Линейная Алгебра и Функции Нескольких Переменных

Модуль I. Линейная Алгебра

---

---

---

Лекция №1.1.1-10.02.2026

LEGIT CHECK

Запись координат векторов и элементов

$\vec{x}=(x_1,\dots ,x_n{)}^T=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\ne (x_1,\dots ,x_n)$ Элементы множеств записываются с чёрточкой сверху: $\bar{x}$

Линейное пространство ^1-1-1-space-section

Определение - Линейное пространство $V$ элементов $\bar{x},\bar{y},\bar{z}\dots$ любой природы называют линейным пространством, если выполнены следующие условия:

Множество

1. На множестве $V$ определена операция ==сложения== элементов, то есть каждой паре элементов $\bar{x}$ и $\bar{y}$ поставлен в соответствие элемент $\bar{z}\in V$, обозначаемый $\bar{z}=\bar{x}+\bar{y}$, и называемый суммой элементов $\bar{x}$ и $\bar{y}$.
2. Для элементов множества $V$ определена операция ==умножения на действительное число==, то есть каждому элементу $\forall \bar{x}\in V$ поставлен в соответствие элемент $\bar{z}\in V$, обозначаемый $\lambda \bar{x}=\bar{z}$, и называемый произведением элемента $\bar{x}$ на действительное число $\lambda$.

Указанные операции — линейные операции — подчиняются аксиомам линейного пространства:

Аксиомы линейного пространства

1. $\bar{x}+\bar{y}=\bar{y}+\bar{x}$ (коммутативность).
2. $(\bar{x}+\bar{y})+\bar{z}=\bar{x}+(\bar{y}+\bar{z})$ (ассоциативность сложения).
3. $\exists \bar{\theta }\in V:\forall \bar{x}\in V,\bar{x}+\bar{\theta }=\bar{x}$ (существование нуля).
4. $\forall \bar{x}\in V,\exists {\bar{x}}^{\prime }:\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime }=\bar{\theta }$ (существование противоположного элемента).

---

5. $1\cdot \bar{x}=\bar{x}$ (унитарность).
6. $\alpha (\beta \bar{x})=(\alpha \beta )\bar{x}$ (ассоциативность умножения).
7. $(\alpha +\beta )\bar{x}=\alpha \bar{x}+\beta \bar{x}$ (дистрибутивность по скалярам).
8. $\alpha (\bar{x}+\bar{y})=\alpha \bar{x}+\alpha \bar{y}$ (дистрибутивность по векторам).

Свойства линейного пространства (Следствия)

1. Свойство: Если $\exists \bar{\theta }$, то он единственный.

   Доказательство: Пусть ${\bar{\theta }}_1$ и ${\bar{\theta }}_2$ — нейтральные элементы. $\begin{array}{c}\Downarrow \\ \begin{array}{l}{\bar{\theta }}_1+{\bar{\theta }}_2={\bar{\theta }}_1\\ {\bar{\theta }}_1+{\bar{\theta }}_2={\bar{\theta }}_2+{\bar{\theta }}_1={\bar{\theta }}_2\end{array}\}\Rightarrow {\bar{\theta }}_1={\bar{\theta }}_2\end{array}$

2. Свойство: Если $\bar{x}\in V$, то $\exists$ единственный противоположный элемент ${\bar{x}}^{\prime }\in V$.

   Доказательство: Пусть элементы ${\bar{x}}^{\prime }\in V$ и ${\bar{x}}^{\prime \prime }\in V$ — противоположные элементу $\bar{x}\in V$. $\begin{array}{l}{\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime }={\bar{x}}^{\prime \prime }+(\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime })={\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{\theta }={\bar{x}}^{\prime \prime }\\ {\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime }=({\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{x})+{\bar{x}}^{\prime }=(\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime \prime })+{\bar{x}}^{\prime }=\bar{\theta }+{\bar{x}}^{\prime }={\bar{x}}^{\prime }+\bar{\theta }={\bar{x}}^{\prime }\end{array}\}\Rightarrow {\bar{x}}^{\prime }={\bar{x}}^{\prime \prime }$

