Интегралы и Дифференциальные Уравнения

Модуль I. Интегралы

---

---

---

Лекция №1.1.1-12.02.2026

LEGIT CHECK

Первообразная и неопределённый интеграл ^1-1-1-antiderivative-section

[!info]+ Определение - Первообразная Пусть $f(x)$ и $F(x)$ определены на промежутке $I$. Функция $F(x)$ называется ==первообразной== функции $f(x)$ на промежутке $I$, если $F(x)\in D(I)$ и $\forall x\in I{F}^{\prime }(x)=f(x)$.

Для граничной точки, если она $\in I$, для производной $F^{\prime }(x)$ понимается соответствующая односторонняя производная. То есть, если, например, $I\in [a,b]$, то для граничных точек $a$ и $b$ будет браться односторонняя производная (предел при $\Delta x\to 0\pm 0$).

Теорема о непрерывности первообразной Пусть $F(x)$ и $f(x)$ определены на промежутке $I$. Если $F(x)$ - первообразная $f(x)$, тогда $F(x)\in C(I)$.

Доказательство $F(x)\in D(I)\Rightarrow F(x)\in C(I)$.

По определению первообразной

Теорема о разности первообразных Две первообразные одной и той же функции $f(x)$, определённой на промежутке $I$, отличаются между собой на постоянную.

Доказательство $F(x)$ и $G(x)$ - первообразные $f(x)$ на промежутке $I$. Зададим функцию $\phi (x)=F(x)-G(x)$. Возьмём производную ${\phi }^{\prime }(x)=(F(x)-G(x){)}^{\prime }=F^{\prime }(x)-G^{\prime }(x)=f(x)-f(x)=0$. Пусть $I=(a,b)$. По теореме Лагранжа: $\forall x_1,x_2\in (a,b)\exists c\in (x_1,x_2):\phi (x_2)-\phi (x_1)={\phi }^{\prime }(c)(x_2-x_1)$. Так как $c\in (a,b)\Rightarrow$ ${\phi }^{\prime }(c)=0\Rightarrow \phi (x_2)=\phi (x_1)\forall x_1,x_2\in (a,b)\Rightarrow \phi (x)=const$. $\Rightarrow F(x)=G(x)+C$.

Пусть

Теорема о множестве первообразных Пусть $F(x)$ - какая-нибудь первообразная $f(x)$ на интервале $I$. Тогда всё множество первообразных $f(x)$ на интервале $I$ имеет вид $F(x)+C$.

Доказательство

1. Докажем, что $F(x)+C$ - первообразная $f(x)$ на $I$: $(F(x)+C{)}^{\prime }=f(x)+0=f(x)$.
2. Пусть $G(x)$ - первообразная $f(x)$ на $I$. $G(x)\ne F(x)$ $\Rightarrow G(x)-F(x)=C\Rightarrow G(x)=F(x)+C$.

Определение - Неопределённый интеграл Совокупность всех первообразных функции $f(x)$ на некотором промежутке $I$ называется ==неопределённым интегралом== от функции $f(x)$ на этом промежутке и обозначается: $\int f(x)dx=F(x)+C$ Где:

• $F(x)$ - какая-либо первообразная $f(x)$
• $f(x)$ - подынтегральная функция
• $dx$ - дифференциал независимой переменной
• $C$ - постоянная интегрирования

---

Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции, то есть восстановление функции по её производной, называется ==интегрированием==.

Интегрирование представляет собой операцию, ==противоположную взятию производной==, то есть правильность совершённого интегрирования можно проверить взятием производной. $\int \sin xdx=-\cos x+C$ $(-\cos x+C{)}^{\prime }=\sin x$

Примеры с семинара

Свойства неопределённого интеграла

1. $d\int f(x)dx=f(x)dx$

   Доказательство $\begin{array}{c}df(x)=f^{\prime }(x)dx\\ \Downarrow \\ d\int f(x)dx=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F^{\prime }(x)dx+0=f(x)dx\end{array}$

2. $(\int f(x)dx{)}^{\prime }=f(x)$

   Доказательство $(\int f(x)dx{)}^{\prime }=(F(x)+C{)}^{\prime }=f(x)$

3. $\int dF(x)=F(x)+C$

   Доказательство $\int dF(x)=\int F^{\prime }(x)dx=\int f(x)dx=F(x)+C$

4. Линейность: Пусть $F(x)$ - первообразная для $f(x)$ на $I$, $G(x)$ - первообразная для $g(x)$ на $I$, $\alpha ,\beta \in \mathbb{R},{\alpha }^2+{\beta }^2\ne 0$. Тогда для $\phi (x)=\alpha f(x)+\beta g(x)\Rightarrow$ $\int \phi (x)dx=\alpha F(x)+\beta G(x)+C$

   Доказательство $\begin{array}{c}\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx\\ (\alpha F(x)+\beta G(x)+C{)}^{\prime }=\alpha f(x)+\beta g(x)\end{array}$

Таблица основных интегралов

1. $\int dx=x+C$
2. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C,\alpha \ne -1$
3. $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
4. $\int e^{x}dx=e^x+C$
5. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

---

6. $\int \sin xdx=-\cos x+C$
7. $\int \cos xdx=\sin x+C$
8. $\int \frac{dx}{\sin x}=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$
9. $\int \frac{dx}{\cos x}=\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\right|+C$
10. $\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\tan x+C$
11. $\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\cot x+C$

---

12. $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$
13. $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$
14. $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$ - высокий логарифм
15. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$ - длинный логарифм

---

16. $\int \sinh xdx=\cosh x+C$
17. $\int \cosh xdx=\sinh x+C$
18. $\int \frac{dx}{{\cosh }^{2}x}=\tanh x+C$
19. $\int \frac{dx}{{\sinh }^{2}x}=-\coth x+C$

---

20. $\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$

Методы интегрирования: Подстановка и замена переменной ^1-1-1-integration-methods-section

1. Подведение под знак дифференциала $\begin{array}{c}\int f(g(x))dg(x)=F(g(x))+C\\ \Uparrow \\ \int f(x)dx=F(x)+C\\ dg(x)=g^{\prime }(x)dx\\ \int f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx=\int f(g(x))dg(x)\end{array}$

Использование свойства инвариантности:

Пример $\begin{array}{c}\int \sin (x^2)\cdot 2xdx=\int \sin (x^2)d(x^2)=-\cos (x^2)+C\\ \int e^{x^3}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\int e^{x^3}(3x^2)dx=\frac{1}{3}\int e^{x^3}d(x^3)=\frac{1}{3}{e}^{x^3}+C\end{array}$

Примеры с семинара

Теорема об интегрировании подстановкой (Прямая замена) Пусть $\phi (x)$ и $f(x)$ определены в промежутках $I_1$ и $I_2$ соответственно, $\phi (x)\in I_2\forall x\in I_1$. Пусть: $\begin{array}{c}\int f(u)du=F(u)+C\text{На }{I}_2\\ \Downarrow \\ \int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=F(\phi (x))+C\text{На }{I}_1\end{array}$

Доказательство $(F(\phi (x)){)}^{\prime }=F^{\prime }(\phi (x))\cdot {\phi }^{\prime }(x)=f(\phi (x))\cdot {\phi }^{\prime }(x)$

---

Лекция №2.1.2-19.02.2026

LEGIT CHECK

Метод интегрирования по частям ^1-integr-parts

Теорема об интегрировании заменой переменной (Обратная замена) $\phi \in D(I_1)$, и взаимнооднозначно отображает $I_1$ на $I_2$, причём ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0\forall t\in I_1$. Пусть $f$ определена на $I_2$. Тогда, если $\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=F(t)+C$ на $I_1$ $\Rightarrow$ на $I_2$: $\int f(x)dx=F({\phi }^{-1}(x))+C$.

Пусть

Доказательство $\exists {\phi }^{-1}(x)$ - обратная к $\phi (t)$ функция. $\Rightarrow ({\phi }^{-1}(x){)}^{\prime }=\frac{1}{{\phi }^{\prime }({\phi }^{-1}(x))}$ (по теореме о производной обратной функции). Продифференцируем предполагаемый ответ $F({\phi }^{-1}(x))$ по $x$: $\begin{array}{c}(F({\phi }^{-1}(x)){)}^{\prime }=F^{\prime }({\phi }^{-1}(x))\cdot ({\phi }^{-1}(x){)}^{\prime }=\\ =f(\phi ({\phi }^{-1}(x)))\cdot {\phi }^{\prime }({\phi }^{-1}(x))\cdot \frac{1}{{\phi }^{\prime }({\phi }^{-1}(x))}\\ =f(\phi ({\phi }^{-1}(x)))=f(x)\end{array}$

Так как отображение взаимнооднозначно и производная не равна нулю,

Теорема о дифференцировании по частям $u,v\in D(I)$, а функция $u^{\prime }\cdot v$ имеет первообразную на промежутке $I$. Тогда справедлива формула: $\int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)$

Пусть

Доказательство $\begin{array}{c}(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ u\cdot v^{\prime }=(u\cdot v{)}^{\prime }-u^{\prime }v\\ \int u\cdot v^{\prime }dx=\int (u\cdot v{)}^{\prime }dx-\int u^{\prime }vdx\\ \int udv=u\cdot v-\int vdu\end{array}$

Примеры с семинара

Правила выбора функции $u$ и $dv$

1. Интегралы вида $\int P(x)\ln xdx,\int P(x)\arcsin xdx,\int P(x)\arccos xdx,\int P(x)\arctan xdx$, где $P(x)$ — многочлен: $\Rightarrow$ За $u$ принимается логарифмическая или обратная тригонометрическая функция ($u=\ln x,\arcsin x\dots$), а $dv=P(x)dx$.
2. Интегралы вида $\int P(x)e^{\alpha x}dx,\int P(x)\sin (\alpha x)dx,\int P(x)\cos (\alpha x)dx$: $\Rightarrow$ За $u$ принимается многочлен $u=P(x)$, а $dv=e^{\alpha x}dx,\sin (\alpha x)dx\dots$
3. Интегралы вида $\int e^{\alpha x}\sin (\beta x)dx,\int e^{\alpha x}\cos (\beta x)dx$ (циклические): $\Rightarrow$ За $u$ можно взять любую из функций ($e^{\alpha x}$ или тригонометрическую). Интегрирование по частям применяется дважды, после чего получается уравнение относительно искомого интеграла.

Пример 1 (Выбор $u=P(x)$) $\int x{e}^{2x}dx$ Пусть $u=x\Rightarrow du=dx$. $dv=e^{2x}dx\Rightarrow v=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}$. $\int x{e}^{2x}dx=\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}dx=\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C$

Пример 2 (Циклический интеграл) $I=\int e^{3x}\sin 4xdx$. $I=\frac{1}{3}\int \sin 4xd(e^{3x})=\frac{1}{3}\left(e^{3x}\sin 4x-\int e^{3x}d(\sin 4x)\right)=\frac{1}{3}{e}^{3x}\sin 4x-\frac{4}{3}\int e^{3x}\cos 4xdx$ Применим интегрирование по частям ко второму интегралу: $\int e^{3x}\cos 4xdx=\frac{1}{3}\int \cos 4xd(e^{3x})=\frac{1}{3}\left(e^{3x}\cos 4x-\int e^{3x}d(\cos 4x)\right)=\frac{1}{3}{e}^{3x}\cos 4x+\frac{4}{3}\int e^{3x}\sin 4xdx$ Подставляем обратно в исходное выражение: $I=\frac{1}{3}{e}^{3x}\sin 4x-\frac{4}{3}\left(\frac{1}{3}{e}^{3x}\cos 4x+\frac{4}{3}I\right)=\frac{1}{3}{e}^{3x}\sin 4x-\frac{4}{9}{e}^{3x}\cos 4x-\frac{16}{9}I$ Решаем полученное уравнение относительно $I$: $I+\frac{16}{9}I=\frac{1}{3}{e}^{3x}\sin 4x-\frac{4}{9}{e}^{3x}\cos 4x\Rightarrow \frac{25}{9}I=\frac{1}{3}{e}^{3x}\sin 4x-\frac{4}{9}{e}^{3x}\cos 4x$ $I=\frac{3}{25}{e}^{3x}\sin 4x-\frac{4}{25}{e}^{3x}\cos 4x+C$

Обозначим

Многочлены и их корни ^2-polynomials

Определение - Корень многочлена $P_n(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0,x\in \mathbb{R}$ $P_n(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0,z\in \mathbb{C}$ Число $z_0\in \mathbb{C}$ называется корнем $P_n(z)$, если $P_n(z_0)=0$.

Пусть заданы многочлены:

Теорема Безу $z_0\in \mathbb{C}$ является корнем $P_n(z)⟺P_n(z)$ делится на $(z-z_0)$ нацело. То есть $\exists Q_{n-1}(z)=b_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +b_0$ такой, что: $P_n(z)=(z-z_0)Q_{n-1}(z)$

Число

Следствие 0 (Разложение в $\mathbb{C}$) Любой многочлен $n$-й степени имеет ровно $n$ корней в множестве комплексных чисел (с учетом кратности). $P_n(z)=a_n(z-z_1{)}^{k_1}(z-z_2{)}^{k_2}\dots (z-z_l{)}^{k_l}$ где $z_1,\dots ,z_l$ — корни многочлена, а $\sum k_i=n$.

Следствие 1 (Разложение в $\mathbb{R}$) Любой многочлен $P_n(x)$ с действительными коэффициентами ($x\in \mathbb{R},a_i\in \mathbb{R}$) можно однозначно разложить на линейные и квадратичные множители: $P_n(x)=a_n(x-x_1{)}^{k_1}\dots (x-x_r{)}^{k_r}(x^2+p_{1}x+q_1{)}^{m_1}\dots (x^2+p_{l}x+q_l{)}^{m_l}$ Где $x_i$ — действительные корни, а трехчлены $(x^2+p_{i}x+q_i)$ не имеют действительных корней ($D<0$).

Интегрирование рациональных функций ^3-rational-func

Определение $\frac{P_m(x)}{Q_n(x)}$, где $P_m$ и $Q_n$ — многочлены степеней $m$ и $n$ соответственно, причем $m<n$. Знаменатель $Q_n(x)$ предварительно раскладывается на множители (по Следствию 1): $Q_n(x)=A(x-a{)}^{k_1}(x-b{)}^{k_2}\dots (x^2+p_{1}x+q_1{)}^{m_1}(x^2+p_{2}x+q_2{)}^{m_2}\dots$

Рассмотрим правильную рациональную дробь

Разложение на простейшие дроби (Метод неопределенных коэффициентов) $\frac{P_m(x)}{Q_n(x)}=\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+\cdots +\frac{A_{k_1}}{(x-a{)}^{k_1}}+\frac{B_1}{x-b}+\cdots +\frac{B_{k_2}}{(x-b{)}^{k_2}}+$ $+\frac{C_{1}x+D_1}{x^2+p_{1}x+q_1}+\cdots +\frac{C_{m_1}x+D_{m_1}}{(x^2+p_{1}x+q_1{)}^{m_1}}+\dots$

Правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей по структуре корней знаменателя:

Пример разложения (Метод неопределенных коэффициентов) $\int \frac{dx}{x^3+1}$

Разложить подынтегральную функцию и найти интеграл:

1. Разложим знаменатель по формуле суммы кубов: $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

2. Представим дробь в виде суммы простейших: $\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

3. Приведем к общему знаменателю и приравняем числители: $1=A(x^2-x+1)+(x+1)(Bx+C)$ Раскроем скобки и сгруппируем по степеням $x$: $0\cdot x^2+0\cdot x+1=x^2(A+B)+x(-A+B+C)+(A+C)$

4. Составим систему линейных уравнений: $\{\begin{array}{l}A+B=0\\ -A+B+C=0\\ A+C=1\end{array}$ Из первого: $B=-A$. Подставляем во второе: $-A-A+C=0\Rightarrow C=2A$. Подставляем $C$ в третье: $A+2A=1\Rightarrow 3A=1\Rightarrow A=1/3$. Итоговые коэффициенты: $A=\frac{1}{3},B=-\frac{1}{3},C=\frac{2}{3}$. Интеграл разбивается на сумму двух: $\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x+1}-\frac{1}{3}\int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx$

---

Лекция №3.1.3-26.02.2026

LEGIT CHECK

Интегрирование тригонометрических функций ^3-trig-advanced-section

1. Интегралы вида $\int {\tan }^{m}xdx$ и $\int {\cot }^{m}xdx(m\in \mathbb{Z})$ Для понижения степени используются основные тригонометрические тождества: ${\tan }^{2}x+1=\frac{1}{{\cos }^{2}x},{\cot }^{2}x+1=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

Пример $\begin{array}{c}\int {\tan }^{4}xdx=\int {\tan }^{2}x\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx=\int \frac{{\tan }^{2}x}{{\cos }^{2}x}dx-\int {\tan }^{2}xdx=\\ =\int {\tan }^{2}xd(\tan x)-\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx=\frac{{\tan }^{3}x}{3}-\tan x+x+C\end{array}$

2. Интегралы от произведений синусов и косинусов разных аргументов

Применяются формулы преобразования произведения в сумму:

