РК2

1. Определение линейно зависимой и линейно независимой систем функций.

Определение: Функции $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$, определенные на отрезке $[a,b]$, называются линейно зависимыми, если существуют такие константы ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{R}$, не все равные нулю (т.е. ${\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2+\cdots +{\lambda }_n^2\ne 0$), что их линейная комбинация тождественно равна нулю на всем отрезке: ${\lambda }_1{y}_1(x)+{\lambda }_2{y}_2(x)+\cdots +{\lambda }_n{y}_n(x)\equiv 0\forall x\in [a,b]$

Функции называются линейно независимыми, если указанное тождество выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю: ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$. (Критерий: функции линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией остальных).

2. Сформулировать теорему о вронскиане линейно зависимой системы функций.

Теорема: Если система функций $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$ линейно зависима на отрезке $[a,b]$ (при условии, что функции имеют непрерывные производные до $(n-1)$-го порядка включительно, т.е. $y_i\in C^{(n-1)}([a,b])$), то её определитель Вронского (Вронскиан) тождественно равен нулю на этом отрезке: $W[y_1,y_2,\dots ,y_n](x)\equiv 0\forall x\in [a,b]$ (Замечание: обратное утверждение в общем случае неверно для произвольных функций).

3. Сформулировать теорему о вронскиане линейно независимой системы частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Теорема: Пусть $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$ — система линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) $n$-го порядка на отрезке $[a,b]$ (при выполнении условий регулярности: непрерывность коэффициентов и $a_0(x)\ne 0$). Тогда их определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка: $W[y_1,y_2,\dots ,y_n](x)\ne 0\forall x\in [a,b]$

4. Сформулировать теорему о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Теорема: Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) $n$-го порядка (коэффициенты которого непрерывны и $a_0(x)\ne 0$ на $[a,b]$) существует фундаментальная система решений (ФСР), то есть система из $n$ линейно независимых частных решений. Обоснование из доказательства: Существование ФСР доказывается построением. Выбирается произвольная точка $x_0\in [a,b]$ и задаются $n$ специальных наборов начальных условий, образующих единичную матрицу. По теореме Коши для каждого набора существует единственное решение. Вронскиан этих решений в точке $x_0$ равен 1 (так как определитель единичной матрицы равен 1), следовательно, $W\ne 0$, и эти $n$ решений образуют ФСР.

5. Сформулировать теорему о размерности пространства решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Теорема: Множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения $n$-го порядка (при выполнении условий регулярности) образует линейное пространство. Размерность этого пространства решений в точности равна $n$ (порядку уравнения). (Это означает, что базис этого пространства состоит ровно из $n$ линейно независимых функций — фундаментальной системы решений).

6. Сформулировать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Теорема: Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) $L(y)=f(x)$ равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения (ЛОДУ) $L(y)=0$ и любого частного решения данного неоднородного уравнения. Записывается в виде: $y_{\text{он}}(x)=y_{\text{оо}}(x)+y_{\text{чн}}(x)$ где $y_{\text{оо}}(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\cdots +C_n{y}_n(x)$ (здесь $y_i$ — фундаментальная система решений ЛОДУ).

7. Написать формулу Остроградского - Лиувилля.

Для линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка, приведенного к стандартному виду: $y^{\prime \prime }+p_1(x)y^{\prime }+p_2(x)y=0$ Определитель Вронского двух любых его решений вычисляется по формуле Остроградского-Лиувилля: $W(x)=W(x_0)\cdot e^{-{\int }_{x_0}^x{p}_1(t)dt}$ где $x_0\in [a,b]$ — произвольная фиксированная точка.

---

8, 9 и 10 ещё не было на лекциях, наверное будет 21.05.

8. Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка по известному частному решению.

Пусть задано линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) 2-го порядка в стандартном виде: $y^{\prime \prime }+p_1(x)y^{\prime }+p_2(x)y=0$ и известно одно его нетривиальное частное решение $y_1(x)\ne 0$.