3. Свойство: Если ${\bar{x}}^{\prime }$ противоположный к $\bar{x}$, то ${\bar{x}}^{\prime }=(-1)\bar{x}$.
4. Свойство: $\forall$ вещественных $\alpha$ и $\bar{\theta }:\alpha \cdot \bar{\theta }=\bar{\theta }$.
5. Свойство: Из равенства $\alpha \bar{x}=\bar{\theta }\Rightarrow \{\begin{array}{l}\text{либо }\alpha =0\\ \text{либо }\bar{x}=\bar{\theta }\end{array}$.

Определение - Разность Разностью== $\bar{x}-\bar{y}$ элементов $\bar{x},\bar{y}\in V$ называют такой элемент $\bar{z}\in V$, что выполняется равенство $\bar{x}=\bar{y}+\bar{z}$.

==

Линейная зависимость и независимость ^1-1-1-lindep-section

Определение - Линейная зависимость и независимость $x_1,\dots ,x_n$ линейного пространства $V$ называют ==линейно зависимой==, если найдутся такие числа ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$, не все равные $0$, что: ${\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_n{x}_n=\bar{\theta }(1)$ Если равенство $(1)$ выполняется лишь при условии, что все ${\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_n=0$, то система ==линейно независима==.

Систему элементов

Теорема (Критерий линейной зависимости) Чтобы система была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих элементов являлся линейно комбинацией остальных.

Доказательство: Пусть дана система элементов $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

1. Необходимость ($\Rightarrow$) Дано: система $x_1,x_2,\dots ,x_n$ линейно зависима. Доказать: один из элементов выражается через остальные.

1. По определению линейной зависимости существуют ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$, не все равные нулю, такие что: ${\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n=\bar{\theta }$
2. Пусть ${\alpha }_k\ne 0$ (хотя бы один такой коэффициент существует).
3. Перенесем слагаемое ${\alpha }_k{x}_k$ в правую часть: ${\alpha }_k{x}_k=-{\alpha }_1{x}_1-\cdots -{\alpha }_{k-1}{x}_{k-1}-{\alpha }_{k+1}{x}_{k+1}-\cdots -{\alpha }_n{x}_n$
4. Разделим на ${\alpha }_k\ne 0$: $x_k=\left(-\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_k}\right)x_1+\cdots +\left(-\frac{{\alpha }_{k-1}}{{\alpha }_k}\right)x_{k-1}+\cdots +\left(-\frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_k}\right)x_n$
5. Полученное выражение является линейной комбинацией остальных элементов.

2. Достаточность ($\Leftarrow$) Дано: один из элементов — $x_k$ — является линейной комбинацией остальных. Доказать: система $x_1,x_2,\dots ,x_n$ линейно зависима.

1. По условию: $x_k={\beta }_1{x}_1+\cdots +{\beta }_{k-1}{x}_{k-1}+{\beta }_{k+1}{x}_{k+1}+\cdots +{\beta }_n{x}_n$
2. Перенесем $x_k$ в правую часть к остальным элементам: ${\beta }_1{x}_1+\cdots +{\beta }_{k-1}{x}_{k-1}+(-1)x_k+{\beta }_{k+1}{x}_{k+1}+\cdots +{\beta }_n{x}_n=\bar{\theta }$
3. Мы получили линейную комбинацию, равную нулевому вектору, в которой коэффициент при $x_k=-1\ne 0$.
4. Следовательно, по определению, система элементов линейно зависима.

Свойства линейной зависимости/независимости элементов

1. Если среди системы элементов ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ $(2)$ найдётся хотя бы один нулевой элемент, то система $(2)$ линейно зависима.
2. Система элементов $(2)$, содержащая линейно зависимую подсистему элементов, линейно зависима.
3. Если система $(2)$ линейно независима, то любая её подсистема тоже будет линейно независима.

