РК1

1. Определенный интеграл – определение, геометрический смысл, формулировка теоремы существования.

Определение (через предел интегральной суммы): Пусть функция $f(x)$ определена на отрезке $[a,b]$.

1. Произвольным образом разобьём отрезок $[a,b]$ на $n$ частичных отрезков точками $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$. Данное множество точек называется разбиением $T$.
2. Обозначим длину каждого отрезка $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$, а максимальную длину — диаметром разбиения $\lambda (T)={\max }_i\Delta x_i$.
3. На каждом отрезке выберем произвольную точку ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$. Множество этих точек называется выборкой $\xi =\{{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n\}$.

Сумма вида ${\sigma }_T(f,\xi )={\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$ называется интегральной суммой Римана для разбиения $T$ и выборки $\xi$.

Если существует конечный предел $I$, к которому стремится интегральная сумма при стремлении диаметра разбиения к нулю ($\lambda (T)\to 0$), и этот предел не зависит от способа разбиения $T$ и выбора точек $\xi$, то функция $f(x)$ называется интегрируемой на $[a,b]$, а число $I$ — определенным интегралом: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{\lambda (T)\to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$

$\forall \epsilon >0\exists \delta >0:\forall T(\lambda (T)<\delta ),\forall \xi \in {\Delta }_i⟹\left|{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i-I\right|<\epsilon$

Геометрический смысл: Если $f(x)\ge 0$ на $[a,b]$, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $OX$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Теорема существования (Критерий интегрируемости Дарбу): Для того чтобы ограниченная на $[a,b]$ функция $f(x)$ была интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы предел разности верхней ($S_T$) и нижней ($s_T$) сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю был равен нулю: ${\lim }_{\lambda (T)\to 0}(S_T-s_T)=0$ где $S_T={\sum }_{i=1}^n{\sup }_{\Delta x_i}(f)\cdot \Delta x_i$ и $s_T={\sum }_{i=1}^n{\inf }_{\Delta x_i}(f)\cdot \Delta x_i$.

2. Сформулировать основные свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, монотонность).

1. Линейность: Если функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на $[a,b]$ ($f,g\in R([a,b])$), то для любых констант $\alpha$ и $\beta$ их линейная комбинация также интегрируема на $[a,b]$, причем: ${\int }_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$

2. Аддитивность (по отрезку интегрирования): Если функция интегрируема на наибольшем из отрезков, составленных из точек $a,b,c$, то она интегрируема и на двух других, причем справедливо равенство (независимо от взаимного расположения точек): ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$

3. Монотонность (Сохранение неравенства): Если функции $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы на $[a,b]$, и для любого $x\in [a,b]$ выполняется неравенство $f(x)\le g(x)$, то: ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$ (В частности, если $f(x)\ge 0$, то ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$).

3. Интеграл с переменным верхним пределом.

Определение: Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ ($f\in R([a,b])$), то для любого значения $x\in [a,b]$ определена функция, которая называется интегралом с переменным верхним пределом: $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$

Свойства:

1. Если $f(x)\in R([a,b])$, то функция $F(x)$ непрерывна на $[a,b]$ ($F(x)\in C([a,b])$).
2. Если $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$ ($f(x)\in C([a,b])$), то $F(x)$ является непрерывно дифференцируемой на $[a,b]$ ($F(x)\in C^{|}([a,b])$), и её производная равна подынтегральной функции: $F^{\prime }(x)=f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

4. Сформулировать и доказать теорему об оценке определенного интеграла.

Теорема: Пусть функция $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$ и существуют константы $m$ и $M$ такие, что $m\le f(x)\le M$ для всех $x\in [a,b]$. Тогда справедлива оценка: $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$

Доказательство: По условию задано двойное неравенство: $m\le f(x)\le M$. В силу свойства монотонности (интегрирования неравенств) определенного интеграла, проинтегрируем все части этого неравенства по отрезку $[a,b]$: ${\int }_a^{b}mdx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}Mdx$ Константы $m$ и $M$ можно вынести за знак интеграла: $m{\int }_a^{b}dx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M{\int }_a^{b}dx$ Так как ${\int }_a^{b}dx=x{|}_a^b=b-a$, получаем: $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$ Ч.т.д.

