Линейная Алгебра и Функции Нескольких Переменных

Модуль I. Линейная Алгебра

---

---

---

Лекция №1.1.1-10.02.2026

LEGIT CHECK

Запись координат векторов и элементов

$\vec{x}=(x_1,\dots ,x_n{)}^T=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\ne (x_1,\dots ,x_n)$ Элементы множеств записываются с чёрточкой сверху: $\bar{x}$

Линейное пространство ^1-1-1-space-section

Определение - Линейное пространство $V$ элементов $\bar{x},\bar{y},\bar{z}\dots$ любой природы называют линейным пространством, если выполнены следующие условия:

Множество

1. На множестве $V$ определена операция ==сложения== элементов, то есть каждой паре элементов $\bar{x}$ и $\bar{y}$ поставлен в соответствие элемент $\bar{z}\in V$, обозначаемый $\bar{z}=\bar{x}+\bar{y}$, и называемый суммой элементов $\bar{x}$ и $\bar{y}$.
2. Для элементов множества $V$ определена операция ==умножения на действительное число==, то есть каждому элементу $\forall \bar{x}\in V$ поставлен в соответствие элемент $\bar{z}\in V$, обозначаемый $\lambda \bar{x}=\bar{z}$, и называемый произведением элемента $\bar{x}$ на действительное число $\lambda$.

Указанные операции — линейные операции — подчиняются аксиомам линейного пространства:

Аксиомы линейного пространства

1. $\bar{x}+\bar{y}=\bar{y}+\bar{x}$ (коммутативность).
2. $(\bar{x}+\bar{y})+\bar{z}=\bar{x}+(\bar{y}+\bar{z})$ (ассоциативность сложения).
3. $\exists \bar{\theta }\in V:\forall \bar{x}\in V,\bar{x}+\bar{\theta }=\bar{x}$ (существование нуля).
4. $\forall \bar{x}\in V,\exists {\bar{x}}^{\prime }:\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime }=\bar{\theta }$ (существование противоположного элемента).

---

5. $1\cdot \bar{x}=\bar{x}$ (унитарность).
6. $\alpha (\beta \bar{x})=(\alpha \beta )\bar{x}$ (ассоциативность умножения).
7. $(\alpha +\beta )\bar{x}=\alpha \bar{x}+\beta \bar{x}$ (дистрибутивность по скалярам).
8. $\alpha (\bar{x}+\bar{y})=\alpha \bar{x}+\alpha \bar{y}$ (дистрибутивность по векторам).

Свойства линейного пространства (Следствия)

1. Свойство: Если $\exists \bar{\theta }$, то он единственный.

   Доказательство: Пусть ${\bar{\theta }}_1$ и ${\bar{\theta }}_2$ — нейтральные элементы. $\begin{array}{c}\Downarrow \\ \begin{array}{l}{\bar{\theta }}_1+{\bar{\theta }}_2={\bar{\theta }}_1\\ {\bar{\theta }}_1+{\bar{\theta }}_2={\bar{\theta }}_2+{\bar{\theta }}_1={\bar{\theta }}_2\end{array}\}\Rightarrow {\bar{\theta }}_1={\bar{\theta }}_2\end{array}$

2. Свойство: Если $\bar{x}\in V$, то $\exists$ единственный противоположный элемент ${\bar{x}}^{\prime }\in V$.

   Доказательство: Пусть элементы ${\bar{x}}^{\prime }\in V$ и ${\bar{x}}^{\prime \prime }\in V$ — противоположные элементу $\bar{x}\in V$. $\begin{array}{l}{\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime }={\bar{x}}^{\prime \prime }+(\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime })={\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{\theta }={\bar{x}}^{\prime \prime }\\ {\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime }=({\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{x})+{\bar{x}}^{\prime }=(\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime \prime })+{\bar{x}}^{\prime }=\bar{\theta }+{\bar{x}}^{\prime }={\bar{x}}^{\prime }+\bar{\theta }={\bar{x}}^{\prime }\end{array}\}\Rightarrow {\bar{x}}^{\prime }={\bar{x}}^{\prime \prime }$

3. Свойство: Если ${\bar{x}}^{\prime }$ противоположный к $\bar{x}$, то ${\bar{x}}^{\prime }=(-1)\bar{x}$.
4. Свойство: $\forall$ вещественных $\alpha$ и $\bar{\theta }:\alpha \cdot \bar{\theta }=\bar{\theta }$.
5. Свойство: Из равенства $\alpha \bar{x}=\bar{\theta }\Rightarrow \{\begin{array}{l}\text{либо }\alpha =0\\ \text{либо }\bar{x}=\bar{\theta }\end{array}$.

---

Определение - Разность Разностью== $\bar{x}-\bar{y}$ элементов $\bar{x},\bar{y}\in V$ называют такой элемент $\bar{z}\in V$, что выполняется равенство $\bar{x}=\bar{y}+\bar{z}$.

==

Линейная зависимость и независимость ^1-1-1-lindep-section

Определение - Линейная зависимость и независимость $x_1,\dots ,x_n$ линейного пространства $V$ называют ==линейно зависимой==, если найдутся такие числа ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$, не все равные $0$, что: ${\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_n{x}_n=\bar{\theta }(1)$ Если равенство $(1)$ выполняется лишь при условии, что все ${\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_n=0$, то система ==линейно независима==.

Систему элементов

Свойства линейной зависимости/независимости элементов

1. Если среди системы элементов ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ $(2)$ найдётся хотя бы один нулевой элемент, то система $(2)$ линейно зависима.
2. Система элементов $(2)$, содержащая линейно зависимую подсистему элементов, линейно зависима.
3. Если система $(2)$ линейно независима, то любая её подсистема тоже будет линейно независима.

Теорема (Критерий линейной зависимости) Чтобы система была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих элементов являлся линейно комбинацией остальных.

Доказательство: Пусть дана система элементов $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

1. Необходимость ($\Rightarrow$) Дано: система $x_1,x_2,\dots ,x_n$ линейно зависима. Доказать: один из элементов выражается через остальные.

1. По определению линейной зависимости существуют ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$, не все равные нулю, такие что: ${\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n=\bar{\theta }$
2. Пусть ${\alpha }_k\ne 0$ (хотя бы один такой коэффициент существует).
3. Перенесем слагаемое ${\alpha }_k{x}_k$ в правую часть: ${\alpha }_k{x}_k=-{\alpha }_1{x}_1-\cdots -{\alpha }_{k-1}{x}_{k-1}-{\alpha }_{k+1}{x}_{k+1}-\cdots -{\alpha }_n{x}_n$
4. Разделим на ${\alpha }_k\ne 0$: $x_k=\left(-\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_k}\right)x_1+\cdots +\left(-\frac{{\alpha }_{k-1}}{{\alpha }_k}\right)x_{k-1}+\cdots +\left(-\frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_k}\right)x_n$
5. Полученное выражение является линейной комбинацией остальных элементов.

2. Достаточность ($\Leftarrow$) Дано: один из элементов — $x_k$ — является линейной комбинацией остальных. Доказать: система $x_1,x_2,\dots ,x_n$ линейно зависима.

1. По условию: $x_k={\beta }_1{x}_1+\cdots +{\beta }_{k-1}{x}_{k-1}+{\beta }_{k+1}{x}_{k+1}+\cdots +{\beta }_n{x}_n$
2. Перенесем $x_k$ в правую часть к остальным элементам: ${\beta }_1{x}_1+\cdots +{\beta }_{k-1}{x}_{k-1}+(-1)x_k+{\beta }_{k+1}{x}_{k+1}+\cdots +{\beta }_n{x}_n=\bar{\theta }$
3. Мы получили линейную комбинацию, равную нулевому вектору, в которой коэффициент при $x_k=-1\ne 0$.
4. Следовательно, по определению, система элементов линейно зависима.

Замечание

Понятия и свойства линейной зависимости и независимости элементов пространства переносится на матрицы-столбцы их координат.

Базис и координаты ^1-1-1-basis-section

Определение - Базис ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ линейного пространства $V$ называют его ==базисом==, если эти элементы линейно независимы и каждый элемент из пространства $V$ можно представить в виде их ==линейной комбинации== — разложить по элементам базиса.

Упорядоченную систему элементов

Для $\bar{x}=x_1{\bar{b}}_1+\cdots +x_n{\bar{b}}_n$ справедливо:

1. ${\bar{b}}_1,\dots ,{\bar{b}}_n$ — базис.
2. $x_1,\dots ,x_n$ — координаты $\bar{x}$ в $\{\bar{b}\}$. > > --- Обозначения:
3. Базис: $\{\bar{b}\}=({\bar{b}}_1,\dots ,{\bar{b}}_n)$
4. Координаты: $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$
5. $\bar{x}=\{\bar{b}\}X$

Теорема о единственности разложения элемента по базису Если разложение вектора по векторам базиса существует, то оно единственное.

Доказательство (от противного): Пусть $e_1,e_2,\dots ,e_n$ — базис линейного пространства $V$. Предположим, что вектор $x$ имеет два различных разложения по этому базису:

1. $x={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_n{e}_n$
2. $x={\beta }_1{e}_1+{\beta }_2{e}_2+\cdots +{\beta }_n{e}_n$

Вычтем из первого равенства второе почленно: $x-x=({\alpha }_1-{\beta }_1)e_1+({\alpha }_2-{\beta }_2)e_2+\cdots +({\alpha }_n-{\beta }_n)e_n$ $\bar{\theta }=({\alpha }_1-{\beta }_1)e_1+({\alpha }_2-{\beta }_2)e_2+\cdots +({\alpha }_n-{\beta }_n)e_n$

Так как $e_1,\dots ,e_n$ — базис, то эти векторы линейно независимы. По определению линейной независимости, их линейная комбинация равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю: $\{\begin{array}{l}{\alpha }_1-{\beta }_1=0\Rightarrow {\alpha }_1={\beta }_1\\ {\alpha }_2-{\beta }_2=0\Rightarrow {\alpha }_2={\beta }_2\\ \dots \\ {\alpha }_n-{\beta }_n=0\Rightarrow {\alpha }_n={\beta }_n\end{array}$

Вывод: Координаты совпадают, предположение о двух разных разложениях неверно. Разложение единственно.

---

Лекция №2.1.2-17.02.2026

LEGIT CHECK

Размерность линейного пространства ^2-1-2-dimension-section

Определение $n$ называется размерностью линейного пространства $V$ ($\dim V=n$) если в этом пространстве имеется $n$ линейно независимых элементов, а любой $n+1$ элемент будет линейно зависимым.

Натуральное число

---

Линейное пространство $V$, размерность которого равна $n$, называется $n$-мерным линейным пространством и обозначается $V_n$.

---

Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечно-мерным, а пространство, в котором существует любой сколько угодно большое число линейно независимых элементов, называется бесконечно-мерным пространством. В линейной алгебре изучаются конечно-мерные пространства.

Замечание тривиальным и считают, что его размерность равна $0$.

Если линейное пространство состоит из одного нулевого элемента, то это пространство называют

Замечание $n$-мерном линейном пространстве количество элементов в любом базисе одинаково и совпадает с размерностью линейного пространства.