Замечание

Понятия и свойства линейной зависимости и независимости элементов пространства переносится на матрицы-столбцы их координат.

Базис и координаты ^1-1-1-basis-section

Определение - Базис ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ линейного пространства $V$ называют его ==базисом==, если эти элементы линейно независимы и каждый элемент из пространства $V$ можно представить в виде их ==линейной комбинации== — разложить по элементам базиса.

Упорядоченную систему элементов

Для $\bar{x}=x_1{\bar{b}}_1+\cdots +x_n{\bar{b}}_n$ справедливо:

1. ${\bar{b}}_1,\dots ,{\bar{b}}_n$ — базис.
2. $x_1,\dots ,x_n$ — координаты $\bar{x}$ в $\{\bar{b}\}$. > > --- Обозначения:
3. Базис: $\{\bar{b}\}=({\bar{b}}_1,\dots ,{\bar{b}}_n)$
4. Координаты: $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$
5. $\bar{x}=\{\bar{b}\}X$

Теорема о единственности разложения элемента по базису Если разложение вектора по векторам базиса существует, то оно единственное.

Доказательство (от противного): Пусть $e_1,e_2,\dots ,e_n$ — базис линейного пространства $V$. Предположим, что вектор $x$ имеет два различных разложения по этому базису: 5. $x={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_n{e}_n$ 6. $x={\beta }_1{e}_1+{\beta }_2{e}_2+\cdots +{\beta }_n{e}_n$

Вычтем из первого равенства второе почленно: $x-x=({\alpha }_1-{\beta }_1)e_1+({\alpha }_2-{\beta }_2)e_2+\cdots +({\alpha }_n-{\beta }_n)e_n$ $\bar{\theta }=({\alpha }_1-{\beta }_1)e_1+({\alpha }_2-{\beta }_2)e_2+\cdots +({\alpha }_n-{\beta }_n)e_n$

Так как $e_1,\dots ,e_n$ — базис, то эти векторы линейно независимы. По определению линейной независимости, их линейная комбинация равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю: $\{\begin{array}{l}{\alpha }_1-{\beta }_1=0\Rightarrow {\alpha }_1={\beta }_1\\ {\alpha }_2-{\beta }_2=0\Rightarrow {\alpha }_2={\beta }_2\\ \dots \\ {\alpha }_n-{\beta }_n=0\Rightarrow {\alpha }_n={\beta }_n\end{array}$

Вывод: Координаты совпадают, предположение о двух разных разложениях неверно. Разложение единственно.

---

LEGIT CHECK

Подпространства и линейная оболочка ^2-1-2-subspace-section

Определение - Подпространство $L$ линейного пространства $V$ называется ==линейным подпространством==, если оно само является линейным пространством относительно операций, определенных в $V$.

Непустое подмножество

Критерий подпространства: Подмножество $L\subset V$ является подпространством $⟺$ выполнены два условия (замкнутость):

1. $\forall \bar{x},\bar{y}\in L\Rightarrow \bar{x}+\bar{y}\in L$
2. $\forall \bar{x}\in L,\forall \alpha \in \mathbb{R}\Rightarrow \alpha \bar{x}\in L$

Пример: Множество всех векторов в ${\mathbb{R}}^3$, лежащих в плоскости $Oxy$ ($z=0$), является подпространством.

Линейная оболочка $S=\{x_1,x_2,\dots ,x_k\}$ — система векторов из $V$. ==Линейной оболочкой== системы $S$ (обозначается $\mathcal{L}(x_1,\dots ,x_k)$ или $\text{span}(S)$) называется множество всех возможных линейных комбинаций этих векторов: $\mathcal{L}(S)=\{{\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_k{x}_k\mid {\alpha }_i\in \mathbb{R}\}$

Пусть

Свойство: Линейная оболочка $\mathcal{L}(S)$ является линейным подпространством в $V$. Более того, это наименьшее подпространство, содержащее векторы системы $S$.