• $\sin (\alpha x)\cos (\beta x)=\frac{1}{2}(\sin (\alpha -\beta )x+\sin (\alpha +\beta )x)$
• $\sin (\alpha x)\sin (\beta x)=\frac{1}{2}(\cos (\alpha -\beta )x-\cos (\alpha +\beta )x)$
• $\cos (\alpha x)\cos (\beta x)=\frac{1}{2}(\cos (\alpha -\beta )x+\cos (\alpha +\beta )x)$

3. Интегралы от чётных степеней $\int {\sin }^{2n}x{\cos }^{2m}xdx$ Применяются формулы понижения степени двойного угла: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

Пример $\begin{array}{c}\int {\sin }^{4}2xdx=\int {\left(\frac{1-\cos 4x}{2}\right)}^{2}dx=\frac{1}{4}\int (1-2\cos 4x+{\cos }^{2}4x)dx=\\ =\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}\sin 4x+\frac{1}{4}\int \frac{1+\cos 8x}{2}dx=\frac{1}{4}x-\frac{1}{8}\sin 4x+\frac{1}{8}x+\frac{1}{64}\sin 8x+C=\\ =\frac{3}{8}x-\frac{1}{8}\sin 4x+\frac{1}{64}\sin 8x+C\end{array}$

4. Рациональные функции от тригонометрии $\int R(\sin x,\cos x)dx$ Выбор подстановки зависит от свойств чётности/нечётности функции $R$:

1. Если $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)\Rightarrow \mathbf{t}=\tan \mathbf{x}$

2. Если $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)\Rightarrow \mathbf{t}=\cos \mathbf{x}$

3. Если $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)\Rightarrow \mathbf{t}=\sin \mathbf{x}$

4. Универсальная подстановка: $\mathbf{t}=\tan \frac{\mathbf{x}}{2}$. Применяется, если не подошло ничего из вышеперечисленного. Формулы перехода: $x=2\arctan t,dx=\frac{2dt}{1+t^2}$ $\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

Пример на подстановку $t=\tan x$ Вычислить $\int \frac{dx}{2{\sin }^{2}x+\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x}$. Делим числитель и знаменатель на ${\cos }^{2}x$: $\int \frac{\frac{dx}{{\cos }^{2}x}}{2{\tan }^{2}x+\tan x-3}=\left|t=\tan x\right|=\int \frac{dt}{2t^2+t-3}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2+\frac{1}{2}t-\frac{3}{2}}$ Выделяем полный квадрат: $t^2+\frac{1}{2}t-\frac{3}{2}={\left(t+\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{25}{16}$. $\frac{1}{2}\int \frac{d\left(t+\frac{1}{4}\right)}{{\left(t+\frac{1}{4}\right)}^2-{\left(\frac{5}{4}\right)}^2}=\frac{1}{2\cdot 2\cdot \frac{5}{4}}\ln \left|\frac{t+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}}{t+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}}\right|+C=\frac{1}{5}\ln \left|\frac{2\tan x-2}{2\tan x+3}\right|+C$

Интегрирование иррациональных функций ^3-irrational-section

1. Дробно-линейная иррациональность $\int R\left(x,{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{\frac{m_1}{n_1}},\dots ,{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{\frac{m_k}{n_k}}\right)dx$ Вводится подстановка: $t^s=\frac{ax+b}{cx+d}$ Где $s$ — общий знаменатель (НОК) для дробей $n_1,n_2,\dots ,n_k$.

Пример $\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$. Степени $x$: $1/2$ и $1/3$. Общий знаменатель $s=6$. Подстановка: $t^6=x\Rightarrow dx=6t^{5}dt$. $\int \frac{6t^{5}dt}{t^3+t^2}=6\int \frac{t^{3}dt}{t+1}=6\int \frac{t^3+1-1}{t+1}dt=6\int \frac{(t+1)(t^2-t+1)-1}{t+1}dt=$ $=6\int (t^2-t+1)dt-6\int \frac{dt}{t+1}=2t^3-3t^2+6t-6\ln |t+1|+C=$ $=2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln |1+\sqrt[6]{x}|+C$

Вычислить

2. Квадратичные иррациональности (Тригонометрические подстановки)

Для интегралов, содержащих корень из квадратного трехчлена, после выделения полного квадрата применяются подстановки:

1. $\sqrt{l^2-y^2}\Rightarrow \mathbf{y}=\mathbf{l}\sin \mathbf{t}$
2. $\sqrt{l^2+y^2}\Rightarrow \mathbf{y}=\mathbf{l}\tan \mathbf{t}$ или $y=l\sinh t$
3. $\sqrt{y^2-l^2}\Rightarrow \mathbf{y}=\frac{\mathbf{l}}{\cos \mathbf{t}}$ или $y=l\cosh t$

3. Интегралы вида $\int \frac{mx+n}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$ Метод решения: выделение в числителе производной подкоренного выражения.

Пример $\int \frac{x+4}{\sqrt{2-x-x^2}}dx$. Производная знаменателя: $(2-x-x^2{)}^{\prime }=-1-2x$. Преобразуем числитель: $x+4=-\frac{1}{2}(-2x-1)-\frac{1}{2}+4=-\frac{1}{2}(-1-2x)+\frac{7}{2}$. Разбиваем на два интеграла: $-\frac{1}{2}\int \frac{-1-2x}{\sqrt{2-x-x^2}}dx+\frac{7}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{2-x-x^2}}$ Первый интеграл — табличный ($\int \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}$). Во втором выделяем полный квадрат: $2-x-x^2=\frac{9}{4}-{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$. $=-\sqrt{2-x-x^2}+\frac{7}{2}\arcsin \frac{x+1/2}{3/2}+C=-\sqrt{2-x-x^2}+\frac{7}{2}\arcsin \frac{2x+1}{3}+C$

Вычислить

4. Интегралы вида $\int \frac{dx}{(mx+n{)}^r\sqrt{a{x}^2+bx+c}}(r=1,2)$ Вводится обратная подстановка: $t=\frac{1}{mx+n}$

Пример $\int \frac{dx}{(x+2)\sqrt{x^2+5}}$. Подстановка $t=\frac{1}{x+2}\Rightarrow x=\frac{1}{t}-2,dx=-\frac{1}{t^2}dt$. $\int \frac{-\frac{1}{t^2}dt}{\frac{1}{t}\sqrt{{\left(\frac{1}{t}-2\right)}^2+5}}=-\int \frac{dt}{t\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{4}{t}+9}}=-\int \frac{dt}{\sqrt{1-4t+9t^2}}$ Далее под корнем выделяется полный квадрат и берется длинный логарифм.

Вычислить

---

Лекция №4.1.4-05.03.2026

LEGIT CHECK

Определённый интеграл и геометрический смысл ^1-4-definite-integral-section

Определение - Определённый интеграл (Интеграл Римана) $f(x)$ определена на отрезке $[a,b]$.

Пусть функция

1. Разобьём отрезок $[a,b]$ на $n$ частичных отрезков точками: $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$. Это множество точек назовём разбиением $T$.
2. Длину каждого отрезка обозначим $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$. Наибольшую из этих длин назовём диаметром разбиения $\lambda (T)=\max \Delta x_i$.
3. Внутри каждого отрезка выберем произвольную точку ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$.

Сумма вида ${\sigma }_T(\xi ,f)={\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$ называется ==интегральной суммой Римана==.

Если при стремлении максимального отрезка к нулю ($\lambda (T)\to 0$) существует конечный предел интегральной суммы $I$, не зависящий от способа разбиения и выбора точек ${\xi }_i$, то функция называется интегрируемой по Риману на $[a,b]$, а это число $I$ — ==определённым интегралом==: $I={\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{\lambda (T)\to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$ Обозначение интегрируемости функции: $f(x)\in R([a,b])$.

Геометрический смысл (Криволинейная трапеция) $f(x)\ge 0$ равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $OX$ и прямыми $x=a,x=b$.

Геометрически определённый интеграл от неотрицательной функции

Теорема (Необходимое условие интегрируемости) Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a,b]$, то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство (от противного) $f(x)\in R([a,b])$, но функция не ограничена на $[a,b]$. Так как интеграл существует, то $\exists I={\lim }_{\lambda (T)\to 0}{\sigma }_T(\xi ,f)$. Это значит, что для любого $\epsilon >0$ (возьмём $\epsilon =1$) найдётся разбиение $T$, для которого: $|{\sigma }_T(\xi ,f)-I|<1\Rightarrow I-1<{\sigma }_T(\xi ,f)<I+1$ Зафиксируем это разбиение $T$. Раз функция не ограничена на всём $[a,b]$, она не ограничена хотя бы на одном из частичных отрезков разбиения, пусть это будет ${\Delta }_1=[x_0,x_1]$. Распишем интегральную сумму, выделив первый отрезок: ${\sigma }_T(\xi ,f)=f({\xi }_1)\Delta x_1+{\sum }_{i=2}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i=f({\xi }_1)\Delta x_1+A$ (где $A$ — фиксированное число для выбранных ${\xi }_2,\dots ,{\xi }_n$). Так как на ${\Delta }_1$ функция не ограничена, мы можем выбрать точку ${\xi }_1$ так, чтобы значение $f({\xi }_1)$ было сколь угодно большим (достаточно большим, чтобы выкинуть сумму ${\sigma }_T$ за пределы интервала $(I-1,I+1)$). Значит, условие интегрируемости не выполняется при любых $\xi$. Противоречие.

Пусть

Функция Дирихле и суммы Дарбу ^1-4-darboux-section

Контрпример — Функция Дирихле не интегрируема на отрезке (например, $[0,1]$). $D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\text{ (рациональные числа)}\\ 0,& x\notin \mathbb{Q}\text{ (иррациональные числа)}\end{array}$

Функция, которая ограничена, но

• Если выбрать все ${\xi }_i\in \mathbb{Q}$, то $f({\xi }_i)=1\Rightarrow {\sigma }_T=\sum 1\cdot \Delta x_i=1$.
• Если выбрать все ${\xi }_i\notin \mathbb{Q}$, то $f({\xi }_i)=0\Rightarrow {\sigma }_T=\sum 0\cdot \Delta x_i=0$. Предел зависит от выбора точек $\Rightarrow$ интеграл не существует: $D(x)\notin R([0,1])$.

Определение - Суммы Дарбу $\xi$, для ограниченной на $[a,b]$ функции вводят:

Чтобы уйти от зависимости от случайных точек

• $M_i={\sup }_{x\in {\Delta }_i}f(x)$ — точная верхняя грань (самая высокая точка на отрезке).
• $m_i={\inf }_{x\in {\Delta }_i}f(x)$ — точная нижняя грань (самая низкая точка на отрезке).

==Верхняя сумма Дарбу==: $S_T={\sum }_{i=1}^n{M}_i\Delta x_i$ (площадь описанных прямоугольников). ==Нижняя сумма Дарбу==: $s_T={\sum }_{i=1}^n{m}_i\Delta x_i$ (площадь вписанных прямоугольников).

Теорема (Критерий интегрируемости функции) $[a,b]$ функция $f(x)$ была интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы: ${\lim }_{\lambda (T)\to 0}(S_T-s_T)=0$ (Разница между верхней и нижней площадями должна исчезнуть при сужении отрезков). На языке эпсилон-дельта: $\forall \epsilon >0\exists \delta (\epsilon )>0:\forall T\text{ такого, что }\lambda (T)<\delta \Rightarrow S_T-s_T<\epsilon$.

Для того чтобы ограниченная на

Классы интегрируемых функций и свойства ^1-4-classes-properties

Теоремы о классах интегрируемых функций

1. О непрерывной функции: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она интегрируема на нём ($f(x)\in C([a,b])\Rightarrow f(x)\in R([a,b])$). Следствие: Все элементарные функции интегрируемы в своей области определения.

2. О кусочно-непрерывной функции: Функцию называют кусочно-непрерывной на $[a,b]$, если она непрерывна всюду, кроме конечного числа точек, где имеются разрывы I рода (скачки). Любая кусочно-непрерывная функция интегрируема.

Пример кусочно-непрерывной функции $\text{sgn}(x)$ Функция $f(x)=\text{sgn}(x)$ на отрезке $[-1,1]$ имеет скачок в нуле, но её интеграл существует и равен $0$ (площади над и под осью компенсируются). $\text{sgn}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}$

import graph;
size(150, 150);
xaxis("$x$", Arrow); yaxis("$y$", Arrow);
filldraw(box((-1,0), (0,-1)), lightgray+opacity(0.5), black);
filldraw(box((0,0), (1,1)), lightgray+opacity(0.5), black);
draw((-1,-1)--(0,-1), blue+linewidth(1.5));
draw((0,1)--(1,1), blue+linewidth(1.5));
draw((-1,0)--(-1,-1), dashed);
draw((1,0)--(1,1), dashed);
label("$-1$", (-1,0), N); label("$1$", (1,0), S);
label("$-1$", (0,-1), E); label("$1$", (0,1), E);
dot((0,0), blue);

Свойства определённого интеграла Свойство 1 (Линейность): Если $f(x),g(x)\in R([a,b])$, то их линейная комбинация $\phi (x)=\alpha f(x)+\beta g(x)$ также $\in R([a,b])$, причём: ${\int }_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$

Доказательство $\phi (x)$: ${\sigma }_T(\phi ,\xi )={\sum }_{i=1}^n(\alpha f({\xi }_i)+\beta g({\xi }_i))\Delta x_i=\alpha {\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i+\beta {\sum }_{i=1}^{n}g({\xi }_i)\Delta x_i$ ${\sigma }_T(\phi ,\xi )=\alpha {\sigma }_T(f,\xi )+\beta {\sigma }_T(g,\xi )$ Перейдём к пределу при $\lambda (T)\to 0$. Так как $f$ и $g$ интегрируемы, пределы правых сумм существуют и равны их определённым интегралам. Значит, существует предел левой части, что и доказывает свойство: ${\lim }_{\lambda (T)\to 0}{\sigma }_T(\phi ,\xi )=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$

Запишем интегральную сумму для функции

---

Лекция №5.1.5-12.03.2026

LEGIT CHECK

Свойства определённого интеграла (Неравенства) ^1-5-properties-section

Свойство 7 (Сохранение знака) $f(x)\ge 0$ на $[a,b]$ и $f(x)\in R([a,b])\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$.

Если

Доказательство $T$, $x_i,i=\overline{0,n}$, ${\xi }_i$. Так как $\forall {\xi }_i:f({\xi }_i)\ge 0$ и $\Delta x_i>0\Rightarrow f({\xi }_i)\Delta x_i\ge 0$. Составим интегральную сумму: ${\sigma }_T(f,\xi )={\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\ge 0$. Перейдём к пределу при $\lambda (T)\to 0$: ${\lim }_{\lambda (T)\to 0}{\sigma }_T(f,\xi )={\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$.

Возьмём разбиение

Геометрический смысл Свойства 7: Значение определённого интеграла от неотрицательной на заданном отрезке функции равно площади соответствующей криволинейной трапеции.

Следствие (Интегрирование неравенств) $f(x),g(x)\in R([a,b])$ и $\forall x\in [a,b]:f(x)\ge g(x)\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_a^{b}g(x)dx$.

Если

Доказательство $f(x)-g(x)\ge 0$. По Свойству 7: ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx\ge 0$. По свойству линейности: ${\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx\ge 0\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_a^{b}g(x)dx$.

Рассмотрим разность

Свойство 8 (Оценка модуля интеграла) $f(x)\in R([a,b])$, то $|f(x)|\in R([a,b])$ и справедливо неравенство: $\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$

Если

Доказательство

1. Покажем, что $|f(x)|\in R([a,b])$: Зададим разбиение $T$, $x_i,\Delta x_i$. Пусть $m_i={\inf }_{{\Delta }_i}f(x)$, $M_i={\sup }_{{\Delta }_i}f(x)$. Разность точных граней модуля функции на любом отрезке не превосходит разности точных граней самой функции: ${\sup }_{{\Delta }_i}|f(x)|-{\inf }_{{\Delta }_i}|f(x)|\le M_i-m_i$. Умножим на $\Delta x_i$ и просуммируем (перейдём к суммам Дарбу): $S_T(|f|)-s_T(|f|)\le S_T(f)-s_T(f)$. Так как $f\in R$, то ${\lim }_{\lambda (T)\to 0}(S_T(f)-s_T(f))=0$. Следовательно, и предел разности сумм Дарбу для модуля равен нулю. Значит, $|f(x)|\in R([a,b])$.

2. Докажем неравенство: Для интегральной суммы верно свойство модуля суммы: $|{\sigma }_T(f)|=\left|{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\right|\le {\sum }_{i=1}^n|f({\xi }_i)|\Delta x_i={\sigma }_T(|f|)$. Переходя к пределу при $\lambda (T)\to 0$, получаем требуемое: $\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$.

Замечание $|f(x)|\in R([a,b])$ не обязательно следует, что $f(x)\in R([a,b])$. Контрпример (модифицированная функция Дирихле): $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ -1,& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$. Здесь $|f(x)|\equiv 1$ (интегрируема), но сама $f(x)$ не интегрируема.

Из

Свойство 9 (Интегрирование чётных/нечётных функций) $f(x)\in C([-a,a])$.

Пусть

1. Если $f(x)$ — чётная, то ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$.
2. Если $f(x)$ — нечётная, то ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$.

