Линейная Алгебра и Функции Нескольких Переменных

Модуль I. Линейная Алгебра

---

---

---

Лекция №1.1.1-10.02.2026

LEGIT CHECK

Запись координат векторов и элементов

$\vec{x}=(x_1,\dots ,x_n{)}^T=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\ne (x_1,\dots ,x_n)$ Элементы множеств записываются с чёрточкой сверху: $\bar{x}$

Линейное пространство ^1-1-1-space-section

Определение - Линейное пространство $V$ элементов $\bar{x},\bar{y},\bar{z}\dots$ любой природы называют линейным пространством, если выполнены следующие условия:

Множество

1. На множестве $V$ определена операция ==сложения== элементов, то есть каждой паре элементов $\bar{x}$ и $\bar{y}$ поставлен в соответствие элемент $\bar{z}\in V$, обозначаемый $\bar{z}=\bar{x}+\bar{y}$, и называемый суммой элементов $\bar{x}$ и $\bar{y}$.
2. Для элементов множества $V$ определена операция ==умножения на действительное число==, то есть каждому элементу $\forall \bar{x}\in V$ поставлен в соответствие элемент $\bar{z}\in V$, обозначаемый $\lambda \bar{x}=\bar{z}$, и называемый произведением элемента $\bar{x}$ на действительное число $\lambda$.

Указанные операции — линейные операции — подчиняются аксиомам линейного пространства:

Аксиомы линейного пространства

1. $\bar{x}+\bar{y}=\bar{y}+\bar{x}$ (коммутативность).
2. $(\bar{x}+\bar{y})+\bar{z}=\bar{x}+(\bar{y}+\bar{z})$ (ассоциативность сложения).
3. $\exists \bar{\theta }\in V:\forall \bar{x}\in V,\bar{x}+\bar{\theta }=\bar{x}$ (существование нуля).
4. $\forall \bar{x}\in V,\exists {\bar{x}}^{\prime }:\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime }=\bar{\theta }$ (существование противоположного элемента).

---

5. $1\cdot \bar{x}=\bar{x}$ (унитарность).
6. $\alpha (\beta \bar{x})=(\alpha \beta )\bar{x}$ (ассоциативность умножения).
7. $(\alpha +\beta )\bar{x}=\alpha \bar{x}+\beta \bar{x}$ (дистрибутивность по скалярам).
8. $\alpha (\bar{x}+\bar{y})=\alpha \bar{x}+\alpha \bar{y}$ (дистрибутивность по векторам).

Свойства линейного пространства (Следствия)

1. Свойство: Если $\exists \bar{\theta }$, то он единственный.

   Доказательство: Пусть ${\bar{\theta }}_1$ и ${\bar{\theta }}_2$ — нейтральные элементы. $\begin{array}{c}\Downarrow \\ \begin{array}{l}{\bar{\theta }}_1+{\bar{\theta }}_2={\bar{\theta }}_1\\ {\bar{\theta }}_1+{\bar{\theta }}_2={\bar{\theta }}_2+{\bar{\theta }}_1={\bar{\theta }}_2\end{array}\}\Rightarrow {\bar{\theta }}_1={\bar{\theta }}_2\end{array}$

2. Свойство: Если $\bar{x}\in V$, то $\exists$ единственный противоположный элемент ${\bar{x}}^{\prime }\in V$.

   Доказательство: Пусть элементы ${\bar{x}}^{\prime }\in V$ и ${\bar{x}}^{\prime \prime }\in V$ — противоположные элементу $\bar{x}\in V$. $\begin{array}{l}{\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime }={\bar{x}}^{\prime \prime }+(\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime })={\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{\theta }={\bar{x}}^{\prime \prime }\\ {\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime }=({\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{x})+{\bar{x}}^{\prime }=(\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime \prime })+{\bar{x}}^{\prime }=\bar{\theta }+{\bar{x}}^{\prime }={\bar{x}}^{\prime }+\bar{\theta }={\bar{x}}^{\prime }\end{array}\}\Rightarrow {\bar{x}}^{\prime }={\bar{x}}^{\prime \prime }$

3. Свойство: Если ${\bar{x}}^{\prime }$ противоположный к $\bar{x}$, то ${\bar{x}}^{\prime }=(-1)\bar{x}$.
4. Свойство: $\forall$ вещественных $\alpha$ и $\bar{\theta }:\alpha \cdot \bar{\theta }=\bar{\theta }$.
5. Свойство: Из равенства $\alpha \bar{x}=\bar{\theta }\Rightarrow \{\begin{array}{l}\text{либо }\alpha =0\\ \text{либо }\bar{x}=\bar{\theta }\end{array}$.

---

Определение - Разность Разностью== $\bar{x}-\bar{y}$ элементов $\bar{x},\bar{y}\in V$ называют такой элемент $\bar{z}\in V$, что выполняется равенство $\bar{x}=\bar{y}+\bar{z}$.

==

Линейная зависимость и независимость ^1-1-1-lindep-section

Определение - Линейная зависимость и независимость $x_1,\dots ,x_n$ линейного пространства $V$ называют ==линейно зависимой==, если найдутся такие числа ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$, не все равные $0$, что: ${\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_n{x}_n=\bar{\theta }(1)$ Если равенство $(1)$ выполняется лишь при условии, что все ${\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_n=0$, то система ==линейно независима==.

Систему элементов

Свойства линейной зависимости/независимости элементов

1. Если среди системы элементов ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ $(2)$ найдётся хотя бы один нулевой элемент, то система $(2)$ линейно зависима.
2. Система элементов $(2)$, содержащая линейно зависимую подсистему элементов, линейно зависима.
3. Если система $(2)$ линейно независима, то любая её подсистема тоже будет линейно независима.

Теорема (Критерий линейной зависимости) Чтобы система была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих элементов являлся линейно комбинацией остальных.

Доказательство: Пусть дана система элементов $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

1. Необходимость ($\Rightarrow$) Дано: система $x_1,x_2,\dots ,x_n$ линейно зависима. Доказать: один из элементов выражается через остальные.

1. По определению линейной зависимости существуют ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$, не все равные нулю, такие что: ${\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n=\bar{\theta }$
2. Пусть ${\alpha }_k\ne 0$ (хотя бы один такой коэффициент существует).
3. Перенесем слагаемое ${\alpha }_k{x}_k$ в правую часть: ${\alpha }_k{x}_k=-{\alpha }_1{x}_1-\cdots -{\alpha }_{k-1}{x}_{k-1}-{\alpha }_{k+1}{x}_{k+1}-\cdots -{\alpha }_n{x}_n$
4. Разделим на ${\alpha }_k\ne 0$: $x_k=\left(-\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_k}\right)x_1+\cdots +\left(-\frac{{\alpha }_{k-1}}{{\alpha }_k}\right)x_{k-1}+\cdots +\left(-\frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_k}\right)x_n$
5. Полученное выражение является линейной комбинацией остальных элементов.

2. Достаточность ($\Leftarrow$) Дано: один из элементов — $x_k$ — является линейной комбинацией остальных. Доказать: система $x_1,x_2,\dots ,x_n$ линейно зависима.

1. По условию: $x_k={\beta }_1{x}_1+\cdots +{\beta }_{k-1}{x}_{k-1}+{\beta }_{k+1}{x}_{k+1}+\cdots +{\beta }_n{x}_n$
2. Перенесем $x_k$ в правую часть к остальным элементам: ${\beta }_1{x}_1+\cdots +{\beta }_{k-1}{x}_{k-1}+(-1)x_k+{\beta }_{k+1}{x}_{k+1}+\cdots +{\beta }_n{x}_n=\bar{\theta }$
3. Мы получили линейную комбинацию, равную нулевому вектору, в которой коэффициент при $x_k=-1\ne 0$.
4. Следовательно, по определению, система элементов линейно зависима.

Замечание

Понятия и свойства линейной зависимости и независимости элементов пространства переносится на матрицы-столбцы их координат.

Базис и координаты ^1-1-1-basis-section

Определение - Базис ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ линейного пространства $V$ называют его ==базисом==, если эти элементы линейно независимы и каждый элемент из пространства $V$ можно представить в виде их ==линейной комбинации== — разложить по элементам базиса.

Упорядоченную систему элементов

Для $\bar{x}=x_1{\bar{b}}_1+\cdots +x_n{\bar{b}}_n$ справедливо:

1. ${\bar{b}}_1,\dots ,{\bar{b}}_n$ — базис.
2. $x_1,\dots ,x_n$ — координаты $\bar{x}$ в $\{\bar{b}\}$. > > --- Обозначения:
3. Базис: $\{\bar{b}\}=({\bar{b}}_1,\dots ,{\bar{b}}_n)$
4. Координаты: $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$
5. $\bar{x}=\{\bar{b}\}X$

Теорема о единственности разложения элемента по базису Если разложение вектора по векторам базиса существует, то оно единственное.

Доказательство (от противного): Пусть $e_1,e_2,\dots ,e_n$ — базис линейного пространства $V$. Предположим, что вектор $x$ имеет два различных разложения по этому базису:

1. $x={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_n{e}_n$
2. $x={\beta }_1{e}_1+{\beta }_2{e}_2+\cdots +{\beta }_n{e}_n$

Вычтем из первого равенства второе почленно: $x-x=({\alpha }_1-{\beta }_1)e_1+({\alpha }_2-{\beta }_2)e_2+\cdots +({\alpha }_n-{\beta }_n)e_n$ $\bar{\theta }=({\alpha }_1-{\beta }_1)e_1+({\alpha }_2-{\beta }_2)e_2+\cdots +({\alpha }_n-{\beta }_n)e_n$

Так как $e_1,\dots ,e_n$ — базис, то эти векторы линейно независимы. По определению линейной независимости, их линейная комбинация равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю: $\{\begin{array}{l}{\alpha }_1-{\beta }_1=0\Rightarrow {\alpha }_1={\beta }_1\\ {\alpha }_2-{\beta }_2=0\Rightarrow {\alpha }_2={\beta }_2\\ \dots \\ {\alpha }_n-{\beta }_n=0\Rightarrow {\alpha }_n={\beta }_n\end{array}$

Вывод: Координаты совпадают, предположение о двух разных разложениях неверно. Разложение единственно.

---

Лекция №2.1.2-17.02.2026

LEGIT CHECK

Размерность линейного пространства ^2-1-2-dimension-section

Определение $n$ называется размерностью линейного пространства $V$ ($\dim V=n$) если в этом пространстве имеется $n$ линейно независимых элементов, а любой $n+1$ элемент будет линейно зависимым.

Натуральное число

---

Линейное пространство $V$, размерность которого равна $n$, называется $n$-мерным линейным пространством и обозначается $V_n$.

---

Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечно-мерным, а пространство, в котором существует любой сколько угодно большое число линейно независимых элементов, называется бесконечно-мерным пространством. В линейной алгебре изучаются конечно-мерные пространства.

Замечание тривиальным и считают, что его размерность равна $0$.

Если линейное пространство состоит из одного нулевого элемента, то это пространство называют

Замечание $n$-мерном линейном пространстве количество элементов в любом базисе одинаково и совпадает с размерностью линейного пространства.

В

Дополнение до базиса ^2-1-2-basis-completion-section

Теорема о дополнении базиса Пусть система $b_1,b_2,\dots ,b_k$ линейного пространства $V$, размерность которого равняется $n$, линейно независима, а $n>k$. Тогда в пространстве $V$ найдутся элементы $b_{k+1},b_{k+2},\dots ,b_n$, такие, что дополненная система $b_1,b_2,\dots ,b_k,b_{k+1},\dots ,b_n$ будет линейно независимой и образовывать базис.

Замечание. Способы проверки линейной зависимости/независимости элементов:

1. По определению
2. Определитель матрицы
3. Приведение матрицы к ступенчатому виду и оценка ранга

Изоморфизм ^2-1-2-isomorphism-section

Определение $2$ линейных пространства $V:x,y\in V$ и $V^{\prime }:x^{\prime },y^{\prime }\in V^{\prime }$ называются изоморфными $(V\sim V^{\prime })$, если между их элементами установлено взаимно однозначное соответствие, при котором:

• $x+y⟺x^{\prime }+y^{\prime }$
• $\alpha x⟺\alpha x^{\prime }$

Теорема об изоморфизме линейных пространств $2$ линейных пространства были изоморфны необходимо и достаточно чтобы они имели одну и ту же размерность.

Чтобы

Замена базиса(Матрица перехода) ^2-1-2-basis-change-section

Определение - Матрица перехода $P$, столбцами которой являются координаты векторов нового базиса $G$ в старом базисе $F$, называется матрицей перехода от базиса $F$ к базису $G$.

Матрица

---

Пусть в $n$-мерном линейном пространстве $V$ заданы два базиса: Старый базис: $F=({\bar{f}}_1,{\bar{f}}_2,\dots ,{\bar{f}}_n)$ Новый базис: $G=({\bar{g}}_1,{\bar{g}}_2,\dots ,{\bar{g}}_n)$

Разложим векторы нового базиса ${\bar{g}}_i$ по элементам старого базиса ${\bar{f}}_i$:

$$\{\begin{array}{l}{\bar{g}}_1=P_{11}{\bar{f}}_1+P_{21}{\bar{f}}_2+\cdots +P_{n1}{\bar{f}}_n\\ {\bar{g}}_2=P_{12}{\bar{f}}_1+P_{22}{\bar{f}}_2+\cdots +P_{n2}{\bar{f}}_n\\ \dots \\ {\bar{g}}_n=P_{1n}{\bar{f}}_1+P_{2n}{\bar{f}}_2+\cdots +P_{nn}{\bar{f}}_n\end{array}$$

В матричном виде:

$$({\bar{g}}_1,{\bar{g}}_2,\dots ,{\bar{g}}_n)=({\bar{f}}_1,{\bar{f}}_2,\dots ,{\bar{f}}_n)\cdot \left(\begin{array}{cccc}{P}_{11}& P_{12}& \dots & P_{1n}\\ P_{21}& P_{22}& \dots & P_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ P_{n1}& P_{n2}& \dots & P_{nn}\end{array}\right)$$

Краткая матричная запись: $G=F\cdot P$

Свойства матрицы перехода

1. Свойство: Определитель матрицы перехода отличен от нуля ($\det P\ne 0$). Из этого также следует, что у матрицы $P$ всегда существует обратная матрица $P^{-1}$.

   Доказательство: Если бы определитель матрицы $P$ был равен $0$, то её столбцы были бы линейно зависимы. Так как столбцы матрицы $P$ — это столбцы координат векторов нового базиса ${\bar{g}}_1,\dots ,{\bar{g}}_n$ в старом базисе $F$, то сами векторы нового базиса оказались бы линейно зависимыми. Это противоречит определению базиса (базис — это всегда линейно независимая система). Следовательно, матрица $P$ невырождена ($\det P\ne 0$).

2. Свойство: Матрица $P^{-1}$ является матрицей перехода от нового базиса $G$ к старому базису $F$.

   Доказательство: Так как матрица $P$ невырождена, умножим левую и правую части равенства $G=F\cdot P$ на матрицу $P^{-1}$ справа: $G\cdot P^{-1}=F\cdot P\cdot P^{-1}\Rightarrow G\cdot P^{-1}=F\cdot E\Rightarrow F=G\cdot P^{-1}$ Это равенство означает, что столбцы матрицы $P^{-1}$ являются координатами элементов старого базиса $F$ относительно нового базиса $G$. По определению, $P^{-1}$ — матрица перехода от $G$ к $F$.