Чтобы построить общее решение $y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$, нужно найти второе частное решение $y_2(x)$ такое, чтобы функции $y_1$ и $y_2$ были линейно независимы. Воспользуемся формулой Остроградского-Лиувилля для Вронскиана: $W(x)=y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime }=C{e}^{-\int p_1(x)dx}$ Положим константу $C=1$. Разделим обе части полученного уравнения на $y_1^2(x)$: $\frac{y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime }}{y_1^2}=\frac{e^{-\int p_1(x)dx}}{y_1^2}$ Заметим, что левая часть есть не что иное, как производная частного: ${\left(\frac{y_2}{y_1}\right)}^{\prime }=\frac{e^{-\int p_1(x)dx}}{y_1^2(x)}$ Проинтегрируем обе части и выразим $y_2(x)$ (полагая постоянную интегрирования равной нулю, так как нам нужно любое одно частное решение): $y_2(x)=y_1(x)\int \frac{e^{-\int p_1(x)dx}}{y_1^2(x)}dx$ Итог: Общее решение строится по формуле: $y_{\text{оо}}(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_1(x)\int \frac{e^{-\int p_1(x)dx}}{y_1^2(x)}dx$

9. Написать формулы общего решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае: а) простых действительных корней; б) кратных корней; в) комплексных корней.

Задано ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами $p,q\in \mathbb{R}$: $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ Ему соответствует алгебраическое характеристическое уравнение: ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$ Вид общего решения зависит от корней ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ этого характеристического уравнения:

а) Простые (различные) действительные корни Если дискриминант $D>0$, то корни ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\in \mathbb{R}$. Фундаментальная система решений (ФСР): $y_1=e^{{\lambda }_{1}x},y_2=e^{{\lambda }_{2}x}$. Общее решение: $y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$

б) Кратные действительные корни Если $D=0$, то корни совпадают: ${\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda \in \mathbb{R}$. ФСР: $y_1=e^{\lambda x},y_2=x{e}^{\lambda x}$. Общее решение: $y=C_1{e}^{\lambda x}+C_{2}x{e}^{\lambda x}=e^{\lambda x}(C_1+C_{2}x)$

в) Комплексно-сопряженные корни Если $D<0$, то корни являются комплексно-сопряженными числами: ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta$ (где $\alpha =-p/2$, $\beta =\sqrt{|D|}/2$, $i^2=-1$). Переходя от комплексных экспонент к вещественным функциям по формуле Эйлера, получаем ФСР: $y_1=e^{\alpha x}\cos (\beta x),y_2=e^{\alpha x}\sin (\beta x)$. Общее решение: $y=e^{\alpha x}(C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x))$

10. Сформулировать теорему о наложении частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения (принцип суперпозиции).

Теорема (о наложении решений / принцип суперпозиции): Пусть задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) $n$-го порядка, правая часть которого представляет собой сумму двух функций: $L_n(y)=f_1(x)+f_2(x)$ Если функция $y_1(x)$ является частным решением уравнения $L_n(y)=f_1(x)$, а функция $y_2(x)$ является частным решением уравнения $L_n(y)=f_2(x)$, то функция: $y(x)=y_1(x)+y_2(x)$ является частным решением исходного уравнения $L_n(y)=f_1(x)+f_2(x)$.

(Более широкая формулировка: Если правая часть ЛНДУ есть линейная комбинация функций ${\sum }_{k=1}^m{\alpha }_k{f}_k(x)$, то частное решение этого уравнения равно линейной комбинации ${\sum }_{k=1}^m{\alpha }_k{y}_k(x)$, где $y_k(x)$ — частные решения уравнений $L_n(y)=f_k(x)$).

---

11. Сформулировать теоремы о свойствах частных решений линейных однородного и неоднородного дифференциальных уравнений.

Пусть задан линейный дифференциальный оператор $L_n(y)$. Рассмотрим ЛНДУ $L_n(y)=f(x)$ и соответствующее ЛОДУ $L_n(y)=0$. Теоремы о свойствах решений:

1. Сумма (или разность) любых двух решений однородного уравнения также является решением этого однородного уравнения.
2. Разность любых двух решений неоднородного уравнения является решением соответствующего однородного уравнения.
3. Сумма решения однородного уравнения и решения неоднородного уравнения является решением неоднородного уравнения. (Эти свойства напрямую вытекают из линейности оператора: $L_n(y_1\pm y_2)=L_n(y_1)\pm L_n(y_2)$).