В

Дополнение до базиса ^2-1-2-basis-completion-section

Теорема о дополнении базиса Пусть система $b_1,b_2,\dots ,b_k$ линейного пространства $V$, размерность которого равняется $n$, линейно независима, а $n>k$. Тогда в пространстве $V$ найдутся элементы $b_{k+1},b_{k+2},\dots ,b_n$, такие, что дополненная система $b_1,b_2,\dots ,b_k,b_{k+1},\dots ,b_n$ будет линейно независимой и образовывать базис.

Замечание. Способы проверки линейной зависимости/независимости элементов:

1. По определению
2. Определитель матрицы
3. Приведение матрицы к ступенчатому виду и оценка ранга

Изоморфизм ^2-1-2-isomorphism-section

Определение $2$ линейных пространства $V:x,y\in V$ и $V^{\prime }:x^{\prime },y^{\prime }\in V^{\prime }$ называются изоморфными $(V\sim V^{\prime })$, если между их элементами установлено взаимно однозначное соответствие, при котором:

• $x+y⟺x^{\prime }+y^{\prime }$
• $\alpha x⟺\alpha x^{\prime }$

Теорема об изоморфизме линейных пространств $2$ линейных пространства были изоморфны необходимо и достаточно чтобы они имели одну и ту же размерность.

Чтобы

Замена базиса(Матрица перехода) ^2-1-2-basis-change-section

Определение - Матрица перехода $P$, столбцами которой являются координаты векторов нового базиса $G$ в старом базисе $F$, называется матрицей перехода от базиса $F$ к базису $G$.

Матрица

---

Пусть в $n$-мерном линейном пространстве $V$ заданы два базиса: Старый базис: $F=({\bar{f}}_1,{\bar{f}}_2,\dots ,{\bar{f}}_n)$ Новый базис: $G=({\bar{g}}_1,{\bar{g}}_2,\dots ,{\bar{g}}_n)$

Разложим векторы нового базиса ${\bar{g}}_i$ по элементам старого базиса ${\bar{f}}_i$:

$$\{\begin{array}{l}{\bar{g}}_1=P_{11}{\bar{f}}_1+P_{21}{\bar{f}}_2+\cdots +P_{n1}{\bar{f}}_n\\ {\bar{g}}_2=P_{12}{\bar{f}}_1+P_{22}{\bar{f}}_2+\cdots +P_{n2}{\bar{f}}_n\\ \dots \\ {\bar{g}}_n=P_{1n}{\bar{f}}_1+P_{2n}{\bar{f}}_2+\cdots +P_{nn}{\bar{f}}_n\end{array}$$

В матричном виде:

$$({\bar{g}}_1,{\bar{g}}_2,\dots ,{\bar{g}}_n)=({\bar{f}}_1,{\bar{f}}_2,\dots ,{\bar{f}}_n)\cdot \left(\begin{array}{cccc}{P}_{11}& P_{12}& \dots & P_{1n}\\ P_{21}& P_{22}& \dots & P_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ P_{n1}& P_{n2}& \dots & P_{nn}\end{array}\right)$$

Краткая матричная запись: $G=F\cdot P$

Свойства матрицы перехода

1. Свойство: Определитель матрицы перехода отличен от нуля ($\det P\ne 0$). Из этого также следует, что у матрицы $P$ всегда существует обратная матрица $P^{-1}$.

   Доказательство: Если бы определитель матрицы $P$ был равен $0$, то её столбцы были бы линейно зависимы. Так как столбцы матрицы $P$ — это столбцы координат векторов нового базиса ${\bar{g}}_1,\dots ,{\bar{g}}_n$ в старом базисе $F$, то сами векторы нового базиса оказались бы линейно зависимыми. Это противоречит определению базиса (базис — это всегда линейно независимая система). Следовательно, матрица $P$ невырождена ($\det P\ne 0$).

2. Свойство: Матрица $P^{-1}$ является матрицей перехода от нового базиса $G$ к старому базису $F$.

   Доказательство: Так как матрица $P$ невырождена, умножим левую и правую части равенства $G=F\cdot P$ на матрицу $P^{-1}$ справа: $G\cdot P^{-1}=F\cdot P\cdot P^{-1}\Rightarrow G\cdot P^{-1}=F\cdot E\Rightarrow F=G\cdot P^{-1}$ Это равенство означает, что столбцы матрицы $P^{-1}$ являются координатами элементов старого базиса $F$ относительно нового базиса $G$. По определению, $P^{-1}$ — матрица перехода от $G$ к $F$.

3. Свойство: Правило умножения матриц перехода. Пусть в линейном пространстве задано 3 базиса: $F$, $G$, $D$. Если $P$ — матрица перехода от $F$ к $G$, а $L$ — матрица перехода от $G$ к $D$, то матрицей перехода от $F$ к $D$ будет произведение матриц $P\cdot L$.

   Доказательство: По определению матрицы перехода имеем: $G=F\cdot P,D=G\cdot L$ Подставим выражение для $G$ во второе равенство: $D=(F\cdot P)\cdot L=F\cdot (P\cdot L)$ Следовательно, матрица $(P\cdot L)$ является матрицей перехода от базиса $F$ к базису $D$.

4. Свойство: Формула изменения координат вектора при переходе к новому базису. Старые координаты вектора выражаются через новые умножением матрицы перехода $P$ на столбец новых координат: $X=P\cdot X^{\prime }$.

   Доказательство: Пусть $\bar{x}\in V$. Обозначим столбец его координат в старом базисе $F$ как $X$, а в новом базисе $G$ как $X^{\prime }$. Запишем разложение вектора по обоим базисам в матричном виде: $\bar{x}=F\cdot X,\bar{x}=G\cdot X^{\prime }$ Приравняем правые части и подставим формулу связи базисов $G=F\cdot P$: $F\cdot X=G\cdot X^{\prime }=(F\cdot P)\cdot X^{\prime }=F\cdot (P\cdot X^{\prime })$ В силу теоремы о единственности разложения вектора по базису (коэффициенты при одинаковых базисных векторах ${\bar{f}}_i$ должны совпадать), столбцы координат равны: $X=P\cdot X^{\prime }$.

---

Лекция №3.1.3-24.02.2026

LEGIT CHECK

Линейные подпространства ^3-1-3-subspace-section

Линейные подпространства $W$ линейного пространства $V$ называют ==линейным подпространством== пространства $V$, если: $\forall \bar{x},\bar{y}\in W,\alpha \in \mathbb{R}\Rightarrow$

Непустое множество

1. $\bar{x}+\bar{y}\in W$
2. $\alpha \bar{x}\in W$

Замечание $V$ всегда имеется по крайней мере ==2 линейных подпространства==:

В любом линейном пространстве

1. Само линейное пространство $V$
2. Линейное пространство, состоящее из одного нулевого элемента $\bar{\theta }$ - такие подпространства называются тривиальными, а все остальные линейные подпространства называются собственными

Свойства линейных подпространств

1. Если ${\bar{x}}_1\dots {\bar{x}}_n\in W$, то ${\alpha }_1{\bar{x}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{x}}_n\in W$.
2. Линейное подпространство $W$ само является линейным пространством.
3. Размерность подпространства $W$ не превосходит размерность пространства $V$: $\dim W\le \dim V$

Сумма и пересечения линейных подпространств ^3-1-3-sum-intersect-section

Пусть $W_1,W_2$ - два линейных подпространства линейного пространства $V$

Определение - Сумма $W_1+W_2$ называют ==совокупность всевозможных $x\in W$==, которые могут быть представлены как $\bar{x}={\bar{x}}_1+{\bar{x}}_2$, где ${\bar{x}}_1\in W_1,{\bar{x}}_2\in W_2$

Суммой

Определение - Пересечения совокупность элементов пространства $V$==, одновременно принадлежащих $W_1$ и $W_2$

Пересечением двух линейных подпространств называют ==

Свойства

1. Сумма линейных подпространств $W_1+W_2$ является линейным подпространством пространства $V$.
2. Пересечение пространств $W_1\cap W_2$ является линейным подпространством пространства $V$.
3. Имеет место для размерности следующая формула: $\dim (W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim (W_1\cap W_2)$ - ==формула Грассмана==

Прямая сумма подпространств и её свойства ^3-1-3-direct-sum-section

Определение - Прямая сумма пересечения этих двух подпространств есть тривиальное множество==.

Сумма линейных подпространств называется прямой, если ==

Обозначение: $W_1\oplus W_2$

Свойства:

1. Прямая сумма двух линейных подпространств сама является линейным подпространством.
2. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей этих двух подпространств.

Линейная оболочка и её свойства ^3-1-3-span-section

Пусть в линейном пространстве $V$ задана система элементов ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ Рассмотрим в этом пространстве множество $X$, которое представляет собой линейную комбинацию этих элементов: $X:$ ${\alpha }_1{\bar{x}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{x}}_n$

Определение - Линейная оболочка $X$ линейного пространства $V$ называют совокупность всевозможных линейных комбинаций ${\alpha }_1{\bar{x}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{x}}_n$ для ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ Обозначается: $\mathrm{span}({\bar{x}}_1,...,{\bar{x}}_n)=L(X)$

Линейной оболочкой подмножества

Свойства

1. Линейная оболочка $L(X)$ содержит в себе множество $X$
2. Линейная оболочка $L(X)$ есть линейное подпространство пространства $V$
3. Линейная оболочка $L(X)$ это наименьшее линейное подпространство, содержащее множество $X$

Третье свойство следует понимать следующим образом: Если линейное подпространство $W$ содержит множество $X$, то $W$ содержит и его линейную оболочку $L(X)$

Из определения и свойств линейной оболочки следует, что ==каждое линейное подпространство есть линейная оболочка элементов своего базиса== и это является одним из возможных способов задания линейного подпространства.

Ранг системы элементов ^3-1-3-rank-section

Ранг системы векторов размерность линейной оболочки== этой системы элементов.

Рангом системы элементов в линейном пространстве называют ==

Ранг системы элементов ${\bar{a}}_1,\dots ,{\bar{a}}_n$ линейного пространства $V$ равен:

1. Максимальному количеству линейно независимых элементов этой системы.
2. Рангу матрицы, составленной из координатных столбцов этих элементов в каком-либо базисе линейного пространства $V$.

Евклидовы пространства ^3-1-3-euclidean-section

Евклидово пространство $E$ называют Евклидовым пространством, если любым элементам $\bar{x},\bar{y}\in E$ ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением, такое, что $\forall \bar{x},\bar{y},\bar{z}\dots$ и действительного числа $\alpha \in \mathbb{R}$ выполняются следующие условия:

Линейное пространство

Аксиомы евклидова пространства/скалярного произведения

1. $(\bar{x},\bar{y})=(\bar{y},\bar{x})$ - коммутативность или симметрия
2. $(\bar{x}+\bar{y},\bar{z})=(\bar{x},\bar{z})+(\bar{y},\bar{z})$ - дистрибутивность
3. $(\alpha \bar{x},\bar{y})=\alpha (\bar{x},\bar{y})$ - ассоциативность
4. $(\bar{x},\bar{x})\ge 0$, причём $(\bar{x},\bar{x})=0⟺\bar{x}=\bar{\theta }$

Замечание $(\bar{x},\bar{x})={\bar{x}}^2$ называют скалярным квадратом элемента $\bar{x}$

Замечание $V$ становится Евклидовым пространством, если в нём сохраняется скалярное произведение, введённое во множество $E$.