3. Свойство: Правило умножения матриц перехода. Пусть в линейном пространстве задано 3 базиса: $F$, $G$, $D$. Если $P$ — матрица перехода от $F$ к $G$, а $L$ — матрица перехода от $G$ к $D$, то матрицей перехода от $F$ к $D$ будет произведение матриц $P\cdot L$.

   Доказательство: По определению матрицы перехода имеем: $G=F\cdot P,D=G\cdot L$ Подставим выражение для $G$ во второе равенство: $D=(F\cdot P)\cdot L=F\cdot (P\cdot L)$ Следовательно, матрица $(P\cdot L)$ является матрицей перехода от базиса $F$ к базису $D$.

4. Свойство: Формула изменения координат вектора при переходе к новому базису. Старые координаты вектора выражаются через новые умножением матрицы перехода $P$ на столбец новых координат: $X=P\cdot X^{\prime }$.

   Доказательство: Пусть $\bar{x}\in V$. Обозначим столбец его координат в старом базисе $F$ как $X$, а в новом базисе $G$ как $X^{\prime }$. Запишем разложение вектора по обоим базисам в матричном виде: $\bar{x}=F\cdot X,\bar{x}=G\cdot X^{\prime }$ Приравняем правые части и подставим формулу связи базисов $G=F\cdot P$: $F\cdot X=G\cdot X^{\prime }=(F\cdot P)\cdot X^{\prime }=F\cdot (P\cdot X^{\prime })$ В силу теоремы о единственности разложения вектора по базису (коэффициенты при одинаковых базисных векторах ${\bar{f}}_i$ должны совпадать), столбцы координат равны: $X=P\cdot X^{\prime }$.

---

Лекция №3.1.3-24.02.2026

LEGIT CHECK

Линейные подпространства ^3-1-3-subspace-section

Линейные подпространства $W$ линейного пространства $V$ называют ==линейным подпространством== пространства $V$, если: $\forall \bar{x},\bar{y}\in W,\alpha \in \mathbb{R}\Rightarrow$

Непустое множество

1. $\bar{x}+\bar{y}\in W$
2. $\alpha \bar{x}\in W$

Замечание $V$ всегда имеется по крайней мере ==2 линейных подпространства==:

В любом линейном пространстве

1. Само линейное пространство $V$
2. Линейное пространство, состоящее из одного нулевого элемента $\bar{\theta }$ - такие подпространства называются тривиальными, а все остальные линейные подпространства называются собственными

Свойства линейных подпространств

1. Если ${\bar{x}}_1\dots {\bar{x}}_n\in W$, то ${\alpha }_1{\bar{x}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{x}}_n\in W$.
2. Линейное подпространство $W$ само является линейным пространством.
3. Размерность подпространства $W$ не превосходит размерность пространства $V$: $\dim W\le \dim V$

Сумма и пересечения линейных подпространств ^3-1-3-sum-intersect-section

Пусть $W_1,W_2$ - два линейных подпространства линейного пространства $V$

Определение - Сумма $W_1+W_2$ называют ==совокупность всевозможных $x\in W$==, которые могут быть представлены как $\bar{x}={\bar{x}}_1+{\bar{x}}_2$, где ${\bar{x}}_1\in W_1,{\bar{x}}_2\in W_2$

Суммой

Определение - Пересечения совокупность элементов пространства $V$==, одновременно принадлежащих $W_1$ и $W_2$

Пересечением двух линейных подпространств называют ==

Свойства

1. Сумма линейных подпространств $W_1+W_2$ является линейным подпространством пространства $V$.
2. Пересечение пространств $W_1\cap W_2$ является линейным подпространством пространства $V$.
3. Имеет место для размерности следующая формула: $\dim (W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim (W_1\cap W_2)$ - ==формула Грассмана==

Прямая сумма подпространств и её свойства ^3-1-3-direct-sum-section

Определение - Прямая сумма пересечения этих двух подпространств есть тривиальное множество==.

Сумма линейных подпространств называется прямой, если ==

Обозначение: $W_1\oplus W_2$

Свойства:

1. Прямая сумма двух линейных подпространств сама является линейным подпространством.
2. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей этих двух подпространств.

Линейная оболочка и её свойства ^3-1-3-span-section

Пусть в линейном пространстве $V$ задана система элементов ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ Рассмотрим в этом пространстве множество $X$, которое представляет собой линейную комбинацию этих элементов: $X:$ ${\alpha }_1{\bar{x}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{x}}_n$

Определение - Линейная оболочка $X$ линейного пространства $V$ называют совокупность всевозможных линейных комбинаций ${\alpha }_1{\bar{x}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{x}}_n$ для ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ Обозначается: $\mathrm{span}({\bar{x}}_1,...,{\bar{x}}_n)=L(X)$

Линейной оболочкой подмножества

Свойства

1. Линейная оболочка $L(X)$ содержит в себе множество $X$
2. Линейная оболочка $L(X)$ есть линейное подпространство пространства $V$
3. Линейная оболочка $L(X)$ это наименьшее линейное подпространство, содержащее множество $X$

Третье свойство следует понимать следующим образом: Если линейное подпространство $W$ содержит множество $X$, то $W$ содержит и его линейную оболочку $L(X)$

Из определения и свойств линейной оболочки следует, что ==каждое линейное подпространство есть линейная оболочка элементов своего базиса== и это является одним из возможных способов задания линейного подпространства.

Ранг системы элементов ^3-1-3-rank-section

Ранг системы векторов размерность линейной оболочки== этой системы элементов.

Рангом системы элементов в линейном пространстве называют ==

Ранг системы элементов ${\bar{a}}_1,\dots ,{\bar{a}}_n$ линейного пространства $V$ равен:

1. Максимальному количеству линейно независимых элементов этой системы.
2. Рангу матрицы, составленной из координатных столбцов этих элементов в каком-либо базисе линейного пространства $V$.

Евклидовы пространства ^3-1-3-euclidean-section

Евклидово пространство $E$ называют Евклидовым пространством, если любым элементам $\bar{x},\bar{y}\in E$ ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением, такое, что $\forall \bar{x},\bar{y},\bar{z}\dots$ и действительного числа $\alpha \in \mathbb{R}$ выполняются следующие условия:

Линейное пространство

Аксиомы евклидова пространства/скалярного произведения

1. $(\bar{x},\bar{y})=(\bar{y},\bar{x})$ - коммутативность или симметрия
2. $(\bar{x}+\bar{y},\bar{z})=(\bar{x},\bar{z})+(\bar{y},\bar{z})$ - дистрибутивность
3. $(\alpha \bar{x},\bar{y})=\alpha (\bar{x},\bar{y})$ - ассоциативность
4. $(\bar{x},\bar{x})\ge 0$, причём $(\bar{x},\bar{x})=0⟺\bar{x}=\bar{\theta }$

Замечание $(\bar{x},\bar{x})={\bar{x}}^2$ называют скалярным квадратом элемента $\bar{x}$

Замечание $V$ становится Евклидовым пространством, если в нём сохраняется скалярное произведение, введённое во множество $E$.

Всякое линейное пространство

Замечание $L$, задав при этом базис $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$ и предположив, что $\forall \bar{x},\bar{y}\in L$ представлены в виде разложения по элементам базиса $\bar{e}:$ $\begin{array}{c}\bar{x}={\alpha }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{e}}_n\bar{y}={\beta }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\beta }_n{\bar{e}}_n\end{array}$

Можно указать общий способ введения скалярного произведения в произвольном вещественном пространстве

В этом случае скалярное произведение элементов можно ввести, например, как сумму произведений коэффициентов ${\alpha }_k$ на ${\beta }_k$: $(\bar{x},\bar{y})={\alpha }_1{\beta }_1+\cdots +{\alpha }_n{\beta }_n={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i(1)$

При этом все аксиомы выполняются и линейное пространство $L$ со скалярным произведением $(1)$ является евклидовым.

Замечание $C[a,b]$ являются непрерывные функции $x(t)$ и $y(t)$, заданные на этом же отрезке $[a,b]$, то скалярным произведением таких функций будет интеграл их произведения: $(\bar{x},\bar{y})={\int }_a^{b}x(t)y(t)dt$

Если элементами линейного пространства

Замечание - Матрица Грама Разным базисам соответствуют разные скалярные произведения.

Пусть элементы $\bar{x},\bar{y}\in L$ и задаются своими координатами в некотором базисе $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)\in L$: $\bar{x}={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\bar{e}}_i\bar{y}={\sum }_{j=1}^n{y}_j{\bar{e}}_j$ Подставим эти соотношения в скалярное произведение элементов $X_1$ и применим в последующем аксиомы $2$ и $3$. Тогда получим: $(\bar{x},\bar{y})={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{x}_i{y}_j({\bar{e}}_i,{\bar{e}}_j)$ Правую часть этой формулы можно переписать в виде умножения матриц: $(\bar{x},\bar{y})=({\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n)\left(\begin{array}{ccc}({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_n)\\ \dots & \dots & \dots \\ ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_n)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ \dots \\ y_n\end{array}\right)=X^T\Gamma Y(2)$ Где $\Gamma =\left(\begin{array}{ccc}({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_1,{\bar{e}}_n)\\ \dots & \dots & \dots \\ ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_1)& \dots & ({\bar{e}}_n,{\bar{e}}_n)\end{array}\right)(3)\text{ - Матрица Грама}$

Эта матрица обладает следующими свойствами:

1. Матрица $\Gamma$ является квадратной и при любом наборе элементов имеет определитель.
2. Матрица $\Gamma$ является симметрической, поскольку аксиома $1$ скалярного произведения позволяет переставлять местами элементы скалярного произведения. То есть $({\bar{e}}_i,{\bar{e}}_j)=({\bar{e}}_j,{\bar{e}}_i)$
3. Из симметрии матрицы $\Gamma$ следует, что ${\Gamma }^T=\Gamma$
4. Если элементы ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$ линейно независимы, то определитель матрицы $\Gamma$ будет положительным, а если они будут линейно зависимы, то определитель будет равен $0$.

Замечание $(\bar{x},\bar{y})$ ставится в соответствие число, соответствующее аксиоме.

Комплексное линейное пространство называют комплексным евклидовым или унитарным пространством, если в нём введена операция скалярного умножения элементов, и где произведению

Неравенство Коши-Буняковского ^3-1-3-cauchy-section

Теорема Для любых двух элементов $\bar{x},\bar{y}\in E$ справедливо неравенство, называемое неравенством Коши-Буняковского: $(\bar{x},\bar{y}{)}^2\le (\bar{x},\bar{x})(\bar{y},\bar{y})(\ast )$

Доказательство $(\ast )$ выполняется, согласно аксиоме, что $(\bar{\theta },\bar{y})=0$ Если скалярный квадрат не равен 0, то для любого действительного числа $\lambda$ выполняется: $\begin{array}{c}(\bar{x}-\lambda \bar{y},\bar{x}-\lambda \bar{y})\ge 0(\ast \ast )\\ (\bar{x},\bar{x})-2\lambda (\bar{x},\bar{y})+{\lambda }^2(\bar{y},\bar{y})\ge 0\\ \text{Получили в результате квадратный трёхчлен относительно λ,}\\ \text{значения которого неотрицательны при любых λ, в частности при λ=(yˉ,yˉ)(xˉ,yˉ)(∗∗∗)}\\ \text{Подставив λ}\\ \Downarrow \\ (\bar{x},\bar{x})-2\frac{(\bar{x},\bar{y})}{(\bar{y},\bar{y})}(\bar{x},\bar{y})+\frac{(\bar{x},\bar{y}{)}^2}{(\bar{y},\bar{y}{)}^2}(\bar{y},\bar{y})=(\bar{x},\bar{x})-\frac{(\bar{x},\bar{y}{)}^2}{(\bar{y},\bar{y})}\ge 0\\ \Downarrow \\ (\ast )\end{array}$

Если скалярный квадрат равен 0, то это нулевой элемент, и неравенство

Замечание $(\bar{x},\bar{y}{)}^2=(\bar{x},\bar{x})(\bar{y},\bar{y})$ достигается тогда и только тогда, когда векторы $\bar{x}$ и $\bar{y}$ линейно зависимы (коллинеарны), то есть $\bar{x}=\lambda \bar{y}$.

Знак равенства в неравенстве Коши-Буняковского

Замечание $\begin{array}{c}(\bar{x},\bar{y})={\alpha }_1{\beta }_1+\cdots +{\alpha }_n{\beta }_n=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i\\ \Downarrow \\ (\bar{x},\bar{x})=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2(\bar{y},\bar{y})=\sum _{i=1}^n{\beta }_i^2\\ \text{Тогда, с учётом этого, неравенство Коши-буняковского можно записать как:}\\ (\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i{)}^2\le (\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2)(\sum _{i=1}^n{\beta }_i^2)\end{array}$

Так как скалярное произведение двух элементов задаётся формулой

Замечание $C[a,b]$ $\begin{array}{c}(\bar{x},\bar{y})={\int }_a^{b}x(t)y(t)dt\\ {\left({\int }_a^{b}x(t)y(t)dt\right)}^2\le {\int }_a^b{x}^2(t)dt\cdot {\int }_a^b{y}^2(t)dt\\ \Uparrow \\ \text{Неравенство Шварца}\end{array}$

В линейном пространстве

---

Лекция №4.1.4-03.03.2026

LEGIT CHECK

Нормированное пространство ^4-1-4-norm-section

Определение $V$ называется ==нормированным пространством==, если по некоторым правилам $\forall \bar{x}\in V$ в соответствие ставится действительное число, называемое модулем, ==нормой==, или длиной данного элемента ($||\bar{x}||$), и при этом выполняются следующие аксиомы нормы:

Линейное пространство

Аксиомы нормы:

1. $||\bar{x}||\ge 0$, причем $||\bar{x}||=0⟺\bar{x}=\bar{\theta }$
2. $||\lambda \bar{x}||=|\lambda |\cdot ||\bar{x}||$
3. $||\bar{x}+\bar{y}||\le ||\bar{x}||+||\bar{y}||$ - неравенство треугольника (или неравенство Минковского)

Теорема $E$ можно ==нормировать==, если ввести норму по следующему правилу: $||\bar{x}||=\sqrt{(\bar{x},\bar{x})}$

Любое Евклидово пространство

Определение $\bar{x}$ и $\bar{y}$ называют число $\phi$, которое удовлетворяет двум условиям:

Углом между двумя линейными элементами

1. $0\le \phi \le \pi$
2. $\cos \phi =\frac{(\bar{x},\bar{y})}{||\bar{x}||\cdot ||\bar{y}||}$

В координатной форме (в ортонормированном базисе): $\cos \phi =\frac{x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n}{\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}\sqrt{y_1^2+\cdots +y_n^2}}$

Базисы евклидова пространства ^4-1-4-basis-section

Ортогональность $\bar{x},\bar{y}\in E$ называются ортогональными, если $(\bar{x},\bar{y})=0$.

Элементы

Ортонормированность ${\bar{a}}_1,{\bar{a}}_2,\dots ,{\bar{a}}_n\in E$ называется ортогональной, если: $({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_j)=0,i\ne j$ И эта система называется ортонормированной, если: $({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_j)=\{\begin{array}{l}1,\text{ если }i=j\\ 0,\text{ если }i\ne j\end{array}$ Замечание: Символ ${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{l}1,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}$ называется символом Кронекера.

Система элементов

Теорема Ортонормированная система элементов линейно независима.

