {\dot{U}}_{{\delta }_2}(a)\Rightarrow A-\epsilon <\psi (x)<A+\epsilon$.

Возьмем $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$. Тогда $\forall x\in {\dot{U}}_{\delta }(a)$: $A-\epsilon <\phi (x)\le f(x)\le \psi (x)<A+\epsilon$ $A-\epsilon <f(x)<A+\epsilon \Rightarrow |f(x)-A|<\epsilon$ Это и означает, что ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$.

8. Сформулировать и доказать теорему о пределе суммы (для последовательностей).

Теорема: Если последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ сходятся ($\lim x_n=a,\lim y_n=b$), то их сумма сходится, и предел суммы равен сумме пределов: ${\lim }_{n\to \infty }(x_n+y_n)=a+b$

Доказательство: Представим $x_n=a+{\alpha }_n$ и $y_n=b+{\beta }_n$, где ${\alpha }_n,{\beta }_n$ — бесконечно малые ($\lim {\alpha }_n=0,\lim {\beta }_n=0$). Рассмотрим сумму: $x_n+y_n=(a+{\alpha }_n)+(b+{\beta }_n)=(a+b)+({\alpha }_n+{\beta }_n)$ Сумма двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая (пусть ${\gamma }_n={\alpha }_n+{\beta }_n$). $x_n+y_n=(a+b)+{\gamma }_n,\text{ где }{\gamma }_n\to 0$ Следовательно, $\lim (x_n+y_n)=a+b$.

9. Сформулировать и доказать теорему о пределе произведения (для последовательностей).

Теорема: Если $\lim x_n=a$ и $\lim y_n=b$, то $\lim (x_n\cdot y_n)=a\cdot b$.

Доказательство: $x_n=a+{\alpha }_n$, $y_n=b+{\beta }_n$, где ${\alpha }_n,{\beta }_n$ — б.м. $x_n\cdot y_n=(a+{\alpha }_n)(b+{\beta }_n)=ab+a{\beta }_n+b{\alpha }_n+{\alpha }_n{\beta }_n$

1. $a{\beta }_n$ — б.м. (произведение константы на б.м.).
2. $b{\alpha }_n$ — б.м.
3. ${\alpha }_n{\beta }_n$ — б.м. (произведение двух б.м.). Сумма трех б.м. есть б.м., обозначим её ${\gamma }_n$. $x_n\cdot y_n=ab+{\gamma }_n,\text{ где }{\gamma }_n\to 0$ Значит, $\lim (x_n{y}_n)=ab$.

10. Сформулировать и доказать теорему о пределе частного (для последовательностей).

Теорема: Если $\lim x_n=a$, $\lim y_n=b$ и $b\ne 0$, то $\lim \frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$.

Доказательство: Достаточно доказать, что $\lim \frac{1}{y_n}=\frac{1}{b}$. $\frac{1}{y_n}-\frac{1}{b}=\frac{b-y_n}{y_{n}b}=\frac{b-(b+{\beta }_n)}{y_{n}b}=\frac{-{\beta }_n}{y_{n}b}$ Так как $y_n\to b\ne 0$, то начиная с некоторого номера $|y_n|>|b|/2$, то есть $\frac{1}{y_n}$ ограничена. Тогда $\frac{-{\beta }_n}{y_{n}b}=\frac{-1}{b}\cdot \frac{1}{y_n}\cdot {\beta }_n$. Это произведение константы, ограниченной и бесконечно малой последовательностей, то есть величина бесконечно малая. Значит $\frac{1}{y_n}\to \frac{1}{b}$. Используя теорему о произведении: $\frac{x_n}{y_n}=x_n\cdot \frac{1}{y_n}\to a\cdot \frac{1}{b}=\frac{a}{b}$

11. Сформулировать и доказать теорему о пределе сложной функции.

Теорема: Пусть существует предел ${\lim }_{x\to a}\phi (x)=b$ и существует предел ${\lim }_{u\to b}f(u)=A$. Пусть также существует проколотая окрестность $\dot{U}(a)$, такая что для всех $x\in \dot{U}(a)$ выполняется $\phi (x)\ne b$. Тогда существует предел сложной функции $f(\phi (x))$ при $x\to a$, и он равен $A$.