Всякое линейное пространство

Замечание $L$, задав при этом базис $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$ и предположив, что $\forall \bar{x},\bar{y}\in L$ представлены в виде разложения по элементам базиса $\bar{e}:$ $\begin{array}{c}\bar{x}={\alpha }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{e}}_n\bar{y}={\beta }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\beta }_n{\bar{e}}_n\end{array}$

Можно указать общий способ введения скалярного произведения в произвольном вещественном пространстве

В этом случае скалярное произведение элементов можно ввести, например, как сумму произведений коэффициентов ${\alpha }_k$ на ${\beta }_k$: $(\bar{x},\bar{y})={\alpha }_1{\beta }_1+\cdots +{\alpha }_n{\beta }_n={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i(1)$

При этом все аксиомы выполняются и линейное пространство $L$ со скалярным произведением $(1)$ является евклидовым.

Замечание $C[a,b]$ являются непрерывные функции $x(t)$ и $y(t)$, заданные на этом же отрезке $[a,b]$, то скалярным произведением таких функций будет интеграл их произведения: $(\bar{x},\bar{y})={\int }_a^{b}x(t)y(t)dt$

Если элементами линейного пространства

Замечание - Матрица Грама Разным базисам соответствуют разные скалярные произведения.

Пусть элементы $\bar{x},\bar{y}\in L$ и задаются своими координатами в некотором базисе $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)\in L$: $\bar{x}={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\bar{e}}_i\bar{y}={\sum }_{j=1}^n{y}_j{\bar{e}}_j$ Подставим эти соотношения в скалярное произведение элементов $X_1$ и применим в последующем аксиомы $2$ и $3$. Тогда получим: $(\bar{x},\bar{y})={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{x}_i{y}_j({\bar{e}}_i,{\bar{e}}_j)$ Правую часть этой формулы можно переписать в виде умножения матриц: $(\bar{x},\bar{y})=({\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n)\left(\begin{array}{ccc}({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_n)\\ \dots & \dots & \dots \\ ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_n)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ \dots \\ y_n\end{array}\right)=X^T\Gamma Y(2)$ Где $\Gamma =\left(\begin{array}{ccc}({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_n)\\ \dots & \dots & \dots \\ ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_n)\end{array}\right)(3)\text{ - Матрица Грама}$

Эта матрица обладает следующими свойствами:

1. Матрица $\Gamma$ является квадратной и при любом наборе элементов имеет определитель.
2. Матрица $\Gamma$ является симметрической, поскольку аксиома $1$ скалярного произведения позволяет переставлять местами элементы скалярного произведения. То есть $({\bar{e}}_i,{\bar{e}}_j)=({\bar{e}}_j,{\bar{e}}_i)$
3. Из симметрии матрицы $\Gamma$ следует, что ${\Gamma }^T=\Gamma$
4. Если элементы ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$ линейно независимы, то определитель матрицы $\Gamma$ будет положительным, а если они будут линейно зависимы, то определитель будет равен $0$.

Замечание $(\bar{x},\bar{y})$ ставится в соответствие число, соответствующее аксиоме.

Комплексное линейное пространство называют комплексным евклидовым или унитарным пространством, если в нём введена операция скалярного умножения элементов, и где произведению

Неравенство Коши-Буняковского ^3-1-3-cauchy-section

Теорема Для любых двух элементов $\bar{x},\bar{y}\in E$ справедливо неравенство, называемое неравенством Коши-Буняковского: $(\bar{x},\bar{y}{)}^2\le (\bar{x},\bar{x})(\bar{y},\bar{y})(\ast )$

Доказательство $(\ast )$ выполняется, согласно аксиоме, что $(\bar{\theta },\bar{y})=0$ Если скалярный квадрат не равен 0, то для любого действительного числа $\lambda$ выполняется: $\begin{array}{c}(\bar{x}-\lambda \bar{y},\bar{x}-\lambda \bar{y})\ge 0(\ast \ast )\\ (\bar{x},\bar{x})-2\lambda (\bar{x},\bar{y})+{\lambda }^2(\bar{y},\bar{y})\ge 0\\ \text{Получили в результате квадратный трёхчлен относительно λ,}\\ \text{значения которого неотрицательны при любых λ, в частности при λ=(yˉ,yˉ)(xˉ,yˉ)(∗∗∗)}\\ \text{Подставив λ}\\ \Downarrow \\ (\bar{x},\bar{x})-2\frac{(\bar{x},\bar{y})}{(\bar{y},\bar{y})}(\bar{x},\bar{y})+\frac{(\bar{x},\bar{y}{)}^2}{(\bar{y},\bar{y}{)}^2}(\bar{y},\bar{y})=(\bar{x},\bar{x})-\frac{(\bar{x},\bar{y}{)}^2}{(\bar{y},\bar{y})}\ge 0\\ \Downarrow \\ (\ast )\end{array}$

Если скалярный квадрат равен 0, то это нулевой элемент, и неравенство

Замечание $(\bar{x},\bar{y}{)}^2=(\bar{x},\bar{x})(\bar{y},\bar{y})$ достигается тогда и только тогда, когда векторы $\bar{x}$ и $\bar{y}$ линейно зависимы (коллинеарны), то есть $\bar{x}=\lambda \bar{y}$.

Знак равенства в неравенстве Коши-Буняковского

Замечание $\begin{array}{c}(\bar{x},\bar{y})={\alpha }_1{\beta }_1+\cdots +{\alpha }_n{\beta }_n=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i\\ \Downarrow \\ (\bar{x},\bar{x})=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2(\bar{y},\bar{y})=\sum _{i=1}^n{\beta }_i^2\\ \text{Тогда, с учётом этого, неравенство Коши-буняковского можно записать как:}\\ (\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i{)}^2\le (\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2)(\sum _{i=1}^n{\beta }_i^2)\end{array}$

Так как скалярное произведение двух элементов задаётся формулой

Замечание $C[a,b]$ $\begin{array}{c}(\bar{x},\bar{y})={\int }_a^{b}x(t)y(t)dt\\ {\left({\int }_a^{b}x(t)y(t)dt\right)}^2\le {\int }_a^b{x}^2(t)dt\cdot {\int }_a^b{y}^2(t)dt\\ \Uparrow \\ \text{Неравенство Шварца}\end{array}$

В линейном пространстве

---

Лекция №4.1.4-03.03.2026

LEGIT CHECK

Нормированное пространство ^4-1-4-norm-section

Определение $V$ называется ==нормированным пространством==, если по некоторым правилам $\forall \bar{x}\in V$ в соответствие ставится действительное число, называемое модулем, ==нормой==, или длиной данного элемента ($||\bar{x}||$), и при этом выполняются следующие аксиомы нормы:

Линейное пространство

Аксиомы нормы:

1. $||\bar{x}||\ge 0$, причем $||\bar{x}||=0⟺\bar{x}=\bar{\theta }$
2. $||\lambda \bar{x}||=|\lambda |\cdot ||\bar{x}||$
3. $||\bar{x}+\bar{y}||\le ||\bar{x}||+||\bar{y}||$ - неравенство треугольника (или неравенство Минковского)

Теорема $E$ можно ==нормировать==, если ввести норму по следующему правилу: $||\bar{x}||=\sqrt{(\bar{x},\bar{x})}$

Любое Евклидово пространство

Определение $\bar{x}$ и $\bar{y}$ называют число $\phi$, которое удовлетворяет двум условиям:

Углом между двумя линейными элементами

1. $0\le \phi \le \pi$
2. $\cos \phi =\frac{(\bar{x},\bar{y})}{||\bar{x}||\cdot ||\bar{y}||}$

В координатной форме (в ортонормированном базисе): $\cos \phi =\frac{x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n}{\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}\sqrt{y_1^2+\cdots +y_n^2}}$

Базисы евклидова пространства ^4-1-4-basis-section

Ортогональность $\bar{x},\bar{y}\in E$ называются ортогональными, если $(\bar{x},\bar{y})=0$.

Элементы

Ортонормированность ${\bar{a}}_1,{\bar{a}}_2,\dots ,{\bar{a}}_n\in E$ называется ортогональной, если: $({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_j)=0,i\ne j$ И эта система называется ортонормированной, если: $({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_j)=\{\begin{array}{l}1,\text{ если }i=j\\ 0,\text{ если }i\ne j\end{array}$ Замечание: Символ ${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{l}1,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}$ называется символом Кронекера.

Система элементов

Теорема Ортонормированная система элементов линейно независима.

Доказательство ${\bar{a}}_1,{\bar{a}}_2,\dots ,{\bar{a}}_n$. Составим линейную комбинацию элементов этой системы и приравняем её к $\bar{\theta }$: ${\beta }_1{\bar{a}}_1+\cdots +{\beta }_n{\bar{a}}_n=\bar{\theta }$ Умножим скалярно левую и правую часть на элемент ${\bar{a}}_i$: Тогда, опираясь на определение ортонормированной системы (все слагаемые, где $j\ne i$, обнулятся): ${\beta }_i({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_i)=0$ Но, так как $({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_i)\ne 0\Rightarrow {\beta }_i=0$. Так как это выполняется для любого $i$, все коэффициенты равны нулю, что по определению означает линейную независимость системы.

Пусть дана ортонормированная система элементов

Определение для базисов ортогональным. Ортогональный базис называется ортонормированным==, если его элементы попарно ортогональны между собой и каждый из них имеет длину (норму) равную $1$.

Базис евклидова пространства, который представляет собой ортогональную систему элементов, называется ==

Замечание $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$, скалярное произведение принимает вид: $(\bar{x},\bar{y})=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n=X^{T}EY=X^{T}Y$ Где: $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \dots \\ x_n\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ \dots \\ y_n\end{array}\right)$

В случае ортонормированной системы элементов

LEGIT CHECK

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта ^4-1-4-gram-schmidt-section

Задача: Пусть задан произвольный базис ${\bar{a}}_1,\dots ,{\bar{a}}_n\in V$. Необходимо построить на его основе ортонормированный базис ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$.