Доказательство ${\bar{a}}_1,{\bar{a}}_2,\dots ,{\bar{a}}_n$. Составим линейную комбинацию элементов этой системы и приравняем её к $\bar{\theta }$: ${\beta }_1{\bar{a}}_1+\cdots +{\beta }_n{\bar{a}}_n=\bar{\theta }$ Умножим скалярно левую и правую часть на элемент ${\bar{a}}_i$: Тогда, опираясь на определение ортонормированной системы (все слагаемые, где $j\ne i$, обнулятся): ${\beta }_i({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_i)=0$ Но, так как $({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_i)\ne 0\Rightarrow {\beta }_i=0$. Так как это выполняется для любого $i$, все коэффициенты равны нулю, что по определению означает линейную независимость системы.

Пусть дана ортонормированная система элементов

Определение для базисов ортогональным. Ортогональный базис называется ортонормированным==, если его элементы попарно ортогональны между собой и каждый из них имеет длину (норму) равную $1$.

Базис евклидова пространства, который представляет собой ортогональную систему элементов, называется ==

Замечание $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$, скалярное произведение принимает вид: $(\bar{x},\bar{y})=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n=X^{T}EY=X^{T}Y$ Где: $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \dots \\ x_n\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ \dots \\ y_n\end{array}\right)$

В случае ортонормированной системы элементов

LEGIT CHECK

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта ^4-1-4-gram-schmidt-section

Задача: Пусть задан произвольный базис ${\bar{a}}_1,\dots ,{\bar{a}}_n\in V$. Необходимо построить на его основе ортонормированный базис ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$.

Шаг 1. Переход от системы ${\bar{a}}_1,\dots ,{\bar{a}}_n$ к ортогональному базису ${\bar{b}}_1,\dots ,{\bar{b}}_n$

1. Полагаем первый вектор равным исходному: ${\bar{b}}_1={\bar{a}}_1$
2. Ищем второй вектор в виде ${\bar{b}}_2={\bar{a}}_2-\alpha {\bar{b}}_1$ из условия ортогональности ${\bar{b}}_2\perp {\bar{b}}_1\Rightarrow ({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_1)=0$: $({\bar{a}}_2-\alpha {\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)=0\Rightarrow ({\bar{a}}_2,{\bar{b}}_1)-\alpha ({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)=0\Rightarrow \alpha =\frac{({\bar{a}}_2,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}$ $\text{Итого: }{\bar{b}}_2={\bar{a}}_2-\frac{({\bar{a}}_2,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}{\bar{b}}_1$
3. Ищем третий вектор в виде ${\bar{b}}_3={\bar{a}}_3-{\beta }_1{\bar{b}}_1-{\beta }_2{\bar{b}}_2$ из условий ${\bar{b}}_3\perp {\bar{b}}_1$ и ${\bar{b}}_3\perp {\bar{b}}_2$: Умножим на ${\bar{b}}_1$: $({\bar{b}}_3,{\bar{b}}_1)=({\bar{a}}_3-{\beta }_1{\bar{b}}_1-{\beta }_2{\bar{b}}_2,{\bar{b}}_1)=0$ $({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_1)-{\beta }_1({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)-{\beta }_2\underset{=0}{\underbrace{({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_1)}}=0\Rightarrow {\beta }_1=\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}$ Аналогично, умножив на ${\bar{b}}_2$, получим ${\beta }_2=\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_2)}{({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_2)}$. $\text{Итого: }{\bar{b}}_3={\bar{a}}_3-\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}{\bar{b}}_1-\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_2)}{({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_2)}{\bar{b}}_2$
4. Общая формула для n-го шага: ${\bar{b}}_n={\bar{a}}_n-\frac{({\bar{a}}_n,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}{\bar{b}}_1-\cdots -\frac{({\bar{a}}_n,{\bar{b}}_{n-1})}{({\bar{b}}_{n-1},{\bar{b}}_{n-1})}{\bar{b}}_{n-1}$

Шаг 2. Нормировка векторов (переход от ${\bar{b}}_i$ к ${\bar{e}}_i$) Чтобы получить ортонормированный базис, каждый полученный вектор ${\bar{b}}_i$ нужно разделить на его длину (норму): ${\bar{e}}_1=\frac{{\bar{b}}_1}{||{\bar{b}}_1||},{\bar{e}}_2=\frac{{\bar{b}}_2}{||{\bar{b}}_2||},\dots {\bar{e}}_n=\frac{{\bar{b}}_n}{||{\bar{b}}_n||}$

Линейные операторы в линейном пространстве ^4-1-4-operator-section

Оператор (Отображение) $f$, по которому каждому элементу $\bar{x}\in X$ ставится в соответствие единственный элемент $\bar{y}\in Y$, называют отображением, преобразованием или оператором множества $X$ в множество $Y$. Записывают: $\bar{y}=f(\bar{x})$ Обозначение: $f:X\to Y$

Правило

• $Y\bar{x}=\bar{x}$ - тождественный оператор
• $\theta \bar{x}=\bar{\theta }$ - нулевой оператор

Замечание $f:X\to X$).

Если отображение или оператор преобразует элемент в другой элемент того же самого множества, то это называется преобразованием пространства в себя (

Определение линейного оператора $V$ и $W$ - два линейных пространства. Отображение $A:V\to W$ называют линейным оператором, если выполнены следующие 2 условия (свойства линейности):

Пусть

1. $A(\bar{x}+\bar{y})=A\bar{x}+A\bar{y}$ (аддитивность)
2. $A(\alpha \bar{x})=\alpha A\bar{x}$ (однородность)

Два записанных условия могут быть объединены в одно эквивалентное условие: $A(\lambda {\bar{x}}_1+\mu {\bar{x}}_2)=\lambda A{\bar{x}}_1+\mu A{\bar{x}}_2$

---

Лекция №5.1.5-10.03.2026

LEGIT CHECK

Образ, Ядро, Ранг и Дефект оператора ^4-1-4-image-kernel-section

Образ Образом линейного оператора== $\mathcal{A}:V\to W$ называют множество $\mathrm{im}\mathcal{A}\subset W$ обладающее следующим свойством: $\bar{y}\in \mathrm{im}\mathcal{A}$, если $\exists \bar{x}\in V:\mathcal{A}\bar{x}=\bar{y}$ Где $\bar{y}$ — образ, $\bar{x}$ — прообраз.

==

Ядро Ядром== $\ker \mathcal{A}$ линейного оператора $\mathcal{A}:V\to W$ называют такое множество всех элементов пространства $V$, каждый из которых преобразование $\mathcal{A}$ переводит в $\bar{\theta }\in W$. (То есть $\forall \bar{x}\in \ker \mathcal{A}\Rightarrow \mathcal{A}\bar{x}=\bar{\theta }$)

==

Теорема $\forall \mathcal{A}:V\to W$ образ и ядро являются линейными подпространствами, соответственно пространства $W$ и пространства $V$.

Определение

• Размерностью образа ($\dim (\mathrm{im}\mathcal{A})$) называется ==ранг линейного оператора== $\mathcal{A}$ и обозначается $\mathrm{Rg}\mathcal{A}$.
• Размерность ядра ($\dim (\ker \mathcal{A})$) называется ==дефектом линейного оператора== $\mathcal{A}$ и обозначается $\mathrm{def}\mathcal{A}$.

Замечание (Теорема) $\mathcal{A}:V\to W$ справедливо равенство: $\mathrm{Rg}\mathcal{A}+\mathrm{def}\mathcal{A}=\dim V$

Для любого линейного оператора

Теорема о построении линейного оператора Пусть: $V$ и $W$ — линейные пространства. $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$ — базис в $V$. А элементы ${\bar{g}}_1,\dots ,{\bar{g}}_n\in W$ — произвольные векторы. Тогда: существует, и при том единственный, линейный оператор $\mathcal{A}:V\to W$, для которого $\mathcal{A}{\bar{e}}_i={\bar{g}}_i(i=\overline{1,n})$.

Построение линейного оператора полностью определяется его действием только на элементы базиса.

Матрица линейного оператора ^4-1-4-matrix-operator-section

Обозначения (Важно!) $\mathcal{A}$ — линейный оператор. $A$ — матрица этого оператора в заданном базисе.

Дальше мы будем отличать абстрактный оператор (правило) от его матрицы:

Пусть задан линейный оператор $\mathcal{A}:V\to W$ и задано линейное соотношение $\bar{y}=\mathcal{A}\bar{x}$. Найдём связь между координатами элемента $\bar{x}\in V$ и координатами его образа $\bar{y}\in W$. Для этого выберем в пространстве $V$ базис $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$. И пусть элемент $\bar{x}$ разложен по элементам этого базиса: $\bar{x}=x_1{\bar{e}}_1+\cdots +x_n{\bar{e}}_n$.

Тогда, в силу линейности преобразования, подействовав оператором на вектор, мы можем вынести скаляры и разбить сумму: $\mathcal{A}\bar{x}=x_1(\mathcal{A}{\bar{e}}_1)+\cdots +x_n(\mathcal{A}{\bar{e}}_n)={\sum }_{i=1}^n{x}_i(\mathcal{A}{\bar{e}}_i)(1)$

Образы базисных векторов $\mathcal{A}{\bar{e}}_i$ тоже лежат в пространстве и могут быть разложены по базису $\{\bar{e}\}$: $\mathcal{A}{\bar{e}}_k={\sum }_{i=1}^n{a}_{ik}{\bar{e}}_i(i=\overline{1,n})(2)$

Подставим $(2)$ в $(1)$: $\mathcal{A}\bar{x}={\sum }_{k=1}^n{x}_k\left({\sum }_{i=1}^n{a}_{ik}{\bar{e}}_i\right)={\sum }_{i=1}^n\left({\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k\right){\bar{e}}_i(3)$

Известно, что если существует разложение элемента по базису, то оно единственно. Элемент $\bar{y}=\mathcal{A}\bar{x}$ имеет координаты $y_i$: $\mathcal{A}\bar{x}=\bar{y}=y_1{\bar{e}}_1+\cdots +y_n{\bar{e}}_n={\sum }_{i=1}^n{y}_i{\bar{e}}_i(4)$

Сравнивая $(3)$ и $(4)$, приравниваем коэффициенты при одинаковых ${\bar{e}}_i$: $y_i={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k(5)$ Или в виде системы уравнений: $\{\begin{array}{l}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ \dots \\ y_n=a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n\end{array}(6)$

Правую часть можно переписать в матричной форме: $Y=AX(7)$, где $A$ — квадратная матрица, $k$-й столбец которой образован координатами вектора $\mathcal{A}{\bar{e}}_k$.

Определение $A$, составленная из координатных столбцов образов базисных векторов $\mathcal{A}{\bar{e}}_1,\dots ,\mathcal{A}{\bar{e}}_n$, называется ==матрицей линейного оператора== $\mathcal{A}$ в заданном базисе $\{\bar{e}\}$.

Матрица

Теорема $A$ порядка $n$ может рассматриваться как матрица некоторого линейного оператора $\mathcal{A}$, а преобразование $Y=AX$ является линейным преобразованием. При заданном базисе оператору $\mathcal{A}$ соответствует единственная матрица $A$, и наоборот ($\mathcal{A}⟺A$).

Каждая квадратная матрица

Теорема $A$ линейного оператора $\mathcal{A}$ совпадает с рангом этого оператора ($\text{rang}(A)=\mathrm{Rg}\mathcal{A}$).

Ранг матрицы

Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису ^4-1-4-similar-matrices-section

Матрица линейного оператора жестко связана с конкретным базисом. В другом базисе тот же самый абстрактный оператор $\mathcal{A}$ будет иметь совершенно другую матрицу.

Теорема (Связь матриц оператора в разных базисах) $\mathcal{A}$ в базисе $E$ имеет матрицу $A$, а тот же оператор $\mathcal{A}$ в базисе $E^{\prime }$ имеет матрицу $A^{\prime }$. Матрицы $A$ и $A^{\prime }$ связаны соотношением: $A^{\prime }=P^{-1}AP$ Где $P$ — матрица перехода от базиса $E$ к $E^{\prime }$.

Пусть оператор

Доказательство $\bar{y}=\mathcal{A}\bar{x}$. В старом базисе $E$ это записывается как $Y=AX$. В новом базисе $E^{\prime }$ это записывается как $Y^{\prime }=A^{\prime }{X}^{\prime }$. Известно, что связь между координатными столбцами элементов в разных базисах осуществляется через матрицу перехода $P$: $X=P{X}^{\prime }$ и $Y=P{Y}^{\prime }$. Выразим $Y^{\prime }$ из второго равенства: $Y^{\prime }=P^{-1}Y$. Подставим $Y=AX$: $Y^{\prime }=P^{-1}(AX)$. Подставим $X=P{X}^{\prime }$: $Y^{\prime }=P^{-1}(AP{X}^{\prime })=(P^{-1}AP)X^{\prime }$. Сравнивая полученное равенство $Y^{\prime }=(P^{-1}AP)X^{\prime }$ с равенством $Y^{\prime }=A^{\prime }{X}^{\prime }$, делаем вывод: $A^{\prime }=P^{-1}AP$

Пусть

Замечание (Подобные матрицы) $A$ и $A^{\prime }$, связанные соотношением вида $A^{\prime }=P^{-1}AP$, называются ==подобными матрицами==.

Квадратные матрицы

Теорема об инвариантности (неизменности) определителя $A$ и $A^{\prime }$ одного порядка $n$ подобны, то их определители равны ($\det A=\det A^{\prime }$).

Если квадратные матрицы

Доказательство $\det (ABC)=\det (A)\det (B)\det (C)$. $\det (A^{\prime })=\det (P^{-1}AP)=\det (P^{-1})\cdot \det (A)\cdot \det (P)$ Так как $\det (P^{-1})=\frac{1}{\det (P)}$, получаем: $\det (A^{\prime })=\frac{1}{\det (P)}\cdot \det (A)\cdot \det (P)=\det (A)$ Теорема доказана.

Используем свойство определителя произведения матриц:

Определение определителем линейного оператора. Так как он не меняется при смене базиса, это свойство самого оператора.

Определитель матрицы линейного оператора (в любом базисе) называют

Действия над линейными операторами ^4-1-4-operator-operations-section

1. Сложение линейных операторов

Определение $\mathcal{A}:V\to W$ и $\mathcal{B}:V\to W$. Суммой этих двух линейных операторов называется оператор $\mathcal{C}:V\to W$, определяемый по правилу: $\mathcal{C}\bar{x}=(\mathcal{A}+\mathcal{B})\bar{x}\stackrel{def}{=}\mathcal{A}\bar{x}+\mathcal{B}\bar{x}(\forall \bar{x}\in V)$ Обозначение: $\mathcal{C}=\mathcal{A}+\mathcal{B}$.

Пусть задано два линейных оператора

Теорема $\mathcal{C}=\mathcal{A}+\mathcal{B}$ является линейным оператором.

Сумма линейных операторов

Доказательство $\mathcal{C}$: $\mathcal{C}(\lambda \bar{x}+\mu \bar{y})=\mathcal{A}(\lambda \bar{x}+\mu \bar{y})+\mathcal{B}(\lambda \bar{x}+\mu \bar{y})=$ $=\lambda \mathcal{A}\bar{x}+\mu \mathcal{A}\bar{y}+\lambda \mathcal{B}\bar{x}+\mu \mathcal{B}\bar{y}=\lambda (\mathcal{A}\bar{x}+\mathcal{B}\bar{x})+\mu (\mathcal{A}\bar{y}+\mathcal{B}\bar{y})=\lambda \mathcal{C}\bar{x}+\mu \mathcal{C}\bar{y}$.