Теоремы об оценке и о среднем ^1-5-mean-value-section

Теорема (Об оценке определённого интеграла) $m={\min }_{[a,b]}f(x)$, $M={\max }_{[a,b]}f(x)$ и $f(x)\in C([a,b])$. Тогда $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$.

Пусть

Доказательство $m\le f(x)\le M$. Проинтегрируем это двойное неравенство по отрезку $[a,b]$ (по следствию из Свойства 7): ${\int }_a^{b}mdx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}Mdx$. Так как $m$ и $M$ — константы, ${\int }_a^{b}mdx=m(b-a)$ и ${\int }_a^{b}Mdx=M(b-a)$. Отсюда следует утверждение теоремы.

По условию

Теорема (Обобщенная теорема о среднем) $f(x),g(x)\in R([a,b])$, существует $m,M$ такие, что $\forall x\in [a,b]\Rightarrow m\le f(x)\le M$, и функция $g(x)$ сохраняет знак на $[a,b]$. Тогда $\exists \mu \in [m,M]:{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=\mu {\int }_a^{b}g(x)dx$.

Пусть

Доказательство $g(x)\ge 0$. Умножим двойное неравенство $m\le f(x)\le M$ на $g(x)$: $m\cdot g(x)\le f(x)g(x)\le M\cdot g(x)$. Проинтегрируем на $[a,b]$: $m{\int }_a^{b}g(x)dx\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\le M{\int }_a^{b}g(x)dx(\ast )$.

Пусть

1. Если ${\int }_a^{b}g(x)dx=0$, то из $(\ast )$ следует ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=0$. Равенство выполняется при любом $\mu$.
2. Если ${\int }_a^{b}g(x)dx>0$, разделим $(\ast )$ на этот интеграл: $m\le \frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx}\le M$. Обозначим эту дробь за $\mu$. Тогда $\mu \in [m,M]$ и ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=\mu {\int }_a^{b}g(x)dx$.

Теорема (О среднем значении) $f(x)\in C([a,b])$, $g(x)\in R([a,b])$ и $g(x)$ не меняет знак на $[a,b]$. Тогда $\exists c\in [a,b]:{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(c){\int }_a^{b}g(x)dx$.

Пусть

Доказательство $m={\min }_{[a,b]}f(x)$, $M={\max }_{[a,b]}f(x)$. По обобщенной теореме о среднем $\exists \mu \in [m,M]$: ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=\mu {\int }_a^{b}g(x)dx$. Так как $f(x)\in C([a,b])$, по второй теореме Вейерштрасса она принимает все промежуточные значения между $m$ и $M$. Следовательно, найдется точка $c\in [a,b]$ такая, что $f(c)=\mu$. Подставляя $f(c)$ вместо $\mu$, получаем требуемое равенство. (Замечание: Если положить $g(x)\equiv 1$, получим классическую теорему о среднем: ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$).

Обозначим

Интеграл с переменным верхним пределом ^1-5-variable-limit-section

Определение $f(x)\in R([a,b])$, то для любого $x\in [a,b]$ определена функция: $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ называемая интегралом с переменным верхним пределом.

Если функция

Теорема о непрерывности интеграла с переменным пределом $f(x)\in R([a,b])\Rightarrow F(x)\in C([a,b])$.

Если

Доказательство $x\in [a,b]$, $\Delta x$ — приращение такое, что $x+\Delta x\in [a,b]$. Рассмотрим приращение функции $F(x)$: $\Delta F=F(x+\Delta x)-F(x)={\int }_a^{x+\Delta x}f(t)dt-{\int }_a^{x}f(t)dt={\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt$. Так как $f(x)\in R([a,b])$, то $f(x)$ ограничена: $\exists M>0:\forall t\in [a,b]\Rightarrow |f(t)|\le M$. Оценим модуль приращения (по теореме об оценке): $|\Delta F|=\left|{\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt\right|\le \left|{\int }_x^{x+\Delta x}|f(t)|dt\right|\le M|\Delta x|$. Перейдём к пределу при $\Delta x\to 0$: ${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta F=0\Rightarrow F(x)\in C([a,b])$.

Пусть

Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом $f(x)\in R([a,b])$ и непрерывна в точке $x_0\in [a,b]$ ($f(x)\in C(x_0)$), то $F(x)\in {\int }_a^{x}f(t)dt$ дифференцируема в точке $x_0$ ($F(x)\in D(x_0)$) и: $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$

Если

Доказательство $F^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta F}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\left({\int }_a^{x_0+\Delta x}f(t)dt-{\int }_a^{x_0}f(t)dt\right)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}{\int }_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt$. Применим к интегралу теорему о среднем значении. Так как интеграл берется по отрезку $[x_0,x_0+\Delta x]$, существует точка $\xi \in [x_0,x_0+\Delta x]$ такая, что: ${\int }_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt=f(\xi )\cdot (x_0+\Delta x-x_0)=f(\xi )\Delta x$. Подставим это в предел: ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\cdot f(\xi )\Delta x={\lim }_{\Delta x\to 0}f(\xi )$. Так как $\xi$ зажата между $x_0$ и $x_0+\Delta x$, при $\Delta x\to 0$ точка $\xi \to x_0$. В силу непрерывности функции $f$ в точке $x_0$, предел ${\lim }_{\xi \to x_0}f(\xi )=f(x_0)$. Следовательно, $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$.

Рассмотрим предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

---

Лекция №6.1.6-19.03.2026

LEGIT CHECK

Существование первообразной и формула Ньютона-Лейбница ^1-6-newton-leibniz-section

Теорема (О существовании первообразной) $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ ($f(x)\in C([a,b])$), то у неё существует первообразная на этом отрезке.

Если функция

Доказательство $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ дифференцируема и её производная равна $F^{\prime }(x)=f(x)$. По определению это означает, что $F(x)$ является одной из первообразных функции $f(x)$ на $[a,b]$. Все множество первообразных задается формулой $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt+C$.

По теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом (см. предыдущую лекцию), функция

Теорема (Формула Ньютона-Лейбница) $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $\Phi (x)$ — любая первообразная функции $f(x)$ на этом отрезке, то справедлива формула: ${\int }_a^{b}f(x)dx=\Phi (x){|}_a^b=\Phi (b)-\Phi (a)$

Если функция

Доказательство $\Phi (x)$ имеет вид: $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt+C$.

Из предыдущей теоремы известно, что любая первообразная

1. Подставим $x=a$: $\Phi (a)={\int }_a^{a}f(t)dt+C=0+C\Rightarrow C=\Phi (a)$. Таким образом, $\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt+\Phi (a)$.
2. Подставим $x=b$: $\Phi (b)={\int }_a^{b}f(t)dt+\Phi (a)$. Выразим интеграл: ${\int }_a^{b}f(x)dx=\Phi (b)-\Phi (a)$.

Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле ^1-6-definite-methods-section

Теорема (О замене переменной) $f(x)\in C([a,b])$, а функция $x=\phi (t)$ удовлетворяет условиям:

Пусть

1. $\phi (t)\in C^1([\alpha ,\beta ])$ (непрерывно дифференцируема).
2. $\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$.
3. Значения функции $\phi (t)$ при $t\in [\alpha ,\beta ]$ не выходят за пределы отрезка $[a,b]$. Тогда справедлива формула: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$

Доказательство $f(x)$ непрерывна, у нее существует первообразная $\Phi (x)$. По формуле Ньютона-Лейбница: ${\int }_a^{b}f(x)dx=\Phi (b)-\Phi (a)$. Рассмотрим сложную функцию $\Phi (\phi (t))$. Её производная по правилу дифференцирования сложной функции: $(\Phi (\phi (t)){)}^{\prime }={\Phi }^{\prime }(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)=f(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)$. Это значит, что $\Phi (\phi (t))$ является первообразной для подынтегральной функции правой части. Применим формулу Ньютона-Лейбница к правой части: ${\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=\Phi (\phi (t)){|}_{\alpha }^{\beta }=\Phi (\phi (\beta ))-\Phi (\phi (\alpha ))$. Так как $\phi (\beta )=b$ и $\phi (\alpha )=a$, получаем $\Phi (b)-\Phi (a)$. Левая и правая части равны.

Так как

Теорема (Об интегрировании по частям) $u(x),v(x)\in C^1([a,b])$ (имеют непрерывные производные на отрезке). Тогда: ${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)u^{\prime }(x)dx$

Пусть функции

Замечание (Интегрирование периодической функции) $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T$ (т.е. $f(x+T)=f(x)$). Интеграл от такой функции по отрезку длиной $T$ не зависит от точки начала интегрирования: ${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$

Пусть

Несобственные интегралы I рода (бесконечные пределы) ^1-6-improper-integrals-section

Определение $f(x)$ определена на полуинтервале $[a,+\infty )$ и интегрируема на любом конечном отрезке $[a,\xi ]$, где $\xi >a$. ==Несобственным интегралом I рода== называется предел: ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx={\lim }_{\xi \to +\infty }{\int }_a^{\xi }f(x)dx$

Пусть функция

• Если этот предел существует и конечен (равен числу $A$), говорят, что интеграл сходится (к числу $A$).
• Если предел равен $\infty$ или не существует, говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяются интегралы для других бесконечных промежутков:

• ${\int }_{-\infty }^{a}f(x)dx={\lim }_{\xi \to -\infty }{\int }_{\xi }^{a}f(x)dx$
• ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{c}f(x)dx+{\int }_c^{+\infty }f(x)dx$ (сходится, только если сходятся оба слагаемых).

Пример сходящегося интеграла I рода ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}$. Разбиваем на два интеграла в точке $0$: ${\int }_{-\infty }^0\frac{dx}{1+x^2}+{\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}={\lim }_{A\to -\infty }{\int }_A^0\frac{dx}{1+x^2}+{\lim }_{B\to +\infty }{\int }_0^B\frac{dx}{1+x^2}=$ $={\lim }_{A\to -\infty }(\arctan x{|}_A^0)+{\lim }_{B\to +\infty }(\arctan x{|}_0^B)=$ $={\lim }_{A\to -\infty }(\arctan 0-\arctan A)+{\lim }_{B\to +\infty }(\arctan B-\arctan 0)=$ $=\left(0-\left(-\frac{\pi }{2}\right)\right)+\left(\frac{\pi }{2}-0\right)=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi \text{(сходится)}$

Вычислить

Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)

Определение $f(x)$ определена на $[a,b)$, не ограничена в окрестности левой точки $b$ (т.е. на $(b-\delta ,b)$ при $\delta >0$) и интегрируема на любом отрезке $[a,\xi ]$, где $\xi <b$. ==Несобственным интегралом II рода== называется предел: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{\xi \to b-0}{\int }_a^{\xi }f(x)dx$ Аналогично для функции, неограниченной в левом конце $a$: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{\xi \to a+0}{\int }_{\xi }^{b}f(x)dx$ Если точка разрыва $c\in (a,b)$, то интеграл разбивается на сумму: ${\int }_a^c+{\int }_c^b$.

Пусть функция

Стандартный интеграл II рода (Признак сходимости Дирихле/степенной) ${\int }_0^1\frac{dx}{x^{\alpha }}$ (функция неограничена при $x\to 0$). ${\lim }_{\delta \to 0+}{\int }_{\delta }^1\frac{dx}{x^{\alpha }}$

Исследовать на сходимость

1. При $\alpha =1$: ${\lim }_{\delta \to 0+}(\ln x{|}_{\delta }^1)={\lim }_{\delta \to 0+}(0-\ln \delta )=+\infty$ (расходится).
2. При $\alpha \ne 1$: ${\lim }_{\delta \to 0+}\left(\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }{|}_{\delta }^1\right)={\lim }_{\delta \to 0+}\left(\frac{1}{1-\alpha }-\frac{{\delta }^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right)$.
   • Если $\alpha <1\Rightarrow 1-\alpha >0$, тогда ${\delta }^{1-\alpha }\to 0$. Интеграл равен $\frac{1}{1-\alpha }$ (сходится).
   • Если $\alpha >1\Rightarrow 1-\alpha <0$, тогда ${\delta }^{1-\alpha }=\frac{1}{{\delta }^{\alpha -1}}\to +\infty$. Интеграл равен $\infty$ (расходится).

Вывод: ${\int }_0^1\frac{dx}{x^{\alpha }}$ сходится при $\alpha <1$ и расходится при $\alpha \ge 1$.

Пример вычисления ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}\Rightarrow \alpha =1/2<1$ (интеграл сходится). Вычисление: ${\lim }_{\delta \to 0+}{\int }_{\delta }^1{x}^{-1/2}dx={\lim }_{\delta \to 0+}(2\sqrt{x}{|}_{\delta }^1)={\lim }_{\delta \to 0+}(2-2\sqrt{\delta })=2$.

---

Лекция №7.1.7-26.03.2026

LEGIT CHECK

Свойства несобственных интегралов ^1-7-improper-properties

Пусть задан несобственный интеграл $(\ast ){\int }_a^{b}f(x)dx$, где $x\in [a,b)$, а точка $b$ является особой (бесконечный разрыв или $b=+\infty$).

Свойства несобственного интеграла

1. Линейность: Если интегралы ${\int }_a^{b}f(x)dx$ и ${\int }_a^{b}g(x)dx$ сходятся, то для любых констант $\alpha ,\beta$ сходится интеграл от их линейной комбинации, причем: ${\int }_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$

2. Связь с первообразной: Если $f(x)\in C([a,b))$, а $F(x)$ — её первообразная, то интеграл $(\ast )$ сходится $⟺\exists {\lim }_{\xi \to b-0}F(\xi )$ (конечный предел).

3. Интегрирование по частям: Пусть $u(x),v(x)$ определены на $[a,b)$ и $u,v\in C^1([a,b))$. Если $\exists {\lim }_{\xi \to b-0}u(\xi )v(\xi )=B\ne \infty$, то из сходимости ${\int }_a^{b}v(x)u^{\prime }(x)dx$ следует сходимость ${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx$, и справедлива формула: ${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx={\lim }_{\xi \to b-0}u(\xi )v(\xi )-u(a)v(a)-{\int }_a^{b}v(x)u^{\prime }(x)dx$

4. Замена переменной: Если $f(x)\in C([a,b])$, $x=\phi (t)\in C^1([\alpha ,\beta ])$, $\phi (t)$ строго возрастает на $[\alpha ,\beta )$ и $\phi (\alpha )=a,{\lim }_{t\to \beta -0}\phi (t)=b$, то: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$

5. Сохранение неравенства: Если интегралы от $f(x)$ и $g(x)$ сходятся и $\forall x\in [a,b)f(x)\le g(x)$, то: ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$

Доказательство свойства 5 $F(\xi )={\int }_a^{\xi }f(x)dx$ и $G(\xi )={\int }_a^{\xi }g(x)dx$. Так как $f(x)\le g(x)$ на любом отрезке $[a,\xi ]\subset [a,b)$, по свойству определенных интегралов: $F(\xi )\le G(\xi )\forall \xi \in [a,b)$ Перейдём к пределу при $\xi \to b-0$. Так как по условию оба несобственных интеграла сходятся, пределы существуют: ${\lim }_{\xi \to b-0}F(\xi )\le {\lim }_{\xi \to b-0}G(\xi )\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$

Рассмотрим интегралы с переменным верхним пределом:

Признаки сходимости несобственных интегралов 2-го рода (от неограниченных функций) ^1-7-comparison-tests-type2

Рассмотрим функции, имеющие бесконечный разрыв в точке $b$. Обозначим: $(\ast ){\int }_a^{b}f(x)dx$ и $(\ast \ast ){\int }_a^{b}g(x)dx$.

Теорема (Признак сравнения) $\forall x\in [a,b)$ выполняется $0\le f(x)\le g(x)$, то: а) из сходимости $(\ast \ast )$ следует сходимость $(\ast )$. б) из расходимости $(\ast )$ следует расходимость $(\ast \ast )$.

Если

Доказательство $F(\xi )={\int }_a^{\xi }f(x)dx$ и $G(\xi )={\int }_a^{\xi }g(x)dx$. Так как функции неотрицательны ($f,g\ge 0$), функции $F(\xi )$ и $G(\xi )$ монотонно возрастают. Из неравенства $f(x)\le g(x)$ следует $F(\xi )\le G(\xi )$. а) Пусть $(\ast \ast )$ сходится. Значит, $\exists {\lim }_{\xi \to b-0}G(\xi )=B<\infty$. Тогда $F(\xi )\le B$. Функция $F(\xi )$ монотонно возрастает и ограничена сверху. По теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел: $\exists {\lim }_{\xi \to b-0}F(\xi )=A<\infty \Rightarrow (\ast )$ сходится. б) Пусть $(\ast )$ расходится. Предположим противное: пусть $(\ast \ast )$ сходится. Но тогда по доказанному пункту (а) интеграл $(\ast )$ тоже должен сходиться. Пришли к противоречию $\Rightarrow (\ast \ast )$ расходится.

Пусть

Теорема (Предельный признак сравнения) $f(x),g(x)\in C([a,b))$, $f(x)\ge 0,g(x)\ge 0\forall x\in [a,b)$. В точке $b$ функции имеют бесконечный разрыв. Если существует конечный, отличный от нуля предел: ${\lim }_{x\to b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=k(0<k<\infty )$ То интегралы $(\ast )$ и $(\ast \ast )$ сходятся или расходятся одновременно.

