1. Определение линейно зависимой и линейно независимой систем функций.
Определение: Функции , определенные на отрезке , называются линейно зависимыми, если существуют такие константы , не все равные нулю (т.е. ), что их линейная комбинация тождественно равна нулю на всем отрезке:
Функции называются линейно независимыми, если указанное тождество выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю: . (Критерий: функции линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией остальных).
2. Сформулировать теорему о вронскиане линейно зависимой системы функций.
Теорема: Если система функций линейно зависима на отрезке (при условии, что функции имеют непрерывные производные до -го порядка включительно, т.е. ), то её определитель Вронского (Вронскиан) тождественно равен нулю на этом отрезке: (Замечание: обратное утверждение в общем случае неверно для произвольных функций).
3. Сформулировать теорему о вронскиане линейно независимой системы частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.
Теорема: Пусть — система линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) -го порядка на отрезке (при выполнении условий регулярности: непрерывность коэффициентов и ). Тогда их определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка:
4. Сформулировать теорему о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Теорема: Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) -го порядка (коэффициенты которого непрерывны и на ) существует фундаментальная система решений (ФСР), то есть система из линейно независимых частных решений. Обоснование из доказательства: Существование ФСР доказывается построением. Выбирается произвольная точка и задаются специальных наборов начальных условий, образующих единичную матрицу. По теореме Коши для каждого набора существует единственное решение. Вронскиан этих решений в точке равен 1 (так как определитель единичной матрицы равен 1), следовательно, , и эти решений образуют ФСР.
5. Сформулировать теорему о размерности пространства решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Теорема: Множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка (при выполнении условий регулярности) образует линейное пространство. Размерность этого пространства решений в точности равна (порядку уравнения). (Это означает, что базис этого пространства состоит ровно из линейно независимых функций — фундаментальной системы решений).
6. Сформулировать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Теорема: Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения (ЛОДУ) и любого частного решения данного неоднородного уравнения. Записывается в виде: где (здесь — фундаментальная система решений ЛОДУ).
7. Написать формулу Остроградского - Лиувилля.
Для линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка, приведенного к стандартному виду: Определитель Вронского двух любых его решений вычисляется по формуле Остроградского-Лиувилля: где — произвольная фиксированная точка.
8, 9 и 10 ещё не было на лекциях, наверное будет 21.05.
8. Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка по известному частному решению.
Пусть задано линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) 2-го порядка в стандартном виде: и известно одно его нетривиальное частное решение .
Чтобы построить общее решение , нужно найти второе частное решение такое, чтобы функции и были линейно независимы. Воспользуемся формулой Остроградского-Лиувилля для Вронскиана: Положим константу . Разделим обе части полученного уравнения на : Заметим, что левая часть есть не что иное, как производная частного: Проинтегрируем обе части и выразим (полагая постоянную интегрирования равной нулю, так как нам нужно любое одно частное решение): Итог: Общее решение строится по формуле:
9. Написать формулы общего решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае: а) простых действительных корней; б) кратных корней; в) комплексных корней.
Задано ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами : Ему соответствует алгебраическое характеристическое уравнение: Вид общего решения зависит от корней этого характеристического уравнения:
а) Простые (различные) действительные корни Если дискриминант , то корни . Фундаментальная система решений (ФСР): . Общее решение:
б) Кратные действительные корни Если , то корни совпадают: . ФСР: . Общее решение:
в) Комплексно-сопряженные корни Если , то корни являются комплексно-сопряженными числами: (где , , ). Переходя от комплексных экспонент к вещественным функциям по формуле Эйлера, получаем ФСР: . Общее решение:
10. Сформулировать теорему о наложении частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения (принцип суперпозиции).
Теорема (о наложении решений / принцип суперпозиции): Пусть задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) -го порядка, правая часть которого представляет собой сумму двух функций: Если функция является частным решением уравнения , а функция является частным решением уравнения , то функция: является частным решением исходного уравнения .
(Более широкая формулировка: Если правая часть ЛНДУ есть линейная комбинация функций , то частное решение этого уравнения равно линейной комбинации , где — частные решения уравнений ).
11. Сформулировать теоремы о свойствах частных решений линейных однородного и неоднородного дифференциальных уравнений.
Пусть задан линейный дифференциальный оператор . Рассмотрим ЛНДУ и соответствующее ЛОДУ . Теоремы о свойствах решений:
- Сумма (или разность) любых двух решений однородного уравнения также является решением этого однородного уравнения.
- Разность любых двух решений неоднородного уравнения является решением соответствующего однородного уравнения.
- Сумма решения однородного уравнения и решения неоднородного уравнения является решением неоднородного уравнения. (Эти свойства напрямую вытекают из линейности оператора: ).