Проверим свойство линейности для

Свойства сложения:

1. $\mathcal{A}+\mathcal{B}=\mathcal{B}+\mathcal{A}$
2. $(\mathcal{A}+\mathcal{B})+\mathcal{C}=\mathcal{A}+(\mathcal{B}+\mathcal{C})$
3. $\mathcal{A}+\mathcal{O}=\mathcal{A}$ (где $\mathcal{O}$ — нулевой оператор)
4. $\mathcal{A}+(-\mathcal{A})=\mathcal{O}$

2. Умножение оператора на число

Определение $\mathcal{A}:V\to W$ на действительное число $\alpha$ называют оператор $\mathcal{B}:V\to W$, который определяется по правилу: $\mathcal{B}\bar{x}=(\alpha \mathcal{A})\bar{x}\stackrel{def}{=}\alpha (\mathcal{A}\bar{x})$ Обозначение: $\mathcal{B}=\alpha \mathcal{A}$. (Он также является линейным).

Произведением линейного оператора

Свойства умножения на число:

1. $1\cdot \mathcal{A}=\mathcal{A}$
2. $\alpha (\beta \mathcal{A})=(\alpha \beta )\mathcal{A}$
3. $(\alpha +\beta )\mathcal{A}=\alpha \mathcal{A}+\beta \mathcal{A}$
4. $\alpha (\mathcal{A}+\mathcal{B})=\alpha \mathcal{A}+\alpha \mathcal{B}$

3. Умножение (композиция) линейных операторов

Определение $\mathcal{A}:V\to V$ и $\mathcal{B}:V\to V$ называют такой оператор $\mathcal{C}$, действие которого на любой вектор $\bar{x}$ определяется последовательным применением: $\mathcal{C}\bar{x}=(\mathcal{A}\mathcal{B})\bar{x}\stackrel{def}{=}\mathcal{A}(\mathcal{B}\bar{x})$ (Он также является линейным).

Произведением операторов

Замечание некоммутативна: $\mathcal{A}\mathcal{B}\ne \mathcal{B}\mathcal{A}$.

Операция умножения двух линейных операторов в общем случае

Свойства умножения:

1. $(\mathcal{A}\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}(\mathcal{BC})$ (ассоциативность)
2. $\mathcal{A}\mathcal{I}=\mathcal{I}\mathcal{A}=\mathcal{A}$ (где $\mathcal{I}$ — тождественный (единичный) оператор, $\mathcal{I}\bar{x}=\bar{x}$)
3. $(\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{A}\mathcal{C}+\mathcal{BC}$ (дистрибутивность)

4. Обратный оператор

Определение $\mathcal{B}:V\to V$ называют обратным к оператору $\mathcal{A}$, если выполнено равенство: $\mathcal{B}\mathcal{A}=\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{I}$ Обозначение: $\mathcal{B}={\mathcal{A}}^{-1}$.

Линейный оператор

Теорема

1. Если оператор $\mathcal{A}$ имеет обратный ${\mathcal{A}}^{-1}$, то он является линейным.
2. Если оператору $\mathcal{A}$ соответствует матрица $A$, то обратному оператору ${\mathcal{A}}^{-1}$ соответствует обратная матрица $A^{-1}$.
3. Для того, чтобы оператор $\mathcal{A}$ имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы образ оператора $\mathcal{A}$ совпадал со всем пространством $V$ ($\mathrm{im}\mathcal{A}=V$, следовательно $\det A\ne 0$).
4. Обратный оператор определяется однозначно.

---

Лекция №6.1.6-17.03.2026

LEGIT CHECK

Собственные элементы в линейном пространстве ^6-1-6-eigen-section

Определение Ненулевой элемент $\bar{x}\in V$ называется ==собственным элементом== линейного оператора $\mathcal{A}:V\to V$, если имеет место соотношение $\mathcal{A}\bar{x}=\lambda \bar{x}$.

При этом $\lambda$ называется либо собственным значением, либо собственным числом, либо характеристическим значением линейного оператора $\mathcal{A}$.

Замечание

Не всякий линейный оператор обладает собственными элементами.

Определение спектром линейного оператора==.

Множество всех собственных значений линейного оператора называют ==

Замечание $\lambda$ отвечает бесконечно много коллинеарных между собой собственных элементов. б) Но каждому собственному элементу $\bar{x}$ отвечает единственное собственное значение $\lambda$.

а) Каждому собственному значению

Теорема о матрице в базисе из собственных векторов $\mathcal{A}$ имеет $n$ линейно независимых элементов ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$, являющихся собственными элементами, которые отвечают различным собственным значениям. Взяв базис ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$, построим матрицу $A$ линейного оператора $\mathcal{A}:V\to V$.

Пусть линейный оператор

$\mathcal{A}{\bar{e}}_1={\lambda }_1{\bar{e}}_1={\lambda }_1{\bar{e}}_1+0\cdot {\bar{e}}_2+\cdots +0\cdot {\bar{e}}_n$ $\mathcal{A}{\bar{e}}_2={\lambda }_2{\bar{e}}_2=0\cdot {\bar{e}}_1+{\lambda }_2{\bar{e}}_2+\cdots +0\cdot {\bar{e}}_n$ $\dots$ $\mathcal{A}{\bar{e}}_n={\lambda }_n{\bar{e}}_n=0\cdot {\bar{e}}_1+\cdots +{\lambda }_n{\bar{e}}_n$

Матрица оператора $\mathcal{A}$ в базисе из собственных элементов будет иметь диагональный вид: $A=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \dots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right)=\Lambda$

Замечание $A$ линейного оператора $\mathcal{A}$ в некотором базисе будет диагональной, то все элементы этого базиса будут собственными элементами оператора $\mathcal{A}$. Однако не для каждого линейного оператора в линейном пространстве будет существовать такая диагональная матрица.

Если матрица

Определение $M$ называется ==инвариантным== относительно линейного оператора $\mathcal{A}$, если $\forall \bar{x}\in M\Rightarrow \mathcal{A}\bar{x}\in M$. К такого рода инвариантным подпространствам относятся: а) Линейная оболочка любой системы собственных элементов линейного оператора. б) Подпространства $V^{\prime }$, состоящие из одного нулевого элемента, относительно любого линейного оператора. Такие подпространства называют тривиальными инвариантными подпространствами линейного пространства.

Линейное подпространство

Характеристическое уравнение матрицы линейного оператора ^6-1-6-char-eq-section

Пусть $\mathcal{A}:V\to V$, который имеет собственное значение $\lambda$ относительно собственного элемента $\bar{x}$. Тогда, по определению, имеет место соотношение: $\mathcal{A}\bar{x}=\lambda \bar{x}(1)$ Перепишем это равенство в матричном виде ($X$ — координатный столбец вектора $\bar{x}$): $AX=\lambda X\Rightarrow (A-\lambda E)X=\bar{\theta }(2)$ Соотношение (2) перепишем в виде системы уравнений (3): $\{\begin{array}{l}(a_{11}-\lambda )x_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+(a_{22}-\lambda )x_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+\cdots +(a_{nn}-\lambda )x_n=0\end{array}(3)$

В силу того, что, по определению, собственный элемент $\bar{x}\ne \bar{\theta }$, для существования ненулевого решения однородной системы необходимо, чтобы определитель матрицы системы (3) был равен 0: $\det (A-\lambda E)=0(4)$ Или: $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right|=0(5)$

Левая часть равенства (4) или (5) представляет собой многочлен $n$-й степени относительно $\lambda$, который называется характеристическим многочленом линейного оператора $\mathcal{A}$ в некотором базисе.

Определение характеристическими уравнениями матрицы $A$ линейного оператора $\mathcal{A}$, а его корни называют характеристическими или собственными числами (значениями).

Уравнения (4) и (5) называют

Отсюда следует, что каждое собственное значение линейного оператора, то есть ${\lambda }_i$, есть корень характеристического уравнения этого оператора. И наоборот, каждый корень характеристического уравнения оператора $\mathcal{A}$ будет его собственным значением. Система собственных элементов, отвечающая собственным значениям ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, находится из решения системы (3) с заменой $\lambda$ на конкретное ${\lambda }_i$.

Замечание

Если среди корней характеристического уравнения будут корни комплексные, то их следует отбросить и оставить только действительные корни этого уравнения.

Теорема об инвариантности характеристического многочлена

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса (инвариантен относительно замены базиса).

Доказательство $\mathcal{A}:V\to V$ в базисе $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$ имеет матрицу $A$, а в базисе $\{{\bar{e}}^{\prime }\}=({\bar{e}}_1^{\prime },\dots ,{\bar{e}}_n^{\prime })$ имеет матрицу $A^{\prime }$. Тогда, по ранее доказанной теореме, две эти матрицы есть матрицы подобные, и: $A^{\prime }=P^{-1}AP$ Где $P$ — матрица перехода от старого базиса к новому. Тогда характеристический многочлен матрицы $A^{\prime }$ равен: $\det (A^{\prime }-\lambda E)=\det (P^{-1}AP-\lambda P^{-1}EP)=\det (P^{-1}(A-\lambda E)P)=$ $=\det (P^{-1})\cdot \det (A-\lambda E)\cdot \det (P)$ Так как $\det (P^{-1})\cdot \det (P)=1$, получаем: $\det (A^{\prime }-\lambda E)=\det (A-\lambda E)$ Характеристические многочлены равны.

Пусть линейный оператор

Замечание (О кратности корней) $k=n-r$ (размерность пространства решений) не совпадает с алгебраической кратностью $\lambda$. б) В том случае, если $k=n-r$ будет в точности равно кратности найденного $\lambda$, то одинаковым значениям $\lambda$ будут отвечать разные (линейно независимые) собственные элементы.

а) В том случае, если кратным собственным значениям отвечают одинаковые (коллинеарные) собственные элементы, то это означает, что геометрическая кратность

Это означает, что в случае (а) диагональная матрица с кратными собственными значениями не будет существовать, а в случае (б) такая диагональная матрица $\Lambda$ существует, так как будет получен базис из собственных элементов.

Свойства собственных элементов и собственных значений ^6-1-6-eigen-props-section

1. Теорема о линейной независимости собственных векторов ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$ линейного оператора $\mathcal{A}$, соответствующих попарно различным собственным значениям ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, линейно независима.

Система собственных элементов

Доказательство (метод математической индукции) $n=1$ выполняется (один ненулевой вектор линейно независим). Пусть утверждение верно для любой системы из $n-1$ собственного элемента и неверно для $n$ элементов. Тогда, по этому предположению, система ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$ будет линейно зависимой. То есть, будет иметь место равенство: ${\alpha }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{e}}_n=\bar{\theta }(\ast )$ Где ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ есть некоторые числа, среди которых хотя бы одно будет ненулевое. Пусть, например, ${\alpha }_1\ne 0$. Применим преобразование (оператор $\mathcal{A}$) к соотношению $(\ast )$. Получим: ${\alpha }_1\mathcal{A}{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n\mathcal{A}{\bar{e}}_n=\bar{\theta }\Rightarrow {\alpha }_1{\lambda }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\lambda }_n{\bar{e}}_n=\bar{\theta }(\ast \ast )$ Умножим исходное соотношение $(\ast )$ на ${\lambda }_n$: ${\alpha }_1{\lambda }_n{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\lambda }_n{\bar{e}}_n=\bar{\theta }(\ast \ast \ast )$ Вычтем из $(\ast \ast )$ соотношение $(\ast \ast \ast )$: ${\alpha }_1({\lambda }_1-{\lambda }_n){\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_{n-1}({\lambda }_{n-1}-{\lambda }_n){\bar{e}}_{n-1}=\bar{\theta }$ Так как ${\alpha }_1\ne 0$ и все ${\lambda }_i$ попарно различны (${\lambda }_1-{\lambda }_n\ne 0$), коэффициент при ${\bar{e}}_1$ не равен нулю. Это означает, что система из $n-1$ векторов ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_{n-1}$ линейно зависима. Но это противоречит нашему допущению по индукции (что любые $n-1$ векторов ЛНЗ). Полученное противоречие доказывает теорему.

По определению собственных элементов они есть элементы ненулевые, поэтому утверждение теоремы при

2. Достаточное условие существования базиса из собственных элементов $n$ попарно различных собственных значений, то существует базис из собственных элементов линейного оператора, в котором матрица линейного оператора будет диагональной, в которой по главной диагонали будут стоять собственные значения ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$.

Если линейный оператор имеет

Доказательство $n$ различных $\lambda$), согласно предыдущему свойству, есть система линейно независимая. Так как их количество равно $n$, они образуют базис. Как показано ранее, матрица линейного оператора в таком базисе имеет диагональный вид.

Каждое собственное значение линейного оператора имеет в соответствии хотя бы 1 собственный элемент. Система таких элементов (по 1 для каждого из

Следствие $A$ линейного оператора $\mathcal{A}$ будет подобна диагональной матрице $\Lambda$ в базисе из собственных элементов.

Если все действительные собственные значения попарно различны, то матрица

---

Лекция №7.1.7-24.03.2026

LEGIT CHECK

Сопряжённые операторы в евклидовом пространстве ^7-1-7-adjoint-section

Определение ${\mathcal{A}}^{\ast }:E\to E$ называется ==сопряжённым== с линейным оператором $\mathcal{A}:E\to E$, если $\forall \bar{x},\bar{y}\in E$ выполняется равенство: $(\mathcal{A}\bar{x},\bar{y})=(\bar{x},{\mathcal{A}}^{\ast }\bar{y})(1)$

Линейный оператор

Теорема 1 $\mathcal{A}$ из $E$ в $E$ существует и при том единственный сопряжённый оператор ${\mathcal{A}}^{\ast }$ из $E$ в $E$.

Для любого линейного оператора

Доказательство (единственность) $\mathcal{A}$ соответствует единственная матрица $A$ в некотором фиксированном базисе $\{\bar{e}\}$. Оператору ${\mathcal{A}}^{\ast }$ будет соответствовать тоже некоторая матрица $B$. Примем, что элементу $\bar{x}$ соответствует координатный столбец $X$, а элементу $\bar{y}$ — координатный столбец $Y$, заданные в базисе $\{\bar{e}\}$. Тогда в матричном виде соотношение $(1)$ перепишется следующим образом: $(AX{)}^{T}Y=X^T(BY)(2)$ Преобразуем это соотношение, учитывая свойство транспонирования произведения матриц: $X^T{A}^{T}Y=X^{T}BY(3)$ Полученное соотношение $(3)$ будет выполняться при: $B=A^T(\ast )$ Таким образом, если оператор ${\mathcal{A}}^{\ast }$ является сопряжённым с оператором $\mathcal{A}$, то для любых элементов $\bar{x}$ и $\bar{y}$ из $E$ выполняется соотношение $(1)$, которое в матричной форме переписывается в виде $(3)$, и которое выполняется при любых координатных столбцах $X$ и $Y$. Из того, что координатные столбцы $X$ и $Y$ определяются однозначно, следует, что линейный оператор ${\mathcal{A}}^{\ast }$ определён однозначно, так как его матрица так же единственна.

Известно, что линейному оператору

Замечание $\mathcal{A}$ и сопряжённого оператора ${\mathcal{A}}^{\ast }$ связаны соотношением $(\ast )$, то есть матрица сопряженного оператора есть транспонированная матрица исходного оператора: $A^{\ast }=A^T$.

Матрицы оператора

Свойства сопряжённого оператора

1. $(\alpha \mathcal{A}{)}^{\ast }=\alpha {\mathcal{A}}^{\ast }$
2. $({\mathcal{A}}^{\ast }{)}^{\ast }=\mathcal{A}$
3. $(\mathcal{A}+\mathcal{B}{)}^{\ast }={\mathcal{A}}^{\ast }+{\mathcal{B}}^{\ast }$
4. $(\mathcal{A}\mathcal{B}{)}^{\ast }={\mathcal{B}}^{\ast }{\mathcal{A}}^{\ast }$
5. Если линейный оператор $\mathcal{A}$ есть оператор невырожденный, то сопряжённый с ним оператор ${\mathcal{A}}^{\ast }$ так же является невырожденным и существует обратный оператор, и выполняется равенство: $({\mathcal{A}}^{-1}{)}^{\ast }=({\mathcal{A}}^{\ast }{)}^{-1}$.