5. Сформулировать и доказать теорему о среднем значении.

Теорема: Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ ($f\in C([a,b])$). Тогда существует хотя бы одна точка $c\in [a,b]$ такая, что: ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$

Доказательство: Так как $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, по первой теореме Вейерштрасса она ограничена на нем, то есть достигает своего минимума $m$ и максимума $M$. Применим теорему об оценке интеграла: $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$ Разделим все части на положительное число $(b-a)$: $m\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le M$ Обозначим центральную дробь за число $\mu$. Очевидно, что $\mu \in [m,M]$. Так как $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$, то по второй теореме Вейерштрасса (о прохождении непрерывной функции через все промежуточные значения) существует такая точка $c\in [a,b]$, что $f(c)=\mu$. Заменим $\mu$ на $f(c)$: $f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$ Ч.т.д.

6. Сформулировать и доказать теорему об оценке модуля определенного интеграла.

Теорема: Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ ($a<b$), то функция $|f(x)|$ также интегрируема на $[a,b]$, и модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля: $\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$

Доказательство:

1. Интегрируемость $|f(x)|$ следует из того, что разность точных граней модуля функции на любом подотрезке не превышает разности точных граней самой функции.
2. Составим интегральную сумму для функции $f(x)$: ${\sigma }_T(f)={\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$. Воспользуемся известным свойством модуля суммы (модуль суммы не превосходит суммы модулей): $\left|{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\right|\le {\sum }_{i=1}^n|f({\xi }_i)|\Delta x_i$ Левая часть — это модуль интегральной суммы функции $f(x)$, а правая — интегральная сумма функции $|f(x)|$: $|{\sigma }_T(f)|\le {\sigma }_T(|f|)$ Перейдём к пределу при диаметре разбиения $\lambda (T)\to 0$. Так как функции интегрируемы, пределы сумм совпадают с определенными интегралами: ${\lim }_{\lambda \to 0}|{\sigma }_T(f)|\le {\lim }_{\lambda \to 0}{\sigma }_T(|f|)\Rightarrow \left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$ Ч.т.д.

7. Сформулировать и доказать теорему о производной от интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема: Если функция $f(t)$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ и непрерывна в точке $x\in [a,b]$, то функция $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ дифференцируема в этой точке, причем её производная равна: $F^{\prime }(x)=f(x)$

Доказательство: Зададим аргументу $x$ приращение $\Delta x$ так, чтобы $x+\Delta x\in [a,b]$. Найдем приращение функции $F(x)$: $\Delta F=F(x+\Delta x)-F(x)={\int }_a^{x+\Delta x}f(t)dt-{\int }_a^{x}f(t)dt$ По свойству аддитивности определенного интеграла: $\Delta F={\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt$. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: $\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}{\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt$ Применим к полученному интегралу теорему о среднем значении. Существует точка $\xi$ между $x$ и $x+\Delta x$ такая, что: ${\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt=f(\xi )\cdot (x+\Delta x-x)=f(\xi )\Delta x$ Подставим это выражение: $\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{f(\xi )\Delta x}{\Delta x}=f(\xi )$ Перейдем к пределу при $\Delta x\to 0$. Так как точка $\xi$ лежит между $x$ и $x+\Delta x$, по теореме о двух милиционерах при $\Delta x\to 0$ точка $\xi \to x$. В силу непрерывности функции $f(t)$ в точке $x$, предел ${\lim }_{\xi \to x}f(\xi )=f(x)$. Следовательно: $F^{\prime }(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta F}{\Delta x}={\lim }_{\xi \to x}f(\xi )=f(x)$ Ч.т.д.