Доказательство: $\forall \epsilon >0\exists \sigma >0:\forall u\in {\dot{U}}_{\sigma }(b)\Rightarrow |f(u)-A|<\epsilon$. Для найденного $\sigma >0$ (играющего роль $\epsilon$ для внутренней функции) $\exists \delta >0:\forall x\in {\dot{U}}_{\delta }(a)\Rightarrow |\phi (x)-b|<\sigma$. Из условия $\phi (x)\ne b$ следует, что значения $u=\phi (x)$ попадают именно в проколотую окрестность ${\dot{U}}_{\sigma }(b)$. Следовательно, для этих $u$ выполняется $|f(u)-A|<\epsilon$, то есть $|f(\phi (x))-A|<\epsilon$.

12. Сформулировать теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

Теорема 1: Если функция $\alpha (x)$ — бесконечно малая при $x\to a$ ($\alpha (x)\ne 0$ в окрестности), то функция $1/\alpha (x)$ — бесконечно большая при $x\to a$. Теорема 2: Если функция $f(x)$ — бесконечно большая при $x\to a$, то функция $1/f(x)$ — бесконечно малая при $x\to a$.

Кратко $\alpha (x)\to 0⟺\frac{1}{\alpha (x)}\to \infty (\alpha \ne 0)$

13. Выписать первый замечательный предел.

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ Используется для раскрытия неопределенностей вида $[\frac{0}{0}]$ с тригонометрией.

14. Выписать второй замечательный предел.

В форме для бесконечно больших: ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$ В форме для бесконечно малых (при $t\to 0$): ${\lim }_{t\to 0}(1+t{)}^{\frac{1}{t}}=e$ Используется для раскрытия неопределенностей вида $[1^{\infty }]$.

15. Сравнение бесконечно малых функций (соответствующие определения).

Пусть $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ — б.м. при $x\to a$. Рассмотрим предел $K={\lim }_{x\to a}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}$.

1. Если $K=0$, то $\alpha (x)$ — б.м. более высокого порядка, чем $\beta (x)$ ($\alpha =o(\beta )$).
2. Если $K=\infty$, то $\alpha (x)$ — б.м. более низкого порядка, чем $\beta (x)$.
3. Если $K=C\ne 0$ ($C=\text{const}$), то $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ — б.м. одного порядка ($C\cdot \beta$ и $\alpha$ соизмеримы).
4. Если $K=1$, то $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ — эквивалентные б.м. ($\alpha \sim \beta$).

16. Сравнение бесконечно больших функций (соответствующие определения).

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — б.б. при $x\to a$. Рассмотрим предел $K={\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$.

1. Если $K=\infty$, то $f(x)$ — б.б. более высокого порядка, чем $g(x)$.
2. Если $K=0$, то $f(x)$ — б.б. более низкого порядка, чем $g(x)$.
3. Если $K=C\ne 0$, то $f(x)$ и $g(x)$ — б.б. одного порядка.
4. Если $K=1$, то $f(x)$ и $g(x)$ — эквивалентные б.б. ($f\sim g$).

17. Сформулировать теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях.

Теорема 1 (Критерий эквивалентности): Две б.м. $\alpha (x)$ и $\beta (x)$ эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть б.м. более высокого порядка по сравнению с каждой из них: $\alpha \sim \beta ⟺\alpha -\beta =o(\alpha )(\text{или }o(\beta ))$

Теорема 2 (О замене на эквивалентную): Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если одну из них (или обе) заменить на эквивалентную ей бесконечно малую. $\text{Если }\alpha \sim {\alpha }^{\prime },\beta \sim {\beta }^{\prime },\text{ то }{\lim }_{x\to a}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}={\lim }_{x\to a}\frac{{\alpha }^{\prime }(x)}{{\beta }^{\prime }(x)}$

18. Сформулировать определения непрерывности функции в точке.