Пусть

Доказательство ${\lim }_{x\to b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=k$, для $\forall \epsilon >0$ $\exists \delta >0$, такое что $\forall x\in U_{\delta }^{-}(b)=(b-\delta ,b)$ выполняется: $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-k\right|<\epsilon ⟺k-\epsilon <\frac{f(x)}{g(x)}<k+\epsilon$ Выберем $\epsilon =\frac{k}{2}>0$. Тогда: $\frac{k}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{3k}{2}$ Так как $g(x)>0$ в этой окрестности (из-за непрерывности и положительного предела), домножим на $g(x)$: $\frac{k}{2}g(x)<f(x)<\frac{3k}{2}g(x)$ Интегрируем эти неравенства на отрезке $[c,b)$, где $c\in U_{\delta }^{-}(b)$: $\frac{k}{2}{\int }_c^{b}g(x)dx\le {\int }_c^{b}f(x)dx\le \frac{3k}{2}{\int }_c^{b}g(x)dx$ Из левого неравенства (по признаку сравнения) следует, что сходимость $f\Rightarrow$ сходимость $g$, а расходимость $g\Rightarrow$ расходимость $f$. Из правого неравенства следует, что сходимость $g\Rightarrow$ сходимость $f$, а расходимость $f\Rightarrow$ расходимость $g$. (Замечание: ${\int }_a^b={\int }_a^c+{\int }_c^b$, сходимость несобственного интеграла зависит только от поведения на "хвосте" $[c,b)$). Следовательно, оба интеграла ведут себя одинаково.

По определению предела

Признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода (с бесконечным пределом) ^1-7-comparison-tests-type1

Обозначим: $(\ast ){\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ и $(\ast \ast ){\int }_a^{+\infty }g(x)dx$.

Теорема (Признак сравнения) $f(x),g(x)\in R([a,b])$ для любого конечного $b$, и $\forall x\ge a\Rightarrow 0\le f(x)\le g(x)$. а) Если $(\ast \ast )$ сходится $\Rightarrow (\ast )$ сходится. б) Если $(\ast )$ расходится $\Rightarrow (\ast \ast )$ расходится.

Пусть

Доказательство $F(\xi )={\int }_a^{\xi }f(x)dx$ и $G(\xi )={\int }_a^{\xi }g(x)dx$. Из $0\le f(x)\le g(x)$ следует $F(\xi )\le G(\xi )$. Из сходимости $G(\xi )$ к конечному пределу при $\xi \to +\infty$ по теореме Вейерштрасса (о монотонной ограниченной функции) вытекает сходимость $F(\xi )$.

Доказательство абсолютно аналогично признаку сравнения для 2-го рода. Вводятся

Теорема (Предельный признак сравнения) $f(x)\ge 0,g(x)\ge 0\forall x\ge a$. Если существует конечный, отличный от нуля предел: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=k(0<k<\infty )$ То интегралы $(\ast )$ и $(\ast \ast )$ сходятся или расходятся одновременно.

Пусть

Доказательство ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=k$, для $\forall \epsilon >0\exists M>a$, такое что $\forall x>M$: $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-k\right|<\epsilon$ Возьмём $\epsilon =\frac{k}{2}>0$, тогда: $\frac{k}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{3k}{2}\Rightarrow \frac{k}{2}g(x)<f(x)<\frac{3k}{2}g(x)$ Проинтегрируем неравенство на хвосте $[\xi ,+\infty )$, где $\xi >M$: $\frac{k}{2}{\int }_{\xi }^{+\infty }g(x)dx\le {\int }_{\xi }^{+\infty }f(x)dx\le \frac{3k}{2}{\int }_{\xi }^{+\infty }g(x)dx$ На основании обычного признака сравнения (теорема выше) из этих неравенств следует одновременная сходимость или расходимость "хвостов" интегралов, а значит, и самих интегралов на $

По определению предела

---

Лекция №8.1.8-02.04.2026

LEGIT CHECK

Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы ^1-8-absolute-convergence

Определение ${\int }_a^{b}f(x)dx$ называется ==абсолютно сходящимся==, если сходится интеграл от модуля этой функции: ${\int }_a^b|f(x)|dx$. В этом случае функция $f(x)$ называется абсолютно интегрируемой на промежутке $[a,b)$ (где $b$ может быть как константой — точкой бесконечного разрыва, так и $+\infty$).

Несобственный интеграл

Если ${\int }_a^{b}f(x)dx$ сходится, а ${\int }_a^b|f(x)|dx$ расходится, то исходный интеграл называется ==условно сходящимся==.

Теорема о связи абсолютной и обычной сходимости ${\int }_a^b|f(x)|dx$ сходится, то интеграл ${\int }_a^{b}f(x)dx$ также сходится. При этом справедливо неравенство (модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля): $\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$

Если интеграл

Пример исследования на абсолютную сходимость ${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x^2}dx(\ast )$

Исследовать на сходимость:

Решение: Рассмотрим интеграл от модуля функции: ${\int }_1^{+\infty }\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|dx={\int }_1^{+\infty }\frac{|\sin x|}{x^2}dx(\ast \ast )$ Так как $|\sin x|\le 1$ для любого $x$, справедливо неравенство: $\frac{|\sin x|}{x^2}\le \frac{1}{x^2}$ Рассмотрим эталонный интеграл (справочный): ${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^2}(\ast \ast \ast )$ Интеграл $(\ast \ast \ast )$ сходится (так как степень $\alpha =2>1$). По признаку сравнения, из сходимости $(\ast \ast \ast )$ следует сходимость $(\ast \ast )$. Так как сходится интеграл от модуля, исходный интеграл $(\ast )$ сходится абсолютно.

Приложения определенного интеграла: Площади плоских фигур ^1-8-areas

1. Площадь в декартовых координатах (Прямоугольная система) $y=f_2(x)$ (сверху) и $y=f_1(x)$ (снизу), прямыми $x=a$ и $x=b$, причем $f_2(x)\ge f_1(x)$, то её площадь вычисляется по формуле: $S={\int }_a^b(f_2(x)-f_1(x))dx$

Если фигура ограничена кривыми

2. Площадь в полярных координатах (Криволинейный сектор) Полярная система координат: задается полюсом $O$ и полярной осью. Координаты точки $A(r,\phi )$, где $r=|OA|\ge 0$ (полярный радиус), $\phi \in [0,2\pi ]$ (полярный угол). Связь с декартовыми координатами: $x=r\cos \phi ,y=r\sin \phi$.

Пусть плоская фигура (криволинейный сектор) ограничена непрерывной кривой $r=r(\phi )$ и двумя лучами $\phi =\alpha$ и $\phi =\beta$.

Вывод формулы площади (Восстановление пропущенного куска) $\Delta \phi$. Площадь элементарного сектора $\Delta S$ можно приближенно считать площадью треугольника со сторонами $r(\phi )$ и $r(\phi +\Delta \phi )$ и углом $\Delta \phi$ между ними: $\Delta S\approx \frac{1}{2}r(\phi )\cdot r(\phi +\Delta \phi )\cdot \sin (\Delta \phi )$ Разделим на $\Delta \phi$ и перейдем к пределу при $\Delta \phi \to 0$: ${\lim }_{\Delta \phi \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta \phi }=\frac{1}{2}{\lim }_{\Delta \phi \to 0}\left[r(\phi )\cdot r(\phi +\Delta \phi )\cdot \frac{\sin (\Delta \phi )}{\Delta \phi }\right]$ Так как $r(\phi )$ непрерывна, $r(\phi +\Delta \phi )\to r(\phi )$. По первому замечательному пределу $\frac{\sin (\Delta \phi )}{\Delta \phi }\to 1$. Получаем производную площади по углу: $S^{\prime }(\phi )=\frac{1}{2}{r}^2(\phi )\Rightarrow dS=\frac{1}{2}{r}^2(\phi )d\phi$.

Возьмем малый угол

Итоговая формула: $S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\phi )d\phi$

Приложения определенного интеграла: Объемы тел ^1-8-volumes

1. Объём тела по известным площадям поперечных сечений $OX$ в отрезок $[a,b]$, и для любого $x\in [a,b]$ известна площадь сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси $OX$. Обозначим эту площадь $S(x)$ (предполагаем, что $S(x)$ непрерывна).

Пусть тело проецируется на ось

Вывод формулы $[a,b]$ на $n$ частей точками $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$. Длина каждого частичного отрезка: $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$. Диаметр разбиения $\lambda =\max \Delta x_i$. В каждом отрезке выберем точку ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$. Объем элементарного "слоя" тела приближенно равен объему прямого цилиндра с основанием $S({\xi }_i)$ и высотой $\Delta x_i$: $\Delta V_i\approx S({\xi }_i)\Delta x_i$ Суммируем объемы слоев и переходим к пределу при $\lambda \to 0$ (получаем интегральную сумму Римана): $V={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}S({\xi }_i)\Delta x_i={\int }_a^{b}S(x)dx$

Разобьём отрезок

Формула: $V={\int }_a^{b}S(x)dx$

2. Объём тела вращения вокруг оси OX (Метод дисков) $f(x)\ge 0$, прямыми $x=a,x=b$ и осью $OX$, вращается вокруг оси $OX$. В этом случае поперечным сечением тела является круг с радиусом $R=f(x)$. Площадь такого сечения: $S(x)=\pi R^2=\pi (f(x){)}^2$. Подставляя это в общую формулу объемов по сечениям, получаем: $V_{OX}=\pi {\int }_a^b(f(x){)}^{2}dx$

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции

3. Объём тела вращения вокруг оси OY (Метод цилиндрических оболочек) $f(x)\ge 0,x\in [a,b]$) вращается вокруг оси $OY$. Нарезать тело поперек оси $OY$ неудобно, поэтому применяется метод оболочек.

Пусть та же криволинейная трапеция (

Вывод формулы $[a,b]$ на части $\Delta x_i$. Возьмем точку ${\xi }_i$. Построим прямоугольник с основанием $\Delta x_i$ и высотой $f({\xi }_i)$. При вращении этого прямоугольника вокруг оси $OY$ образуется полый цилиндрический слой (оболочка/кольцо). Если "развернуть" эту оболочку, она будет похожа на прямоугольный параллелепипед:

Разобьем отрезок

• Длина (длина окружности вращения) $=2\pi R=2\pi {\xi }_i$
• Высота $=f({\xi }_i)$
• Толщина $=\Delta x_i$ Элементарный объем оболочки: $\Delta V_i\approx 2\pi {\xi }_{i}f({\xi }_i)\Delta x_i$. Составим интегральную сумму и перейдем к пределу: $V_{OY}\approx {\sum }_{i=1}^{n}2\pi {\xi }_{i}f({\xi }_i)\Delta x_i\stackrel{\lambda \to 0}{\to }{\int }_a^{b}2\pi xf(x)dx$

Формула: $V_{OY}=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$

---

Лекция №9.1.9-09.04.2026

LEGIT CHECK

Длина дуги кривой и площадь поверхности вращения ^1-9-arc-length

Определение - Спрямляемая кривая Длиной $l_{AB}$ дуги $AB$ называется предел последовательности длин вписанных в неё ломаных линий при стремлении к нулю длины наибольшего звена ломаной ($\lambda \to 0$). Если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения, то сама кривая называется ==спрямляемой==.

Теорема: Если функция $f(x)$ непрерывно дифференцируема ($f(x)\in C^1([a,b])$), то кривая $AB$ спрямляема.

Вывод формулы длины дуги (в декартовых координатах)

1. Разобьем дугу точками. Рассмотрим одно звено ломаной. Пусть $\Delta x_i>0$. По теореме Пифагора длина звена ломаной: $\Delta l_i=\sqrt{\Delta x_i^2+\Delta y_i^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)}^2}\cdot \Delta x_i$
2. Так как функция $f(x)$ дифференцируема, по теореме Лагранжа на отрезке $[x_{i-1},x_i]$ существует точка ${\xi }_i$ такая, что $\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}=f^{\prime }({\xi }_i)$.
3. Подставим это в формулу длины звена: $\Delta l_i=\sqrt{1+(f^{\prime }({\xi }_i){)}^2}\Delta x_i$
4. Длина всей ломаной равна сумме длин звеньев: ${\sum }_{i=1}^n\sqrt{1+(f^{\prime }({\xi }_i){)}^2}\Delta x_i$.
5. Переходя к пределу при $\lambda \to 0$ (формируется интегральная сумма), получаем: $l_{AB}={\int }_a^b\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$

Формулы для параметрического вида и поверхности вращения Для параметрически заданной функции: Если кривая задана системой $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$, где $\alpha \le t\le \beta$, формула принимает вид: $l_{AB}={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{({\phi }^{\prime }(t){)}^2+({\psi }^{\prime }(t){)}^2}dt$

Площадь поверхности вращения (вокруг оси $OX$): $S_x=2\pi {\int }_a^{b}y(x)\sqrt{1+(y^{\prime }(x){)}^2}dx$

---

---

Модуль II. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

Лекция №9.2.9-09.04.2026

LEGIT CHECK

Введение в обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) ^2-1-ode-intro

Основные определения Дифференциальным уравнением== называется соотношение, связывающее независимую переменную $x$, искомую функцию $y(x)$ и её производные до некоторого порядка $n\ge 1$: $F(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\dots ,y^{(n)})=0(1)$

==

• Обыкновенное (ОДУ): искомая функция зависит только от одной переменной $x$. (Если переменных несколько — это уравнения в частных производных).
• Порядок уравнения: порядок старшей производной $n$, входящей в уравнение.
• Решение уравнения: функция $y=f(x)$, определенная на некотором интервале или отрезке $I$, имеющая производные до порядка $n$ ($f(x)\in D^n(I)$), подстановка которых в уравнение (1) обращает его в тождество.
• Интегральная кривая: график решения дифференциального уравнения на координатной плоскости.

Пример решения ОДУ 1-го порядка $y^{\prime }=2x$ Интегрируя обе части, получаем общее решение: $y=x^2+C$. Примеры частных решений (интегральных кривых): $y=x^2+1$, $y=x^2-100500$.

Дано уравнение:

Геометрический смысл ОДУ 1-го порядка. Изоклина ^2-1-isoclines

ОДУ 1-го порядка имеет вид $F(x,y,y^{\prime })=0$, либо, если разрешено относительно производной: $y^{\prime }=f(x,y)(2)$ где $(x,y)\in D$ (некоторая область определения).

Топологические определения (Область и окрестность)

• ==Окрестность точки== $M(x_0,y_0)$ радиуса $\epsilon$: множество точек, удовлетворяющих условию $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\epsilon }^2$.
• ==Область== $D$ на плоскости — это множество точек, удовлетворяющее двум условиям:
  1. Открытость: каждая точка принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью.
  2. Связность: любые две точки множества можно соединить непрерывной линией, целиком состоящей из точек этого множества.

Геометрический смысл и Метод изоклин Геометрический смысл: Уравнение $y^{\prime }=f(x,y)$ задает на плоскости $XOY$ ==поле направлений==. В каждой точке $(x,y)\in D$ функция $f(x,y)$ определяет значение производной $y^{\prime }$, то есть тангенс угла наклона касательной ($\tan \alpha =y^{\prime }$) к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Метод изоклин: ==Изоклина== — это геометрическое место точек (ГМТ), в которых касательные к интегральным кривым имеют одно и то же направление (параллельны друг другу). Уравнение изоклины: $f(x,y)=k=\text{const}$. Задавая различные значения $k$, можно построить сетку изоклин, нанести на них короткие отрезки касательных под заданным углом и визуально «проявить» форму интегральных кривых.

Пример: Метод изоклин для $y^{\prime }=x-y^2$ Построим изоклины для уравнения $y^{\prime }=x-y^2$:

1. Пусть $k=0$ (касательные горизонтальны, экстремумы). Уравнение изоклины: $0=x-y^2\Rightarrow \mathbf{x}={\mathbf{y}}^2$ (парабола, лежащая на боку). На этой параболе интегральные кривые имеют горизонтальную касательную.
2. Пусть $k=1$ (касательные под углом $45^{\circ }$). Уравнение изоклины: $1=x-y^2\Rightarrow \mathbf{x}={\mathbf{y}}^2+1$ (та же парабола, сдвинутая вправо).

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
 
% Оси
\draw[->, thick] (-1,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
\draw[->, thick] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$};
 
% Изоклина k=0: x = y^2
\draw[domain=-2:2, samples=40, thick, blue] plot ({\x*\x}, \x);
\node[blue, right] at (4,2) {$k=0$};
 
% Касательные для k=0 (горизонтальные, y' = 0)
\draw[red, thick] (-0.2, 0) -- (0.2, 0);
\draw[red, thick] (0.8, -1) -- (1.2, -1);
\draw[red, thick] (0.8, 1) -- (1.2, 1);
\draw[red, thick] (3.8, -2) -- (4.2, -2);
\draw[red, thick] (3.8, 2) -- (4.2, 2);
 
% Изоклина k=1: x = y^2 + 1
\draw[domain=-1.5:1.5, samples=40, thick, green!60!black] plot ({\x*\x + 1}, \x);
\node[green!60!black, right] at (3.25,1.5) {$k=1$};
 
% Касательные для k=1 (под углом 45 градусов, y' = 1)
\draw[red, thick] (0.8, -0.2) -- (1.2, 0.2);
\draw[red, thick] (1.8, -1.2) -- (2.2, -0.8);
\draw[red, thick] (1.8, 0.8) -- (2.2, 1.2);
 
\end{tikzpicture}
\end{document}

---

Лекция №10.2.10-16.04.2026

LEGIT CHECK

Основные понятия ОДУ 1-го порядка и Задача Коши ^2-10-ode-cauchy

Определение - Непрерывность функции двух переменных $f(x,y)$ называется непрерывной в точке $M_0(x_0,y_0)$, если предел функции при приближении к этой точке равен значению функции в ней: ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$

Функция

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно первой производной, имеет вид: $y^{\prime }=f(x,y)(1)$ Пусть $f(x,y)$ определена в некоторой области $G\subset {\mathbb{R}}^2$ (область переменных $x,y$).