8. Сформулировать признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода для знакоположительных функций. Доказать предельный признак сравнения.

Признаки сходимости (Интегралы 1-го рода, предел $+\infty$): Пусть $f(x)\ge 0,g(x)\ge 0$ определены на $[a,+\infty )$ и интегрируемы на любом отрезке $[a,\xi ]$.

1. Признак сравнения: Если $f(x)\le g(x)$ для всех $x\ge a$, то:
   • Из сходимости ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ следует сходимость ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$.
   • Из расходимости ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ следует расходимость ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$.
2. Предельный признак сравнения: Если существует конечный предел ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=k$ ($0<k<+\infty$), то интегралы ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ и ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство предельного признака сравнения: По определению предела функции на бесконечности ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=k$. На языке кванторов это означает: $\forall \epsilon >0\exists M>a:\forall x>M⟹\left|\frac{f(x)}{g(x)}-k\right|<\epsilon$ Раскрываем модуль: $k-\epsilon <\frac{f(x)}{g(x)}<k+\epsilon$ Выберем конкретное $\epsilon =\frac{k}{2}>0$. Тогда для всех $x>M$ выполняется: $\frac{k}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{3k}{2}$ Так как функция $g(x)\ge 0$, домножим все части неравенства на $g(x)$: $\frac{k}{2}g(x)<f(x)<\frac{3k}{2}g(x)$ Проинтегрируем неравенства на отрезке $[M,\xi ]$ (где $\xi >M$): $\frac{k}{2}{\int }_M^{\xi }g(x)dx\le {\int }_M^{\xi }f(x)dx\le \frac{3k}{2}{\int }_M^{\xi }g(x)dx$ При переходе к пределу $\xi \to +\infty$:

• Левое неравенство: по признаку сравнения, если ${\int }_M^{+\infty }g(x)dx$ расходится, то расходится и ${\int }_M^{+\infty }f(x)dx$. Если $f(x)$ сходится, то сходится $g(x)$.
• Правое неравенство: по признаку сравнения, если ${\int }_M^{+\infty }g(x)dx$ сходится, то сходится и ${\int }_M^{+\infty }f(x)dx$. Если $f(x)$ расходится, то расходится $g(x)$. Сходимость несобственного интеграла зависит только от поведения функции на бесконечном “хвосте” $[M,+\infty )$. Значит, ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ и ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ ведут себя абсолютно одинаково. Ч.т.д.

9. Сформулировать признаки сходимости несобственных интегралов 2-го рода для знакоположительных функций. Доказать предельный признак сравнения.

Признаки сходимости (Интегралы 2-го рода, точка разрыва $b$): Пусть $f(x)\ge 0,g(x)\ge 0$ непрерывны на $[a,b)$ и имеют бесконечный разрыв в точке $b$.

1. Признак сравнения: Если $f(x)\le g(x)$ для всех $x\in [a,b)$, то:
   • Из сходимости ${\int }_a^{b}g(x)dx$ следует сходимость ${\int }_a^{b}f(x)dx$.
   • Из расходимости ${\int }_a^{b}f(x)dx$ следует расходимость ${\int }_a^{b}g(x)dx$.
2. Предельный признак сравнения: Если существует конечный предел ${\lim }_{x\to b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=k$ ($0<k<+\infty$), то интегралы ${\int }_a^{b}f(x)dx$ и ${\int }_a^{b}g(x)dx$ сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство предельного признака сравнения: По определению левостороннего предела в точке $b$: ${\lim }_{x\to b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=k$. На языке кванторов это записывается так: $\forall \epsilon >0\exists \delta >0:\forall x(b-\delta <x<b)⟹\left|\frac{f(x)}{g(x)}-k\right|<\epsilon$ Раскрываем модуль: $k-\epsilon <\frac{f(x)}{g(x)}<k+\epsilon$ Выберем $\epsilon =\frac{k}{2}>0$. Тогда в интервале $(b-\delta ,b)$ выполняется: $\frac{k}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{3k}{2}$ Умножим все части на $g(x)>0$: $\frac{k}{2}g(x)<f(x)<\frac{3k}{2}g(x)$ Проинтегрируем неравенство на отрезке $[c,\xi ]$, где $c=b-\delta$, а $\xi \to b-0$: $\frac{k}{2}{\int }_c^{\xi }g(x)dx\le {\int }_c^{\xi }f(x)dx\le \frac{3k}{2}{\int }_c^{\xi }g(x)dx$ Из полученного неравенства по базовому признаку сравнения следует:

• Из левого неравенства: расходимость интеграла от $g(x)$ влечет расходимость интеграла от $f(x)$, а сходимость $f(x)$ влечет сходимость $g(x)$.
• Из правого неравенства: сходимость интеграла от $g(x)$ влечет сходимость интеграла от $f(x)$, а расходимость $f(x)$ влечет расходимость $g(x)$. Так как добавление конечного интервала $[a,c]$ не влияет на факт сходимости, несобственные интегралы ${\int }_a^{b}f(x)dx$ и ${\int }_a^{b}g(x)dx$ сходятся или расходятся одновременно. Ч.т.д.

10. Вывести формулу для вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ox.

Условие: Задана криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции $f(x)\ge 0$, прямыми $x=a,x=b$ и осью абсцисс $OX$. Фигура вращается вокруг оси $OX$. Вывод формулы (Метод дисков):

1. Разобьём отрезок $[a,b]$ на $n$ элементарных отрезков точками $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$. Ширина каждого отрезка $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$.
2. Внутри каждого отрезка выберем точку ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$. Построим прямоугольник с основанием $\Delta x_i$ и высотой $f({\xi }_i)$.
3. При вращении этого прямоугольника вокруг оси $OX$ образуется элементарный цилиндр (диск).
4. Радиус основания этого цилиндра равен значению функции $R=f({\xi }_i)$, а высота цилиндра равна $\Delta x_i$. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V=\pi R^{2}H$, следовательно, объем элементарного диска: $\Delta V_i\approx \pi f^2({\xi }_i)\Delta x_i$
5. Объем всего тела вращения приближенно равен сумме объемов этих дисков (интегральной сумме): $V_{OX}\approx {\sum }_{i=1}^n\pi f^2({\xi }_i)\Delta x_i$
6. Переходя к пределу при длине максимального отрезка $\lambda \to 0$, интегральная сумма стремится к определенному интегралу. Итоговая формула: $V_{OX}=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$

11. Вывести формулу для вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy.

Условие: Та же криволинейная трапеция ($f(x)\ge 0,x\in [a,b]$) вращается вокруг оси $OY$ ($a\ge 0$). Вывод формулы (Метод цилиндрических оболочек):

1. Аналогично разобьем $[a,b]$ на $n$ отрезков шириной $\Delta x_i$ и выберем точки ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$.
2. Построим прямоугольник с основанием $\Delta x_i$ и высотой $f({\xi }_i)$. При вращении этого прямоугольника вокруг оси $OY$ образуется полый цилиндрический слой (кольцо/оболочка).
3. Найдем объем этой оболочки. Если её мысленно «разрезать» и развернуть на плоскость, она будет представлять собой прямоугольный параллелепипед:
   • Длина параллелепипеда равна длине окружности вращения: $L=2\pi R=2\pi {\xi }_i$.
   • Высота равна значению функции: $H=f({\xi }_i)$.
   • Толщина равна ширине отрезка: $\Delta x_i$.
4. Элементарный объем оболочки равен произведению измерений: $\Delta V_i\approx 2\pi {\xi }_{i}f({\xi }_i)\Delta x_i$
5. Суммируя объемы всех слоев, получаем интегральную сумму: $V_{OY}\approx {\sum }_{i=1}^{n}2\pi {\xi }_{i}f({\xi }_i)\Delta x_i$
6. Переходя к пределу при $\lambda \to 0$, получаем точное значение объема через интеграл. Итоговая формула: $V_{OY}=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$

12. Вывести формулу для вычисления площади криволинейного сектора, заданного в полярной системе координат.