Определение 1 (через пределы): Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, существует конечный предел функции в этой точке, и он равен значению функции в этой точке: ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

Определение 2 (через приращения): Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: ${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0,\text{где }\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

19. Точки разрыва функции и их классификация.

Точка $x_0$ называется точкой разрыва, если функция в ней не является непрерывной (не выполнено одно из условий непрерывности).

1. Разрыв I рода: Существуют конечные односторонние пределы ${\lim }_{x\to x_0-0}f(x)=A_1$ и ${\lim }_{x\to x_0+0}f(x)=A_2$.
   • Если $A_1=A_2\ne f(x_0)$ (или $f$ не определена) — устранимый разрыв.
   • Если $A_1\ne A_2$ — скачок.
2. Разрыв II рода: По крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

20. Сформулировать свойства функций, непрерывных на отрезке.

Если $f(x)\in C[a,b]$, то:

1. Первая теорема Вейерштрасса: Функция ограничена на этом отрезке ($\exists M>0:\forall x\in [a,b]\Rightarrow |f(x)|\le M$).
2. Вторая теорема Вейерштрасса: Функция достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней граней (максимального и минимального значений). $\exists x_1,x_2\in [a,b]:f(x_1)={\sup }_{[a,b]}f(x),f(x_2)={\inf }_{[a,b]}f(x)$
3. Теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях): Если функция принимает на концах отрезка значения разных знаков ($f(a)\cdot f(b)<0$), то внутри отрезка найдется точка $c$, где $f(c)=0$. Также функция принимает любое значение, лежащее между $f(a)$ и $f(b)$.

21. Сформулировать определение производной функции в точке, геометрический смысл.

Определение: Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности $U(x_0)$. Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует). $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

Геометрический смысл: Производная $f^{\prime }(x_0)$ равна угловому коэффициенту ($k=\tan \alpha$) касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.

22. Сформулировать определение дифференцируемости функции в точке.

Функция $f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0$ ($f(x)\in D(x_0)$), если её приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной части относительно $\Delta x$ и бесконечно малой более высокого порядка малости: $\Delta f=A\cdot \Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)(\text{при }\Delta x\to 0)$ где $A$ — число, не зависящее от $\Delta x$.

23. Сформулировать теорему о связи дифференцируемости с непрерывностью.

Теорема: Если функция дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в этой точке. $f(x)\in D(x_0)\Rightarrow f(x)\in C(x_0)$

Доказательство: $f(x)\in D(x_0)\Rightarrow \Delta f=A\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x$. Перейдем к пределу при $\Delta x\to 0$: ${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta f={\lim }_{\Delta x\to 0}(A\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x)=0$ А условие ${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta f=0$ равносильно непрерывности функции.

Обратное неверно $y=|x|$ непрерывна в $x=0$, но не дифференцируема в ней.

Функция

24. Сформулировать и доказать теорему о производной сложной функции.

Теорема: Если функция $u=\phi (x)$ имеет производную $u_x^{\prime }$ в точке $x$, а функция $y=f(u)$ имеет производную $y_u^{\prime }$ в соответствующей точке $u=\phi (x)$, то сложная функция $y=f(\phi (x))$ имеет производную $y_x^{\prime }$, равную произведению производных: $y_x^{\prime }=y_u^{\prime }\cdot u_x^{\prime }$

Доказательство: Дадим $x$ приращение $\Delta x\ne 0$. Функция $u$ получит приращение $\Delta u$. Функция $y$ получит приращение $\Delta y$. Так как $y$ дифференцируема по $u$: $\Delta y=f^{\prime }(u)\Delta u+\alpha (\Delta u)\Delta u$, где $\alpha \to 0$ при $\Delta u\to 0$. Разделим на $\Delta x$: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha (\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}$ При $\Delta x\to 0\Rightarrow \Delta u\to 0$ (в силу непрерывности $u$). $y_x^{\prime }={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(u)\cdot {\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}+0\cdot u_x^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)$

25. Сформулировать и доказать теорему о производной обратной функции.