Самосопряжённые операторы ^7-1-7-self-adjoint-section

Определение $E$ в $E$, называют ==самосопряжённым или симметрическим==, если $\mathcal{A}$ совпадает со своим сопряжённым ($\mathcal{A}={\mathcal{A}}^{\ast }$), то есть, если имеет место следующее равенство: $(\mathcal{A}\bar{x},\bar{y})=(\bar{x},\mathcal{A}\bar{y})$

Линейный оператор, действующий из

Замечание $\mathcal{I}$ и нулевой оператор $\Theta$: Для $\mathcal{I}$: $(\mathcal{I}\bar{x},\bar{y})=(\bar{x},\bar{y})=(\bar{x},\mathcal{I}\bar{y})$ Для $\Theta$: $(\Theta \bar{x},\bar{y})=(\bar{\theta },\bar{y})=0=(\bar{x},\bar{\theta })=(\bar{x},\Theta \bar{y})$

Простейшими примерами самосопряжённых операторов являются тождественный оператор

Свойства самосопряжённого оператора

1. Для того, чтобы линейный оператор $\mathcal{A}:E\to E$ был самосопряжённым, необходимо и достаточно, чтобы его матрица $A$ в каком-либо ортонормированном базисе была симметрической матрицей, то есть $A=A^T$.

Доказательство $\mathcal{A}$ есть самосопряжённый оператор, то, по определению этого оператора, он равен своему сопряжённому ${\mathcal{A}}^{\ast }$ и, следовательно, матрица $A=A^{\ast }$. Тогда, по теореме, матрица линейного оператора в ортонормированном базисе совпадает со своей транспонированной, как матрица сопряжённого оператора, то есть $A=A^T$, что является признаком симметричности матриц.

Поскольку по условию

2. Характеристическое уравнение самосопряжённого оператора имеет только действительные корни.

3. Собственные элементы самосопряжённого оператора $\mathcal{A}$, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство ${\bar{x}}_1$ и ${\bar{x}}_2$ есть собственные элементы самосопряжённого оператора $\mathcal{A}$, отвечающие соответственно разным собственным значениям ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$. $(\mathcal{A}{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=({\lambda }_1{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)={\lambda }_1({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)$. Так как $\mathcal{A}$ — самосопряжённый оператор, то: $(\mathcal{A}{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=({\bar{x}}_1,\mathcal{A}{\bar{x}}_2)=({\bar{x}}_1,{\lambda }_2{\bar{x}}_2)={\lambda }_2({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)$. Приравняем правые части: ${\lambda }_1({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)={\lambda }_2({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)$ $({\lambda }_1-{\lambda }_2)({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=0$. Но, по условию, ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, следовательно, $({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=0$, что означает ${\bar{x}}_1\perp {\bar{x}}_2$ (они ортогональны).

Пусть

4. Пусть $\mathcal{A}$ — самосопряжённый оператор $n$-мерного евклидова пространства $E$, и ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ попарно различные собственные значения линейного оператора. Тогда в $E$ существует ортонормированный базис, в котором матрица этого линейного оператора есть матрица диагональная, у которой диагональными элементами являются собственные значения ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$.

Доказательство $\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& \dots \\ 0& {\lambda }_2& \dots \\ \dots & \dots & {\lambda }_n\end{array}\right)$.

Согласно свойству 3, различным собственным значениям соответствуют попарно различные ортогональные между собой собственные элементы, которые образуют ортогональный базис. Разделив каждый элемент этого базиса на его норму, мы получим ортонормированный базис, в котором, как было показано ранее, матрица самосопряжённого оператора имеет диагональный вид

Замечание: Это свойство распространяется и на кратные собственные значения, то есть матрица в базисе из собственных элементов будет иметь диагональный вид, среди диагональных элементов которой будут элементы равные.

5. Если $A$ — симметрическая матрица порядка $n$, то существует такая невырожденная (и даже ортогональная) матрица $P$ того же порядка $n$, что $P^{-1}AP=\Lambda$.

Доказательство $A$ задаёт самосопряжённый оператор в каком-либо ортонормированном базисе. Для такого оператора существует ортонормированный базис, в котором его матрица есть матрица $\Lambda$, а матрицей $P$ может служить матрица перехода от заданного ортонормированного базиса к построенному ортонормированному базису из собственных элементов.

Действительно, матрица

Ортогональный оператор в евклидовом пространстве ^7-1-7-orthogonal-op-section

Определение $\mathcal{A}$ из $E$ в $E$ называют ==ортогональным оператором== (или ортогональным преобразованием), если для всех элементов $\bar{x}$ и $\bar{y}$ из $E$ выполняется равенство: $(\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{y})=(\bar{x},\bar{y})(5)$

Линейный оператор

Замечание $||\mathcal{A}\bar{x}|{|}^2=(\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{x})=(\bar{x},\bar{x})=||\bar{x}|{|}^2$ б) Косинус угла: $\cos (\widehat{\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{y}})=\frac{(\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{y})}{||\mathcal{A}\bar{x}||\cdot ||\mathcal{A}\bar{y}||}=\frac{(\bar{x},\bar{y})}{||\bar{x}||\cdot ||\bar{y}||}$

Из этого следует, что ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение элементов, а значит и норму элементов, и углы между ними. Действительно: а) Норма:

Теорема $\mathcal{A}$ из $E$ в $E$ сохраняет норму элемента ($||\mathcal{A}\bar{x}||=||\bar{x}||$), то этот оператор является ортогональным.

Следующая теорема утверждает, что, чтобы линейный оператор был ортогонален, достаточно сохранения только нормы элемента. Если линейный оператор

Теорема (ОНБ в ОНБ) $\mathcal{A}$ из $E$ в $E$ есть оператор ортогональный и $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$ — какой-либо ортонормированный базис в $E$, то система элементов $\mathcal{A}{\bar{e}}_1,\mathcal{A}{\bar{e}}_2,\dots ,\mathcal{A}{\bar{e}}_n$ является так же ортонормированным базисом в $E$.

Если линейный оператор

Доказательство $\mathcal{A}$ будем иметь, что: $(\mathcal{A}{\bar{e}}_i,\mathcal{A}{\bar{e}}_j)=({\bar{e}}_i,{\bar{e}}_j)=\{\begin{array}{l}0,\text{ если }i\ne j\\ 1,\text{ если }i=j\end{array}$ Из чего следует ортогональность элементов $\mathcal{A}{\bar{e}}_i$ и $\mathcal{A}{\bar{e}}_j$ с нормой каждого, равной единице. Таким образом, система элементов $\{\mathcal{A}{\bar{e}}_1,\dots ,\mathcal{A}{\bar{e}}_n\}$ состоит из ненулевых и ортогональных между собой элементов. То есть, эта система линейно независима. Поскольку число элементов в системе равно размерности евклидова пространства $E$, то эта система будет являться базисом, и при том ортонормированным.

Действительно, в силу ортогональности оператора

Теорема (Обратное утверждение) $\mathcal{A}$ из $E$ в $E$, переводящий какой-либо ортонормированный базис $\{\bar{e}\}$ в ортонормированный базис $\{{\bar{e}}^{\prime }\}$, есть оператор ортогональный.

Линейный оператор

Ортогональная матрица и её свойства ^7-1-7-orthogonal-matrix-section

Определение $O$ называется ==ортогональной матрицей==, если выполняется равенство: $O^{T}O=E(6)$

Квадратная матрица

Замечание $E$, так как $E^{T}E=E\cdot E=E$.

Примером ортогональной матрицы может служить единичная матрица

Свойства ортогональной матрицы

1. Определитель ортогональной матрицы равен $\pm 1$ ($\det O=\pm 1$).

Доказательство $\det (O^{T}O)=\det (O^T)\cdot \det (O)=(\det O{)}^2$ Так как $\det E=1$, то $(\det O{)}^2=1\Rightarrow \det O=\pm 1$.

Возьмём определитель от левой и правой частей соотношения (6). Получим:

2. Обратная матрица совпадает с транспонированной: $O^{-1}=O^T$.

Доказательство $\det \ne 0$), то она имеет обратную матрицу $O^{-1}$. Умножим равенство (6) справа на матрицу $O^{-1}$: $(O^{T}O)O^{-1}=E\cdot O^{-1}\Rightarrow O^T(O{O}^{-1})=O^{-1}\Rightarrow O^T\cdot E=O^{-1}\Rightarrow O^T=O^{-1}$.

Так как ортогональная матрица является матрицей невырожденной (

3. Умножение матрицы на её транспонированную даёт единичную: $O{O}^T=E$.

Доказательство $O{O}^T=O{O}^{-1}=E$.

Согласно свойству 2:

4. Матрица $O^T$ также является ортогональной матрицей.

Доказательство $O^T$ примет вид $(O^T{)}^T\cdot O^T$. Согласно операции транспонирования: $(O^T{)}^T\cdot O^T=O\cdot O^T=E$ (по доказанному свойству 3). Значит, определение ортогональности для $O^T$ выполняется.

Левая часть равенства (6) для матрицы

5. Пусть матрицы $O$ и $C$ есть две ортогональные матрицы. Тогда их произведение $OC$ есть тоже матрица ортогональная.

Доказательство $(OC{)}^T(OC)=(C^T{O}^T)(OC)=C^T(O^{T}O)C=C^{T}EC=C^{T}C=E$.

Проверим выполнимость равенства (6) для произведения двух матриц:

6. Матрица $O^{-1}$, обратная к ортогональной, также является ортогональной.

Доказательство $O^{-1}=O^T$. А по свойству 4, матрица $O^T$ является ортогональной.

По свойству 2,

Теорема 1 (Связь оператора и матрицы)

Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе есть матрица ортогональная, то этот оператор является ортогональным. И наоборот, матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе есть матрица ортогональная.

Доказательство $A$ линейного оператора $\mathcal{A}$, действующего из $E$ в $E$ в ортонормированном базисе, есть матрица ортогональная ($A^{T}A=E$). Тогда для координатных столбцов $X$ и $Y$ рассмотрим матричную запись скалярного произведения образов: $(\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{y})=(AX{)}^T(AY)=X^T{A}^{T}AY=X^{T}EY=X^{T}Y=(\bar{x},\bar{y})$ Отсюда следует, что оператор $\mathcal{A}$ ортогональный.

Пусть матрица

Докажем обратное. В любом ортонормированном базисе соотношение $(\mathcal{A}\bar{x},\mathcal{A}\bar{y})=(\bar{x},\bar{y})$ в координатной форме имеет вид $(AX{)}^T(AY)=X^{T}Y$, то есть $X^T{A}^{T}AY=X^{T}EY$. Из этого равенства (выполняющегося для любых $X,Y$) следует, что $A^{T}A=E$, что и означает ортогональность матрицы $A$.

Теорема 2

Оператор, обратный к ортогональному, есть оператор ортогональный.

Доказательство ${\mathcal{A}}^{\ast }={\mathcal{A}}^{-1}$. Из этого будет следовать, что $({\mathcal{A}}^{-1}{)}^{\ast }=({\mathcal{A}}^{\ast }{)}^{-1}=({\mathcal{A}}^{-1}{)}^{-1}=\mathcal{A}$, что соответствует свойствам ортогонального преобразования.

Действительно, для ортогонального оператора

Замечание

Сумма ортогональных операторов не является ортогональным оператором, а произведение ортогональных операторов есть оператор ортогональный.

Теорема 3 $P$ перехода в евклидовом пространстве от одного ортонормированного базиса к другому есть матрица ортогональная.

Матрица

Доказательство

Доказательство (Теоремы 3) $\{\bar{f}\}=({\bar{f}}_1,\dots ,{\bar{f}}_n)$ и $\{\bar{g}\}=({\bar{g}}_1,\dots ,{\bar{g}}_n)$ — два ортонормированных базиса. Известно, что матрица перехода $P$ от одного базиса к другому состоит из координатных столбцов разложения элементов нового базиса $\{\bar{g}\}$ по старому базису $\{\bar{f}\}$. Введём обозначение: обозначим каждый столбец матрицы $P$ через $P_i$. Тогда матрицу можно представить в виде: $P=(P_1,P_2,\dots ,P_n)$. Рассмотрим произведение $P^{T}P$: $P^{T}P=\left(\begin{array}{c}{P}_1^T\\ P_2^T\\ \dots \\ P_n^T\end{array}\right)(P_1,P_2,\dots ,P_n)=\left(\begin{array}{cccc}{P}_1^T{P}_1& P_1^T{P}_2& \dots & P_1^T{P}_n\\ P_2^T{P}_1& P_2^T{P}_2& \dots & P_2^T{P}_n\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ P_n^T{P}_1& P_n^T{P}_2& \dots & P_n^T{P}_n\end{array}\right)$ Произведение $P_i^T{P}_j$ внутри матрицы есть матричная запись скалярного произведения $({\bar{g}}_i,{\bar{g}}_j)$ элементов базиса $\{\bar{g}\}$ (так как координаты заданы в ОНБ $\{\bar{f}\}$). Так как базис $\{\bar{g}\}$ есть базис ортонормированный, то при $i\ne j$ это произведение равно $0$, а при $i=j$ произведение равно $1$: $P_i^T{P}_j=({\bar{g}}_i,{\bar{g}}_j)=\{\begin{array}{ll}0,& i\ne j\\ 1,& i=j\end{array}$ На основе этих соотношений получим, что $P^{T}P=E$. А это по определению означает, что матрица $P$ — ортогональная.

Пусть

Замечание $n$ является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису.

Верно и обратное: любая ортогональная матрица порядка

Ортогональные преобразования и диагонализация $A^{\prime }=P^{-1}AP$, где матрица $P$ — матрица перехода от одного базиса к другому. В Евклидовом пространстве матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ есть матрица ортогональная, которая имеет свойство $P^{-1}=P^T$. Тогда формула преобразования матрицы примет вид: $A^{\prime }=P^{T}AP(\ast \ast \ast )$ Это преобразование с ортогональной матрицей $P$ называют ортогональным преобразованием.

Известно, что матрицы одного и того же линейного оператора в разных базисах являются подобными, и при этом

Было доказано, что в базисе (ортонормированном) из собственных элементов преобразование приводит матрицу $A$ к матрице $\Lambda$ (диагональной матрице, где по главной диагонали стоят собственные значения ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ линейного оператора). Из всего сказанного следует, что любую симметрическую матрицу ортогональным преобразованием можно привести к диагональному виду.

---

Лекция №8.1.8-31.03.2026

LEGITCHECK

Квадратичные формы ^7-1-7-quadratic-forms-section

Пусть задан базис $\{\bar{e}\}=({\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n)$ линейного пространства $V$.

Определение (Билинейная форма) Билинейной функцией (билинейной формой) в линейном пространстве называют функцию двух векторных аргументов $B(\bar{x},\bar{y})$, которая линейна по каждому из них:

1. $B(\bar{x}+\bar{z},\bar{y})=B(\bar{x},\bar{y})+B(\bar{z},\bar{y})$
2. $B(\alpha \bar{x},\bar{y})=\alpha B(\bar{x},\bar{y})$ (и аналогично для второго аргумента $\bar{y}$).