Ранг системы векторов ^2-1-2-rank-section

Определение - Ранг Рангом системы векторов== называется максимальное число линейно независимых векторов в этой системе. Обозначается $r$ или $\text{rang}$.

==

Если система векторов записана в виде матрицы (по столбцам или строкам), то ранг этой системы векторов равен рангу матрицы.

Теорема о ранге системы векторов (Базисный минор) Ранг системы векторов не меняется при элементарных преобразованиях. Ранг системы векторов равен размерности их линейной оболочки: $\text{rang}(x_1,\dots ,x_k)=\dim \mathcal{L}(x_1,\dots ,x_k)$

Следствие $n$-мерного пространства равен $n$, то эта система векторов образует базис.

Если ранг системы из

---

Лекция №2.1.2-17.02.2026

LEGIT CHECK

Размерность линейного пространства ^2-1-2-dimension-section

Определение $n$ называется размерностью линейного пространства $V$ ($\dim V=n$) если в этом пространстве имеется $n$ линейно независимых элементов, а любой $n+1$ элемент будет линейно зависимым.

Натуральное число

---

Линейное пространство $V$, размерность которого равна $n$, называется $n$-мерным линейным пространством и обозначается $V_n$.

---

Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечно-мерным, а пространство, в котором существует любой сколько угодно большое число линейно независимых элементов, называется бесконечно-мерным пространством. В линейной алгебре изучаются конечно-мерные пространства.

Замечание тривиальным и считают, что его размерность равна $0$.

Если линейное пространство состоит из одного нулевого элемента, то это пространство называют

Замечание $n$-мерном линейном пространстве количество элементов в любом базисе одинаково и совпадает с размерностью линейного пространства.

В

Дополнение до базиса ^2-1-2-basis-completion-section

Теорема о дополнении базиса Пусть система $b_1,b_2,\dots ,b_k$ линейного пространства $V$, размерность которого равняется $n$, линейно независима, а $n>k$. Тогда в пространстве $V$ найдутся элементы $b_{k+1},b_{k+2},\dots ,b_n$, такие, что дополненная система $b_1,b_2,\dots ,b_k,b_{k+1},\dots ,b_n$ будет линейно независимой и образовывать базис.

Замечание. Способы проверки линейной зависимости/независимости элементов:

1. По определению
2. Определитель матрицы
3. Приведение матрицы к ступенчатому виду и оценка ранга

Изоморфизм ^2-1-2-isomorphism-section

Определение $2$ линейных пространства $V:x,y\in V$ и $V^{\prime }:x^{\prime },y^{\prime }\in V^{\prime }$ называются изоморфными $(V\sim V^{\prime })$, если между их элементами установлено взаимно однозначное соответствие, при котором:

• $x+y⟺x^{\prime }+y^{\prime }$
• $\alpha x⟺\alpha x^{\prime }$

Теорема об изоморфизме линейных пространств $2$ линейных пространства были изоморфны необходимо и достаточно чтобы они имели одну и ту же размерность.

Чтобы

Замена базиса ^2-1-2-basis-change-section

Определение - Базис $P$, столбцами которой являются координаты векторов нового базиса $G$ в старом базисе $F$, называется матрицей перехода от базиса $F$ к базису $G$.

Матрица

---

Пусть в $n$-мерном линейном пространстве $V$ заданы два базиса: Старый базис: $F=({\bar{f}}_1,{\bar{f}}_2,\dots ,{\bar{f}}_n)$ Новый базис: $G=({\bar{g}}_1,{\bar{g}}_2,\dots ,{\bar{g}}_n)$

Разложим векторы нового базиса ${\bar{g}}_i$ по элементам старого базиса ${\bar{f}}_i$:

$$\{\begin{array}{l}{\bar{g}}_1=P_{11}{\bar{f}}_1+P_{21}{\bar{f}}_2+\cdots +P_{n1}{\bar{f}}_n\\ {\bar{g}}_2=P_{12}{\bar{f}}_1+P_{22}{\bar{f}}_2+\cdots +P_{n2}{\bar{f}}_n\\ \dots \\ {\bar{g}}_n=P_{1n}{\bar{f}}_1+P_{2n}{\bar{f}}_2+\cdots +P_{nn}{\bar{f}}_n\end{array}$$