Теорема: Пусть функция $y=f(x)$ строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки $x_0$, и существует производная $f^{\prime }(x_0)\ne 0$. Тогда обратная функция $x=f^{-1}(y)$ дифференцируема в точке $y_0=f(x_0)$ и её производная равна: $(f^{-1}(y){)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

Доказательство: Возьмем приращение $\Delta y\ne 0$. В силу строгой монотонности обратной функции соответствующее приращение $\Delta x\ne 0$. $x_y^{\prime }={\lim }_{\Delta y\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{y_x^{\prime }}$

Геометрический смысл:

Графики прямой функции $y=f(x)$ и обратной функции $x=f^{-1}(y)$ (если не переобозначать оси) представляют собой одну и ту же кривую.

Касательная к этой кривой в точке $M_0(x_0,y_0)$ образует:

• Угол $\alpha$ с осью $Ox$. Тангенс этого угла — производная прямой функции: $f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha$.
• Угол $\beta$ с осью $Oy$. Тангенс этого угла — производная обратной функции: $(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\tan \beta$.

Так как оси координат перпендикулярны, то $\alpha +\beta =90^{\circ }$ (или $\frac{\pi }{2}$).

Вывод $(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\tan \beta =\tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$

Простыми словами: Производная обратной функции равна котангенсу угла наклона касательной к графику исходной функции (или обратной величине углового коэффициента касательной).

26. Сформулировать определение дифференциала функции, геометрический смысл.

Пусть: $f(x)\in D(x_0)=>\Delta f=A\Delta x+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(\Delta x)$
где $A$ не зависит от $\Delta x$

Тогда:
Главная линейная относительно $\Delta x$ часть приращения(то есть $A\Delta x$) называется дифференциалом(первым дифференциалом, дифференциалом первого порядка) функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Геометрический смысл: Дифференциал функции в точке $x_0$ равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента $\Delta x$.

---

LEGIT

27. Сформулировать и доказать теорему Ферма.

Формулировка

Если функция определена в некоторой окрестности точки $c$, дифференцируема в точке $c$, и принимает в ней экстремальное значение, то её производная в этой точке равна 0.

$f(x)$ опр. в $U(c),f(x)\in D(c)$
$f(c)={\max }_{U(c)}f(x)\text{либо}f(c)={\min }_{U(c)}f(x)$
$\Downarrow$
$f^{\prime }(c)=0$

Доказательство

Пусть $f(c)={\max }_{U(c)}f(x)$.
Следовательно, $\forall x\in U(c)f(x)\le f(c)$.

Отсюда следует, что:

1. Если $x<c⟹\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0(1)$
2. Если $x>c⟹\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0(2)$

Перейдём к пределу в $(1)$ и $(2)$ при $x\to c$:

$$\begin{array}{l}{\lim }_{x\to c-0}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0\\ {\lim }_{x\to c+0}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0\\ f(x)\in D(c)⟹\exists f^{\prime }(c)\end{array}\}⟹f^{\prime }(c)=\{\begin{array}{l}\ge 0\\ \le 0\end{array}⟹f^{\prime }(c)=0$$

28. Сформулировать и доказать теорему Ролля.

Формулировка

Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет условиям:

1. $f(x)\in C([a,b])$
2. $f(x)\in D((a,b))$
3. $f(a)=f(b)$

$\exists c\in (a,b):f^{\prime }(c)=0$

Геометрическая интерпретация

Если функция $f(x)$ удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, то на интервале $(a,b)$ существует точка $c$, в которой касательная параллельна оси OX.

Доказательство

Так как $f(x)\in C([a,b])$, то по теореме Вейерштрасса она достигает ${\max }_{x\in [a,b]}f(x)=M$ и ${\min }_{x\in [a,b]}f(x)=m$.

Возможные случаи:

1. $f(x)=const=C⟹\forall x\in [a,b]:f^{\prime }(x)=(C{)}^{\prime }=0$.
2. $f(x)\ne const⟹m<M(m\ne M)$. Так как $f(a)=f(b)$, то существует $c\in (a,b)$ такое, что $f(c)=m$ либо $f(c)=M$. Тогда по теореме Ферма $f^{\prime }(c)=0$.