Условие: Фигура ограничена непрерывной кривой, заданной в полярных координатах уравнением $r=r(\phi )$, и двумя лучами $\phi =\alpha$ и $\phi =\beta$. Вывод формулы:

1. Зададим малое приращение полярного угла $\Delta \phi$. Рассмотрим элементарный криволинейный сектор, ограниченный лучами $\phi$ и $\phi +\Delta \phi$.
2. При малом $\Delta \phi$ площадь этого криволинейного сектора $\Delta S$ приближенно равна площади треугольника, образованного радиус-векторами $r(\phi )$ и $r(\phi +\Delta \phi )$. Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними: $\Delta S\approx \frac{1}{2}r(\phi )r(\phi +\Delta \phi )\sin (\Delta \phi )$
3. Разделим левую и правую части на $\Delta \phi$ и перейдем к пределу при $\Delta \phi \to 0$: ${\lim }_{\Delta \phi \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta \phi }={\lim }_{\Delta \phi \to 0}\left[\frac{1}{2}r(\phi )r(\phi +\Delta \phi )\frac{\sin (\Delta \phi )}{\Delta \phi }\right]$
4. Вычислим предел правой части. В силу непрерывности кривой $r(\phi +\Delta \phi )\to r(\phi )$. По первому замечательному пределу $\frac{\sin (\Delta \phi )}{\Delta \phi }\to 1$.
5. Получаем, что производная площади по углу равна: $S^{\prime }(\phi )=\frac{1}{2}{r}^2(\phi )\Rightarrow dS=\frac{1}{2}{r}^2(\phi )d\phi$
6. Проинтегрировав дифференциал площади по всем углам от $\alpha$ до $\beta$, получим искомую площадь. Итоговая формула: $S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\phi )d\phi$

13. Определение длины дуги плоской кривой. Вывести формулу для вычисления длины дуги, заданной в декартовой, в полярной системах координат, заданной параметрически.

Определение: Длиной дуги кривой $L$ называется предел длины вписанной в эту кривую ломаной линии при условии, что длина наибольшего её звена стремится к нулю.

1. Вывод в декартовой системе координат: Кривая задана функцией $y=f(x)$, $x\in [a,b]$. Разобьем отрезок $[a,b]$ на $n$ частей. По теореме Пифагора длина элементарного звена ломаной равна: $\Delta l_i=\sqrt{\Delta x_i^2+\Delta y_i^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)}^2}\Delta x_i$ По теореме Лагранжа о конечных приращениях на отрезке $\Delta x_i$ существует точка ${\xi }_i$, для которой $\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}=f^{\prime }({\xi }_i)$. Тогда $\Delta l_i=\sqrt{1+(f^{\prime }({\xi }_i){)}^2}\Delta x_i$. Суммируем длины звеньев и переходим к пределу $\lambda \to 0$: $L={\int }_a^b\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$

2. Вывод при параметрическом задании: Кривая задана $x=x(t),y=y(t)$, $t\in [\alpha ,\beta ]$. Используем формулу для декартовых координат и сделаем замену переменной. Производная $y_x^{\prime }=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$. Дифференциал $dx=x_t^{\prime }dt$. Подставим в интеграл: $L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{1+{\left(\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}\right)}^2}{x}_t^{\prime }dt={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\frac{(x_t^{\prime }{)}^2+(y_t^{\prime }{)}^2}{(x_t^{\prime }{)}^2}}{x}_t^{\prime }dt$ Сокращая $x_t^{\prime }$, получаем: $L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}dt$