Шаг 1. Переход от системы ${\bar{a}}_1,\dots ,{\bar{a}}_n$ к ортогональному базису ${\bar{b}}_1,\dots ,{\bar{b}}_n$

1. Полагаем первый вектор равным исходному: ${\bar{b}}_1={\bar{a}}_1$
2. Ищем второй вектор в виде ${\bar{b}}_2={\bar{a}}_2-\alpha {\bar{b}}_1$ из условия ортогональности ${\bar{b}}_2\perp {\bar{b}}_1\Rightarrow ({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_1)=0$: $({\bar{a}}_2-\alpha {\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)=0\Rightarrow ({\bar{a}}_2,{\bar{b}}_1)-\alpha ({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)=0\Rightarrow \alpha =\frac{({\bar{a}}_2,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}$ $\text{Итого: }{\bar{b}}_2={\bar{a}}_2-\frac{({\bar{a}}_2,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}{\bar{b}}_1$
3. Ищем третий вектор в виде ${\bar{b}}_3={\bar{a}}_3-{\beta }_1{\bar{b}}_1-{\beta }_2{\bar{b}}_2$ из условий ${\bar{b}}_3\perp {\bar{b}}_1$ и ${\bar{b}}_3\perp {\bar{b}}_2$: Умножим на ${\bar{b}}_1$: $({\bar{b}}_3,{\bar{b}}_1)=({\bar{a}}_3-{\beta }_1{\bar{b}}_1-{\beta }_2{\bar{b}}_2,{\bar{b}}_1)=0$ $({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_1)-{\beta }_1({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)-{\beta }_2\underset{=0}{\underbrace{({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_1)}}=0\Rightarrow {\beta }_1=\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}$ Аналогично, умножив на ${\bar{b}}_2$, получим ${\beta }_2=\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_2)}{({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_2)}$. $\text{Итого: }{\bar{b}}_3={\bar{a}}_3-\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}{\bar{b}}_1-\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_2)}{({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_2)}{\bar{b}}_2$
4. Общая формула для n-го шага: ${\bar{b}}_n={\bar{a}}_n-\frac{({\bar{a}}_n,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}{\bar{b}}_1-\cdots -\frac{({\bar{a}}_n,{\bar{b}}_{n-1})}{({\bar{b}}_{n-1},{\bar{b}}_{n-1})}{\bar{b}}_{n-1}$

Шаг 2. Нормировка векторов (переход от ${\bar{b}}_i$ к ${\bar{e}}_i$) Чтобы получить ортонормированный базис, каждый полученный вектор ${\bar{b}}_i$ нужно разделить на его длину (норму): ${\bar{e}}_1=\frac{{\bar{b}}_1}{||{\bar{b}}_1||},{\bar{e}}_2=\frac{{\bar{b}}_2}{||{\bar{b}}_2||},\dots {\bar{e}}_n=\frac{{\bar{b}}_n}{||{\bar{b}}_n||}$

Линейные операторы в линейном пространстве ^4-1-4-operator-section

Оператор (Отображение) $f$, по которому каждому элементу $\bar{x}\in X$ ставится в соответствие единственный элемент $\bar{y}\in Y$, называют отображением, преобразованием или оператором множества $X$ в множество $Y$. Записывают: $\bar{y}=f(\bar{x})$ Обозначение: $f:X\to Y$

Правило

• $Y\bar{x}=\bar{x}$ - тождественный оператор
• $\theta \bar{x}=\bar{\theta }$ - нулевой оператор

Замечание $f:X\to X$).

Если отображение или оператор преобразует элемент в другой элемент того же самого множества, то это называется преобразованием пространства в себя (

Определение линейного оператора $V$ и $W$ - два линейных пространства. Отображение $A:V\to W$ называют линейным оператором, если выполнены следующие 2 условия (свойства линейности):

Пусть

1. $A(\bar{x}+\bar{y})=A\bar{x}+A\bar{y}$ (аддитивность)
2. $A(\alpha \bar{x})=\alpha A\bar{x}$ (однородность)

Два записанных условия могут быть объединены в одно эквивалентное условие: $A(\lambda {\bar{x}}_1+\mu {\bar{x}}_2)=\lambda A{\bar{x}}_1+\mu A{\bar{x}}_2$

---

Лекция №5.1.5-10.03.2026

LEGIT CHECK

Образ, Ядро, Ранг и Дефект оператора ^4-1-4-image-kernel-section

Образ Образом линейного оператора== $\mathcal{A}:V\to W$ называют множество $\mathrm{im}\mathcal{A}\subset W$ обладающее следующим свойством: $\bar{y}\in \mathrm{im}\mathcal{A}$, если $\exists \bar{x}\in V:\mathcal{A}\bar{x}=\bar{y}$ Где $\bar{y}$ — образ, $\bar{x}$ — прообраз.

==

Ядро Ядром== $\ker \mathcal{A}$ линейного оператора $\mathcal{A}:V\to W$ называют такое множество всех элементов пространства $V$, каждый из которых преобразование $\mathcal{A}$ переводит в $\bar{\theta }\in W$. (То есть $\forall \bar{x}\in \ker \mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{A}\bar{x}=\bar{\theta }$)

==

Теорема $\forall \mathcal{A}:V\to W$ образ и ядро являются линейными подпространствами, соответственно пространства $W$ и пространства $V$.

Определение

• Размерностью образа ($\dim (\mathrm{im}\mathcal{A})$) называется ==ранг линейного оператора== $\mathcal{A}$ и обозначается $\mathrm{Rg}\mathcal{A}$.
• Размерность ядра ($\dim (\ker \mathcal{A})$) называется ==дефектом линейного оператора== $\mathcal{A}$ и обозначается $\mathrm{def}\mathcal{A}$.

Замечание (Теорема) $\mathcal{A}:V\to W$ справедливо равенство: $\mathrm{Rg}\mathcal{A}+\mathrm{def}\mathcal{A}=\dim V$

Для любого линейного оператора

Теорема о построении линейного оператора Пусть: $V$ и $W$ — линейные пространства. $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$ — базис в $V$. А элементы ${\bar{g}}_1,\dots ,{\bar{g}}_n\in W$ — произвольные векторы. Тогда: существует, и при том единственный, линейный оператор $\mathcal{A}:V\to W$, для которого $\mathcal{A}{\bar{e}}_i={\bar{g}}_i(i=\overline{1,n})$.

Построение линейного оператора полностью определяется его действием только на элементы базиса.

Матрица линейного оператора ^4-1-4-matrix-operator-section

Обозначения (Важно!) $\mathcal{A}$ — линейный оператор. $A$ — матрица этого оператора в заданном базисе.

Дальше мы будем отличать абстрактный оператор (правило) от его матрицы:

Пусть задан линейный оператор $\mathcal{A}:V\to W$ и задано линейное соотношение $\bar{y}=\mathcal{A}\bar{x}$. Найдём связь между координатами элемента $\bar{x}\in V$ и координатами его образа $\bar{y}\in W$. Для этого выберем в пространстве $V$ базис $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$. И пусть элемент $\bar{x}$ разложен по элементам этого базиса: $\bar{x}=x_1{\bar{e}}_1+\cdots +x_n{\bar{e}}_n$.

Тогда, в силу линейности преобразования, подействовав оператором на вектор, мы можем вынести скаляры и разбить сумму: $\mathcal{A}\bar{x}=x_1(\mathcal{A}{\bar{e}}_1)+\cdots +x_n(\mathcal{A}{\bar{e}}_n)={\sum }_{i=1}^n{x}_i(\mathcal{A}{\bar{e}}_i)(1)$

Образы базисных векторов $\mathcal{A}{\bar{e}}_i$ тоже лежат в пространстве и могут быть разложены по базису $\{\bar{e}\}$: $\mathcal{A}{\bar{e}}_k={\sum }_{i=1}^n{a}_{ik}{\bar{e}}_i(i=\overline{1,n})(2)$

Подставим $(2)$ в $(1)$: $\mathcal{A}\bar{x}={\sum }_{k=1}^n{x}_k\left({\sum }_{i=1}^n{a}_{ik}{\bar{e}}_i\right)={\sum }_{i=1}^n\left({\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k\right){\bar{e}}_i(3)$

Известно, что если существует разложение элемента по базису, то оно единственно. Элемент $\bar{y}=\mathcal{A}\bar{x}$ имеет координаты $y_i$: $\mathcal{A}\bar{x}=\bar{y}=y_1{\bar{e}}_1+\cdots +y_n{\bar{e}}_n={\sum }_{i=1}^n{y}_i{\bar{e}}_i(4)$

Сравнивая $(3)$ и $(4)$, приравниваем коэффициенты при одинаковых ${\bar{e}}_i$: $y_i={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k(5)$ Или в виде системы уравнений: $\{\begin{array}{l}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ \dots \\ y_n=a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n\end{array}(6)$

Правую часть можно переписать в матричной форме: $Y=AX(7)$, где $A$ — квадратная матрица, $k$-й столбец которой образован координатами вектора $\mathcal{A}{\bar{e}}_k$.

Определение $A$, составленная из координатных столбцов образов базисных векторов $\mathcal{A}{\bar{e}}_1,\dots ,\mathcal{A}{\bar{e}}_n$, называется ==матрицей линейного оператора== $\mathcal{A}$ в заданном базисе $\{\bar{e}\}$.

Матрица

Теорема $A$ порядка $n$ может рассматриваться как матрица некоторого линейного оператора $\mathcal{A}$, а преобразование $Y=AX$ является линейным преобразованием. При заданном базисе оператору $\mathcal{A}$ соответствует единственная матрица $A$, и наоборот ($\mathcal{A}⟺A$).

Каждая квадратная матрица

Теорема $A$ линейного оператора $\mathcal{A}$ совпадает с рангом этого оператора ($\text{rang}(A)=\mathrm{Rg}\mathcal{A}$).

Ранг матрицы

Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису ^4-1-4-similar-matrices-section

Матрица линейного оператора жестко связана с конкретным базисом. В другом базисе тот же самый абстрактный оператор $\mathcal{A}$ будет иметь совершенно другую матрицу.

Теорема (Связь матриц оператора в разных базисах) $\mathcal{A}$ в базисе $E$ имеет матрицу $A$, а тот же оператор $\mathcal{A}$ в базисе $E^{\prime }$ имеет матрицу $A^{\prime }$. Матрицы $A$ и $A^{\prime }$ связаны соотношением: $A^{\prime }=P^{-1}AP$ Где $P$ — матрица перехода от базиса $E$ к $E^{\prime }$.

Пусть оператор

Доказательство $\bar{y}=\mathcal{A}\bar{x}$. В старом базисе $E$ это записывается как $Y=AX$. В новом базисе $E^{\prime }$ это записывается как $Y^{\prime }=A^{\prime }{X}^{\prime }$. Известно, что связь между координатными столбцами элементов в разных базисах осуществляется через матрицу перехода $P$: $X=P{X}^{\prime }$ и $Y=P{Y}^{\prime }$. Выразим $Y^{\prime }$ из второго равенства: $Y^{\prime }=P^{-1}Y$. Подставим $Y=AX$: $Y^{\prime }=P^{-1}(AX)$. Подставим $X=P{X}^{\prime }$: $Y^{\prime }=P^{-1}(AP{X}^{\prime })=(P^{-1}AP)X^{\prime }$. Сравнивая полученное равенство $Y^{\prime }=(P^{-1}AP)X^{\prime }$ с равенством $Y^{\prime }=A^{\prime }{X}^{\prime }$, делаем вывод: $A^{\prime }=P^{-1}AP$

Пусть

Замечание (Подобные матрицы) $A$ и $A^{\prime }$, связанные соотношением вида $A^{\prime }=P^{-1}AP$, называются ==подобными матрицами==.