Определение - Общее и частное решение $y=f_1(x,C)$, определенная в области $D\subset {\mathbb{R}}^2$ (область переменных $x$ и константы $C$), называется ==общим решением== уравнения $(1)$, если выполняются два условия:

Функция

1. Для $\forall$ фиксированной константы $C$ функция $y=f_1(x,C)$ удовлетворяет уравнению $(1)$ (обращает его в тождество).
2. Какова бы ни была точка $(x_0,y_0)\in G$, существует такое значение константы $C=C_0$, что график решения проходит через эту точку: $y_0=f_1(x_0,C_0)$.

Общее решение может быть задано неявно: $\Phi (x,y,C)=0$ (называется общим интегралом).

Решение, проходящее через конкретную заданную точку (полученное из общего при фиксированном $C$), называется ==частным решением==.

Пример (Проверка общего решения) $y^{\prime }=y$. Точка $M_0(x_0,y_0)$. Общее решение: $y=C{e}^x$. Проверка: $y^{\prime }=(C{e}^x{)}^{\prime }=C{e}^x=y$ (уравнение выполняется). Найдем $C$ для прохождения через $M_0$: $y_0=C{e}^{x_0}\Rightarrow C=y_0{e}^{-x_0}$. Частное решение: $y=(y_0{e}^{-x_0})e^x=y_0{e}^{x-x_0}$.

Дано уравнение:

Задача Коши (Начальная задача) $y^{\prime }=f(x,y)$ дана точка $M_0(x_0,y_0)$ из области определения $f(x,y)$. Требуется найти решение уравнения, удовлетворяющее условию: $y{|}_{x=x_0}=y_0\text{или}y(x_0)=y_0$ Это условие называется начальным условием.

Для уравнения

Теорема Коши (о существовании и единственности) ^2-10-cauchy-theorem

Теорема Коши (ослабленная) $f(x,y)$ определена и непрерывна вместе со своей частной производной $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ в некоторой области $G\subset {\mathbb{R}}^2$. Тогда для $\forall (x_0,y_0)\in G$ существует, и притом единственное, решение $y=y(x)$, удовлетворяющее начальному условию $y(x_0)=y_0$.

Пусть функция

Геометрический смысл единственности: Любые 2 решения этого уравнения, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию, совпадают всюду, где они оба определены (интегральные кривые не пересекаются и не касаются друг друга).

Уравнения с разделяющимися переменными ^2-10-separable-equations

Уравнение вида: $y^{\prime }=f(x)g(y)(2)$ Пусть $f(x)$ и $g(y)$ непрерывны в соответствующих областях.

Алгоритм решения

1. Заменяем $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$. В окрестности каждой точки, где $g(y)\ne 0$, разделим уравнение на $g(y)$ и умножим на $dx$: $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ (Переменные разделены: слева только $y$, справа только $x$).
2. Интегрируем обе части: $\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$
3. Получаем: $H(y)=F(x)+C$, где $H$ и $F$ — первообразные.
4. Если $g(y)\ne 0$, функция $H(y)$ монотонна $\Rightarrow \exists H^{-1}$. Общее решение: $y=H^{-1}(F(x)+C)$.

Потерянные решения: При делении на $g(y)$ мы могли потерять решения $g(y)=0$. Если $g(y)=0$ при корнях $y_1,y_2,\dots ,y_k$, то постоянные функции $y\equiv y_1,y\equiv y_2\dots$ также являются решениями исходного уравнения (2).

Пример (Нарушение единственности решения / Особое решение) $y^{\prime }=3y^{2/3}$

Решить уравнение:

1. Разделяем переменные: $\frac{dy}{dx}=3y^{2/3}\Rightarrow \frac{dy}{y^{2/3}}=3dx$ (при условии $y\ne 0$).
2. Интегрируем: $\int y^{-2/3}dy=\int 3dx\Rightarrow 3y^{1/3}=3x+C\Rightarrow y^{1/3}=x+C_1$.
3. Возводим в куб, получаем общее решение: $y=(x+C_1{)}^3$.
4. Проверяем корень знаменателя: $y=0$. Подставляем в исходное уравнение: $0^{\prime }=3\cdot 0^{2/3}\Rightarrow 0=0$. Следовательно, $y\equiv 0$ — тоже решение.

Замечание (Важно!): Проверим условия Теоремы Коши для $f(x,y)=3y^{2/3}$. Найдем частную производную: $\frac{\partial f}{\partial y}=3\cdot \frac{2}{3}{y}^{-1/3}=\frac{2}{\sqrt[3]{y}}$. В точках, где $y=0$, эта производная не существует! Значит, на прямой $y=0$ нарушается условие теоремы Коши (единственность не гарантируется). Действительно, через точку $(0,0)$ проходят сразу две интегральные кривые: прямая $y=0$ и кубическая парабола $y=x^3$ (при $C_1=0$). Решение $y=0$ называется особым.

Дифференциальные уравнения в дифференциалах ^2-10-differentials

ОДУ часто записывают в симметричном виде (в дифференциалах): $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ Здесь $x$ и $y$ равноправны. Решением может являться как функция $y=y(x)$, так и функция $x=x(y)$. В зависимости от удобства, уравнение можно разрешить:

• либо относительно $y_x^{\prime }$: $\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$

• либо относительно $x_y^{\prime }$: $\frac{dx}{dy}=-\frac{N(x,y)}{M(x,y)}$

Правило записи в числителе. Нельзя оставлять $dx$ или $dy$ в знаменателе при интегрировании.

Дифференциал переменной, по которой идет интегрирование, всегда пишется

Пример (Работа с логарифмической константой) $ydx+xdy=0$

Решить уравнение:

1. Разделим переменные: $xdy=-ydx\Rightarrow \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}$. (Предполагаем $x\ne 0,y\ne 0$. Корни $x=0,y=0$ проверим позже).
2. Интегрируем: $\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{dx}{x}\Rightarrow \ln |y|=-\ln |x|+C$.
3. Преобразование константы: Так как $C$ — произвольная константа, и она может быть любой, для удобства представим её как логарифм другой положительной константы: $C=\ln C_1$ (где $C_1>0$). Тогда: $\ln |y|=\ln C_1-\ln |x|\Rightarrow \ln |y|=\ln \frac{C_1}{|x|}$.
4. Потенцируем: $|y|=\frac{C_1}{|x|}\Rightarrow y=\pm \frac{C_1}{x}$.
5. Заменим $\pm C_1$ на новую константу $C_2$ ($C_2\ne 0$). Получим: $y=\frac{C_2}{x}$.
6. Проверка потерянных корней: Мы делили на $xy$.
   • Корень $y=0$ является решением ($0\cdot dx+x\cdot 0=0$). Если разрешить константе $C_2$ принимать значение $0$, то $y=\frac{0}{x}=0$. Значит, корень $y=0$ поглощается общим решением. Обозначим итоговую произвольную константу как $C\in \mathbb{R}$.
   • Корень $x=0$ тоже является решением, но он не может быть получен из функции $y=\frac{C}{x}$. Это вертикальная прямая (решение вида $x=x(y)$).

Ответ: $y=\frac{C}{x}$ и $x=0$.

---

Лекция №11.2.11-23.04.2026

LEGIT CHECK

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка ^2-11-homogeneous-ode

Определение - Однородная функция $M(x,y)$ называется однородной функцией степени $p$, если для любого $k>0$ выполняется тождество: $M(kx,ky)=k^{p}M(x,y)$ Пример: $M(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2\Rightarrow M(kx,ky)=k^2(a{x}^2+bxy+c{y}^2)=k^{2}M(x,y)$ (степень $p=2$).

Функция

Однородное ОДУ 1-го порядка однородным, если оно может быть приведено к виду: $y^{\prime }=f\left(\frac{y}{x}\right)$ Либо, если оно записано в дифференциалах $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, то функции $M(x,y)$ и $N(x,y)$ должны быть однородными функциями одной и той же степени.

Дифференциальное уравнение называется

Метод решения: Применяется подстановка (замена переменной), которая сводит это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными: $y=ux⟹y^{\prime }=u^{\prime }x+u(\text{или }dy=udx+xdu)$ где $u=u(x)$ — новая неизвестная функция.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка ^2-11-linear-ode

Определение Линейным называется уравнение, в которое неизвестная функция $y$ и её производная $y^{\prime }$ входят линейно (то есть в первой степени и не перемножаются друг с другом): $y^{\prime }=a(x)y+b(x)(1)$

• Если $b(x)\equiv 0$, то уравнение $y^{\prime }=a(x)y(2)$ называется соответствующим однородным линейным уравнением.

Метод вариации произвольной постоянной (Метод Лагранжа)

1. Решаем соответствующее однородное уравнение (2): $\frac{dy}{dx}=a(x)y⟹\int \frac{dy}{y}=\int a(x)dx⟹\ln |y|=\int a(x)dx+\ln |C_1|$ Получаем решение в виде: $y=C\cdot \phi (x)$, где $\phi (x)=e^{\int a(x)dx}$.
2. Варьируем константу: Будем искать решение исходного неоднородного уравнения (1) в виде: $y=C(x)\phi (x)(3)$ где $C(x)$ — теперь неизвестная функция от $x$.
3. Подставляем $(3)$ в исходное уравнение $(1)$, всё лишнее сократится, и мы найдем $C(x)$.

Пример (Метод вариации постоянной) $x{y}^{\prime }=2y-2x^4⟹y^{\prime }=\frac{2}{x}y-2x^3$.

Решить уравнение:

1. Решаем однородное уравнение: $y^{\prime }=\frac{2}{x}y⟹\frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x}⟹\int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{x}⟹\ln |y|=2\ln |x|+\ln |C_1|$. $y=C{x}^2$.

2. Варьируем константу: Ищем решение в виде: $y=C(x)x^2$. Находим производную: $y^{\prime }=C^{\prime }(x)x^2+2xC(x)$. Подставляем в исходное: $C^{\prime }(x)x^2+2xC(x)=\frac{2}{x}(C(x)x^2)-2x^3$ $C^{\prime }(x)x^2+2xC(x)=2xC(x)-2x^3⟹C^{\prime }(x)x^2=-2x^3$ $C^{\prime }(x)=-2x⟹C(x)=\int (-2x)dx=-x^2+C$.

3. Записываем ответ: Подставляем найденное $C(x)$ обратно в замену $y=C(x)x^2$: $y=(-x^2+C)x^2⟹\mathbf{y}=\mathbf{C}{\mathbf{x}}^2-{\mathbf{x}}^4$.

Уравнение Бернулли ^2-11-bernoulli-ode

Определение Уравнением Бернулли называется уравнение вида: $y^{\prime }=a(x)y+b(x)y^{\alpha },\alpha \ne 0,\alpha \ne 1(4)$ (При $\alpha =0$ оно становится линейным неоднородным, при $\alpha =1$ — линейным однородным). Если $\alpha >0$, то функция $y\equiv 0$ всегда является решением.

Метод 1: Сведение к линейному (Подстановка) $y^{\alpha }$: $y^{-\alpha }{y}^{\prime }=a(x)y^{1-\alpha }+b(x)$ 5. Сделаем замену: $\mathbf{z}={\mathbf{y}}^{1-\alpha }$. Тогда $z^{\prime }=(1-\alpha )y^{-\alpha }{y}^{\prime }$. 6. Уравнение сводится к линейному относительно $z$: $\frac{z^{\prime }}{1-\alpha }=a(x)z+b(x)$.

4. Разделим уравнение на

Метод 2: Подстановка Бернулли ( $y=uv$) Ищем решение в виде произведения двух функций: $\mathbf{y}=\mathbf{u}(\mathbf{x})\mathbf{v}(\mathbf{x})$. Тогда $y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Подставляем в уравнение: $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }=a(x)uv+b(x)(uv{)}^{\alpha }$ Сгруппируем слагаемые с $u$: $u^{\prime }v+u(v^{\prime }-a(x)v)=b(x)(uv{)}^{\alpha }$

Алгоритм: 7. Приравниваем скобку к нулю: $v^{\prime }-a(x)v=0$. Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим одно любое частное (ненулевое) решение для $v(x)$. 8. Подставляем найденное $v(x)$ в оставшуюся часть: $u^{\prime }v=b(x)(uv{)}^{\alpha }$. Интегрируем и находим $u(x)$ с произвольной константой $C$. 9. Ответ: $y=u(x)v(x)$.

Пример (Метод $y=uv$) Решить уравнение: $y^{\prime }+\frac{y}{x}=y^2{x}^2$ (здесь $\alpha =2$).

Делаем замену $y=uv⟹y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }+\frac{uv}{x}=u^2{v}^2{x}^2⟹u^{\prime }v+u\left(v^{\prime }+\frac{v}{x}\right)=u^2{v}^2{x}^2$.

10. Находим $v$: $v^{\prime }+\frac{v}{x}=0⟹\frac{dv}{dx}=-\frac{v}{x}⟹\frac{dv}{v}=-\frac{dx}{x}⟹\ln |v|=-\ln |x|⟹\mathbf{v}=\frac{1}{\mathbf{x}}$.
11. Находим $u$: $u^{\prime }\cdot \frac{1}{x}=u^2\cdot \frac{1}{x^2}\cdot x^2⟹u^{\prime }\cdot \frac{1}{x}=u^2⟹\frac{du}{dx}=u^{2}x⟹\frac{du}{u^2}=xdx$. Интегрируем: $-\frac{1}{u}=\frac{x^2}{2}+C_1⟹-\frac{1}{u}=\frac{x^2+C}{2}⟹\mathbf{u}=-\frac{2}{{\mathbf{x}}^2+\mathbf{C}}$.
12. Собираем ответ $y=uv$: $\mathbf{y}=-\frac{2}{\mathbf{x}({\mathbf{x}}^2+\mathbf{C})}$. Также решением является $y=0$.

ОДУ n-го порядка и Теорема Коши ^2-11-higher-order-ode

Основные понятия $n$-го порядка, разрешенное относительно старшей производной: $y^{(n)}=f(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\dots ,y^{(n-1)})(1)$

Уравнение

Общим решением называется функция $y=\phi (x,C_1,C_2,\dots ,C_n)$, удовлетворяющая условиям: 13. Для $\forall$ набора констант $C_1,\dots ,C_n$ функция является решением уравнения (1). 14. Для $\forall$ набора начальных условий $(x_0,y_0,y_0^{\prime },\dots ,y_0^{(n-1)})\in G$ существует единственный набор констант $C_1,\dots ,C_n$, удовлетворяющий этим начальным условиям: $y(x_0)=y_0$, $y^{\prime }(x_0)=y_0^{\prime },\dots ,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$.

Неявно заданное общее решение $\Phi (x,y,C_1,\dots ,C_n)=0$ называется общим интегралом. Частное решение — любое решение, получающееся из общего при конкретных значениях констант.

Типы задач для ОДУ $n$-го порядка 15. Найти общее решение. 16. Задача Коши (Начальная задача): Найти частное решение, удовлетворяющее $n$ начальным условиям, заданным в одной точке $x_0$. 17. Краевая задача: Найти частное решение, удовлетворяющее условиям, которые заданы на разных концах отрезка (например, часть условий в точке $x_0$, а другая часть в точке $x_1$).

Теорема Коши (О существовании и единственности решения) $y^{(n)}=\phi (x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})$. Если функция $\phi$ в некоторой области $D$ удовлетворяет условию Липшица по переменным $y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)}$: $\left|\phi (x,\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime },\dots ,{\tilde{y}}^{(n-1)})-\phi (x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})\right|\le L{\sum }_{j=0}^{n-1}\left|{\tilde{y}}^{(j)}-y^{(j)}\right|$ То в этой области $D$ существует и единственно решение задачи Коши.

Дана задача Коши для уравнения:

---

Лекция №12.2.12-30.04.2026

LEGIT CHECK

Понижение порядка ОДУ ^2-12-lowering-order

Существуют специальные типы уравнений высших порядков, порядок которых можно понизить с помощью подходящей замены.

1. Уравнение вида $y^{(n)}=f(x)$ Решается последовательным $n$-кратным интегрированием. $y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C_1\Rightarrow y^{(n-2)}=\int \left(\int f(x)dx\right)dx+C_{1}x+C_2\Rightarrow \dots$

2. Уравнение не содержит явно искомую функцию $y$ Вид: $F(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$ Замена: $y^{\prime }=p(x)\Rightarrow y^{\prime \prime }=p^{\prime }(x)$. Уравнение сводится к 1-му порядку относительно функции $p$: $F(x,p,p^{\prime })=0$. Находим $p(x)$, а затем $y=\int p(x)dx+C$.