Определение (Симметрическая форма) симметрической, если для любых векторов $\bar{x}$ и $\bar{y}$ выполняется: $B(\bar{x},\bar{y})=B(\bar{y},\bar{x})$

Билинейную форму называют

Замечание (Матрица билинейной формы) $b_{ij}=B({\bar{e}}_i,{\bar{e}}_j)$ записывают в виде квадратной матрицы $B$. У симметрической билинейной формы матрица $B$ есть матрица симметрическая, то есть $B=B^T$ ($b_{ij}=b_{ji}$).

Коэффициенты билинейной формы

Рассмотрим симметрическую билинейную форму $B(\bar{x},\bar{y})$. Если положить, что $\bar{x}=\bar{y}$, то билинейная форма примет вид $B(\bar{x},\bar{x})$, которую в дальнейшем будем обозначать через $F(\bar{x},\bar{x})$.

Определение (Квадратичная форма) $n$ переменных $x_1,\dots ,x_n$ с действительными коэффициентами $b_{ij}$ называется квадратичной формой от переменных $x_1,\dots ,x_n$. $F(\bar{x},\bar{x})={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j(1)$

Однородный многочлен второй степени от

Перепишем соотношение (1) в развёрнутом виде для 3-х переменных $x_1,x_2,x_3$: $F(\bar{x},\bar{x})=b_{11}{x}_1^2+b_{22}{x}_2^2+b_{33}{x}_3^2+2b_{12}{x}_1{x}_2+2b_{13}{x}_1{x}_3+2b_{23}{x}_2{x}_3$

Квадратичные формы полностью определяются своей матрицей $B$. Эта матрица:

1. Квадратная.

2. Симметрическая ($B^T=B$).

Замечание (Правило записи матрицы) $B$ имеет следующее правило её записи: По главной диагонали стоят коэффициенты $b_{ii}$ перед квадратами переменных ($x_i^2$). Остальные элементы этой матрицы имеют симметрию относительно главной диагонали ($b_{ij}=b_{ji}$) и записываются в матрицу как коэффициенты при попарных произведениях, разделённые на 2.

Матрица квадратичной формы

Квадратичную форму (1) можно записать в матричной (векторной) форме: $F(\bar{x},\bar{x})=X^{T}BX$ Где $X=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ — координатный столбец вектора $\bar{x}$.

Определение $B$ квадратичной формы называют рангом квадратичной формы, а определитель матрицы $B$ называют определителем (дискриминантом) квадратичной формы. При этом, если определитель матрицы $B$ отличен от $0$ ($\det B\ne 0$), то квадратичная форма называется невырожденной.

Ранг матрицы

Преобразование матрицы квадратичной формы ^7-1-7-quadratic-transform-section

Рассмотрим невырожденное линейное преобразование переменных $x_1,\dots ,x_n$, которое получается при переходе от заданного базиса $\{\bar{e}\}$ к новому базису $\{{\bar{e}}^{\prime }\}$. Пусть $T$ — матрица перехода. Тогда старые координаты $X$ выражаются через новые $Y$ как: $X=TY$ Подставим это в матричную форму квадратичной формы: $F(\bar{x},\bar{x})=X^{T}BX=(TY{)}^{T}B(TY)=Y^T{T}^{T}BTY=Y^T(T^{T}BT)Y=Y^T{B}^{\prime }Y$

Теорема о связи матриц квадратичной формы $B$ (в старом) и $B^{\prime }$ (в новом) связаны соотношением: $B^{\prime }=T^{T}BT(2)$ Где $T$ — матрица перехода к новому базису.

Матрицы одной и той же квадратичной формы в разных базисах

Определение конгруэнтными. Матрицы $B$ и $B^{\prime }$ определяют одну и ту же квадратичную форму $F(\bar{x},\bar{x})$ в разных базисах.

Две квадратичные формы, получающиеся друг из друга с помощью невырожденного линейного преобразования, называют эквивалентными или

Теорема

Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса (ранг является инвариантом квадратичной формы).

Квадратичная форма канонического вида ^7-1-7-canonical-form-section

Определение $F(\bar{x},\bar{x})={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2(3)$ не имеющая попарных произведений переменных, называется квадратичной формой канонического вида. В соотношении (3) ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ есть действительные коэффициенты (канонические коэффициенты), а базис, в котором форма принимает такой вид, называется каноническим базисом.

Квадратичная форма вида:

---

Лекция 9.1.9-07.04.2026

…

---

---

Лекция 10.1.10-14.04.2026

LEGIT CHECK

Геометрический смысл матрицы ортогонального преобразования ^10-1-10-rotation-matrix-section

Замечание $T$ — матрица перехода (составленная из нормированных собственных векторов). При условии $\det T=+1$. Покажем, что матрица $T$ будет являться ещё и матрицей поворота системы координат.

Матрица

Пусть матрица перехода имеет вид: $T=\left(\begin{array}{cc}{t}_{11}& t_{12}\\ t_{21}& t_{22}\end{array}\right)$ Связь координат: $X=TY$, или: $\{\begin{array}{l}{x}_1=t_{11}{y}_1+t_{12}{y}_2\\ x_2=t_{21}{y}_1+t_{22}{y}_2\end{array}$ Новые базисные векторы ${\bar{e}}_1,{\bar{e}}_2$ выражаются через старые $\bar{i},\bar{j}$: ${\bar{e}}_1=t_{11}\bar{i}+t_{21}\bar{j}$ ${\bar{e}}_2=t_{12}\bar{i}+t_{22}\bar{j}$ Так как вектор ${\bar{e}}_1$ образует с осью $Ox$ угол $\phi$, а его длина равна 1, его координаты можно записать как $\cos \phi$ и $\sin \phi$. То есть: $t_{11}=\cos \phi ,t_{21}=\sin \phi$ Аналогично, из условия ортогональности, для ${\bar{e}}_2$: $t_{12}=-\sin \phi ,t_{22}=\cos \phi$

Тогда матрица $T$ принимает классический вид матрицы поворота на угол $\phi$: $T=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)$ А сам угол поворота осей $\phi$ можно найти из соотношения элементов матрицы: $-\frac{\sin \phi }{\cos \phi }=-\text{tg}\phi =\frac{t_{12}}{t_{22}}\Rightarrow \phi =-\text{arctg}\frac{t_{12}}{t_{22}}$

Классификация кривых второго порядка ^10-1-10-curve-classification-section

Определение типа кривой по заданному уравнению $a_{11}{x}_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+a_{22}{x}_2^2+b_1{x}_1+b_2{x}_2+c=0(1)$ Квадратичной форме соответствует матрица $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$. Характеристическое уравнение матрицы $A$: ${\lambda }^2-\lambda (a_{11}+a_{22})+(a_{11}{a}_{22}-a_{12}^2)=0$ Корнями этого уравнения являются собственные числа ${\lambda }_1,{\lambda }_2$. По теореме Виета, произведение корней равно свободному члену (определителю матрицы $A$): ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2=a_{11}{a}_{22}-a_{12}^2=\det A$

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Опираясь на закон инерции квадратичных форм, тип кривой жестко задается знаками ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ (а значит, и знаком определителя $\det A$):

1. Если ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2>0$ (то есть $\det A>0$) — эллиптический тип. (Эллипс, мнимый эллипс, точка).
2. Если ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2<0$ (то есть $\det A<0$) — гиперболический тип. (Гипербола, пара пересекающихся прямых).
3. Если ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2=0$ (то есть $\det A=0$) — параболический тип. (Парабола, пара параллельных прямых).

Замечание

При выполнении ДЗ никаких параллельных переносов или поворотов (геометрически) не делается, а рисунок делается в последнюю очередь сразу в последней (канонической) системе координат.

---

Модуль II. Функции нескольких переменных (ФНП)

---

---

---

Основные понятия топологии $n$-мерного пространства

Определение 1 (Координатное пространство) $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ из $n$ чисел называется $n$-мерным координатным пространством и обозначается $A_n$. При этом каждую упорядоченную совокупность будем называть точкой пространства $A_n$ и будем обозначать $M(x_1,\dots ,x_n)$. При этом числа $x_1,\dots ,x_n$ будем называть координатами этой точки.

Множество всевозможных упорядоченных совокупностей

Определение 2 (Евклидово пространство) $A_n$ называется $n$-мерным евклидовым пространством $E_n$, если между любыми точками $M^{\prime }(x_1^{\prime },\dots ,x_n^{\prime })$ и $M^{\prime \prime }(x_1^{\prime \prime },\dots ,x_n^{\prime \prime })$ этого пространства определено расстояние (метрика) $\rho$ по формуле: $\rho (M^{\prime },M^{\prime \prime })=\sqrt{(x_1^{\prime \prime }-x_1^{\prime }{)}^2+\cdots +(x_n^{\prime \prime }-x_n^{\prime }{)}^2}$

Координатное пространство

Определение 3 (Область) Областью $D$ называется множество точек пространства, обладающих свойствами открытости и связности.

• Свойство открытости: Каждая точка принадлежит этой области вместе со своей окрестностью.
• Свойство связности: Любые 2 точки области могут быть соединены некоторой непрерывной линией, все точки которой принадлежат области $D$.

Определение 4 (Типы точек)

• Внутренняя точка области — точка, лежащая в этой области, и все точки некоторой её окрестности также есть точки этой же области $D$.
• Внешняя точка — точка не из области $D$, и окрестность этой точки состоит из точек, не принадлежащих области $D$.
• Граничная точка области $D$ — это точка (принадлежащая или не принадлежащая области $D$), любая окрестность которой состоит как из точек области $D$, так и из точек, ей не принадлежащих.
• Граница области $D$ — совокупность всех граничных точек области $D$.

Определение 5 (Замкнутая и ограниченная область)

• Область $D$ с присоединённой к ней границей называется замкнутой областью и обозначается как $\bar{D}$.
• Область называется ограниченной, если все её точки принадлежат некоторому шару радиуса $R$ ($\rho (M,M_0)\le R$). В противном случае область называется неограниченной.

Определение 6 ( $n$-мерный шар) Множество $\{M\}$ всевозможных точек $(x_1,\dots ,x_n)$, которое удовлетворяет неравенству: $(x_1-x_1^{\prime }{)}^2+\cdots +(x_n-x_n^{\prime }{)}^2\le R^2$ называют $n$-мерным (замкнутым) шаром радиуса $R$ с центром в точке $M^{\prime }(x_1^{\prime },\dots ,x_n^{\prime })$.

Замечание: Открытый шар задается строгим неравенством $<R^2$ и является окрестностью точки $M^{\prime }$.

Функция нескольких переменных (ФНП) ^10-2-1-fnp-def-section

Определение (Скалярная ФНП) Функцией $u$ от $n$ переменных $x_1,\dots ,x_n$ называют закон $f$, по которому каждой совокупности этих переменных (из некоторого множества $D$) ставится в соответствие единственное действительное число $u$, называемое значением функции этих переменных. Запись имеет вид: $u=f(x_1,\dots ,x_n)$ Учитывая, что $(x_1,\dots ,x_n)$ есть координаты точки $M$, функцию можно рассматривать как функцию точки: $u=f(M)$ Такое отображение $f:E_n\to E_1$ (или ${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$) называется скалярной функцией нескольких переменных.

Определение (Векторная ФНП) $n$-мерного пространства в $m$-мерное: $f:E_n\to E_m(2)$ То есть каждой точке $M(x_1,\dots ,x_n)\in E_n$ ставится в соответствие вектор (или точка) в $E_m$ с координатами $(u_1,\dots ,u_m)$. Это эквивалентно заданию системы из $m$ скалярных функций: $\{\begin{array}{l}{u}_1=f_1(x_1,\dots ,x_n)\\ u_2=f_2(x_1,\dots ,x_n)\\ \dots \\ u_m=f_m(x_1,\dots ,x_n)\end{array}$ Функция, заданная таким соотношением (2), называется векторной функцией нескольких переменных (ВФНП). ВФНП есть совокупность $m$ скалярных координатных функций.

С другой стороны, основываясь на понятиях линейной алгебры, можно рассматривать отображение из

Предел функции нескольких переменных ^10-2-1-limit-section

Введём понятие предельного значения функции нескольких переменных. Из-за того, что к точке $M_0$ в $n$-мерном пространстве можно приближаться с бесконечного числа разных направлений и по разным траекториям, понятие предела здесь сложнее, чем для функции одной переменной.

Определение предела функции по Гейне (через последовательности) $u=f(M)$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $M_0$ (сама точка $M_0$ может не входить в область определения).

Пусть функция

Число $A$ называется пределом функции $f(M)$ в точке $M_0$ (или при $M\to M_0$), если для любой последовательности точек $\{M_k\}=M_1,M_2,\dots ,M_k,\dots$, сходящейся к точке $M_0$ ($M_k\to M_0$ при $k\to \infty$) и такой, что $M_k\ne M_0$, соответствующая последовательность значений функции $\{f(M_k)\}$ сходится к числу $A$: ${\lim }_{k\to \infty }f(M_k)=A$

Обозначение: ${\lim }_{M\to M_0}f(M)=A\text{или}{\lim }_{\begin{array}{c}{x}_1\to x_1^0\\ \dots \\ x_n\to x_n^0\end{array}}f(x_1,\dots ,x_n)=A$

Важный смысл: Для существования предела необходимо, чтобы результат $A$ получался одинаковым, по какой бы траектории (по прямой, по параболе, по спирали) последовательность точек $M_k$ ни приближалась к точке $M_0$. Если по двум разным направлениям получаются разные значения предела, то предел в точке $M_0$ не существует.

---

Лекция 11.2.11-21.04.2026

LEGIT CHECK

Предел функции нескольких переменных (по Гейне и по Коши) ^11-2-11-limits-section

Определение предела функции по Гейне (через последовательности) $b$ называется пределом функции $u=f(M)$ при $M\to A$, если $\forall$ сходящейся к точке $A$ последовательности точек $M_1,\dots ,M_n,\cdots \in \{M\}$ соответствующая последовательность значений функции $f(M_1),\dots ,f(M_n),\dots$ сходится к числу $b$.

Число

Определение предела функции по Коши (на языке $\epsilon -\delta$) Число $b$ называется пределом функции $u=f(M)$ при $M\to A$, если $\forall \epsilon >0\exists \delta >0$, что для всех точек $M$ из области задания функции, удовлетворяющих условию: $0<\rho (M,A)<\delta$ выполняется неравенство: $|f(M)-b|<\epsilon$

Теорема об эквивалентности

Эти два определения предела (по Гейне и по Коши) абсолютно эквивалентны.

Замечание 1 (Бесконечно малые и бесконечно большие)

Имеют место те же самые определения, что и в дифференциальном исчислении функции одной переменной, относящиеся к понятиям:

• Бесконечно малая функция: ${\lim }_{M\to A}f(M)=0$
• Бесконечно большая функция: ${\lim }_{M\to A}f(M)=\infty$

Замечание 2 (Связь предела и функции) $u=f(M)$ имеет своим пределом число $b$, то функция $\alpha (M)=f(M)-b(\ast )$ является бесконечно малой при $M\to A$. Из этого равенства $(\ast )$ следует, что саму функцию в окрестности предела можно представить как: $f(M)=b+\alpha (M)$

Имеет место следующее утверждение: Если функция

Линии и поверхности уровня ^11-2-11-level-curves-section

а) Линии уровня Рассмотрим скалярную функцию 2-х переменных $z=f(x,y)$. Геометрически её график представляет собой некую поверхность в 3-х мерном пространстве.

Определение Линиями уровня функции $z=f(x,y)$ называются проекции сечений поверхности, задаваемой уравнением $z=f(x,y)$, плоскостями $z=C$ на плоскость $XOY$.

Уравнениями линий уровня являются уравнения вида: $f(x,y)=C,\text{где }C=\text{const}$

Замечание 1

Эти линии на плоскости могут быть как замкнутыми, так и незамкнутыми (в зависимости от формы поверхности).