Квадратные матрицы

Теорема об инвариантности (неизменности) определителя $A$ и $A^{\prime }$ одного порядка $n$ подобны, то их определители равны ($\det A=\det A^{\prime }$).

Если квадратные матрицы

Доказательство $\det (ABC)=\det (A)\det (B)\det (C)$. $\det (A^{\prime })=\det (P^{-1}AP)=\det (P^{-1})\cdot \det (A)\cdot \det (P)$ Так как $\det (P^{-1})=\frac{1}{\det (P)}$, получаем: $\det (A^{\prime })=\frac{1}{\det (P)}\cdot \det (A)\cdot \det (P)=\det (A)$ Теорема доказана.

Используем свойство определителя произведения матриц:

Определение определителем линейного оператора. Так как он не меняется при смене базиса, это свойство самого оператора.

Определитель матрицы линейного оператора (в любом базисе) называют

Действия над линейными операторами ^4-1-4-operator-operations-section

1. Сложение линейных операторов

Определение $\mathcal{A}:V\to W$ и $\mathcal{B}:V\to W$. Суммой этих двух линейных операторов называется оператор $\mathcal{C}:V\to W$, определяемый по правилу: $\mathcal{C}\bar{x}=(\mathcal{A}+\mathcal{B})\bar{x}\stackrel{def}{=}\mathcal{A}\bar{x}+\mathcal{B}\bar{x}(\forall \bar{x}\in V)$ Обозначение: $\mathcal{C}=\mathcal{A}+\mathcal{B}$.

Пусть задано два линейных оператора

Теорема $\mathcal{C}=\mathcal{A}+\mathcal{B}$ является линейным оператором.

Сумма линейных операторов

Доказательство $\mathcal{C}$: $\mathcal{C}(\lambda \bar{x}+\mu \bar{y})=\mathcal{A}(\lambda \bar{x}+\mu \bar{y})+\mathcal{B}(\lambda \bar{x}+\mu \bar{y})=$ $=\lambda \mathcal{A}\bar{x}+\mu \mathcal{A}\bar{y}+\lambda \mathcal{B}\bar{x}+\mu \mathcal{B}\bar{y}=\lambda (\mathcal{A}\bar{x}+\mathcal{B}\bar{x})+\mu (\mathcal{A}\bar{y}+\mathcal{B}\bar{y})=\lambda \mathcal{C}\bar{x}+\mu \mathcal{C}\bar{y}$.

Проверим свойство линейности для

Свойства сложения:

1. $\mathcal{A}+\mathcal{B}=\mathcal{B}+\mathcal{A}$
2. $(\mathcal{A}+\mathcal{B})+\mathcal{C}=\mathcal{A}+(\mathcal{B}+\mathcal{C})$
3. $\mathcal{A}+\mathcal{O}=\mathcal{A}$ (где $\mathcal{O}$ — нулевой оператор)
4. $\mathcal{A}+(-\mathcal{A})=\mathcal{O}$

2. Умножение оператора на число

Определение $\mathcal{A}:V\to W$ на действительное число $\alpha$ называют оператор $\mathcal{B}:V\to W$, который определяется по правилу: $\mathcal{B}\bar{x}=(\alpha \mathcal{A})\bar{x}\stackrel{def}{=}\alpha (\mathcal{A}\bar{x})$ Обозначение: $\mathcal{B}=\alpha \mathcal{A}$. (Он также является линейным).

Произведением линейного оператора

Свойства умножения на число:

1. $1\cdot \mathcal{A}=\mathcal{A}$
2. $\alpha (\beta \mathcal{A})=(\alpha \beta )\mathcal{A}$
3. $(\alpha +\beta )\mathcal{A}=\alpha \mathcal{A}+\beta \mathcal{A}$
4. $\alpha (\mathcal{A}+\mathcal{B})=\alpha \mathcal{A}+\alpha \mathcal{B}$

3. Умножение (композиция) линейных операторов

Определение $\mathcal{A}:V\to V$ и $\mathcal{B}:V\to V$ называют такой оператор $\mathcal{C}$, действие которого на любой вектор $\bar{x}$ определяется последовательным применением: $\mathcal{C}\bar{x}=(\mathcal{A}\mathcal{B})\bar{x}\stackrel{def}{=}\mathcal{A}(\mathcal{B}\bar{x})$ (Он также является линейным).

Произведением операторов

Замечание некоммутативна: $\mathcal{A}\mathcal{B}\ne \mathcal{B}\mathcal{A}$.

Операция умножения двух линейных операторов в общем случае

Свойства умножения:

1. $(\mathcal{A}\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}(\mathcal{BC})$ (ассоциативность)
2. $\mathcal{A}\mathcal{I}=\mathcal{I}\mathcal{A}=\mathcal{A}$ (где $\mathcal{I}$ — тождественный (единичный) оператор, $\mathcal{I}\bar{x}=\bar{x}$)
3. $(\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}\mathcal{C}+\mathcal{BC}$ (дистрибутивность)

4. Обратный оператор

Определение $\mathcal{B}:V\to V$ называют обратным к оператору $\mathcal{A}$, если выполнено равенство: $\mathcal{B}\mathcal{A}=\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{I}$ Обозначение: $\mathcal{B}={\mathcal{A}}^{-1}$.

Линейный оператор

Теорема

1. Если оператор $\mathcal{A}$ имеет обратный ${\mathcal{A}}^{-1}$, то он является линейным.
2. Если оператору $\mathcal{A}$ соответствует матрица $A$, то обратному оператору ${\mathcal{A}}^{-1}$ соответствует обратная матрица $A^{-1}$.
3. Для того, чтобы оператор $\mathcal{A}$ имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы образ оператора $\mathcal{A}$ совпадал со всем пространством $V$ ($\mathrm{im}\mathcal{A}=V$, следовательно $\det A\ne 0$).
4. Обратный оператор определяется однозначно.

---

Лекция №6.1.6-17.03.2026

LEGIT CHECK

Собственные элементы в линейном пространстве ^6-1-6-eigen-section

Определение Ненулевой элемент $\bar{x}\in V$ называется ==собственным элементом== линейного оператора $\mathcal{A}:V\to V$, если имеет место соотношение $\mathcal{A}\bar{x}=\lambda \bar{x}$.

При этом $\lambda$ называется либо собственным значением, либо собственным числом, либо характеристическим значением линейного оператора $\mathcal{A}$.

Замечание

Не всякий линейный оператор обладает собственными элементами.

Определение спектром линейного оператора==.

Множество всех собственных значений линейного оператора называют ==

Замечание $\lambda$ отвечает бесконечно много коллинеарных между собой собственных элементов. б) Но каждому собственному элементу $\bar{x}$ отвечает единственное собственное значение $\lambda$.

а) Каждому собственному значению

Теорема о матрице в базисе из собственных векторов $\mathcal{A}$ имеет $n$ линейно независимых элементов ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$, являющихся собственными элементами, которые отвечают различным собственным значениям. Взяв базис ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$, построим матрицу $A$ линейного оператора $\mathcal{A}:V\to V$.

Пусть линейный оператор

$\mathcal{A}{\bar{e}}_1={\lambda }_1{\bar{e}}_1={\lambda }_1{\bar{e}}_1+0\cdot {\bar{e}}_2+\cdots +0\cdot {\bar{e}}_n$ $\mathcal{A}{\bar{e}}_2={\lambda }_2{\bar{e}}_2=0\cdot {\bar{e}}_1+{\lambda }_2{\bar{e}}_2+\cdots +0\cdot {\bar{e}}_n$ $\dots$ $\mathcal{A}{\bar{e}}_n={\lambda }_n{\bar{e}}_n=0\cdot {\bar{e}}_1+\cdots +{\lambda }_n{\bar{e}}_n$

Матрица оператора $\mathcal{A}$ в базисе из собственных элементов будет иметь диагональный вид: $A=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \dots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right)=\Lambda$

Замечание $A$ линейного оператора $\mathcal{A}$ в некотором базисе будет диагональной, то все элементы этого базиса будут собственными элементами оператора $\mathcal{A}$. Однако не для каждого линейного оператора в линейном пространстве будет существовать такая диагональная матрица.

Если матрица

Определение $M$ называется ==инвариантным== относительно линейного оператора $\mathcal{A}$, если $\forall \bar{x}\in M\Rightarrow \mathcal{A}\bar{x}\in M$. К такого рода инвариантным подпространствам относятся: а) Линейная оболочка любой системы собственных элементов линейного оператора. б) Подпространства $V^{\prime }$, состоящие из одного нулевого элемента, относительно любого линейного оператора. Такие подпространства называют тривиальными инвариантными подпространствами линейного пространства.

Линейное подпространство

Характеристическое уравнение матрицы линейного оператора ^6-1-6-char-eq-section

Пусть $\mathcal{A}:V\to V$, который имеет собственное значение $\lambda$ относительно собственного элемента $\bar{x}$. Тогда, по определению, имеет место соотношение: $\mathcal{A}\bar{x}=\lambda \bar{x}(1)$ Перепишем это равенство в матричном виде ($X$ — координатный столбец вектора $\bar{x}$): $AX=\lambda X\Rightarrow (A-\lambda E)X=\bar{\theta }(2)$ Соотношение (2) перепишем в виде системы уравнений (3): $\{\begin{array}{l}(a_{11}-\lambda )x_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+(a_{22}-\lambda )x_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+\cdots +(a_{nn}-\lambda )x_n=0\end{array}(3)$

В силу того, что, по определению, собственный элемент $\bar{x}\ne \bar{\theta }$, для существования ненулевого решения однородной системы необходимо, чтобы определитель матрицы системы (3) был равен 0: $\det (A-\lambda E)=0(4)$ Или: $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right|=0(5)$

Левая часть равенства (4) или (5) представляет собой многочлен $n$-й степени относительно $\lambda$, который называется характеристическим многочленом линейного оператора $\mathcal{A}$ в некотором базисе.

Определение характеристическими уравнениями матрицы $A$ линейного оператора $\mathcal{A}$, а его корни называют характеристическими или собственными числами (значениями).

Уравнения (4) и (5) называют

Отсюда следует, что каждое собственное значение линейного оператора, то есть ${\lambda }_i$, есть корень характеристического уравнения этого оператора. И наоборот, каждый корень характеристического уравнения оператора $\mathcal{A}$ будет его собственным значением. Система собственных элементов, отвечающая собственным значениям ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, находится из решения системы (3) с заменой $\lambda$ на конкретное ${\lambda }_i$.

Замечание

Если среди корней характеристического уравнения будут корни комплексные, то их следует отбросить и оставить только действительные корни этого уравнения.

Теорема об инвариантности характеристического многочлена

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса (инвариантен относительно замены базиса).