В матричном виде:

$$({\bar{g}}_1,{\bar{g}}_2,\dots ,{\bar{g}}_n)=({\bar{f}}_1,{\bar{f}}_2,\dots ,{\bar{f}}_n)\cdot \left(\begin{array}{cccc}{P}_{11}& P_{12}& \dots & P_{1n}\\ P_{21}& P_{22}& \dots & P_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ P_{n1}& P_{n2}& \dots & P_{nn}\end{array}\right)$$

Краткая матричная запись: $G=F\cdot P$

Свойства матрицы перехода

1. Свойство: Определитель матрицы перехода отличен от нуля ($\det P\ne 0$). Из этого также следует, что у матрицы $P$ всегда существует обратная матрица $P^{-1}$.

   Доказательство: Если бы определитель матрицы $P$ был равен $0$, то её столбцы были бы линейно зависимы. Так как столбцы матрицы $P$ — это столбцы координат векторов нового базиса ${\bar{g}}_1,\dots ,{\bar{g}}_n$ в старом базисе $F$, то сами векторы нового базиса оказались бы линейно зависимыми. Это противоречит определению базиса (базис — это всегда линейно независимая система). Следовательно, матрица $P$ невырождена ($\det P\ne 0$).

2. Свойство: Матрица $P^{-1}$ является матрицей перехода от нового базиса $G$ к старому базису $F$.

   Доказательство: Так как матрица $P$ невырождена, умножим левую и правую части равенства $G=F\cdot P$ на матрицу $P^{-1}$ справа: $G\cdot P^{-1}=F\cdot P\cdot P^{-1}\Rightarrow G\cdot P^{-1}=F\cdot E\Rightarrow F=G\cdot P^{-1}$ Это равенство означает, что столбцы матрицы $P^{-1}$ являются координатами элементов старого базиса $F$ относительно нового базиса $G$. По определению, $P^{-1}$ — матрица перехода от $G$ к $F$.

3. Свойство: Правило умножения матриц перехода. Пусть в линейном пространстве задано 3 базиса: $F$, $G$, $D$. Если $P$ — матрица перехода от $F$ к $G$, а $L$ — матрица перехода от $G$ к $D$, то матрицей перехода от $F$ к $D$ будет произведение матриц $P\cdot L$.

   Доказательство: По определению матрицы перехода имеем: $G=F\cdot P,D=G\cdot L$ Подставим выражение для $G$ во второе равенство: $D=(F\cdot P)\cdot L=F\cdot (P\cdot L)$ Следовательно, матрица $(P\cdot L)$ является матрицей перехода от базиса $F$ к базису $D$.

4. Свойство: Формула изменения координат вектора при переходе к новому базису. Старые координаты вектора выражаются через новые умножением матрицы перехода $P$ на столбец новых координат: $X=P\cdot X^{\prime }$.

   Доказательство: Пусть $\bar{x}\in V$. Обозначим столбец его координат в старом базисе $F$ как $X$, а в новом базисе $G$ как $X^{\prime }$. Запишем разложение вектора по обоим базисам в матричном виде: $\bar{x}=F\cdot X,\bar{x}=G\cdot X^{\prime }$ Приравняем правые части и подставим формулу связи базисов $G=F\cdot P$: $F\cdot X=G\cdot X^{\prime }=(F\cdot P)\cdot X^{\prime }=F\cdot (P\cdot X^{\prime })$ В силу теоремы о единственности разложения вектора по базису (коэффициенты при одинаковых базисных векторах ${\bar{f}}_i$ должны совпадать), столбцы координат равны: $X=P\cdot X^{\prime }$.