29. Сформулировать и доказать теорему Лагранжа.

Формулировка

Пусть $f(x)$ удовлетворяет условиям:

1. $f(x)\in C([a,b])$
2. $f(x)\in D((a,b))$

$\exists c\in (a,b):\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$

Геометрическая интерпретация

Если соединить на графике точки $f(a)$ и $f(b)$, обязательно найдётся касательная к графику $f(x)$ на интервале $(a,b)$, которая будет параллельна этой хорде.

Доказательство

Рассмотрим вспомогательную функцию: $F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

$F(x)$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1. $F(x)\in C([a,b])$ — верно
2. $F(x)\in D((a,b))$ — верно (так как $f(x)$ дифференцируема)
3. Значения на концах: $$\begin{array}{c}F(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=0\\ F(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=0\end{array}$$

Следовательно, по теореме Ролля $\exists c\in (a,b):F^{\prime }(c)=0$. $F^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0⟹f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

30. Сформулировать и доказать теорему Коши.

Формулировка

Пусть $f(x),g(x)$ удовлетворяют условиям:

1. $f(x),g(x)\in C([a,b])$
2. $f(x),g(x)\in D((a,b))$
3. $g^{\prime }(x)\ne 0\forall x\in (a,b)$

$\exists c\in (a,b):\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$

Доказательство

1. $g(b)\ne g(a)$. Так как если бы $g(b)=g(a)$, то $g(x)$ удовлетворяла бы теореме Ролля и $\exists c_1\in (a,b):g^{\prime }(c_1)=0$. Это противоречит условию (3). Следовательно, $g(b)-g(a)\ne 0$.

2. Введём вспомогательную функцию: $F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$

   $F(x)$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

   1. $F(x)\in C([a,b])$ — верно
   2. $F(x)\in D((a,b))$ — верно
   3. Значения на концах: $$\begin{array}{c}F(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(a)-g(a))=f(a)\\ F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(b)-g(a))=f(a)\end{array}$$ Так как $F(a)=F(b)$.

   Следовательно, по т. Ролля $\exists c\in (a,b):F^{\prime }(c)=0$.

   $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(x)$ $F^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g^{\prime }(c)=0$ $\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

31. Сформулировать и доказать теорему Бернулли — Лопиталя.

Формулировка

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ удовлетворяют условиям:

1. $f(x),g(x)\in C((a,b])$ и $f(x),g(x)\in D((a,b))$
2. $\forall x\in (a,b)g^{\prime }(x)\ne 0$
3. $\exists {\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=l$
4. ${\lim }_{x\to a+0}f(x)=0$ и ${\lim }_{x\to a+0}g(x)=0$

$\exists {\lim }_{x\to a+0}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=l$

Доказательство

Доопределим $f(x)$ и $g(x)$ в точке $a$:

$$\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in (a,b]\\ 0,& x=a\end{array}\text{и}\{\begin{array}{ll}g(x),& x\in (a,b]\\ 0,& x=a\end{array}$$

Тогда $f(x),g(x)\in C([a,b])$.

$f(x),g(x)$ удовлетворяют теореме Коши на интервале $[a,x]$, где $x\in (a,b]$. Следовательно: $\exists c\in (a,x):\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\frac{f(x)}{g(x)}$

Предел левой части: Пусть $x\to a+0$, тогда $a<c<x<b⟹c\to a+0$.

${\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}={\lim }_{c\to a+0}\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}={\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Так как существует предел правой части (по условию), то существует и предел левой части: ${\lim }_{x\to a+0}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a+0}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Обобщение

Теорема оказывается справедлива:

1. При $x\to a-0$
2. Если справедлива для $x\to a+0$ и $x\to a-0⟹$ при $x\to a$
3. При $x\to \pm \infty$
4. При ${\lim }_{x\to a+0}f(x)={\lim }_{x\to a+0}g(x)=\pm \infty$

Примеры сравнения роста функций ($\alpha ,\beta ,\gamma >0$)

1. Степенная и показательная: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{e^{\alpha x}}{x^{\beta }}=+\infty$ (показательная растет быстрее).
2. Логарифмическая и степенная: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln (\gamma x)}{x^{\beta }}=0$ (степенная растет быстрее).
3. Периодическая: Предел ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ по Лопиталю не существует (производная периодична), хотя исходный предел равен 1.