Замечание 2

Линии уровня дают возможность анализировать поведение трёхмерной поверхности по виду этих линий на плоском чертеже (аналог топографической карты).

б) Поверхности уровня Аналогичное понятие вводится для функции 3-х переменных $u=f(x,y,z)$.

Определение Поверхностью уровня функции $u=f(x,y,z)$ называется множество точек трёхмерного пространства, в которых функция принимает одно и то же постоянное значение $C$. Уравнение поверхности уровня: $f(x,y,z)=C,\text{где }C=\text{const}$

Непрерывность функции нескольких переменных ^11-2-11-continuity-section

Определение (Непрерывность в точке) $u=f(M)$ называют непрерывной в точке $A$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в самой точке: ${\lim }_{M\to A}f(M)=f(A)$

Функцию

Определение (Непрерывность на множестве) $u=f(M)$ называется непрерывной на множестве $\{M\}$, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Функция

Приращения функции (Полное и частное) ^11-2-11-increments-section

Определение (Полное приращение) $A(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ и точка $M(x_1,x_2,\dots ,x_n)$. Обозначим приращения координат как $\Delta x_i=x_i-a_i$. Полным приращением функции $u$ в точке $A$ при переходе к точке $M$ назовём величину $\Delta u$: $\Delta u=f(M)-f(A)(1)$ или: $\Delta u=f(a_1+\Delta x_1,\dots ,a_n+\Delta x_n)-f(a_1,\dots ,a_n)$

Пусть задана точка

Очевидно, что для непрерывности функции $u=f(M)$ в точке $A$ необходимо и достаточно, чтобы её полное приращение $\Delta u$ представляло собой бесконечно малую функцию при $M\to A$ (то есть при всех $\Delta x_i\to 0$).

Замечание (Разностная форма условия непрерывности) разностной формой условия непрерывности функции $u=f(M)$ в точке $A$: ${\lim }_{M\to A}\Delta u={\lim }_{M\to A}(f(M)-f(A))={\lim }_{\begin{array}{c}\Delta x_1\to 0\\ \dots \\ \Delta x_n\to 0\end{array}}\Delta u=0(2)$

Равенство нулю предела полного приращения называют

Определение (Частное приращение) частное приращение функции по некоторому аргументу $x_i$. Это получается в том случае, когда приращение $\Delta x_i$ получает только одна переменная $x_i$, а все остальные переменные эти приращения не получают (считаются константами). Тогда частное приращение функции $u=f(x_1,\dots ,x_n)$ в точке $M$ имеет вид: ${\Delta }_{x_i}u=f(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\dots ,x_n)-f(x_1,\dots ,x_n)(4)$

В отличие от полного приращения функции, когда все аргументы получают приращение, существует так называемое

Определение (Частная непрерывность) $u=f(x_1,\dots ,x_n)$ называется непрерывной в точке $M$ по переменной $x_i$, если предел её частного приращения по этой переменной равен нулю: ${\lim }_{\Delta x_i\to 0}{\Delta }_{x_i}u=0$

Функция

Основные свойства непрерывных функций ^11-2-11-continuity-props-section

Перечислим основные свойства непрерывных функций в точке:

1. Арифметические операции над непрерывными функциями $f(M)$ и $g(M)$ — две непрерывные функции в точке $A$. Тогда их:

Пусть

• сумма $f(M)+g(M)$
• разность $f(M)-g(M)$
• произведение $f(M)\cdot g(M)$
• частное $\frac{f(M)}{g(M)}$ (при условии, что знаменатель не равен нулю: $g(A)\ne 0$)

также являются функциями, непрерывными в точке $A$.

---

Лекция 13.2.13-05.05.2026

LEGIT CHECK

Условие полного дифференциала ^13-2-13-exact-diff-section

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)?(\ast )$

Теорема о необходимом и достаточном условии полного дифференциала $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ было полным дифференциалом функции $u(x,y)$, то есть чтобы выполнялось равенство $(\ast )$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

Для того чтобы выражение вида

Доказательство необходимости $(\ast )$. Тогда по определению полного дифференциала $du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$ получаем: $P(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}\text{и}Q(x,y)=\frac{\partial u}{\partial y}$ Продифференцируем эти два равенства соответственно по $y$ и по $x$. Получим: $\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial y}P(x,y)\Rightarrow \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ $\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}Q(x,y)\Rightarrow \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ В левых частях стоят смешанные частные производные 2-го порядка. По теореме (Шварца) о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования, они равны между собой, то есть: $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}\Rightarrow \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ Ч.т.д.

Пусть имеет место равенство

Замечание

Достаточность приводится без доказательства.

Производная сложной функции. Частная и полная производная ^13-2-13-complex-deriv-section

Теорема о дифференцируемости сложной функции $y=f(x):E_n\to E_m$ дифференцируема в точке $x$, а функция $z=g(y):E_m\to E_k$ дифференцируема в соответствующей точке $y=f(x)$, то сложная функция $z=g(f(x)):E_n\to E_k$ дифференцируема в точке $x$.

Если функция нескольких переменных

Доказательство $\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+\alpha |\Delta x|,\text{где }\alpha \to 0\text{ при }\Delta x\to 0$ $\Delta z=g^{\prime }(y)\Delta y+\beta |\Delta y|,\text{где }\beta \to 0\text{ при }\Delta y\to 0$ Подставим $\Delta y$ в выражение для $\Delta z$. Тогда $\Delta z$ перепишется в виде: $\Delta z=g^{\prime }(y)[f^{\prime }(x)\Delta x+\alpha |\Delta x|]+\beta |\Delta y|=g^{\prime }(y)f^{\prime }(x)\Delta x+g^{\prime }(y)\alpha |\Delta x|+\beta |\Delta y|$ Сгруппируем слагаемые: $\Delta z=(g^{\prime }(y)f^{\prime }(x))\Delta x+\gamma |\Delta x|(1)$ где обозначено: $\gamma |\Delta x|=g^{\prime }(y)\alpha |\Delta x|+\beta |\Delta y|$ Так как при $\Delta x\to 0$ следует, что $\Delta y\to 0$ (в силу непрерывности дифференцируемой функции), то и $\alpha \to 0$, и $\beta \to 0$. При этом будем иметь, что величина $\gamma \to 0$ при $\Delta x\to 0$. Полученное равенство $(1)$ есть определение дифференцируемости сложной функции $z$ в точке $x$. Ч.т.д.

По определению дифференцируемости функции будем иметь следующие соотношения:

Замечание 1 (Матрицы Якоби) $(1)$) следует, что матрица производных сложной функции равна произведению матриц Якоби составляющих функций: $\frac{\partial z}{\partial x}=g^{\prime }(y)f^{\prime }(x)=\frac{\partial g(y)}{\partial y}\cdot \frac{\partial f(x)}{\partial x}(2)$ Где $g^{\prime }(y)$ и $f^{\prime }(x)$ есть матрицы Якоби.

Из доказанной теоремы (из соотношения

Замечание 2 (Развёрнутый вид) $(2)$ в развёрнутом виде будет представлено произведением матриц Якоби. Пусть $n$ — число переменных $x$, $m$ — число переменных $y$, $k$ — число функций $z$: $\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial z_1}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial z_1}{\partial x_n}\\ \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial z_k}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial z_k}{\partial x_n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial z_1}{\partial y_1}& \dots & \frac{\partial z_1}{\partial y_m}\\ \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial z_k}{\partial y_1}& \dots & \frac{\partial z_k}{\partial y_m}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{array}\right)$

Полученное равенство

Отсюда следует общее правило (строка на столбец). Для вычисления частной производной $\frac{\partial z_i}{\partial x_j}$ необходимо вычислить скалярное произведение $i$-й строки первой матрицы на $j$-й столбец второй матрицы: $\frac{\partial z_i}{\partial x_j}=\frac{\partial z_i}{\partial y_1}\cdot \frac{\partial y_1}{\partial x_j}+\frac{\partial z_i}{\partial y_2}\cdot \frac{\partial y_2}{\partial x_j}+\cdots +\frac{\partial z_i}{\partial y_m}\cdot \frac{\partial y_m}{\partial x_j}$

Примеры нахождения частных и полных производных:

1. Случай частных производных (2 переменные $\to$ 2 переменные) Множество $X:(x_1,x_2{)}^T\stackrel{f}{\to }Y:(y_1,y_2{)}^T\stackrel{g}{\to }Z:(z_1,z_2{)}^T$ $\frac{\partial z_1}{\partial x_1}=\frac{\partial z_1}{\partial y_1}\cdot \frac{\partial y_1}{\partial x_1}+\frac{\partial z_1}{\partial y_2}\cdot \frac{\partial y_2}{\partial x_1}$ $\frac{\partial z_1}{\partial x_2}=\frac{\partial z_1}{\partial y_1}\cdot \frac{\partial y_1}{\partial x_2}+\frac{\partial z_1}{\partial y_2}\cdot \frac{\partial y_2}{\partial x_2}$ (И аналогично для $z_2$)

2. Случай полной производной (1 переменная $\to$ $n$ переменных $\to$ 1 функция) Пусть $z=f(x,y)$, где $x=x(t)$ и $y=y(t)$ зависят от одной переменной $t$. Тогда сложная функция зависит только от $t$, и производная становится полной: $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt}$

Инвариантность формы первого дифференциала ^13-2-13-invariance-section

Теорема об инвариантности формы первого дифференциала

Форма записи дифференциала первого порядка не зависит от того, являются ли аргументы, от которых зависит функция, независимыми переменными или же функциями других (независимых) переменных.

Доказательство $y=f(x)$ — дифференцируемая функция, где $x=(x_1,\dots ,x_n)$ — независимые переменные. Тогда её первый дифференциал имеет вид (в матричной форме): $dy=\frac{\partial f}{\partial x}dx(\ast )$ Здесь $dx=(d{x}_1,\dots ,d{x}_n{)}^T$ — дифференциалы независимых переменных.

Пусть

Предположим теперь, что аргументы $x_1,\dots ,x_n$ сами являются дифференцируемыми функциями от новых независимых переменных $t=(t_1,\dots ,t_k)$. То есть $x=g(t)$, где $g:E_k\to E_n$. Тогда мы получаем сложную функцию: $y=f(g(t))$. Найдём дифференциал этой функции относительно переменных $t\in E_k$: $dy=\frac{\partial f(g(t))}{\partial t}dt$ По теореме о производной сложной функции матрица Якоби сложной функции равна произведению матриц Якоби: $\frac{\partial f(g(t))}{\partial t}=\frac{\partial f(x)}{\partial x}\cdot \frac{\partial g(t)}{\partial t}$ Подставим это произведение в формулу дифференциала $dy$: $dy=\frac{\partial f(x)}{\partial x}\underset{dx}{\underbrace{\left(\frac{\partial g(t)}{\partial t}dt\right)}}$ Выражение в скобках — это в точности первый дифференциал вектор-функции $x=g(t)$, то есть $dx$. Выполнив подстановку, получаем: $dy=\frac{\partial f(x)}{\partial x}dx$ Вид полученной формулы полностью совпадает с исходной формулой $(\ast )$. Это и означает инвариантность формы первого дифференциала. Ч.т.д.

Свойства дифференциала ^13-2-13-diff-props-section

Основные свойства дифференциала первого порядка $f$ и $g$ — дифференцируемые функции, а $c=\text{const}$):

Из линейности операции дифференцирования вытекают следующие свойства (пусть

1. $d(cf)=c\cdot df$
2. $d(f\pm g)=df\pm dg$
3. $d(f\cdot g)=f\cdot dg+g\cdot df$

---

Лекция 14.2.14-12.05.2026

LEGIT CHECK

Дифференциалы высших порядков ^14-2-14-higher-diff-section

Пусть задана дважды дифференцируемая функция $u(x,y)$. Тогда её первый дифференциал имеет вид: $du=\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)dx+\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)dy$ При этом полный дифференциал $du$ зависит от 4-х величин: двух частных производных и дифференциалов $dx$ и $dy$.

Определение (Дифференциал второго порядка) $d^{2}u$ функции $u(x,y)$ в точке $M_0$ называется дифференциал от её первого дифференциала: $d^{2}u=d(du)$. Причём принимается, что первый дифференциал зависит только от аргументов $x$ и $y$, а дифференциалы независимых переменных $dx$ и $dy$ являются величинами постоянными (то есть $d(dx)=0,d(dy)=0$).

Дифференциалом второго порядка

Рассмотрим, как вычисляется $d^{2}u=d(du)$. Вычислим дифференциал второго порядка на основе данного определения: $\begin{array}{c}{d}^{2}u=d\left(\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\right)=d\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)dx+d\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)dy=\\ =\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}dx+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}dy\right)dx+\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}dx+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}dy\right)dy=\\ =\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}d{y}^2\end{array}$ (Здесь мы учли, что смешанные производные равны: $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$)

Замечание 1 $n$-го порядка определяется рекуррентно: $d^{n}u=d(d^{n-1}u)$.

Дифференциал

Замечание 2 (Оператор дифференциала) оператора дифференциала. Пусть задана $u(x,y)$. Оператором дифференциала первого порядка называется выражение вида: $d=\left[\frac{\partial }{\partial x}dx+\frac{\partial }{\partial y}dy\right](2)$ Дифференциал любого порядка можно переписать через понятие оператора (формально возводя его в степень как бином Ньютона, а затем "умножая" на функцию $u$): $d^{n}u={\left[\frac{\partial }{\partial x}dx+\frac{\partial }{\partial y}dy\right]}^{n}u$ $d^{2}u={\left[\frac{\partial }{\partial x}dx+\frac{\partial }{\partial y}dy\right]}^{2}u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}d{y}^2$

Чтобы избежать громоздких вычислений при формировании дифференциалов высших порядков, вводят определение

Замечание 3 (Нарушение инвариантности) $x$ и $y$ являются независимыми переменными. Если же $x$ и $y$ являются зависимыми величинами (то есть $x=\phi (t,\tau )$ и $y=\psi (t,\tau )$), то $dx$ и $dy$ уже не константы ($d^{2}x\ne 0,d^{2}y\ne 0$). В этом случае форма дифференциала усложняется: $d^{2}u={\left(\frac{\partial }{\partial x}dx+\frac{\partial }{\partial y}dy\right)}^{2}u+\frac{\partial u}{\partial x}{d}^{2}x+\frac{\partial u}{\partial y}{d}^{2}y$ Вывод: Свойство инвариантности формы для дифференциалов второго и высших порядков не сохраняется.

Всё, что было сказано выше, было сказано для случая, когда

Неявная функция (Существование и дифференцируемость) ^14-2-14-implicit-func-section

Теорема о неявной функции (о существовании и дифференцируемости) $F(u,x,y)$ определена и непрерывна в некоторой окрестности точки $M_0(u^0,x^0,y^0)\in {\mathbb{R}}^3$, причём её частная производная $\frac{\partial F}{\partial u}$ также непрерывна в этой окрестности. Тогда, если выполнены два условия:

Пусть функция

1. $F(M_0)=0$
2. $\frac{\partial F}{\partial u}(M_0)\ne 0$

То $\exists$ окрестность точки $M_0^{\prime }(x^0,y^0)\in {\mathbb{R}}^2$, в которой существует и притом единственная неявно заданная функция $u=\phi (x,y)$, такая что:

• $F(\phi (x,y),x,y)\equiv 0$
• $\phi (x^0,y^0)=u^0$
• Функция $u=\phi (x,y)$ непрерывна и дифференцируема в этой окрестности.