---

Лекция №3.1.3-17.02.2026

LEGIT CHECK

Линейные подпространства ^3-1-3-subspace-section

Линейные подпространства $W$ линейного пространства $V$ называют ==линейным подпространством== пространства $V$, если: $\forall \bar{x},\bar{y}\in W,\alpha \in \mathbb{R}\Rightarrow$

Непустое множество

1. $\bar{x}+\bar{y}\in W$
2. $\alpha \bar{x}\in W$

Замечание $V$ всегда имеется по крайней мере ==2 линейных подпространства==:

В любом линейном пространстве

1. Само линейное пространство $V$
2. Линейное пространство, состоящее из одного нулевого элемента $\bar{\theta }$ - такие подпространства называются тривиальными, а все остальные линейные подпространства называются собственными

Свойства линейных подпространств

1. Если ${\bar{x}}_1\dots {\bar{x}}_n\in W$, то ${\alpha }_1{\bar{x}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{x}}_n\in W$.
2. Линейное подпространство $W$ само является линейным пространством.
3. Размерность подпространства $W$ не превосходит размерность пространства $V$: $\dim W\le \dim V$

Сумма и пересечения линейных подпространств ^3-1-3-sum-intersect-section

Пусть $W_1,W_2$ - два линейных подпространства линейного пространства $V$

Определение - Сумма $W_1+W_2$ называют ==совокупность всевозможных $x\in W$==, которые могут быть представлены как $\bar{x}={\bar{x}}_1+{\bar{x}}_2$, где ${\bar{x}}_1\in W_1,{\bar{x}}_2\in W_2$

Суммой

Определение - Пересечения совокупность элементов пространства $V$==, одновременно принадлежащих $W_1$ и $W_2$

Пересечением двух линейных подпространств называют ==

Свойства $W_1+W_2$ является линейным подпространством пространства $V$. 5. Пересечение пространств $W_1\cap W_2$ является линейным подпространством пространства $V$.
6. Имеет место для размерности следующая формула: $\dim (W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim (W_1\cap W_2)$ - ==формула Грассмана==

4. Сумма линейных подпространств

Прямая сумма подпространств и её свойства ^3-1-3-direct-sum-section

Определение - Прямая сумма пересечения этих двух подпространств есть тривиальное множество==.

Сумма линейных подпространств называется прямой, если ==

Обозначение: $W_1\oplus W_2$

Свойства:

7. Прямая сумма двух линейных подпространств сама является линейным подпространством. 8. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей этих двух подпространств.

Линейная оболочка и её свойства ^3-1-3-span-section

Пусть в линейном пространстве $V$ задана система элементов ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ Рассмотрим в этом пространстве множество $X$, которое представляет собой линейную комбинацию этих элементов: $X:$ ${\alpha }_1{\bar{x}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{x}}_n$

Определение - Линейная оболочка $X$ линейного пространства $V$ называют совокупность всевозможных линейных комбинаций ${\alpha }_1{\bar{x}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{x}}_n$ для ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ Обозначается: $\mathrm{span}({\bar{x}}_1,...,{\bar{x}}_n)=L(X)$

Линейной оболочкой подмножества

Свойства $L(X)$ содержит в себе множество $X$ 10. Линейная оболочка $L(X)$ есть линейное подпространство пространства $V$ 11. Линейная оболочка $L(X)$ это наименьшее линейное подпространство, содержащее множество $X$

9. Линейная оболочка

Третье свойство следует понимать следующим образом: Если линейное подпространство $W$ содержит множество $X$, то $W$ содержит и его линейную оболочку $L(X)$

Из определения и свойств линейной оболочки следует, что ==каждое линейное подпространство есть линейная оболочка элементов своего базиса== и это является одним из возможных способов задания линейного подпространства.

Ранг системы элементов ^3-1-3-rank-section

Ранг системы векторов размерность линейной оболочки== этой системы элементов.