---

32. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Теорема: Если $f(x)\in D^n(a)$, то: $f(x)=P_n(x)+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}((x-a{)}^n)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}((x-a{)}^n)$

Доказательство (вывод): Ищем многочлен $P_n(x)$ степени $\le n$, такой что $P_n^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)$ для $k=0,\dots ,n$. Коэффициенты такого многочлена: $C_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$. Рассмотрим остаток $r_n(x)=f(x)-P_n(x)$. В точке $a$: $r_n(a)=r_n^{\prime }(a)=\cdots =r_n^{(n)}(a)=0$. Найдем предел ${\lim }_{x\to a}\frac{r_n(x)}{(x-a{)}^n}$. Применяем правило Лопиталя $n-1$ раз: $\cdots ={\lim }_{x\to a}\frac{r_n^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}=\frac{1}{n!}{\lim }_{x\to a}\frac{f^{(n-1)}(x)-P_n^{(n-1)}(x)}{x-a}$ Так как $P_n^{(n-1)}(x)$ — линейная функция с производной $f^{(n)}(a)$, а производная $f^{(n-1)}(x)$ в точке $a$ равна $f^{(n)}(a)$, то последний предел равен $f^{(n)}(a)-f^{(n)}(a)=0$. $\Rightarrow r_n(x)=\overline{\stackrel{ˉ}{o}}((x-a{)}^n)$.

33. Выписать формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

1. $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(x^n)$
2. $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(x^{2k+2})$
3. $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(x^{2k+1})$
4. $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}(x^n)$

34. Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии возрастания.

Теорема: Если дифференцируемая функция $f(x)$ возрастает (неубывает) на интервале $(a,b)$, то $f^{\prime }(x)\ge 0$ для всех $x\in (a,b)$.

Доказательство: Пусть $f(x)$ возрастает. Возьмем $x\in (a,b)$ и $\Delta x$. $\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$. Если $\Delta x>0\Rightarrow \Delta f\ge 0\Rightarrow \frac{\Delta f}{\Delta x}\ge 0$. Если $\Delta x<0\Rightarrow \Delta f\le 0\Rightarrow \frac{\Delta f}{\Delta x}\ge 0$. Переходя к пределу: $f^{\prime }(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}\ge 0$.

35. Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии возрастания.

Теорема: Если $f(x)$ дифференцируема на $(a,b)$ и $\forall x\in (a,b)f^{\prime }(x)>0$, то $f(x)$ строго возрастает на $(a,b)$.

Доказательство: Возьмем любые $x_1,x_2\in (a,b)$, пусть $x_1<x_2$. По теореме Лагранжа на $[x_1,x_2]$: $f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1)$, где $c\in (x_1,x_2)$. Так как $f^{\prime }(c)>0$ и $x_2-x_1>0$, то $f(x_2)-f(x_1)>0\Rightarrow f(x_2)>f(x_1)$.

36. Сформулировать теорему о необходимом условии существования экстремума.

Теорема: Если дифференцируемая функция $f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то её производная в этой точке равна нулю: $f^{\prime }(x_0)=0$. (Это прямое следствие теоремы Ферма).

Обобщение

В точках экстремума непрерывной функции производная либо равна 0, либо не существует. Такие точки называются критическими.

37. Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии экстремума (по 1-й производной).

Теорема: Пусть $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ и дифференцируема в её проколотой окрестности.

• Если при переходе через $x_0$ производная $f^{\prime }(x)$ меняет знак с $+$ на $-$, то $x_0$ — точка максимума.
• Если с $-$ на $+$, то $x_0$ — точка минимума.