3. Уравнение не содержит явно независимую переменную $x$ Вид: $F(y,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$ Замена: $y^{\prime }=p(y)$ (теперь $p$ — функция от $y$). Тогда по правилу сложной функции: $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p_y^{\prime }\cdot y^{\prime }=p^{\prime }p$. Уравнение сводится к виду: $\tilde{F}(y,p,p\cdot p^{\prime })=0$.

Пример $y{y}^{\prime \prime }+(y^{\prime }{)}^2=0$ Делаем замену: $y^{\prime }=p(y),y^{\prime \prime }=p\cdot \frac{dp}{dy}$. $y\cdot p\cdot \frac{dp}{dy}+p^2=0$ Выносим $p$: $p\left(y\frac{dp}{dy}+p\right)=0$.

Решить:

1. $p=0\Rightarrow y^{\prime }=0\Rightarrow \mathbf{y}=\mathbf{C}$ (частное решение).
2. $y\frac{dp}{dy}+p=0\Rightarrow y\frac{dp}{dy}=-p\Rightarrow \frac{dp}{p}=-\frac{dy}{y}$. Интегрируем: $\int \frac{dp}{p}=-\int \frac{dy}{y}\Rightarrow \ln |p|=-\ln |y|+\ln |C_1|\Rightarrow \ln |p|=\ln \left|\frac{C_1}{y}\right|\Rightarrow p=\frac{C_1}{y}$. Делаем обратную замену: $y^{\prime }=\frac{C_1}{y}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{C_1}{y}\Rightarrow ydy=C_{1}dx$. Интегрируем: $\int ydy=\int C_{1}dx\Rightarrow \frac{y^2}{2}=C_{1}x+C_2$. Общий интеграл: ${\mathbf{y}}^2=2{\mathbf{C}}_1\mathbf{x}+{\tilde{\mathbf{C}}}_2$.

4. Уравнение, однородное относительно $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ Это значит, что если заменить $y\to ky,y^{\prime }\to k{y}^{\prime },y^{\prime \prime }\to k{y}^{\prime \prime }$, то уравнение не изменится (коэффициент $k$ сократится). Замена: $y^{\prime }=y\cdot z(x)$. Тогда $y^{\prime \prime }=(yz{)}^{\prime }=y^{\prime }z+y{z}^{\prime }=yz\cdot z+y{z}^{\prime }=y(z^2+z^{\prime })$.

Пример (с доски) $xy{y}^{\prime \prime }-x(y^{\prime }{)}^2=y{y}^{\prime }$ Проверка на однородность: $x(ky)(k{y}^{\prime \prime })-x(k{y}^{\prime }{)}^2=(ky)(k{y}^{\prime })\Rightarrow k^2(xy{y}^{\prime \prime }-x(y^{\prime }{)}^2)=k^2(y{y}^{\prime })$. Однородное! Подстановка $y^{\prime }=yz,y^{\prime \prime }=y(z^{\prime }+z^2)$: $xy\cdot y(z^{\prime }+z^2)-x(yz{)}^2=y(yz)\Rightarrow x{y}^2(z^{\prime }+z^2)-x{y}^2{z}^2=y^{2}z$ Разделим на $y^2\ne 0$: $x(z^{\prime }+z^2)-x{z}^2=z\Rightarrow x{z}^{\prime }+x{z}^2-x{z}^2=z\Rightarrow x{z}^{\prime }=z$ Разделяем переменные: $x\frac{dz}{dx}=z\Rightarrow \frac{dz}{z}=\frac{dx}{x}\Rightarrow \ln |z|=\ln |x|+\ln C_1\Rightarrow z=C_{1}x$. Обратная замена: $\frac{y^{\prime }}{y}=C_{1}x\Rightarrow \int \frac{dy}{y}=\int C_{1}xdx\Rightarrow \ln |y|=C_1\frac{x^2}{2}+C_2$.

Решить:

5. Уравнения в точных производных

Если обе части уравнения можно свернуть как производные каких-либо функций, уравнение можно сразу проинтегрировать.

Пример $y{y}^{\prime \prime }=(y^{\prime }{)}^2\Rightarrow \frac{y^{\prime \prime }}{y^{\prime }}=\frac{y^{\prime }}{y}\Rightarrow (\ln |y^{\prime }|{)}^{\prime }=(\ln |y|{)}^{\prime }$ Интегрируем: $\ln |y^{\prime }|=\ln |y|+\ln C_1\Rightarrow y^{\prime }=C_{1}y$. Снова разделяем переменные: $\frac{dy}{y}=C_{1}dx\Rightarrow \ln |y|=C_{1}x+\ln C_2\Rightarrow \mathbf{y}={\mathbf{C}}_2{\mathbf{e}}^{{\mathbf{C}}_1\mathbf{x}}$.

Линейное ОДУ n-го порядка и его свойства ^2-12-linear-ode-n

Линейным дифференциальным уравнением $n$-го порядка называется уравнение вида: $a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f(x)(1)$ где $a_k(x)$ и $f(x)$ — известные функции от $x$. Если $f(x)\equiv 0$, то получаем соответствующее однородное уравнение: $a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_n(x)y=0(2)$

Замечание: Если $a_0(x)\ne 0$ на некотором отрезке, то уравнение можно разделить на $a_0(x)$, и для него выполняются условия теоремы Коши о существовании и единственности решения.

Линейный дифференциальный оператор $L_n(y)=a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_n(x)y$. Тогда уравнения записываются кратко: $(1)L_n(y)=f(x)$ (неоднородное, ЛНДУ) $(2)L_n(y)=0$ (однородное, ЛОДУ)

Введём оператор

Оператор $L_n$ действует из пространства $C^n([a,b])$ в $C([a,b])$ и обладает свойствами линейности:

1. $L_n(y_1+y_2)=L_n(y_1)+L_n(y_2)$
2. $L_n(\lambda y)=\lambda L_n(y)$

Теоремы о свойствах решений (1) и (2)

1. Сумма решений однородного (2) есть решение однородного (2). Доказательство: Пусть $L(y_1)=0,L(y_2)=0$. Тогда $L(y_1+y_2)=L(y_1)+L(y_2)=0+0=0$.
2. Разность решений неоднородного (1) есть решение однородного (2). Доказательство: Пусть $L(y_1)=f(x),L(y_2)=f(x)$. Тогда $L(y_1-y_2)=L(y_1)-L(y_2)=f(x)-f(x)=0$.
3. Сумма решения однородного (2) и неоднородного (1) есть решение неоднородного (1). Доказательство: Пусть $L(y_1)=0,L(y_2)=f(x)$. Тогда $L(y_1+y_2)=L(y_1)+L(y_2)=0+f(x)=f(x)$.

Теорема о структуре пространства решений ЛОДУ Множество всех решений линейного однородного уравнения (2) образует линейное подпространство в пространстве $C^n([a,b])$.

Доказательство

Для того чтобы множество было линейным пространством, оно должно быть замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр:

1. Пусть $y_1$ и $y_2$ — решения (2). По доказанному выше свойству 1, их сумма $y_1+y_2$ также является решением (2).
2. Пусть $y_1$ — решение (2), $\lambda \in \mathbb{R}$. Тогда $L(\lambda y_1)=\lambda L(y_1)=\lambda \cdot 0=0\Rightarrow \lambda y_1$ также решение (2).
3. Существует нейтральный элемент: $y\equiv 0$ (всегда является решением ЛОДУ).
4. Существует противоположный элемент: для решения $y_1$ функция $(-y_1)$ также является решением, так как $L(-y_1)=-L(y_1)=0$. Следовательно, множество решений (2) удовлетворяет аксиомам и образует линейное пространство.

Линейная зависимость и независимость функций ^2-12-linear-independence

Для изучения структуры решений уравнения n-го порядка вводится понятие линейной зависимости системы функций.

Определение $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$, определенные на отрезке $[a,b]$, называются ==линейно зависимыми==, если существуют такие константы ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{R}$, не все равные нулю (т.е. ${\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2+\cdots +{\lambda }_n^2\ne 0$), что их линейная комбинация тождественно равна нулю на всем отрезке: ${\lambda }_1{y}_1(x)+{\lambda }_2{y}_2(x)+\cdots +{\lambda }_n{y}_n(x)\equiv 0\forall x\in [a,b]$

Функции

Функции называются ==линейно независимыми==, если указанное тождество выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю: ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$.

Теорема (Критерий линейной зависимости) $y_1,\dots ,y_n$ линейно зависима на отрезке $[a,b]$ тогда и только тогда, когда хотя бы одна из этих функций является линейной комбинацией остальных.

Система функций

---

Лекция №13.2.13-07.05.2026

LEGIT CHECK

Линейная зависимость функций и Определитель Вронского ^2-13-wronskian

Теорема (Критерий линейной зависимости) $y_1,y_2,\dots ,y_n$ линейно зависимы $⟺$ одна из них является линейной комбинацией остальных.

Функции

Доказательство $y_1,\dots ,y_n$ — линейно зависимы, если $\exists {\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{R}$, где не все ${\lambda }_i=0$ (т.е. ${\lambda }_1^2+\cdots +{\lambda }_n^2\ne 0$), такие что: ${\lambda }_1{y}_1+{\lambda }_2{y}_2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n=0$ Пусть, не ограничивая общности, ${\lambda }_1\ne 0$. Тогда выразим $y_1$: $y_1=-\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}{y}_2-\cdots -\frac{{\lambda }_n}{{\lambda }_1}{y}_n$ Обозначив $-\frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_1}={\tilde{\lambda }}_i$, получаем $y_1$ как линейную комбинацию остальных.

По определению,

Определение - Определитель Вронского (Вронскиан) $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$, имеющих непрерывные производные до $(n-1)$-го порядка включительно ($y_i\in C^{(n-1)}([a,b])$), Определителем Вронского называется функциональный определитель вида: $W[y_1,y_2,\dots ,y_n](x)=\left|\begin{array}{cccc}{y}_1& y_2& \dots & y_n\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }& \dots & y_n^{\prime }\\ y_1^{\prime \prime }& y_2^{\prime \prime }& \dots & y_n^{\prime \prime }\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ y_1^{(n-1)}& y_2^{(n-1)}& \dots & y_n^{(n-1)}\end{array}\right|=W(x)$

Для системы функций

Теорема (О Вронскиане системы линейно зависимых функций) $y_1,\dots ,y_n$ линейно зависима на $[a,b]$ (где $y_i\in C^{(n-1)}([a,b])$), то её Вронскиан тождественно равен нулю: $W[y_1,\dots ,y_n](x)\equiv 0\forall x\in [a,b]$

Если система функций

Доказательство $y_1={\lambda }_2{y}_2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n$. Тогда её производные: $y_1^{\prime }={\lambda }_2{y}_2^{\prime }+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^{\prime }$ $\dots$ $y_1^{(n-1)}={\lambda }_2{y}_2^{(n-1)}+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^{(n-1)}$ Подставим это в первый столбец определителя Вронского $W(x)$. Получится, что первый столбец является линейной комбинацией остальных столбцов. По свойствам определителей (если один столбец есть линейная комбинация других), такой определитель тождественно равен нулю: $W(x)\equiv 0$.

Так как функции линейно зависимы, одна из них выражается через остальные (по предыдущей теореме). Пусть

Важное замечание (Контрпример) неверно! Если $W(x)\equiv 0$, это ещё не гарантирует линейную зависимость произвольных функций. Пример: Рассмотрим функции $y_1=x^2$ и $y_2=x|x|$ на отрезке $x\in [-1,1]$. $W[y_1,y_2](x)=\left|\begin{array}{cc}{x}^2& x|x|\\ 2x& 2|x|\end{array}\right|=x^2\cdot 2|x|-2x\cdot x|x|\equiv 0$ Вронскиан равен нулю всюду на $[-1,1]$, однако функции $y_1$ и $y_2$ линейно независимы на этом отрезке. Связь Вронскиана и независимости жестко работает только для решений дифференциальных уравнений!

Обратное утверждение в общем случае

Линейная зависимость и независимость решений ЛОДУ n-го порядка ^2-13-lode-solutions

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) $n$-го порядка: $a_0(x)y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_n(x)y=0(1)$ С условиями регулярности (3): $\forall i=\overline{0,n}⟹a_i(x)\in C([a,b])$ и $a_0(x)\ne 0\forall x\in [a,b]$.

Теорема (Критерий линейной зависимости решений ЛОДУ) $y_1,\dots ,y_n$ ЛОДУ (1) при условиях (3) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского обращался в нуль хотя бы в одной точке $x_0\in [a,b]$: $\exists x_0\in [a,b]:W[y_1,\dots ,y_n](x_0)=0$

Для того чтобы решения

Доказательство Необходимость ($\Rightarrow$): Пусть $y_1,\dots ,y_n$ — линейно зависимы. По доказанной ранее теореме, их Вронскиан тождественно равен нулю: $W(x)\equiv 0⟹W(x_0)=0$.

Достаточность ($\Leftarrow$): Пусть $\exists x_0\in [a,b]$, в которой $W(x_0)=0$. Вронскиан в точке $x_0$ — это определитель числовой матрицы. Равенство его нулю означает, что столбцы этой матрицы линейно зависимы. То есть существует нетривиальный набор констант $C_1,\dots ,C_n$ (где $C_1^2+\cdots +C_n^2\ne 0$), такой что: $C_1\left(\begin{array}{c}{y}_1(x_0)\\ y_1^{\prime }(x_0)\\ \dots \\ y_1^{(n-1)}(x_0)\end{array}\right)+\cdots +C_n\left(\begin{array}{c}{y}_n(x_0)\\ y_n^{\prime }(x_0)\\ \dots \\ y_n^{(n-1)}(x_0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \dots \\ 0\end{array}\right)$ Составим функцию $\tilde{y}(x)=C_1{y}_1(x)+\cdots +C_n{y}_n(x)$.

1. Как линейная комбинация решений ЛОДУ, $\tilde{y}(x)$ также является решением уравнения (1).
2. Проверим начальные условия в точке $x_0$ для функции $\tilde{y}(x)$: Из векторного равенства выше следует, что $\tilde{y}(x_0)=0,{\tilde{y}}^{\prime }(x_0)=0,\dots ,{\tilde{y}}^{(n-1)}(x_0)=0(\ast )$.
3. Заметим, что тривиальная функция $y(x)\equiv 0$ также удовлетворяет уравнению (1) и нулевым начальным условиям $(\ast )$.
4. Так как условия (3) обеспечивают выполнение теоремы Коши (существование и единственность), то задача Коши с нулевыми условиями имеет единственное решение. Следовательно, наша функция $\tilde{y}(x)$ обязана тождественно совпадать с нулём: $\tilde{y}(x)\equiv 0⟹C_1{y}_1(x)+\cdots +C_n{y}_n(x)\equiv 0$. Так как не все $C_i$ равны нулю, по определению это означает, что функции $y_1,\dots ,y_n$ линейно зависимы.

Следствие (Альтернативная формулировка свойств Вронскиана ЛОДУ)

Если Вронскиан решений ЛОДУ (1) обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он равен нулю тождественно на всем отрезке.

Сводная теорема: Пусть $y_1,\dots ,y_n$ — решения ЛОДУ (1), выполняются условия регулярности (3). Тогда:

1. Решения $y_1,\dots ,y_n$ линейно зависимы $⟺W[y_1,\dots ,y_n](x)\equiv 0$.
2. Решения $y_1,\dots ,y_n$ линейно независимы $⟺W[y_1,\dots ,y_n](x)\ne 0\forall x\in [a,b]$.

Структура общего решения ЛОДУ n-го порядка. ФСР ^2-13-fss-structure

Определение $n$ линейно независимых решений ЛОДУ $n$-го порядка называется ==фундаментальной системой решений (ФСР)==.

Система из

Теорема о размерности пространства решений Размерность пространства решений ЛОДУ $n$-го порядка в точности равна $n$.

Доказательство (Построение базиса) $n$ линейно независимых решений (базис), через которые выражается любое другое решение.

Нам нужно доказать, что существует ровно

1. Выберем произвольную точку $x_0\in [a,b]$. Зададим $n$ специальных наборов начальных условий так, чтобы они образовали единичную матрицу: $y_1(x_0)=1,y_1^{\prime }(x_0)=0,\dots ,y_1^{(n-1)}(x_0)=0$ $y_2(x_0)=0,y_2^{\prime }(x_0)=1,\dots ,y_2^{(n-1)}(x_0)=0$ $\dots$ $y_n(x_0)=0,y_n^{\prime }(x_0)=0,\dots ,y_n^{(n-1)}(x_0)=1$
2. По теореме Коши, для каждого из этих $n$ наборов существует единственное решение $y_i(x)$ уравнения (1).
3. Составим Вронскиан для этих решений в точке $x_0$: $W[y_1,\dots ,y_n](x_0)=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right|=1\ne 0$ Так как Вронскиан не равен нулю, эти $n$ решений линейно независимы.
4. Покажем, что любое решение $y(x)$ выражается через них. Пусть $y(x)$ — произвольное решение с какими-то начальными условиями: $y(x_0)=C_1,y^{\prime }(x_0)=C_2,\dots ,y^{(n-1)}(x_0)=C_n$. Сконструируем функцию: $\tilde{y}(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\cdots +C_n{y}_n(x)$. Она тоже является решением, и её начальные условия в точке $x_0$ (из-за единичной матрицы) будут в точности равны $C_1,C_2,\dots ,C_n$.
5. По теореме единственности Коши, так как начальные условия совпадают, функции тождественно равны: $y(x)\equiv \tilde{y}(x)$. Таким образом, $y_1,\dots ,y_n$ образуют базис пространства решений. Размерность равна $n$.