Рангом системы элементов в линейном пространстве называют ==

Ранг системы элементов ${\bar{a}}_1,\dots ,{\bar{a}}_n$ линейного пространства $V$ равен: 12. Максимальному количеству линейно независимых элементов этой системы. 13. Рангу матрицы, составленной из координатных столбцов этих элементов в каком-либо базисе линейного пространства $V$.

Евклидовы пространства ^3-1-3-euclidean-section

Евклидово пространство $E$ называют Евклидовым пространством, если любым элементам $\bar{x},\bar{y}\in E$ ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением, такое, что $\forall \bar{x},\bar{y},\bar{z}\dots$ и действительного числа $\alpha \in \mathbb{R}$ выполняются следующие условия:

Линейное пространство

Аксиомы евклидова пространства/скалярного произведения

1. $(\bar{x},\bar{y})=(\bar{y},\bar{x})$ - коммутативность или симметрия
2. $(\bar{x}+\bar{y},\bar{z})=(\bar{x},\bar{z})+(\bar{y},\bar{z})$ - дистрибутивность
3. $(\alpha \bar{x},\bar{y})=\alpha (\bar{x},\bar{y})$ - ассоциативность
4. $(\bar{x},\bar{x})\ge 0$, причём $(\bar{x},\bar{x})=0⟺\bar{x}=\bar{\theta }$

Замечание $(\bar{x},\bar{x})={\bar{x}}^2$ называют скалярным квадратом элемента $\bar{x}$

Замечание $V$ становится Евклидовым пространством, если в нём сохраняется скалярное произведение, введённое во множество $E$.

Всякое линейное пространство

Замечание $L$, задав при этом базис $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$ и предположив, что $\forall \bar{x},\bar{y}\in L$ представлены в виде разложения по элементам базиса $\bar{e}:$ $\begin{array}{c}\bar{x}={\alpha }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{e}}_n\bar{y}={\beta }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\beta }_n{\bar{e}}_n\end{array}$

Можно указать общий способ введения скалярного произведения в произвольном вещественном пространстве

В этом случае скалярное произведение элементов можно ввести, например, как сумму произведений коэффициентов ${\alpha }_k$ на ${\beta }_k$: $(\bar{x},\bar{y})={\alpha }_1{\beta }_1+\cdots +{\alpha }_n{\beta }_n={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i(1)$

При этом все аксиомы выполняются и линейное пространство $L$ со скалярным произведением $(1)$ является евклидовым.

Замечание $C[a,b]$ являются непрерывные функции $x(t)$ и $y(t)$, заданные на этом же отрезке $[a,b]$, то скалярным произведением таких функций будет интеграл их произведения: $(\bar{x},\bar{y})={\int }_a^{b}x(t)y(t)dt$

Если элементами линейного пространства

Замечание - Матрица Грама Разным базисам соответствуют разные скалярные произведения.

Пусть элементы $\bar{x},\bar{y}\in L$ и задаются своими координатами в некотором базисе $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)\in L$: $\bar{x}={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\bar{e}}_i\bar{y}={\sum }_{j=1}^n{y}_j{\bar{e}}_j$ Подставим эти соотношения в скалярное произведение элементов $X_1$ и применим в последующем аксиомы $2$ и $3$. Тогда получим: $(\bar{x},\bar{y})={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{x}_i{y}_j({\bar{e}}_i,{\bar{e}}_j)$ Правую часть этой формулы можно переписать в виде умножения матриц: $(\bar{x},\bar{y})=({\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n)\left(\begin{array}{ccc}({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_n)\\ \dots & \dots & \dots \\ ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_n)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ \dots \\ y_n\end{array}\right)=X^T\Gamma Y(2)$ Где $\Gamma =\left(\begin{array}{ccc}({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_n)\\ \dots & \dots & \dots \\ ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_n)\end{array}\right)(3)\text{ - Матрица Грама}$

Эта матрица обладает следующими свойствами:

1. Матрица $\Gamma$ является квадратной и при любом наборе элементов имеет определитель.
2. Матрица $\Gamma$ является симметрической, поскольку аксиома $1$ скалярного произведения позволяет переставлять местами элементы скалярного произведения. То есть $({\bar{e}}_i,{\bar{e}}_j)=({\bar{e}}_j,{\bar{e}}_i)$
3. Из симметрии матрицы $\Gamma$ следует, что ${\Gamma }^T=\Gamma$
4. Если элементы ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$ линейно независимы, то определитель матрицы $\Gamma$ будет положительным, а если они будут линейно зависимы, то определитель будет равен $0$.