Доказательство (для max): Пусть $x<x_0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$. По т. Лагранжа на $[x,x_0]$: $f(x_0)-f(x)=f^{\prime }(c)(x_0-x)>0\Rightarrow f(x)<f(x_0)$. Пусть $x>x_0\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$. По т. Лагранжа на $[x_0,x]$: $f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(c)(x-x_0)<0\Rightarrow f(x)<f(x_0)$. Следовательно, в окрестности $f(x)<f(x_0)$, значит $x_0$ — точка строгого максимума.

38. Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии экстремума (по 2-й производной).

Теорема: Пусть $f(x)\in D^2(x_0)$ и $f^{\prime }(x_0)=0$.

• Если $f^{\prime \prime }(x_0)<0$, то $x_0$ — точка максимума.
• Если $f^{\prime \prime }(x_0)>0$, то $x_0$ — точка минимума.

Доказательство: Разложим по Тейлору в точке $x_0$ до $n=2$: $f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2+\overline{\stackrel{ˉ}{o}}((x-x_0{)}^2)$ Т.к. $f^{\prime }(x_0)=0$, то знак разности $f(x)-f(x_0)$ в малой окрестности определяется знаком слагаемого $\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2$. Поскольку $(x-x_0{)}^2>0$, знак разности совпадает со знаком $f^{\prime \prime }(x_0)$. Если $f^{\prime \prime }(x_0)<0\Rightarrow f(x)-f(x_0)<0\Rightarrow f(x)<f(x_0)$ (Максимум).

39. Сформулировать теорему о достаточном условии выпуклости.

Теорема: Пусть $f(x)$ дважды дифференцируема на интервале $(a,b)$.

• Если $\forall x\in (a,b)f^{\prime \prime }(x)\ge 0$, то график функции выпуклый вниз ($\cup$) на этом интервале.
• Если $\forall x\in (a,b)f^{\prime \prime }(x)\le 0$, то график функции выпуклый вверх ($\cap$).

40. Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии выпуклости (доказательство).

Доказательство: Выпуклость вниз означает, что график лежит ниже хорды. Рассмотрим разность между ординатой хорды $l(x)$ и функции $f(x)$ на отрезке $[x_1,x_2]$. $l(x)-f(x)=\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}(x-x_1)(x_2-x),\text{где }\xi \in (x_1,x_2)$ Для $x\in (x_1,x_2)$ произведение $(x-x_1)(x_2-x)>0$.

• Если $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$, то $l(x)-f(x)\ge 0\Rightarrow f(x)\le l(x)$ (выпуклость вниз).
• Если $f^{\prime \prime }(x)\le 0$, то $l(x)-f(x)\le 0\Rightarrow f(x)\ge l(x)$ (выпуклость вверх).

41. Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии существования точек перегиба.

Теорема: Если $x_0$ — точка перегиба графика функции $f(x)$ и функция имеет в этой точке непрерывную вторую производную, то $f^{\prime \prime }(x_0)=0$.

Доказательство (от противного): Пусть $x_0$ — точка перегиба, но $f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$. В силу непрерывности второй производной, существует окрестность точки $x_0$, в которой $f^{\prime \prime }(x)$ сохраняет знак. Если $f^{\prime \prime }(x)$ сохраняет знак, то функция в этой окрестности является выпуклой только в одну сторону (только вверх или только вниз). Это противоречит определению точки перегиба (точка смены направления выпуклости). Следовательно, $f^{\prime \prime }(x_0)=0$.

42. Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии существования точек перегиба.

Теорема: Пусть $f(x)$ имеет вторую производную в проколотой окрестности точки $x_0$. Если при переходе через точку $x_0$ вторая производная $f^{\prime \prime }(x)$ меняет знак, то $x_0$ — точка перегиба.

Доказательство: Пусть для $x<x_0$ выполнено $f^{\prime \prime }(x)<0$ (выпуклость вверх), а для $x>x_0$ выполнено $f^{\prime \prime }(x)>0$ (выпуклость вниз). Согласно определению выпуклости, слева от $x_0$ кривая лежит ниже касательной (или хорды, в зависимости от определения), а справа — выше. Смена направления выпуклости по определению означает, что $x_0$ — точка перегиба.