Доказательство $\mathcal{A}:V\to V$ в базисе $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$ имеет матрицу $A$, а в базисе $\{{\bar{e}}^{\prime }\}=({\bar{e}}_1^{\prime },\dots ,{\bar{e}}_n^{\prime })$ имеет матрицу $A^{\prime }$. Тогда, по ранее доказанной теореме, две эти матрицы есть матрицы подобные, и: $A^{\prime }=P^{-1}AP$ Где $P$ — матрица перехода от старого базиса к новому. Тогда характеристический многочлен матрицы $A^{\prime }$ равен: $\det (A^{\prime }-\lambda E)=\det (P^{-1}AP-\lambda P^{-1}EP)=\det (P^{-1}(A-\lambda E)P)=$ $=\det (P^{-1})\cdot \det (A-\lambda E)\cdot \det (P)$ Так как $\det (P^{-1})\cdot \det (P)=1$, получаем: $\det (A^{\prime }-\lambda E)=\det (A-\lambda E)$ Характеристические многочлены равны.

Пусть линейный оператор

Замечание (О кратности корней) $k=n-r$ (размерность пространства решений) не совпадает с алгебраической кратностью $\lambda$. б) В том случае, если $k=n-r$ будет в точности равно кратности найденного $\lambda$, то одинаковым значениям $\lambda$ будут отвечать разные (линейно независимые) собственные элементы.

а) В том случае, если кратным собственным значениям отвечают одинаковые (коллинеарные) собственные элементы, то это означает, что геометрическая кратность

Это означает, что в случае (а) диагональная матрица с кратными собственными значениями не будет существовать, а в случае (б) такая диагональная матрица $\Lambda$ существует, так как будет получен базис из собственных элементов.

Свойства собственных элементов и собственных значений ^6-1-6-eigen-props-section

1. Теорема о линейной независимости собственных векторов ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$ линейного оператора $\mathcal{A}$, соответствующих попарно различным собственным значениям ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, линейно независима.

Система собственных элементов

Доказательство (метод математической индукции) $n=1$ выполняется (один ненулевой вектор линейно независим). Пусть утверждение верно для любой системы из $n-1$ собственного элемента и неверно для $n$ элементов. Тогда, по этому предположению, система ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$ будет линейно зависимой. То есть, будет иметь место равенство: ${\alpha }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{e}}_n=\bar{\theta }(\ast )$ Где ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ есть некоторые числа, среди которых хотя бы одно будет ненулевое. Пусть, например, ${\alpha }_1\ne 0$. Применим преобразование (оператор $\mathcal{A}$) к соотношению $(\ast )$. Получим: ${\alpha }_1\mathcal{A}{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n\mathcal{A}{\bar{e}}_n=\bar{\theta }\Rightarrow {\alpha }_1{\lambda }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\lambda }_n{\bar{e}}_n=\bar{\theta }(\ast \ast )$ Умножим исходное соотношение $(\ast )$ на ${\lambda }_n$: ${\alpha }_1{\lambda }_n{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\lambda }_n{\bar{e}}_n=\bar{\theta }(\ast \ast \ast )$ Вычтем из $(\ast \ast )$ соотношение $(\ast \ast \ast )$: ${\alpha }_1({\lambda }_1-{\lambda }_n){\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_{n-1}({\lambda }_{n-1}-{\lambda }_n){\bar{e}}_{n-1}=\bar{\theta }$ Так как ${\alpha }_1\ne 0$ и все ${\lambda }_i$ попарно различны (${\lambda }_1-{\lambda }_n\ne 0$), коэффициент при ${\bar{e}}_1$ не равен нулю. Это означает, что система из $n-1$ векторов ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_{n-1}$ линейно зависима. Но это противоречит нашему допущению по индукции (что любые $n-1$ векторов ЛНЗ). Полученное противоречие доказывает теорему.

По определению собственных элементов они есть элементы ненулевые, поэтому утверждение теоремы при

2. Достаточное условие существования базиса из собственных элементов $n$ попарно различных собственных значений, то существует базис из собственных элементов линейного оператора, в котором матрица линейного оператора будет диагональной, в которой по главной диагонали будут стоять собственные значения ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$.

Если линейный оператор имеет

Доказательство $n$ различных $\lambda$), согласно предыдущему свойству, есть система линейно независимая. Так как их количество равно $n$, они образуют базис. Как показано ранее, матрица линейного оператора в таком базисе имеет диагональный вид.

Каждое собственное значение линейного оператора имеет в соответствии хотя бы 1 собственный элемент. Система таких элементов (по 1 для каждого из

Следствие $A$ линейного оператора $\mathcal{A}$ будет подобна диагональной матрице $\Lambda$ в базисе из собственных элементов.

Если все действительные собственные значения попарно различны, то матрица

---

Лекция №7.1.7-24.03.2026

LEGIT CHECK

Сопряжённые операторы в евклидовом пространстве ^7-1-7-adjoint-section

Определение ${\mathcal{A}}^{\ast }:E\to E$ называется ==сопряжённым== с линейным оператором $\mathcal{A}:E\to E$, если $\forall \bar{x},\bar{y}\in E$ выполняется равенство: $(\mathcal{A}\bar{x},\bar{y})=(\bar{x},{\mathcal{A}}^{\ast }\bar{y})(1)$

Линейный оператор

Теорема 1 $\mathcal{A}$ из $E$ в $E$ существует и при том единственный сопряжённый оператор ${\mathcal{A}}^{\ast }$ из $E$ в $E$.

Для любого линейного оператора

Доказательство (единственность) $\mathcal{A}$ соответствует единственная матрица $A$ в некотором фиксированном базисе $\{\bar{e}\}$. Оператору ${\mathcal{A}}^{\ast }$ будет соответствовать тоже некоторая матрица $B$. Примем, что элементу $\bar{x}$ соответствует координатный столбец $X$, а элементу $\bar{y}$ — координатный столбец $Y$, заданные в базисе $\{\bar{e}\}$. Тогда в матричном виде соотношение $(1)$ перепишется следующим образом: $(AX{)}^{T}Y=X^T(BY)(2)$ Преобразуем это соотношение, учитывая свойство транспонирования произведения матриц: $X^T{A}^{T}Y=X^{T}BY(3)$ Полученное соотношение $(3)$ будет выполняться при: $B=A^T(\ast )$ Таким образом, если оператор ${\mathcal{A}}^{\ast }$ является сопряжённым с оператором $\mathcal{A}$, то для любых элементов $\bar{x}$ и $\bar{y}$ из $E$ выполняется соотношение $(1)$, которое в матричной форме переписывается в виде $(3)$, и которое выполняется при любых координатных столбцах $X$ и $Y$. Из того, что координатные столбцы $X$ и $Y$ определяются однозначно, следует, что линейный оператор ${\mathcal{A}}^{\ast }$ определён однозначно, так как его матрица так же единственна.

Известно, что линейному оператору

Замечание $\mathcal{A}$ и сопряжённого оператора ${\mathcal{A}}^{\ast }$ связаны соотношением $(\ast )$, то есть матрица сопряженного оператора есть транспонированная матрица исходного оператора: $A^{\ast }=A^T$.

Матрицы оператора

Свойства сопряжённого оператора

1. $(\alpha \mathcal{A}{)}^{\ast }=\alpha {\mathcal{A}}^{\ast }$
2. $({\mathcal{A}}^{\ast }{)}^{\ast }=\mathcal{A}$
3. $(\mathcal{A}+\mathcal{B}{)}^{\ast }={\mathcal{A}}^{\ast }+{\mathcal{B}}^{\ast }$
4. $(\mathcal{A}\mathcal{B}{)}^{\ast }={\mathcal{B}}^{\ast }{\mathcal{A}}^{\ast }$
5. Если линейный оператор $\mathcal{A}$ есть оператор невырожденный, то сопряжённый с ним оператор ${\mathcal{A}}^{\ast }$ так же является невырожденным и существует обратный оператор, и выполняется равенство: $({\mathcal{A}}^{-1}{)}^{\ast }=({\mathcal{A}}^{\ast }{)}^{-1}$.

Самосопряжённые операторы ^7-1-7-self-adjoint-section

Определение $E$ в $E$, называют ==самосопряжённым или симметрическим==, если $\mathcal{A}$ совпадает со своим сопряжённым ($\mathcal{A}={\mathcal{A}}^{\ast }$), то есть, если имеет место следующее равенство: $(\mathcal{A}\bar{x},\bar{y})=(\bar{x},\mathcal{A}\bar{y})$

Линейный оператор, действующий из

Замечание $\mathcal{I}$ и нулевой оператор $\Theta$: Для $\mathcal{I}$: $(\mathcal{I}\bar{x},\bar{y})=(\bar{x},\bar{y})=(\bar{x},\mathcal{I}\bar{y})$ Для $\Theta$: $(\Theta \bar{x},\bar{y})=(\bar{\theta },\bar{y})=0=(\bar{x},\bar{\theta })=(\bar{x},\Theta \bar{y})$

Простейшими примерами самосопряжённых операторов являются тождественный оператор

Свойства самосопряжённого оператора

1. Для того, чтобы линейный оператор $\mathcal{A}:E\to E$ был самосопряжённым, необходимо и достаточно, чтобы его матрица $A$ в каком-либо ортонормированном базисе была симметрической матрицей, то есть $A=A^T$.

Доказательство $\mathcal{A}$ есть самосопряжённый оператор, то, по определению этого оператора, он равен своему сопряжённому ${\mathcal{A}}^{\ast }$ и, следовательно, матрица $A=A^{\ast }$. Тогда, по теореме, матрица линейного оператора в ортонормированном базисе совпадает со своей транспонированной, как матрица сопряжённого оператора, то есть $A=A^T$, что является признаком симметричности матриц.

Поскольку по условию

2. Характеристическое уравнение самосопряжённого оператора имеет только действительные корни.

3. Собственные элементы самосопряжённого оператора $\mathcal{A}$, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство ${\bar{x}}_1$ и ${\bar{x}}_2$ есть собственные элементы самосопряжённого оператора $\mathcal{A}$, отвечающие соответственно разным собственным значениям ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$. $(\mathcal{A}{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=({\lambda }_1{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)={\lambda }_1({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)$. Так как $\mathcal{A}$ — самосопряжённый оператор, то: $(\mathcal{A}{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=({\bar{x}}_1,\mathcal{A}{\bar{x}}_2)=({\bar{x}}_1,{\lambda }_2{\bar{x}}_2)={\lambda }_2({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)$. Приравняем правые части: ${\lambda }_1({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)={\lambda }_2({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)$ $({\lambda }_1-{\lambda }_2)({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=0$. Но, по условию, ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, следовательно, $({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=0$, что означает ${\bar{x}}_1\perp {\bar{x}}_2$ (они ортогональны).

Пусть

4. Пусть $\mathcal{A}$ — самосопряжённый оператор $n$-мерного евклидова пространства $E$, и ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ попарно различные собственные значения линейного оператора. Тогда в $E$ существует ортонормированный базис, в котором матрица этого линейного оператора есть матрица диагональная, у которой диагональными элементами являются собственные значения ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$.

Доказательство $\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& \dots \\ 0& {\lambda }_2& \dots \\ \dots & \dots & {\lambda }_n\end{array}\right)$.