Замечание $(\bar{x},\bar{y})$ ставится в соответствие число, соответствующее аксиоме.

Комплексное линейное пространство называют комплексным евклидовым или унитарным пространством, если в нём введена операция скалярного умножения элементов, и где произведению

Неравенство Коши-Буняковского ^3-1-3-cauchy-section

Теорема Для любых двух элементов $\bar{x},\bar{y}\in E$ справедливо неравенство, называемое неравенством Коши-Буняковского: $(\bar{x},\bar{y}{)}^2\le (\bar{x},\bar{x})(\bar{y},\bar{y})(\ast )$

Доказательство $(\ast )$ выполняется, согласно аксиоме, что $(\bar{\theta },\bar{y})=0$ Если скалярный квадрат не равен 0, то для любого действительного числа $\lambda$ выполняется: $\begin{array}{c}(\bar{x}-\lambda \bar{y},\bar{x}-\lambda \bar{y})\ge 0(\ast \ast )\\ (\bar{x},\bar{x})-2\lambda (\bar{x},\bar{y})+{\lambda }^2(\bar{y},\bar{y})\ge 0\\ \text{Получили в результате квадратный трёхчлен относительно λ,}\\ \text{значения которого неотрицательны при любых λ, в частности при λ=(yˉ,yˉ)(xˉ,yˉ)(∗∗∗)}\\ \text{Подставив λ}\\ \Downarrow \\ (\bar{x},\bar{x})-2\frac{(\bar{x},\bar{y})}{(\bar{y},\bar{y})}(\bar{x},\bar{y})+\frac{(\bar{x},\bar{y}{)}^2}{(\bar{y},\bar{y}{)}^2}(\bar{y},\bar{y})=(\bar{x},\bar{x})-\frac{(\bar{x},\bar{y}{)}^2}{(\bar{y},\bar{y})}\ge 0\\ \Downarrow \\ (\ast )\end{array}$

Если скалярный квадрат равен 0, то это нулевой элемент, и неравенство

Замечание $(\bar{x},\bar{y}{)}^2=(\bar{x},\bar{x})(\bar{y},\bar{y})$ достигается тогда и только тогда, когда векторы $\bar{x}$ и $\bar{y}$ линейно зависимы (коллинеарны), то есть $\bar{x}=\lambda \bar{y}$.

Знак равенства в неравенстве Коши-Буняковского

Замечание $\begin{array}{c}(\bar{x},\bar{y})={\alpha }_1{\beta }_1+\cdots +{\alpha }_n{\beta }_n=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i\\ \Downarrow \\ (\bar{x},\bar{x})=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2(\bar{y},\bar{y})=\sum _{i=1}^n{\beta }_i^2\\ \text{Тогда, с учётом этого, неравенство Коши-буняковского можно записать как:}\\ (\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i{)}^2\le (\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2)(\sum _{i=1}^n{\beta }_i^2)\end{array}$

Так как скалярное произведение двух элементов задаётся формулой

Замечание $C[a,b]$ $\begin{array}{c}(\bar{x},\bar{y})={\int }_a^{b}x(t)y(t)dt\\ {\left({\int }_a^{b}x(t)y(t)dt\right)}^2\le {\int }_a^b{x}^2(t)dt\cdot {\int }_a^b{y}^2(t)dt\\ \Uparrow \\ \text{Неравенство Шварца}\end{array}$

В линейном пространстве