3. Вывод в полярной системе координат: Кривая задана уравнением $r=r(\phi )$. Перейдем к параметрическому виду, считая параметром угол $\phi$: $x(\phi )=r(\phi )\cos \phi \Rightarrow x^{\prime }=r^{\prime }\cos \phi -r\sin \phi$ $y(\phi )=r(\phi )\sin \phi \Rightarrow y^{\prime }=r^{\prime }\sin \phi +r\cos \phi$ Подставим $x^{\prime }$ и $y^{\prime }$ в подкоренное выражение параметрической формулы: $(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=(r^{\prime }\cos \phi -r\sin \phi {)}^2+(r^{\prime }\sin \phi +r\cos \phi {)}^2$ Раскрыв квадраты и приведя подобные (${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1$), получим: $(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=(r^{\prime }{)}^2+r^2$ Подставляя это под корень, получаем формулу: $L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{(r(\phi ){)}^2+(r^{\prime }(\phi ){)}^2}d\phi$ `

---

1. Площадь плоской фигуры ( $S$)

Система координат	Формула	Пояснение
Декартова	$S={\int }_a^b(f_2(x)-f_1(x))dx$	$f_2(x)$ — верхняя кривая, $f_1(x)$ — нижняя.
Параметрическая	$S={\int }_{t_1}^{t_2}y(t)x^{\prime }(t)dt$	Границы $t_1,t_2$ соответствуют $x=a$ и $x=b$. Обход контура против часовой стрелки. Если $x(t)$ убывает, ставится модуль или меняются границы.
Полярная	$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\phi )d\phi$	Фигура ограничена лучами $\phi =\alpha$ и $\phi =\beta$.

2. Длина дуги кривой ( $L$)

Система координат	Формула	Пояснение
Декартова	$L={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{\prime }(x){)}^2}dx$	Дуга от $x=a$ до $x=b$.
Параметрическая	$L={\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}dt$	Дуга от $t_1$ до $t_2$.
Полярная	$L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\phi )+(r^{\prime }(\phi ){)}^2}d\phi$	Дуга от $\phi =\alpha$ до $\phi =\beta$.

3. Объем тела вращения ( $V$)

Ось вращения	Декартовы координаты	Параметрические	Полярные
Вокруг $OX$	$V_x=\pi {\int }_a^b{y}^2(x)dx$	$V_x=\pi {\int }_{t_1}^{t_2}{y}^2(t)\Vert x^{\prime }(t)\Vert dt$	$V_x=\frac{2\pi }{3}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^3(\phi )\sin \phi d\phi$
Вокруг $OY$ (через $x$ - оболочки)	$V_y=2\pi {\int }_a^{b}x\cdot y(x)dx$	$V_y=2\pi {\int }_{t_1}^{t_2}x(t)y(t)\Vert x^{\prime }(t)\Vert dt$	$V_y=\frac{2\pi }{3}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^3(\phi )\cos \phi d\phi$
Вокруг $OY$ (через $y$ - диски)	$V_y=\pi {\int }_c^d{x}^2(y)dy$	$V_y=\pi {\int }_{t_1}^{t_2}{x}^2(t)\Vert y^{\prime }(t)\Vert dt$	—

(Примечание: для оси $OY$ метод оболочек применяется, когда фигура прилегает к оси $OX$, а метод дисков — когда фигура прилегает к оси $OY$. Модули производных ставятся, чтобы объем гарантированно получился положительным, если пределы расставлены от меньшего к большему).