Согласно свойству 3, различным собственным значениям соответствуют попарно различные ортогональные между собой собственные элементы, которые образуют ортогональный базис. Разделив каждый элемент этого базиса на его норму, мы получим ортонормированный базис, в котором, как было показано ранее, матрица самосопряжённого оператора имеет диагональный вид

Замечание: Это свойство распространяется и на кратные собственные значения, то есть матрица в базисе из собственных элементов будет иметь диагональный вид, среди диагональных элементов которой будут элементы равные.

5. Если $A$ — симметрическая матрица порядка $n$, то существует такая невырожденная (и даже ортогональная) матрица $P$ того же порядка $n$, что $P^{-1}AP=\Lambda$.

Доказательство $A$ задаёт самосопряжённый оператор в каком-либо ортонормированном базисе. Для такого оператора существует ортонормированный базис, в котором его матрица есть матрица $\Lambda$, а матрицей $P$ может служить матрица перехода от заданного ортонормированного базиса к построенному ортонормированному базису из собственных элементов.

Действительно, матрица

Ортогональный оператор в евклидовом пространстве ^7-1-7-orthogonal-op-section

Определение $\mathcal{A}$ из $E$ в $E$ называют ==ортогональным оператором== (или ортогональным преобразованием), если для всех элементов $\bar{x}$ и $\bar{y}$ из $E$ выполняется равенство: $(\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{y})=(\bar{x},\bar{y})(5)$

Линейный оператор

Замечание $||\mathcal{A}\bar{x}|{|}^2=(\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{x})=(\bar{x},\bar{x})=||\bar{x}|{|}^2$ б) Косинус угла: $\cos (\widehat{\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{y}})=\frac{(\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{y})}{||\mathcal{A}\bar{x}||\cdot ||\mathcal{A}\bar{y}||}=\frac{(\bar{x},\bar{y})}{||\bar{x}||\cdot ||\bar{y}||}$

Из этого следует, что ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение элементов, а значит и норму элементов, и углы между ними. Действительно: а) Норма:

Теорема $\mathcal{A}$ из $E$ в $E$ сохраняет норму элемента ($||\mathcal{A}\bar{x}||=||\bar{x}||$), то этот оператор является ортогональным.

Следующая теорема утверждает, что, чтобы линейный оператор был ортогонален, достаточно сохранения только нормы элемента. Если линейный оператор

Теорема (ОНБ в ОНБ) $\mathcal{A}$ из $E$ в $E$ есть оператор ортогональный и $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$ — какой-либо ортонормированный базис в $E$, то система элементов $\mathcal{A}{\bar{e}}_1,\mathcal{A}{\bar{e}}_2,\dots ,\mathcal{A}{\bar{e}}_n$ является так же ортонормированным базисом в $E$.

Если линейный оператор

Доказательство $\mathcal{A}$ будем иметь, что: $(\mathcal{A}{\bar{e}}_i,\mathcal{A}{\bar{e}}_j)=({\bar{e}}_i,{\bar{e}}_j)=\{\begin{array}{l}0,\text{ если }i\ne j\\ 1,\text{ если }i=j\end{array}$ Из чего следует ортогональность элементов $\mathcal{A}{\bar{e}}_i$ и $\mathcal{A}{\bar{e}}_j$ с нормой каждого, равной единице. Таким образом, система элементов $\{\mathcal{A}{\bar{e}}_1,\dots ,\mathcal{A}{\bar{e}}_n\}$ состоит из ненулевых и ортогональных между собой элементов. То есть, эта система линейно независима. Поскольку число элементов в системе равно размерности евклидова пространства $E$, то эта система будет являться базисом, и при том ортонормированным.

Действительно, в силу ортогональности оператора

Теорема (Обратное утверждение) $\mathcal{A}$ из $E$ в $E$, переводящий какой-либо ортонормированный базис $\{\bar{e}\}$ в ортонормированный базис $\{{\bar{e}}^{\prime }\}$, есть оператор ортогональный.

Линейный оператор

Ортогональная матрица и её свойства ^7-1-7-orthogonal-matrix-section

Определение $O$ называется ==ортогональной матрицей==, если выполняется равенство: $O^{T}O=E(6)$

Квадратная матрица

Замечание $E$, так как $E^{T}E=E\cdot E=E$.

Примером ортогональной матрицы может служить единичная матрица

Свойства ортогональной матрицы

1. Определитель ортогональной матрицы равен $\pm 1$ ($\det O=\pm 1$).

Доказательство $\det (O^{T}O)=\det (O^T)\cdot \det (O)=(\det O{)}^2$ Так как $\det E=1$, то $(\det O{)}^2=1\Rightarrow \det O=\pm 1$.

Возьмём определитель от левой и правой частей соотношения (6). Получим:

2. Обратная матрица совпадает с транспонированной: $O^{-1}=O^T$.

Доказательство $\det \ne 0$), то она имеет обратную матрицу $O^{-1}$. Умножим равенство (6) справа на матрицу $O^{-1}$: $(O^{T}O)O^{-1}=E\cdot O^{-1}\Rightarrow O^T(O{O}^{-1})=O^{-1}\Rightarrow O^T\cdot E=O^{-1}\Rightarrow O^T=O^{-1}$.

Так как ортогональная матрица является матрицей невырожденной (

3. Умножение матрицы на её транспонированную даёт единичную: $O{O}^T=E$.

Доказательство $O{O}^T=O{O}^{-1}=E$.

Согласно свойству 2:

4. Матрица $O^T$ также является ортогональной матрицей.

Доказательство $O^T$ примет вид $(O^T{)}^T\cdot O^T$. Согласно операции транспонирования: $(O^T{)}^T\cdot O^T=O\cdot O^T=E$ (по доказанному свойству 3). Значит, определение ортогональности для $O^T$ выполняется.

Левая часть равенства (6) для матрицы

5. Пусть матрицы $O$ и $C$ есть две ортогональные матрицы. Тогда их произведение $OC$ есть тоже матрица ортогональная.

Доказательство $(OC{)}^T(OC)=(C^T{O}^T)(OC)=C^T(O^{T}O)C=C^{T}EC=C^{T}C=E$.

Проверим выполнимость равенства (6) для произведения двух матриц:

6. Матрица $O^{-1}$, обратная к ортогональной, также является ортогональной.

Доказательство $O^{-1}=O^T$. А по свойству 4, матрица $O^T$ является ортогональной.

По свойству 2,

Теорема 1 (Связь оператора и матрицы)

Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе есть матрица ортогональная, то этот оператор является ортогональным. И наоборот, матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе есть матрица ортогональная.

Доказательство $A$ линейного оператора $\mathcal{A}$, действующего из $E$ в $E$ в ортонормированном базисе, есть матрица ортогональная ($A^{T}A=E$). Тогда для координатных столбцов $X$ и $Y$ рассмотрим матричную запись скалярного произведения образов: $(\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{y})=(AX{)}^T(AY)=X^T{A}^{T}AY=X^{T}EY=X^{T}Y=(\bar{x},\bar{y})$ Отсюда следует, что оператор $\mathcal{A}$ ортогональный.

Пусть матрица

Докажем обратное. В любом ортонормированном базисе соотношение $(\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{y})=(\bar{x},\bar{y})$ в координатной форме имеет вид $(AX{)}^T(AY)=X^{T}Y$, то есть $X^T{A}^{T}AY=X^{T}EY$. Из этого равенства (выполняющегося для любых $X,Y$) следует, что $A^{T}A=E$, что и означает ортогональность матрицы $A$.

Теорема 2

Оператор, обратный к ортогональному, есть оператор ортогональный.

Доказательство ${\mathcal{A}}^{\ast }={\mathcal{A}}^{-1}$. Из этого будет следовать, что $({\mathcal{A}}^{-1}{)}^{\ast }=({\mathcal{A}}^{\ast }{)}^{-1}=({\mathcal{A}}^{-1}{)}^{-1}=\mathcal{A}$, что соответствует свойствам ортогонального преобразования.

Действительно, для ортогонального оператора

Замечание

Сумма ортогональных операторов не является ортогональным оператором, а произведение ортогональных операторов есть оператор ортогональный.

Теорема 3 $P$ перехода в евклидовом пространстве от одного ортонормированного базиса к другому есть матрица ортогональная.

Матрица

Доказательство

Доказательство (Теоремы 3) $\{\bar{f}\}=({\bar{f}}_1,\dots ,{\bar{f}}_n)$ и $\{\bar{g}\}=({\bar{g}}_1,\dots ,{\bar{g}}_n)$ — два ортонормированных базиса. Известно, что матрица перехода $P$ от одного базиса к другому состоит из координатных столбцов разложения элементов нового базиса $\{\bar{g}\}$ по старому базису $\{\bar{f}\}$. Введём обозначение: обозначим каждый столбец матрицы $P$ через $P_i$. Тогда матрицу можно представить в виде: $P=(P_1,P_2,\dots ,P_n)$. Рассмотрим произведение $P^{T}P$: $P^{T}P=\left(\begin{array}{c}{P}_1^T\\ P_2^T\\ \dots \\ P_n^T\end{array}\right)(P_1,P_2,\dots ,P_n)=\left(\begin{array}{cccc}{P}_1^T{P}_1& P_1^T{P}_2& \dots & P_1^T{P}_n\\ P_2^T{P}_1& P_2^T{P}_2& \dots & P_2^T{P}_n\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ P_n^T{P}_1& P_n^T{P}_2& \dots & P_n^T{P}_n\end{array}\right)$ Произведение $P_i^T{P}_j$ внутри матрицы есть матричная запись скалярного произведения $({\bar{g}}_i,{\bar{g}}_j)$ элементов базиса $\{\bar{g}\}$ (так как координаты заданы в ОНБ $\{\bar{f}\}$). Так как базис $\{\bar{g}\}$ есть базис ортонормированный, то при $i\ne j$ это произведение равно $0$, а при $i=j$ произведение равно $1$: $P_i^T{P}_j=({\bar{g}}_i,{\bar{g}}_j)=\{\begin{array}{ll}0,& i\ne j\\ 1,& i=j\end{array}$ На основе этих соотношений получим, что $P^{T}P=E$. А это по определению означает, что матрица $P$ — ортогональная.

Пусть

Замечание $n$ является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису.

Верно и обратное: любая ортогональная матрица порядка

Ортогональные преобразования и диагонализация $A^{\prime }=P^{-1}AP$, где матрица $P$ — матрица перехода от одного базиса к другому. В Евклидовом пространстве матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ есть матрица ортогональная, которая имеет свойство $P^{-1}=P^T$. Тогда формула преобразования матрицы примет вид: $A^{\prime }=P^{T}AP(\ast \ast \ast )$ Это преобразование с ортогональной матрицей $P$ называют ортогональным преобразованием.

Известно, что матрицы одного и того же линейного оператора в разных базисах являются подобными, и при этом

Было доказано, что в базисе (ортонормированном) из собственных элементов преобразование приводит матрицу $A$ к матрице $\Lambda$ (диагональной матрице, где по главной диагонали стоят собственные значения ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ линейного оператора). Из всего сказанного следует, что любую симметрическую матрицу ортогональным преобразованием можно привести к диагональному виду.