---

Лекция №14.2.14-14.05.2026

LEGIT CHECK

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка ^2-14-lode-structure

Теорема $a_i(x)$ непрерывны, $a_0(x)\ne 0$). Тогда общее решение ЛОДУ имеет вид: $y_{oo}(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\cdots +C_n{y}_n(x)$ где $y_1,y_2,\dots ,y_n$ — фундаментальная система решений (ФСР), то есть система линейно независимых частных решений этого уравнения, а $C_1,\dots ,C_n$ — произвольные постоянные.

Пусть для линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) выполняются условия существования и единственности (коэффициенты

Доказательство

1. Функция $y_{oo}(x)$ является решением ЛОДУ, так как любая линейная комбинация решений однородного уравнения также является его решением (по свойствам линейного оператора $L(y)=0$).
2. Покажем, что из этого решения можно получить решение любой задачи Коши. Зададим произвольные начальные условия в точке $x_0\in [a,b]$: $y(x_0)=y_0$ $y^{\prime }(x_0)=y_0^{\prime }$ $\dots$ $y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$
3. Подставим нашу конструкцию $y_{oo}$ в эти условия, чтобы найти неизвестные константы $C_1,\dots ,C_n$. Получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): $\{\begin{array}{l}{C}_1{y}_1(x_0)+C_2{y}_2(x_0)+\cdots +C_n{y}_n(x_0)=y_0\\ C_1{y}_1^{\prime }(x_0)+C_2{y}_2^{\prime }(x_0)+\cdots +C_n{y}_n^{\prime }(x_0)=y_0^{\prime }\\ \dots \\ C_1{y}_1^{(n-1)}(x_0)+C_2{y}_2^{(n-1)}(x_0)+\cdots +C_n{y}_n^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}\end{array}$
4. Определитель этой СЛАУ относительно неизвестных $C_i$ — это в точности определитель Вронского $W(x_0)$, построенный на функциях $y_1,\dots ,y_n$ в точке $x_0$.
5. Так как $y_1,\dots ,y_n$ образуют ФСР (они линейно независимы), то их Вронскиан $W(x_0)\ne 0$.
6. По теореме Крамера, если определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение ${\tilde{C}}_1,\dots ,{\tilde{C}}_n$.
7. Функция $\tilde{y}(x)={\tilde{C}}_1{y}_1(x)+\cdots +{\tilde{C}}_n{y}_n(x)$ удовлетворяет уравнению и заданным начальным условиям. По теореме единственности Коши, она совпадает с искомым решением. Ч.т.д.

Теорема о структуре общего решения ЛНДУ ^2-14-lnde-structure

Теорема $L(y)=f(x)$ равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения ЛОДУ $L(y)=0$ и любого частного решения неоднородного уравнения. $y_{он}(x)=y_{oo}(x)+y_{чн}(x)$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ)

Доказательство $y_{oo}+y_{чн}$ является решением ЛНДУ. Пользуясь линейностью оператора: $L(y_{oo}+y_{чн})=L(y_{oo})+L(y_{чн})$. Так как $y_{oo}$ — решение ЛОДУ, то $L(y_{oo})=0$. Так как $y_{чн}$ — решение ЛНДУ, то $L(y_{чн})=f(x)$. Итог: $0+f(x)=f(x)$. Уравнение удовлетворяется. 9. Теперь нужно показать, что любое решение ЛНДУ может быть найдено в таком виде. Пусть $y(x)$ — произвольное решение ЛНДУ с какими-то заданными начальными условиями: $y(x_0)=y_0,y^{\prime }(x_0)=y_0^{\prime },\dots$ Нам нужно доказать, что найдутся такие константы в $y_{oo}$, что $y_{oo}(x_0)+y_{чн}(x_0)=y_0$. Перепишем: $y_{oo}(x_0)=y_0-y_{чн}(x_0)$. Аналогично для производных: $y_{oo}^{\prime }(x_0)=y_0^{\prime }-y_{чн}^{\prime }(x_0)$ и так далее. Так как $y_{oo}$ — это общее решение ЛОДУ, мы уже доказали в предыдущей теореме, что оно может удовлетворить абсолютно любым начальным условиям (так как Вронскиан не равен нулю). Значит, мы всегда сможем подобрать нужные константы. Ч.т.д.

8. Сначала докажем, что сумма

Формула Остроградского-Лиувилля (для уравнения 2-го порядка) ^2-14-ostrogradsky-liouville

Рассмотрим ЛОДУ 2-го порядка, приведенное к стандартному виду (коэффициент при $y^{\prime \prime }$ равен 1): $y^{\prime \prime }+p_1(x)y^{\prime }+p_2(x)y=0(9)$ где $p_1(x),p_2(x)\in C([a,b])$.

Теорема $y_1(x)$ и $y_2(x)$ — два решения уравнения (9), то их Вронскиан вычисляется по формуле Остроградского-Лиувилля: $W(x)=W(x_0)\cdot e^{-{\int }_{x_0}^x{p}_1(t)dt}$ где $x_0\in [a,b]$ — произвольная точка. (Из этой формулы напрямую видно: если $W(x_0)\ne 0$, то экспонента никогда не равна нулю, значит $W(x)\ne 0$ нигде на отрезке. И наоборот).

Если

Доказательство $y_1$ и $y_2$: 10) $y_1^{\prime \prime }+p_1(x)y_1^{\prime }+p_2(x)y_1=0|\cdot (-y_2)$ 11) $y_2^{\prime \prime }+p_1(x)y_2^{\prime }+p_2(x)y_2=0|\cdot (y_1)$

Запишем тождества для решений

Сложим полученные уравнения. Слагаемые с $p_2(x)$ взаимно уничтожатся ($-p_2{y}_1{y}_2+p_2{y}_1{y}_2=0$): $(y_1{y}_2^{\prime \prime }-y_2{y}_1^{\prime \prime })+p_1(x)(y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime })=0$ Вспомним определение Вронскиана для двух функций: $W(x)=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right|=y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime }$. Найдем производную Вронскиана: $W^{\prime }(x)=(y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime }{)}^{\prime }=(y_1^{\prime }{y}_2^{\prime }+y_1{y}_2^{\prime \prime })-(y_2^{\prime }{y}_1^{\prime }+y_2{y}_1^{\prime \prime })=y_1{y}_2^{\prime \prime }-y_2{y}_1^{\prime \prime }$.

Замечаем, что наше уравнение — это просто дифференциальное уравнение относительно Вронскиана: $W^{\prime }(x)+p_1(x)W(x)=0$ Разделяем переменные: $\frac{dW}{dx}=-p_1(x)W⟹\frac{dW}{W}=-p_1(x)dx$. Интегрируем от $x_0$ до $x$: ${\int }_{W(x_0)}^{W(x)}\frac{dW}{W}=-{\int }_{x_0}^x{p}_1(t)dt⟹\ln |W(x)|-\ln |W(x_0)|=-{\int }_{x_0}^x{p}_1(t)dt$ Потенцируем и получаем искомую формулу: $W(x)=W(x_0)\cdot e^{-{\int }_{x_0}^x{p}_1(t)dt}$

ЛОДУ с постоянными коэффициентами (2-го порядка) ^2-14-lode-constant-coeff

Уравнение имеет вид: $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0(1)$ где $p,q\in \mathbb{R}$ — обычные числа.

Метод Эйлера: Будем искать решение в виде показательной функции $y=e^{\lambda x}$, где $\lambda$ — некоторое число (возможно, комплексное). Найдем производные: $y^{\prime }=\lambda e^{\lambda x}$, $y^{\prime \prime }={\lambda }^2{e}^{\lambda x}$. Подставим в уравнение (1): ${\lambda }^2{e}^{\lambda x}+p\lambda e^{\lambda x}+q{e}^{\lambda x}=0$ Так как $e^{\lambda x}\ne 0$, сокращаем на него и получаем алгебраическое ==характеристическое уравнение==: ${\lambda }^2+p\lambda +q=0(2)$ Корни этого квадратного уравнения определяют вид общего решения. Возможны 3 случая.

Случай 1. Корни действительные и различные ( $D>0$) Пусть ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\in \mathbb{R}$. Тогда частные решения: $y_1=e^{{\lambda }_{1}x}$ и $y_2=e^{{\lambda }_{2}x}$. Убедимся, что они образуют ФСР (линейно независимы), вычислив их Вронскиан: $W(x)=\left|\begin{array}{cc}{e}^{{\lambda }_{1}x}& e^{{\lambda }_{2}x}\\ {\lambda }_1{e}^{{\lambda }_{1}x}& {\lambda }_2{e}^{{\lambda }_{2}x}\end{array}\right|={\lambda }_2{e}^{({\lambda }_1+{\lambda }_2)x}-{\lambda }_1{e}^{({\lambda }_1+{\lambda }_2)x}=e^{({\lambda }_1+{\lambda }_2)x}({\lambda }_2-{\lambda }_1)$ Так как экспонента не равна нулю, а ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, то $W(x)\ne 0$. Значит, функции линейно независимы. Общее решение: $y_{oo}=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$

Случай 2. Корни действительные и кратные ( $D=0$) Пусть ${\lambda }_1={\lambda }_2\in \mathbb{R}$. Одно решение у нас есть: $y_1=e^{{\lambda }_{1}x}$. Но для ФСР нужно второе, линейно независимое. Применим метод вариации. Будем искать второе решение в виде: $y_2=u(x)e^{{\lambda }_{1}x}$. Найдем производные: $y_2^{\prime }=u^{\prime }{e}^{{\lambda }_{1}x}+{\lambda }_{1}u{e}^{{\lambda }_{1}x}$ $y_2^{\prime \prime }=u^{\prime \prime }{e}^{{\lambda }_{1}x}+2{\lambda }_1{u}^{\prime }{e}^{{\lambda }_{1}x}+{\lambda }_1^{2}u{e}^{{\lambda }_{1}x}$ (Продолжение вывода на следующей лекции, спойлер: $u(x)$ окажется равным $x$, и второе решение будет $y_2=x{e}^{{\lambda }_{1}x}$).

---

Лекция №15.2.15-21.05.2026

LEGIT CHECK

Принцип суперпозиции (Теорема о наложении частных решений) ^2-15-superposition

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) $n$-го порядка: $y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=f(x)(1)$ Введём линейный дифференциальный оператор $L_n(y)$. Тогда уравнение запишется как $L_n(y)=f(x)$.

Теорема о наложении частных решений $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$. Если $y_1(x)$ — частное решение уравнения $L_n(y)=f_1(x)$, а $y_2(x)$ — частное решение уравнения $L_n(y)=f_2(x)$, то функция: $y(x)=y_1(x)+y_2(x)$ является частным решением исходного уравнения $L_n(y)=f_1(x)+f_2(x)$.

Пусть правая часть уравнения представляет собой сумму двух функций:

Доказательство $y_1(x)+y_2(x)$ в левую часть уравнения (1). По свойствам производной суммы, $(y_1+y_2{)}^{(k)}=y_1^{(k)}+y_2^{(k)}$. Сгруппируем слагаемые, относящиеся к $y_1$ и $y_2$: $(y_1^{(n)}+y_2^{(n)})+a_1(x)(y_1^{(n-1)}+y_2^{(n-1)})+\cdots +a_n(x)(y_1+y_2)=$ $=\left[y_1^{(n)}+a_1(x)y_1^{(n-1)}+\cdots +a_n(x)y_1\right]+\left[y_2^{(n)}+a_1(x)y_2^{(n-1)}+\cdots +a_n(x)y_2\right]$ Первая квадратная скобка — это результат подстановки решения $y_1$ в левую часть, по условию она равна $f_1(x)$. Вторая квадратная скобка — это результат подстановки $y_2$, по условию она равна $f_2(x)$. Следовательно, вся сумма равна $f_1(x)+f_2(x)$. Тождество выполняется, значит $y_1(x)+y_2(x)$ является решением. Ч.т.д.

Подставим функцию

Нахождение частных решений ЛНДУ с постоянными коэффициентами (Специальная правая часть) ^2-15-special-rhs-1

Рассмотрим ЛНДУ $n$-го порядка с постоянными коэффициентами: $y^{(n)}+a_1{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}{y}^{\prime }+a_{n}y=f(x)$ В общем случае частное решение ищется методом Лагранжа. Однако, если правая часть $f(x)$ имеет специфический («квазиполиномиальный») вид, частное решение $y_{\text{чн}}$ можно найти проще — методом неопределенных коэффициентов, заранее угадывая его структуру по корням характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение для левой части: ${\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_n=0$ Пусть ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots$ — корни этого уравнения.

Тип 1: Экспонента умноженная на многочлен $f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$ где $P_n(x)$ — многочлен степени $n$, $\alpha \in \mathbb{R}$ — заданное число.

Правая часть имеет вид:

Структура частного решения $y_{\text{чн}}$ зависит от того, совпадает ли число $\alpha$ с корнями характеристического уравнения:

1. Контрольное число $\alpha$ НЕ является корнем характеристического уравнения ($\alpha \ne {\lambda }_i$): Частное решение ищется в виде: $y_{\text{чн}}=Q_n(x)e^{\alpha x}$ где $Q_n(x)$ — многочлен той же степени $n$ с неизвестными коэффициентами. (Например, если $P_n(x)=2x+1$ (степень 1), то $Q_n(x)=Ax+B$).

2. Контрольное число $\alpha$ ЯВЛЯЕТСЯ корнем характеристического уравнения кратности $k$: (То есть корень $\alpha$ встречается среди решений характеристического уравнения $k$ раз). Возникает так называемый “резонанс”. Частное решение должно быть домножено на $x^k$: $y_{\text{чн}}=x^k{Q}_n(x)e^{\alpha x}$

Алгоритм нахождения коэффициентов для $Q_n(x)$: Выписав вид $y_{\text{чн}}$, мы находим его производные $y_{\text{чн}}^{\prime },y_{\text{чн}}^{\prime \prime }$ и т.д. Подставляем их в исходное дифференциальное уравнение, сокращаем экспоненту $e^{\alpha x}$ и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях. Получаем СЛАУ и находим коэффициенты.

Нахождение частных решений ЛНДУ (Специальная правая часть — Тригонометрия) ^2-15-special-rhs-2

Тип 2: Экспонента умноженная на тригонометрию и многочлены $f(x)=e^{\alpha x}\left[P_{n_1}(x)\cos (\beta x)+P_{n_2}(x)\sin (\beta x)\right]$ где $P_{n_1}(x)$ и $P_{n_2}(x)$ — многочлены степеней $n_1$ и $n_2$ соответственно, $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$.

Правая часть уравнения имеет более сложный вид (содержит синусы и косинусы):

Составим контрольное комплексное число: $z=\alpha \pm i\beta$. Обозначим максимальную из степеней многочленов как $m=\max (n_1,n_2)$.

Структура частного решения $y_{\text{чн}}$ строится аналогично первому типу, опираясь на корни характеристического уравнения ${\lambda }_i$:

1. Контрольное число $z=\alpha \pm i\beta$ НЕ является корнем характеристического уравнения: Частное решение ищется в полном виде (обязательно присутствуют и синус, и косинус, даже если в правой части был только один из них!): $y_{\text{чн}}=e^{\alpha x}\left[{\tilde{Q}}_m(x)\cos (\beta x)+{\tilde{R}}_m(x)\sin (\beta x)\right]$ где ${\tilde{Q}}_m(x)$ и ${\tilde{R}}_m(x)$ — полные многочлены степени $m$ с неизвестными коэффициентами.

2. Контрольное число $z=\alpha \pm i\beta$ ЯВЛЯЕТСЯ корнем характеристического уравнения кратности $k$: Возникает резонанс. Вся конструкция домножается на $x^k$: $y_{\text{чн}}=x^k{e}^{\alpha x}\left[{\tilde{Q}}_m(x)\cos (\beta x)+{\tilde{R}}_m(x)\sin (\beta x)\right]$

Пример подбора структуры $y^{\prime \prime }+y=\cos x$.

Дано уравнение:

1. Характеристическое уравнение: ${\lambda }^2+1=0⟹{\lambda }_{1,2}=\pm i$.
2. Правая часть: $f(x)=\cos x$. Здесь $\alpha =0,\beta =1$. Многочлен $P_0(x)=1$ (степень $m=0$).
3. Контрольное число: $z=0\pm 1\cdot i=\pm i$.
4. Сравниваем: контрольное число совпадает с корнем характеристического уравнения ($\pm i$). Кратность корня $k=1$.
5. Структура частного решения (с домножением на $x^1$ и полными многочленами нулевой степени, т.е. константами $A$ и $B$): $y_{\text{чн}}=x\cdot e^{0\cdot x}\left[A\cos x+B\sin x\right]=x(A\cos x+B\sin x)$.

Метод вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа) для ОДУ n-го порядка ^2-15-lagrange-method

Если правая часть $f(x)$ не относится к специальным видам (например, содержит тангенс, дроби или логарифмы), метод неопределенных коэффициентов не работает. Применяется универсальный метод Лагранжа.