4. Площадь поверхности вращения ( $S_{\text{пов}}$)

Общий принцип: $S=2\pi \int R_{\text{вращ}}\cdot dl$, где $dl$ — дифференциал длины дуги.

| Система координат | Вокруг $OX$ ($R_{\text{вр}}=\Vert y\Vert$) | Вокруг $OY$ ($R_{\text{вр}}=\Vert x\Vert$) | | :------------------ | :--------------------------------------------------------------------------- | :--------------------------------------------------------------------------- | | Декартовы | $S_x=2\pi {\int }_a^b\Vert y(x)\Vert \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$ | $S_y=2\pi {\int }_a^b\Vert x\Vert \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$ | | Параметрич. | $S_x=2\pi {\int }_{t_1}^{t_2}\Vert y(t)\Vert \sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}dt$ | $S_y=2\pi {\int }_{t_1}^{t_2}\Vert x(t)\Vert \sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}dt$ | | Полярные | $S_x=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }\Vert r\sin \phi \Vert \sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\phi$ | $S_y=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }\Vert r\cos \phi \Vert \sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\phi$ |

---

1. Кардиоида и Улитка Паскаля

Базовая функция: $r=a+b\cos (\theta )$ (для оси X) или $r=a+b\sin (\theta )$ (для оси Y).

• Параметр $a$: базовый радиус фигуры.
• Параметр $b$: коэффициент растяжения/искажения.
• Зависимость от соотношения $a$ и $b$:
  • $a=b$: Строгая кардиоида. В начале координат формируется ровно один острый «клюв» (точка возврата).
  • $a<b$: Улитка с внутренней петлей. Чем больше $b$ по отношению к $a$, тем шире становится внутренняя петля.
  • $a>b$: Сглаженная улитка. Петля пропадает, вместо нее появляется вмятина. Если $a\ge 2b$, вмятина исчезает полностью, и фигура становится выпуклой (напоминает сплюснутый круг).

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  % Оси
  \draw[->] (-2,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$};
 
  % Кардиоида a=1, b=1 (Красная)
  \draw[color=red, thick, domain=0:360, samples=100] 
    plot ({(1 + 1*cos(\x))*cos(\x)}, {(1 + 1*cos(\x))*sin(\x)});
 
  % Улитка с петлей a=1, b=2 (Синяя)
  \draw[color=blue, thick, domain=0:360, samples=100] 
    plot ({(1 + 2*cos(\x))*cos(\x)}, {(1 + 2*cos(\x))*sin(\x)});
 
  % Сглаженная улитка a=2, b=1 (Черный пунктир)
  \draw[color=black, thick, dashed, domain=0:360, samples=100] 
    plot ({(2 + 1*cos(\x))*cos(\x)}, {(2 + 1*cos(\x))*sin(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{document}

2. Полярные розы (Лепестки)

Базовая функция: $r=a\cos (k\theta )$ или $r=a\sin (k\theta )$.

• Параметр $a$: определяет длину каждого лепестка (габаритный размер всей «розы»).
• Параметр $k$: определяет количество лепестков.
  • Если $k$ — нечетное целое число (1, 3, 5…), график будет иметь ровно $k$ лепестков.
  • Если $k$ — четное целое число (2, 4, 6…), график будет иметь ровно $2k$ лепестков (например, при $k=2$ их 4).
  • Если $k$ — дробное число, лепестки начинают перекрывать друг друга. Чем больше знаменатель дроби, тем плотнее сетка лепестков и тем больше полных оборотов нужно сделать, чтобы линия замкнулась.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
  % Оси
  \draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above] {$y$};
 
  % 4 лепестка (k=2)
  \draw[color=red, thick, domain=0:360, samples=150] 
    plot ({cos(2*\x)*cos(\x)}, {cos(2*\x)*sin(\x)});
 
  % 3 лепестка (k=3)
  \draw[color=blue, thick, domain=0:180, samples=100] 
    plot ({cos(3*\x)*cos(\x)}, {cos(3*\x)*sin(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{document}