---

Лекция №8.1.8-31.03.2026

LEGITCHECK

Квадратичные формы ^7-1-7-quadratic-forms-section

Пусть задан базис $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$ линейного пространства $V$.

Определение (Билинейная форма) Билинейной функцией (билинейной формой) в линейном пространстве называют функцию двух векторных аргументов $B(\bar{x},\bar{y})$, которая линейна по каждому из них:

1. $B(\bar{x}+\bar{z},\bar{y})=B(\bar{x},\bar{y})+B(\bar{z},\bar{y})$
2. $B(\alpha \bar{x},\bar{y})=\alpha B(\bar{x},\bar{y})$ (и аналогично для второго аргумента $\bar{y}$).

Определение (Симметрическая форма) симметрической, если для любых векторов $\bar{x}$ и $\bar{y}$ выполняется: $B(\bar{x},\bar{y})=B(\bar{y},\bar{x})$

Билинейную форму называют

Замечание (Матрица билинейной формы) $b_{ij}=B({\bar{e}}_i,{\bar{e}}_j)$ записывают в виде квадратной матрицы $B$. У симметрической билинейной формы матрица $B$ есть матрица симметрическая, то есть $B=B^T$ ($b_{ij}=b_{ji}$).

Коэффициенты билинейной формы

Рассмотрим симметрическую билинейную форму $B(\bar{x},\bar{y})$. Если положить, что $\bar{x}=\bar{y}$, то билинейная форма примет вид $B(\bar{x},\bar{x})$, которую в дальнейшем будем обозначать через $F(\bar{x},\bar{x})$.

Определение (Квадратичная форма) $n$ переменных $x_1,\dots ,x_n$ с действительными коэффициентами $b_{ij}$ называется квадратичной формой от переменных $x_1,\dots ,x_n$. $F(\bar{x},\bar{x})={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j(1)$

Однородный многочлен второй степени от

Перепишем соотношение (1) в развёрнутом виде для 3-х переменных $x_1,x_2,x_3$: $F(\bar{x},\bar{x})=b_{11}{x}_1^2+b_{22}{x}_2^2+b_{33}{x}_3^2+2b_{12}{x}_1{x}_2+2b_{13}{x}_1{x}_3+2b_{23}{x}_2{x}_3$

Квадратичные формы полностью определяются своей матрицей $B$. Эта матрица:

1. Квадратная.

2. Симметрическая ($B^T=B$).

Замечание (Правило записи матрицы) $B$ имеет следующее правило её записи: По главной диагонали стоят коэффициенты $b_{ii}$ перед квадратами переменных ($x_i^2$). Остальные элементы этой матрицы имеют симметрию относительно главной диагонали ($b_{ij}=b_{ji}$) и записываются в матрицу как коэффициенты при попарных произведениях, разделённые на 2.

Матрица квадратичной формы

Квадратичную форму (1) можно записать в матричной (векторной) форме: $F(\bar{x},\bar{x})=X^{T}BX$ Где $X=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ — координатный столбец вектора $\bar{x}$.

Определение $B$ квадратичной формы называют рангом квадратичной формы, а определитель матрицы $B$ называют определителем (дискриминантом) квадратичной формы. При этом, если определитель матрицы $B$ отличен от $0$ ($\det B\ne 0$), то квадратичная форма называется невырожденной.

Ранг матрицы

Преобразование матрицы квадратичной формы ^7-1-7-quadratic-transform-section

Рассмотрим невырожденное линейное преобразование переменных $x_1,\dots ,x_n$, которое получается при переходе от заданного базиса $\{\bar{e}\}$ к новому базису $\{{\bar{e}}^{\prime }\}$. Пусть $T$ — матрица перехода. Тогда старые координаты $X$ выражаются через новые $Y$ как: $X=TY$ Подставим это в матричную форму квадратичной формы: $F(\bar{x},\bar{x})=X^{T}BX=(TY{)}^{T}B(TY)=Y^T{T}^{T}BTY=Y^T(T^{T}BT)Y=Y^T{B}^{\prime }Y$

Теорема о связи матриц квадратичной формы $B$ (в старом) и $B^{\prime }$ (в новом) связаны соотношением: $B^{\prime }=T^{T}BT(2)$ Где $T$ — матрица перехода к новому базису.

Матрицы одной и той же квадратичной формы в разных базисах

Определение конгруэнтными. Матрицы $B$ и $B^{\prime }$ определяют одну и ту же квадратичную форму $F(\bar{x},\bar{x})$ в разных базисах.

Две квадратичные формы, получающиеся друг из друга с помощью невырожденного линейного преобразования, называют эквивалентными или

Теорема

Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса (ранг является инвариантом квадратичной формы).

Квадратичная форма канонического вида ^7-1-7-canonical-form-section

Определение $F(\bar{x},\bar{x})={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2(3)$ не имеющая попарных произведений переменных, называется квадратичной формой канонического вида. В соотношении (3) ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ есть действительные коэффициенты (канонические коэффициенты), а базис, в котором форма принимает такой вид, называется каноническим базисом.

Квадратичная форма вида:

---

Лекция 9.1.9-07.04.2026

…

---

Лекция 10.1.10-14.04.2026

…

Замечание Матрица T - матрица перехода. Покажем, что матрица Т будет являться ещё и матрицей поворота системы координат. …

Определение типа кривой по заданному уравнению 1 …

ПРи выполнении дз никаких параллельных переносов или поворотов не делается, а рисунок(вроде) делается в последнюю очередь в последней системе координат.

Функции нескольких переменных - ФНП

Основные понятия

Определение 1 Множество всевозможных упорядоченных совокупностей($x_1,x_2,...,x_n$) n чисел $x_1,...,x_n$ называется n-мерным координатным пространством и обозначается $A_n$. При этом каждую упорядоченную совокупность будем называть точкой пространства $A_n$ и будем обозначать $M(x_1,...,x_n)$. ПРи этом числа $x_1,...,x_n$ будем называть координатами этой точки.

Определение 2 Координатное пространство $A_n$ называется n-мерным евклидовым пространством $E_n$ если между любыми точками … этого пространства определено расстояние …

Определение 3 Областью $D$ называется множество точек плоскости обладающих свойствами открытости и связности.

Свойство открытости: Каждая точка принадлежит этой области вместе со своей окрестностью

Свойство связности: Любые 2 точки области могут быть соединены некоторой линией, все точки которой принадлежат области D

Определение 4 Внутренняя точка области - точка, лежащая в этой области и точки её окрестности также есть точки этой же области

Внешняя точка - точка не из области D и окрестность этой точки состоит из точек, не принадлежащих области D

Граничная точка области D

• это точка, принадлежащая или не принадлежащая, области D окрестность которой состоит из точек как области D, так и из точек ей не принадлежащих

Граница области D - совокупность всех граничных точек области D

Определение 5 Область D с присоединённой к ней границей называется замкнутой областью и обозначается как $\bar{D}$

Область называется ограниченной, если все её точки принадлежать некоторому кругу радиуса $R$. В противном случае область называется неограниченной.

Определение 6 Множество $\{M\}$ всевозможных точек $x_1,...,x_n$, которое удовлетворяет неравенству … называют n-мерным шаром радиуса R с центром в точке $M^{\prime }(x_1^{\prime },...,x_n^{\prime })$

Замечание Открытый шар может быть записан

Введём понятие предельного значения функции нескольких переменных

Функцией $U$ от нескольких переменных x_1,x_n называют закон f, по которому совокупности этих переменных ставится в соответствие значение, называемое функцией этих переменных, и при этом имеет место следующая запись $U=f(x_1,...,x_n)$ Учитывая, что …x_n есть координаты точки

С другой стороны, основываясь на понятиях линейной алгебры, в виде операторов

Функция, заданная в соотношении f_1 называется скалярная функция нескольких переменных … называется векторной функцией несокольких переменных и такая функция есть совокупность M скалярных функций

Определение предела функции по гейне

Лекция 11.2.11-21.04.2026

Определение предела функции по Гейне Числи $b$ называется пределом функции $u=f(M)$ при $M\to A$ если $\forall$ сходящейся в точке $A$ последовательности $M_1,\dots ,M_n\in \{M\}$ соответствующая последовательность $f(M_1),\dots ,d(M_n)$ (прослушал) сходится в $b$

Определение по коши Числи $b$ называется пределом функции $u=f(x)$ при $M\to A$ если $\forall \epsilon >0\exists \delta >0$ что для всех точек M и области задания функции удовлетворяющих условию…

Замечание Теорема Эти 2 определения эквивалентны

замечание 2 имеют место те же самые определения, из дифференциальной… функции одной переменной, относящихся к понятию бесконечно малые$({\lim }_{M\to A}f(M)=0)$ и бесконечно большой$({\lim }_{M\to A}f(M)=\infty )$

Замечание 3 Имеет место следующее утверждение: Если функция $u=f(M)$ имеет своим пределом числе $b$, то функция $\alpha (M)=f(M)-b(\ast )$ является бесконечно малой некоторой площади $A$. Из этого равенства $(\ast )$ следует, что $f(M)=b+\alpha (M)$

Замечание (там на доске с пределом что-то)

Линии и поверхности уровней

Линии уровней Рассмотрим функцию 2-х переменных $z=f(x,y)$. Геометрически это некая поверхность в 3-х мерном пространстве

Определение Линиями уровня функции $z=f(x,y)$ называются проекции сечения поверхности задаваемой уравнением $z=f(x,y)$ на плоскость $XOY$

Замечание Эти линии могут быть замкнутыми или не замкнутыми

Уравнениями линий уровня являются уравнения вида $f(x,y)=C$, где $C=const$

Замечание 2 Линии уровня дают возможность анализировать поведение трёхмерной поверхности по виду этих линий на плоскости

Поверхность уровней Функцию .. называют непрерывной, если $\lim_M\toA..

Функция u=f(M) называется непрерывной на множестве {M}, если она непрерывна в каждой точке этого множества

Определение Полное(мб нет) приращение u в точке a назовём дельта u(там на доске что-то)

Очевидно, что для непрерывности функции u=f(M) в точке A необходимо и достаточно, чтобы её полное приращение дельта u представляло собой бесконечно малую в точке A функцию, то есть необходимо и достаточно, чтобы предел при M\to A \delta u=\lim M\t…

Замечание Равенство предела при М к А = 0 называют разностной формой условия непрерывности функции u=f(M) в точке A

Замечание В отличие от полного преращения функции когда все аргументы фкнции получают приращение существует так называемое частное приращение функции по некоторому аргументу x_i. Это получается в том случае, когда приращение получает только 1 переменная x_i, а все остальные переменные эти приращения не получают

Тогда частное приращение функции в точке М…

Определение Функция $u=f(x_1,...,x_n)$ называется непрерывной в точке M(…) по переменной x_i

…

Перечислим основные свойства основные…

1. Арифметические операции над непрерывными функциями пусть f(M) и g(M) 2 непрерывные функции в точке A. Тогда их сумма, разность, произведение и частное(g(M)\neq0)
2. Пусть