Дано ЛНДУ $n$-го порядка (приведенное к стандартному виду, где коэффициент при старшей производной равен 1): $y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_n(x)y=f(x)(1)$

Алгоритм Лагранжа Шаг 1. Зануляем правую часть и решаем соответствующее однородное уравнение (ЛОДУ). Находим фундаментальную систему решений (ФСР): $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$. Записываем общее решение ЛОДУ: $y_{\text{оо}}=C_1{y}_1+C_2{y}_2+\cdots +C_n{y}_n$

Шаг 2. Ищем решение исходного ЛНДУ (1), заменяя константы $C_i$ на неизвестные функции от $x$: $y(x)=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)+\cdots +C_n(x)y_n(x)$

Шаг 3. Составляем систему алгебраических уравнений относительно производных этих неизвестных функций $C_1^{\prime }(x),C_2^{\prime }(x),\dots ,C_n^{\prime }(x)$. Система выглядит так:

C'_1 y_1 + C'_2 y_2 + \dots + C'_n y_n = 0 \\ C'_1 y'_1 + C'_2 y'_2 + \dots + C'_n y'_n = 0 \\ C'_1 y''_1 + C'_2 y''_2 + \dots + C'_n y''_n = 0 \\ \dots \\ C'_1 y_1^{(n-2)} + C'_2 y_2^{(n-2)} + \dots + C'_n y_n^{(n-2)} = 0 \\ C'_1 y_1^{(n-1)} + C'_2 y_2^{(n-1)} + \dots + C'_n y_n^{(n-1)} = f(x) \end{cases} \quad (*) $$ *(Обрати внимание: правые части всех уравнений, кроме последнего, равны нулю. В последнем уравнении со старшими производными справа стоит функция $f(x)$).* **Шаг 4.** Решаем систему $(*)$ как систему линейных алгебраических уравнений относительно переменных $C'_1, \dots, C'_n$ (например, по правилу Крамера). **Шаг 5.** Интегрируем найденные производные, получая функции с новыми константами: $C_1(x) = \int C'_1(x)dx + \tilde{C}_1$ $\dots$ $C_n(x) = \int C'_n(x)dx + \tilde{C}_n$ **Шаг 6.** Подставляем найденные функции в исходную замену и получаем итоговое общее решение ЛНДУ.

Теорема о разрешимости системы Лагранжа $(\ast )$ всегда имеет и притом единственное решение относительно неизвестных $C_i^{\prime }(x)$.

Система

Доказательство $(\ast )$ — это в точности определитель Вронского $\Delta =W[y_1,y_2,\dots ,y_n](x)$, построенный на функциях ФСР $y_1,\dots ,y_n$. Так как функции $y_1,\dots ,y_n$ по определению образуют фундаментальную систему решений (то есть они линейно независимы), то их определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке отрезка: $W(x)\ne 0$. Согласно теореме Крамера из линейной алгебры, если главный определитель СЛАУ не равен нулю, система имеет единственное решение. Ч.т.д.

Определитель основной матрицы системы

---

Лекция №16.2.16-28.05.2026

LEGIT CHECK

Системы дифференциальных уравнений. Нормальная форма и Задача Коши ^2-16-systems-intro

Основные понятия $t$ (часто имеет смысл времени) и $n$ неизвестных функций от этой переменной: $x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t)$. Система дифференциальных уравнений в общем виде связывает переменную $t$, неизвестные функции и их производные: $\{\begin{array}{l}{F}_1(t,x_1,\dots ,x_1^{(m_1)},\dots ,x_n,\dots ,x_n^{(m_n)})=0\\ \dots \\ F_k(t,x_1,\dots ,x_1^{(m_1)},\dots ,x_n,\dots ,x_n^{(m_n)})=0\end{array}$ Порядком системы называется сумма порядков старших производных каждой неизвестной функции: $m_1+m_2+\cdots +m_n$.

Пусть задана независимая переменная

Нормальная система ДУ $n$ уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно первых производных неизвестных функций, она называется нормальной системой: $\{\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=f_1(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ \frac{d{x}_2}{dt}=f_2(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ \dots \\ \frac{d{x}_n}{dt}=f_n(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\end{array}$

Если система состоит из

Векторно-матричная форма записи $\bar{X}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ \dots \\ x_n(t)\end{array}\right),\bar{f}(t,\bar{X})=\left(\begin{array}{c}{f}_1(t,x_1,\dots ,x_n)\\ f_2(t,x_1,\dots ,x_n)\\ \dots \\ f_n(t,x_1,\dots ,x_n)\end{array}\right)$ Тогда нормальная система компактно записывается в виде одного векторного уравнения: ${\bar{X}}^{\prime }=\bar{f}(t,\bar{X})(1)$

Введем вектор-столбец неизвестных функций и вектор-столбец правых частей:

Функция $\bar{X}(t,\bar{C})$, где $\bar{C}=(C_1,\dots ,C_n{)}^T$ — вектор произвольных констант, называется общим решением системы (1), если:

1. При любом $\bar{C}$ функция $\bar{X}=\bar{X}(t,\bar{C})$ является решением (1).
2. Для любых начальных условий $(t_0,{\bar{X}}^0)$ существует единственный вектор констант ${\bar{C}}_0$, такой что ${\bar{X}}^0=\bar{X}(t_0,{\bar{C}}_0)$.

Задача Коши и Теорема существования Задача Коши: Задана точка (начальные условия) $t=t_0$, $x_1(t_0)=x_1^0,\dots ,x_n(t_0)=x_n^0$, или в векторном виде $\bar{X}(t_0)={\bar{X}}^0$. Требуется найти определенное решение системы. Теорема Коши: Пусть вектор-функция $\bar{f}(t,\bar{X})$ определена в области $G\subset {\mathbb{R}}^{n+1}$, непрерывна по совокупности переменных и имеет непрерывные частные производные по всем $x_i$. Тогда задача Коши имеет единственное решение.

Связь между нормальной системой и ОДУ n-го порядка ^2-16-equivalence

Теорема об эквивалентности $n$-го порядка эквивалентна некоторому одному дифференциальному уравнению $n$-го порядка. Любое ОДУ $n$-го порядка можно свести к нормальной системе из $n$ уравнений 1-го порядка, и наоборот.

Нормальная система

Вывод (сведение системы к одному уравнению) $\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=f_1(t,x_1,\dots ,x_n)\\ \dots \\ x_n^{\prime }=f_n(t,x_1,\dots ,x_n)\end{array}$ Возьмем первое уравнение и найдем его производную по $t$, применяя правило дифференцирования сложной функции (так как каждое $x_i$ зависит от $t$): $\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}=\frac{\partial f_1}{\partial t}+\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\frac{d{x}_1}{dt}+\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\frac{d{x}_2}{dt}+\cdots +\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\frac{d{x}_n}{dt}$ Заменим все $\frac{d{x}_i}{dt}$ на правые части $f_i$ из исходной системы. Получим выражение, зависящее только от $t$ и самих функций $x_1,\dots ,x_n$: $\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}=F_2(t,x_1,\dots ,x_n)$ Продифференцируем еще раз аналогичным образом: $\frac{d^3{x}_1}{d{t}^3}=\frac{\partial F_2}{\partial t}+{\sum }_{i=1}^n\frac{\partial F_2}{\partial x_i}{f}_i⟹\frac{d^3{x}_1}{d{t}^3}=F_3(t,x_1,\dots ,x_n)$ Повторяя этот процесс $n-1$ раз, мы получим систему уравнений для производных функции $x_1$: $x_1^{\prime }=f_1,x_1^{\prime \prime }=F_2,\dots x_1^{(n-1)}=F_{n-1}$ Из этих $n-1$ уравнений можно выразить все функции $x_2,\dots ,x_n$ через $t,x_1,x_1^{\prime },\dots ,x_1^{(n-1)}$. Наконец, найдем $n$-ю производную: $\frac{d^n{x}_1}{d{t}^n}=F_n(t,x_1,\dots ,x_n)$ Подставив в нее найденные выражения для $x_2,\dots ,x_n$, мы получим одно дифференциальное уравнение $n$-го порядка относительно функции $x_1$: $x_1^{(n)}=\Phi (t,x_1,x_1^{\prime },\dots ,x_1^{(n-1)})$

Дана система:

Нормальные системы линейных ДУ и свойства решений ^2-16-linear-systems

Определение линейной, если неизвестные функции $x_i$ входят в правые части в первой степени. Векторная форма записи неоднородной линейной системы: $\frac{d\bar{X}}{dt}=A(t)\bar{X}+\bar{B}(t)(1)$ Если вектор $\bar{B}(t)\equiv 0$, то система называется однородной: $\frac{d\bar{X}}{dt}=A(t)\bar{X}(2)$ (Замечание: Если элементы матрицы $A(t)$ и вектор $\bar{B}(t)$ непрерывны на отрезке $[a,b]$, то выполняются условия теоремы Коши, и задача Коши имеет единственное решение на всем отрезке).

Нормальная система ДУ называется

Теоремы о свойствах решений

1. Если ${\bar{X}}_1$ и ${\bar{X}}_2$ — решения однородной системы (2), то их линейная комбинация ${\lambda }_1{\bar{X}}_1+{\lambda }_2{\bar{X}}_2$ также является решением однородной системы (2).
2. Разность двух решений ${\bar{X}}_1-{\bar{X}}_2$ неоднородной системы (1) является решением соответствующей однородной системы (2).
3. Сумма решения однородной системы (2) и решения неоднородной системы (1) является решением неоднородной системы (1).

Определитель Вронского и структура общего решения системы ^2-16-wronskian-system

Линейная зависимость вектор-функций ${\bar{X}}_1(t),\dots ,{\bar{X}}_n(t)$ называются линейно зависимыми на $[a,b]$, если существуют константы ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{R}$ (где ${\lambda }_1^2+\cdots +{\lambda }_n^2\ne 0$), такие что: ${\lambda }_1{\bar{X}}_1(t)+\cdots +{\lambda }_n{\bar{X}}_n(t)\equiv \bar{0}\forall t\in [a,b]$ В противном случае они линейно независимы.

Вектор-функции

Определитель Вронского для системы $n$ вектор-функций ${\bar{X}}_1,\dots ,{\bar{X}}_n$ называется определитель матрицы, составленной из столбцов этих векторов: $W[{\bar{X}}_1,\dots ,{\bar{X}}_n](t)=\left|\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \dots & x_{1n}\\ x_{21}& x_{22}& \dots & x_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ x_{n1}& x_{n2}& \dots & x_{nn}\end{array}\right|=\det X(t)$

Вронскианом системы из

Теорема: Если ${\bar{X}}_1,\dots ,{\bar{X}}_n$ линейно зависимы, то $W(t)\equiv 0$.

Теорема (Критерий линейной независимости решений системы) ${\bar{X}}_1,\dots ,{\bar{X}}_n$ линейной однородной системы были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского не был равен нулю: $W[{\bar{X}}_1,\dots ,{\bar{X}}_n](t)\ne 0\forall t\in [a,b]$ Следствие: Равенство определителя Вронского нулю хотя бы в одной точке для решений ЛОС является критерием их линейной зависимости.

Для того чтобы решения

Структура общего решения $n$ линейно независимых решений однородной системы ${\bar{X}}_1,\dots ,{\bar{X}}_n$ представляют собой базис пространства решений и называются Фундаментальной системой решений (ФСР).

Любые

Общее решение однородной системы (2): ${\bar{X}}_{oo}(t)=C_1{\bar{X}}_1(t)+C_2{\bar{X}}_2(t)+\cdots +C_n{\bar{X}}_n(t)$

Общее решение неоднородной системы (1): Равно сумме общего решения однородной системы и любого частного решения неоднородной: ${\bar{X}}_{он}(t)={\bar{X}}_{oo}(t)+{\bar{X}}_{\text{чн}}(t)$

Нормальные системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами (Матричный метод Эйлера) ^2-16-constant-coeff-systems

Рассмотрим линейную однородную систему, где матрица коэффициентов $A$ состоит из постоянных чисел: $\frac{d\bar{X}}{dt}=A\bar{X}(5)$

Будем искать частное решение системы в виде: $\bar{X}(t)=e^{\lambda t}\cdot \bar{V}$ где $\lambda$ — некоторое число (возможно, комплексное), а $\bar{V}=(v_1,\dots ,v_n{)}^T$ — ненулевой вектор-столбец констант.

Подставим эту конструкцию в систему (5). Производная: ${\bar{X}}^{\prime }=\lambda e^{\lambda t}\bar{V}$. $\lambda e^{\lambda t}\bar{V}=A(e^{\lambda t}\bar{V})$ Так как $e^{\lambda t}\ne 0$, сократим на него и перенесем всё в одну сторону (где $E$ — единичная матрица): $(A-\lambda E)\bar{V}=\bar{0}$ Это классическая задача линейной алгебры! Чтобы однородная СЛАУ имела нетривиальное (ненулевое) решение $\bar{V}$, её определитель должен быть равен нулю. Мы получаем характеристическое уравнение матрицы: $\det (A-\lambda E)=0$ Числа ${\lambda }_i$, являющиеся корнями этого уравнения, называются собственными значениями матрицы $A$. Векторы ${\bar{V}}_i$, соответствующие этим числам, называются собственными векторами.

Построение ФСР в зависимости от корней $\lambda$ Случай 1. Корни действительные и различные Пусть ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{R}$ и ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$. Каждому ${\lambda }_i$ соответствует свой собственный вектор ${\bar{V}}_i$. Они образуют ФСР: ${\bar{X}}_1=e^{{\lambda }_{1}t}{\bar{V}}_1,{\bar{X}}_2=e^{{\lambda }_{2}t}{\bar{V}}_2,\dots {\bar{X}}_n=e^{{\lambda }_{n}t}{\bar{V}}_n$ Общее решение: ${\bar{X}}_{oo}=C_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{\bar{V}}_1+\cdots +C_n{e}^{{\lambda }_{n}t}{\bar{V}}_n$

Случай 2. Комплексно-сопряженные корни Пусть ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta$ — пара комплексных корней. Им соответствует пара комплексно-сопряженных собственных векторов ${\bar{V}}_{1,2}=\bar{U}\pm i\bar{W}$. Подставляя это в экспоненту и применяя формулу Эйлера ($e^{i\beta t}=\cos \beta t+i\sin \beta t$), мы разделяем комплексное решение на действительную и мнимую части. Эти две части дают два независимых действительных решения ФСР: ${\widetilde{\stackrel{ˉ}{X}}}_1=e^{\alpha t}(\bar{U}\cos \beta t-\bar{W}\sin \beta t)$ ${\widetilde{\stackrel{ˉ}{X}}}_2=e^{\alpha t}(\bar{U}\sin \beta t+\bar{W}\cos \beta t)$

Случай 3. Кратные корни Если корень $\lambda$ имеет кратность $k$, то решение для этого корня ищется в виде вектор-многочлена степени $k-1$: $\bar{X}=e^{\lambda t}({\bar{B}}_0+{\bar{B}}_{1}t+\cdots +{\bar{B}}_{k-1}{t}^{k-1})$ Векторы коэффициентов ${\bar{B}}_j$ находятся методом неопределенных коэффициентов при подстановке в исходную систему (либо методом присоединенных векторов).

Пример (Решение системы 2x2, разобранное на доске) ${\bar{X}}^{\prime }=A\bar{X},\text{где }A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$

Решить систему:

1. Характеристическое уравнение: $|A-\lambda E|=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 2\\ 2& 1-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda {)}^2-4=0$ $(1-\lambda {)}^2=4⟹1-\lambda =\pm 2⟹{\lambda }_1=3,{\lambda }_2=-1$.

2. Ищем собственные векторы ${\bar{V}}_i=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$:

Для ${\lambda }_1=3$: Подставляем в матрицу $(A-3E)$: $\left(\begin{array}{cc}1-3& 2\\ 2& 1-3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)⟹\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ Уравнение: $-2a+2b=0⟹a=b$. Возьмем $a=1,b=1$. Собственный вектор ${\bar{V}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$. Частное решение: ${\bar{X}}_1=e^{3t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}^{3t}\\ e^{3t}\end{array}\right)$.

Для ${\lambda }_2=-1$: Подставляем в матрицу $(A-(-1)E)$: $\left(\begin{array}{cc}1+1& 2\\ 2& 1+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)⟹\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ Уравнение: $2a+2b=0⟹a=-b$. Возьмем $a=1,b=-1$. Собственный вектор ${\bar{V}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$. Частное решение: ${\bar{X}}_2=e^{-t}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}^{-t}\\ -e^{-t}\end{array}\right)$.

3. Общее решение: ${\bar{X}}_{oo}=C_1{\bar{X}}_1+C_2{\bar{X}}_2=C_1{e}^{3t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+C_2{e}^{-t}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{C}_1{e}^{3t}+C_2{e}^{-t}\\ C_1{e}^{3t}-C_2{e}^{-t}\end{array}\right)$

В скалярном виде ответ выглядит так: $\{\begin{array}{l}{x}_1(t)=C_1{e}^{3t}+C_2{e}^{-t}\\ x_2(t)=C_1{e}^{3t}-C_2{e}^{-t}\end{array}$