3. Астроида и Эллипс

• Эллипс ($x=a\cos (t),y=b\sin (t)$):
  • Параметр $a$: определяет ширину фигуры (расстояние от центра вправо и влево).
  • Параметр $b$: определяет высоту фигуры (расстояние от центра вверх и вниз).
  • Если $a=b$, эллипс становится идеальной окружностью.
• Астроида ($x=a{\cos }^3(t),y=a{\sin }^3(t)$):
  • Параметр $a$: определяет общий размер фигуры (расстояние от центра до концов четырех острых лучей). Возведение тригонометрических функций в куб «вдавливает» стороны круга к центру, формируя ромб с вогнутыми гранями.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
  % Оси
  \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node[above] {$y$};
 
  % Астроида
  \draw[color=purple, thick, domain=0:360, samples=100] 
    plot ({(cos(\x))^3}, {(sin(\x))^3});
 
  % Эллипс 1 (горизонтальный 2x1)
  \draw[color=teal, thick, domain=0:360, samples=100] 
    plot ({2*cos(\x)}, {1*sin(\x)});
 
  % Эллипс 2 (вертикальный 1x3)
  \draw[color=magenta, thick, dashed, domain=0:360, samples=100] 
    plot ({1*cos(\x)}, {3*sin(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{document}

4. Циклоида

Базовая функция: $x=r(t-\sin t),y=r(1-\cos t)$. Описывает траекторию точки на ободе катящегося колеса.

• Параметр $r$: радиус этого воображаемого колеса.
  • Высота каждой арки графика всегда строго равна $2r$ (диаметру колеса).
  • Ширина одной арки (шаг по оси X) всегда равна $2\pi r$ (длине окружности колеса).
  • При изменении $r$ график меняется пропорционально: увеличение $r$ в 2 раза делает арки в 2 раза выше и в 2 раза шире.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
  % Оси
  \draw[->] (-1,0) -- (15,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-1) -- (0,4) node[above] {$y$};
 
  % Циклоида r=1
  \draw[color=blue, thick, domain=0:720, samples=100] 
    plot ({1*(\x*pi/180 - sin(\x))}, {1*(1 - cos(\x))});
 
  % Циклоида r=1.5
  \draw[color=red, thick, domain=0:720, samples=100] 
    plot ({1.5*(\x*pi/180 - sin(\x))}, {1.5*(1 - cos(\x))});
\end{tikzpicture}
\end{document}

5. Архимедова спираль и полярные окружности

• Архимедова спираль ($r=a+b\theta$):
  • Параметр $a$: смещение начала спирали. Если $a=0$, спираль стартует из точки (0,0). Если $a>0$, начало отодвигается от центра.
  • Параметр $b$: шаг спирали. Расстояние между любыми двумя соседними витками всегда постоянно и равно $2\pi b$. Чем больше $b$, тем быстрее спираль «раскручивается».
• Полярные окружности ($r=D\sin (\theta )$ или $r=D\cos (\theta )$):
  • Параметр $D$: задает диаметр окружности.
  • Использование $\sin (\theta )$ генерирует окружность, край которой касается начала координат (0,0), а сама она лежит на оси Y (вытянута вверх или вниз в зависимости от знака $D$).
  • Использование $\cos (\theta )$ делает то же самое, но вытягивает окружность вдоль оси X.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  % Оси
  \draw[->] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2) -- (0,4) node[above] {$y$};
 
  % Архимедова спираль (растет линейно с углом)
  \draw[color=green!50!black, thick, domain=0:1440, samples=200] 
    plot ({0.15*(\x*pi/180)*cos(\x)}, {0.15*(\x*pi/180)*sin(\x)});
 
  % Окружность r = 3*sin(t) - сдвинута вверх по оси Y
  \draw[color=red, thick, domain=0:180, samples=100] 
    plot ({3*sin(\x)*cos(\x)}, {3*sin(\x)*sin(\x)});
 
  % Окружность r = 3*cos(t) - сдвинута вправо по оси X
  \draw[color=blue, thick, domain=-90:90, samples=100] 
    plot ({3*cos(\x)*cos(\x)}, {3*cos(\x)*sin(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{document}