Вывод формулы вычисления частных производных для неявно заданной функции: Пусть дана неявно заданная функция $u(x_1,x_2)$ уравнением: $F(u,x_1,x_2)=0(1)$ Используя свойство инвариантности формы первого дифференциала, продифференцируем функцию $(1)$. Так как $F\equiv 0$, то и $dF=0$: $dF=\frac{\partial F}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}d{x}_2+\frac{\partial F}{\partial u}du=0(2)$ Выразим отсюда $du$ (учитывая, что по теореме $\frac{\partial F}{\partial u}\ne 0$): $\frac{\partial F}{\partial u}du=-\frac{\partial F}{\partial x_1}d{x}_1-\frac{\partial F}{\partial x_2}d{x}_2$ $du=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_1}}{\frac{\partial F}{\partial u}}d{x}_1-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_2}}{\frac{\partial F}{\partial u}}d{x}_2(3)$ С другой стороны, по определению дифференциала функции $u(x_1,x_2)$: $du=\frac{\partial u}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial u}{\partial x_2}d{x}_2(4)$ Сравнивая $(3)$ и $(4)$, получаем формулы частных производных неявной функции: $\frac{\partial u}{\partial x_1}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_1}}{\frac{\partial F}{\partial u}},\frac{\partial u}{\partial x_2}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_2}}{\frac{\partial F}{\partial u}}(5)$

Замечание (Второй метод) $F=0$ и алгебраическом выражении $dz$ через $dx$ и $dy$. (См. пример).

Второй метод нахождения частных производных для неявно заданных функций основан напрямую на взятии полного дифференциала от уравнения

Пример (с лекции) $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ неявно заданной функции: $F(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-4x-2z-5=0$

Найти частные производные

1 метод (по формулам): Найдём частные производные функции $F$ по каждой переменной: $F_x^{\prime }=2x-4$ $F_y^{\prime }=4y$ $F_z^{\prime }=2z-2$ Подставляем в формулы: $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}=-\frac{2x-4}{2z-2}=-\frac{x-2}{z-1}$ $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}=-\frac{4y}{2z-2}=-\frac{2y}{z-1}$

2 метод (через дифференциалы): Возьмем полный дифференциал от обеих частей исходного уравнения: $2xdx+4ydy+2zdz-4dx-2dz=0$ Сгруппируем слагаемые с $dx,dy$ и $dz$: $(2x-4)dx+4ydy+(2z-2)dz=0$ Выразим $dz$: $(2z-2)dz=-(2x-4)dx-4ydy$ $dz=-\frac{2x-4}{2z-2}dx-\frac{4y}{2z-2}dy$ Коэффициенты при $dx$ и $dy$ — это и есть искомые частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$. Результат полностью совпадает.

Производная по направлению. Градиент ^14-2-14-dir-deriv-grad-section

Определение (Производная по направлению) $z=f(x,y)$ определена в окрестности точки $M(x,y)$. Зададим вектор направления ${\bar{n}}^0$, определяемый углом $\alpha$ с осью $Ox$ (тогда направляющие косинусы вектора: $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$). Дадим координатам приращения $\Delta x$ и $\Delta y$ в направлении вектора ${\bar{n}}^0$, перейдя в точку $M^{\prime }(x+\Delta x,y+\Delta y)$. Расстояние между точками: $\rho =|M{M}^{\prime }|=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$. Очевидно, что $\Delta x=\rho \cos \alpha$ и $\Delta y=\rho \sin \alpha$.

Пусть функция

Приращение функции: $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$. Производной функции $z$ по направлению ${\bar{n}}^0$ в точке $M$ называется предел отношения приращения функции к расстоянию $\rho$ при $\rho \to 0$: $\frac{\partial z}{\partial n^0}={\lim }_{\rho \to 0}\frac{\Delta z}{\rho }$

Вывод формулы производной по направлению ФНП

Доказательство $z=f(x,y)$ дифференцируема, её полное приращение можно представить в виде: $\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+o(\rho )$ Разделим обе части равенства на расстояние $\rho$: $\frac{\Delta z}{\rho }=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\Delta x}{\rho }+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\Delta y}{\rho }+\frac{o(\rho )}{\rho }$ Подставим соотношения $\frac{\Delta x}{\rho }=\cos \alpha$ и $\frac{\Delta y}{\rho }=\sin \alpha$: $\frac{\Delta z}{\rho }=\frac{\partial z}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial z}{\partial y}\sin \alpha +\frac{o(\rho )}{\rho }$ Перейдём к пределу при $\rho \to 0$ (при этом $\frac{o(\rho )}{\rho }\to 0$): ${\lim }_{\rho \to 0}\frac{\Delta z}{\rho }=\frac{\partial z}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial z}{\partial y}\sin \alpha$ По определению, левая часть — это производная по направлению. Получаем итоговую формулу: $\frac{\partial z}{\partial n^0}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial z}{\partial y}\sin \alpha$

Так как функция

Для функции 3-х переменных $u=f(x,y,z)$ вывод аналогичен, а формула имеет вид: $\frac{\partial u}{\partial n^0}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial u}{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}\cos \gamma$ (где $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ — направляющие косинусы вектора ${\bar{n}}^0$).

Определение (Градиент) Градиентом функции $u=f(x,y,z)$ в точке $M_0$ называется вектор, координатами которого являются частные производные заданной функции по всем аргументам, вычисленные в этой точке: $\text{grad }u=\left\{{\frac{\partial u}{\partial x}|}_{M_0},{\frac{\partial u}{\partial y}|}_{M_0},{\frac{\partial u}{\partial z}|}_{M_0}\right\}$

Свойства производной по направлению и градиента ${\bar{n}}^0$: $\frac{\partial u}{\partial n^0}=(\text{grad }u,{\bar{n}}^0)=|\text{grad }u|\cdot |{\bar{n}}^0|\cdot \cos (\widehat{\text{grad }u,{\bar{n}}^0})=|\text{grad }u|\cdot \cos \phi$

^14-2-14-gradient-props Если записать формулу производной по направлению в векторном виде, мы увидим, что это скалярное произведение вектора-градиента и единичного вектора направления

Из этого соотношения вытекают важнейшие свойства:

1. Максимальная скорость роста функции: Производная по направлению достигает своего максимального значения, когда $\cos \phi =1$ (то есть $\phi =0$, направление ${\bar{n}}^0$ совпадает с направлением градиента). Вывод: Градиент указывает направление наискорейшего возрастания функции.
2. Величина наибольшей скорости изменения: Максимальное значение производной по направлению равно модулю (длине) градиента: ${\left(\frac{\partial u}{\partial n^0}\right)}_{\max }=|\text{grad }u|$.
3. Ортогональность к линиям/поверхностям уровня: Если вектор ${\bar{n}}^0$ направлен по касательной к поверхности уровня функции $u=f(x,y,z)=C$, то функция вдоль этого направления не меняется ($\frac{\partial u}{\partial n^0}=0$). Значит, $\cos \phi =0$, и градиент перпендикулярен направлению касательной. Вывод: Градиент всегда направлен по нормали (перпендикулярно) к линии или поверхности уровня в данной точке.

---

Лекция 15.2.15-19.05.2026

LEGIT CHECK

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала ^15-2-15-tangent-normal-section

Касательная плоскость и нормаль (неявное задание) $F(x,y,z)=0$. Уравнение касательной плоскости $\pi$ к поверхности в точке $M_0(x_0,y_0,z_0)$ имеет вид: ${\frac{\partial F}{\partial x}|}_{M_0}(x-x_0)+{\frac{\partial F}{\partial y}|}_{M_0}(y-y_0)+{\frac{\partial F}{\partial z}|}_{M_0}(z-z_0)=0(3)$

Пусть поверхность задана неявно уравнением

Нормаль к поверхности в точке $M_0$ есть прямая линия, у которой направляющий вектор совпадает с нормальным вектором плоскости, то есть с градиентом этой функции $F$ в данной точке. Уравнение нормали: $\frac{x-x_0}{{\frac{\partial F}{\partial x}|}_{M_0}}=\frac{y-y_0}{{\frac{\partial F}{\partial y}|}_{M_0}}=\frac{z-z_0}{{\frac{\partial F}{\partial z}|}_{M_0}}$

Замечание (Явное задание поверхности) $z=f(x,y)$, то её можно переписать в неявном виде: $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$ Тогда частные производные равны: $\frac{\partial F}{\partial x}=f_x^{\prime }$, $\frac{\partial F}{\partial y}=f_y^{\prime }$, $\frac{\partial F}{\partial z}=-1$. Подставив их в формулы выше, получим: Уравнение касательной плоскости $\pi$: $f_x^{\prime }{|}_{M_0}(x-x_0)+f_y^{\prime }{|}_{M_0}(y-y_0)-(z-z_0)=0$ $z-z_0=f_x^{\prime }{|}_{M_0}(x-x_0)+f_y^{\prime }{|}_{M_0}(y-y_0)$ Уравнение нормали: $\frac{x-x_0}{f_x^{\prime }{|}_{M_0}}=\frac{y-y_0}{f_y^{\prime }{|}_{M_0}}=\frac{z-z_0}{-1}$

Если поверхность задана явно уравнением

Геометрический смысл полного дифференциала для функции 2-х переменных

Из уравнения касательной плоскости для явно заданной функции видно, что её правая часть $f_x^{\prime }{|}_{M_0}(x-x_0)+f_y^{\prime }{|}_{M_0}(y-y_0)$ в точности совпадает с выражением для полного дифференциала функции $z=f(x,y)$, так как $x-x_0=\Delta x=dx$ и $y-y_0=\Delta y=dy$.

Таким образом, геометрический смысл полного дифференциала заключается в том, что он равен приращению аппликаты (координаты $z$) касательной плоскости к графику функции при переходе от точки $M_0$ к смежной точке.

Формула Тейлора ^15-2-15-taylor-section

Формула Тейлора $z=f(x,y)$ непрерывна вместе со своими частными производными до $(n+1)$-го порядка включительно в некоторой $\delta$-окрестности точки $M(x,y)$. Пусть точка $M_1(x+\Delta x,y+\Delta y)\in \delta$-окрестности. $\Rightarrow$ Её приращение $\Delta f=f(M_1)-f(M)$ можно записать как: $\Delta f=df(x,y)+\frac{d^{2}f(x,y)}{2!}+\cdots +\frac{d^{n}f(x,y)}{n!}+\frac{d^{n+1}f(x+\theta \Delta x,y+\theta \Delta y)}{(n+1)!}(\ast )$ где $0<\theta <1$.

Пусть функция

Замечание $(\ast )$ называется формулой Тейлора для функции $f(x,y)$. Последнее слагаемое в этой сумме представляет собой остаточный член $R_n$ в форме Лагранжа.

Формула

Локальный экстремум ^15-2-15-local-extremum-section

Пусть задана скалярная функция $n$ переменных $u=f(x_1,\dots ,x_n)=f(x)(1)$.

Определение (Точка локального экстремума) $a(a_1,\dots ,a_n)$ называется точкой локального минимума функции $(1)$, если в некоторой окрестности точки $a$ для всех точек $x\ne a$ выполняется условие: $f(a)\le f(x)$. Точка $a$ называется точкой локального максимума, если выполняется условие: $f(a)\ge f(x)$.

Точка

Точки локального минимума и максимума называют точками локального экстремума. Если неравенства строгие ($f(a)<f(x)$ или $f(a)>f(x)$), то говорят о строгом экстремуме.

Теорема (Необходимое условие локального экстремума) $(1)$ обладает в точке $a$ частными производными первого порядка по всем переменным $x_1,\dots ,x_n$ и имеет в этой точке локальный экстремум, то все частные производные первого порядка обращаются в точке $a$ в ноль: $\frac{\partial f(a)}{\partial x_1}=0,\dots ,\frac{\partial f(a)}{\partial x_n}=0(2)$ Или, эквивалентно: $\text{grad }f(a)=\bar{\theta }$.

Если скалярная функция

Доказательство $n$ равенств соотношения $(2)$. Зафиксируем у функции $f$ аргументы $x_2,x_3,\dots ,x_n$, положив их равными координатам точки $a$: $x_2=a_2,\dots ,x_n=a_n$. Тогда мы получим функцию только одной переменной $x_1$: $\Phi (x_1)=f(x_1,a_2,\dots ,a_n)$. Так как исходная функция имеет в точке $a$ экстремум, то функция одной переменной $\Phi (x_1)$ имеет экстремум в точке $x_1=a_1$. По теореме Ферма из дифференциального исчисления функции одной переменной, её производная в этой точке равна нулю: ${\Phi }^{\prime }(a_1)=0$. А так как ${\Phi }^{\prime }(a_1)$ — это и есть частная производная $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ в точке $a$, получаем: $\frac{\partial f(a)}{\partial x_1}=0$. Повторяя эти рассуждения для остальных переменных $x_i$, доказываем равенство нулю всех частных производных. Ч.т.д.

Установим справедливость первого из

Определение (Стационарная точка) $0$ все частные производные первого порядка, называются стационарными точками (или точками возможного экстремума).

Точки, в которых обращаются в

Следствие 1 $f(x)$ дифференцируема в точке $a$ и имеет в этой точке локальный экстремум, то первый дифференциал этой функции в точке $a$ равен нулю: $df(a)=0$.

Если

Замечание $df(a)=0$ (стационарные точки), либо там, где не существует одна или несколько частных производных.

Из сказанного вытекает, что точки экстремума нужно искать там, где

Достаточное условие экстремума ^15-2-15-sufficient-cond-section

Замечание $u=f(x)$, то есть с $d^{2}f(a)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\frac{{\partial }^{2}f(a)}{\partial x_i\partial x_j}d{x}_{i}d{x}_j$. Это выражение представляет собой квадратичную форму от переменных $d{x}_1,\dots ,d{x}_n$. Из линейной алгебры известна классификация квадратичных форм и критерий Сильвестра, определяющий эту классификацию.

Достаточное условие экстремума будет связано со знаком дифференциала второго порядка функции

Теорема (Достаточное условие локального экстремума) $u=f(x)$ дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки $a$ ($f\in C^2(U(a))$), причём точка $a$ есть точка возможного локального экстремума ($df(a)=0$). Тогда:

Пусть функция

1. Если $d^{2}f(a)$ является положительно определённой квадратичной формой от переменных $d{x}_i$, то функция имеет локальный минимум в точке $a$.
2. Если $d^{2}f(a)$ является отрицательно определённой квадратичной формой, то функция имеет локальный максимум в точке $a$.
3. Если $d^{2}f(a)$ является знакопеременной формой, то локального экстремума в точке $a$ нет.

Замечание (Матрица Гессе для функции 2-х переменных) $u=f(x,y)$. Предположим, что эта функция дважды дифференцируема в окрестности точки $M_0$ и в этой точке выполнено необходимое условие экстремума: $f_x^{\prime }{|}_{M_0}=0,f_y^{\prime }{|}_{M_0}=0$. В точке $M_0$ составим матрицу Гессе из вторых частных производных: $H=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}^{\prime \prime }(M_0)& f_{xy}^{\prime \prime }(M_0)\\ f_{yx}^{\prime \prime }(M_0)& f_{yy}^{\prime \prime }(M_0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right)$ Согласно критерию Сильвестра (через определитель $\Delta =AC-B^2$):

Имеет место частный случай для функции 2-х переменных

• Если $\Delta =AC-B^2>0$ и $A>0\Rightarrow$ в точке $M_0$ минимум.
• Если $\Delta =AC-B^2>0$ и $A<0\Rightarrow$ в точке $M_0$ максимум.
• Если $\Delta =AC-B^2<0\Rightarrow$ в точке $M_0$ экстремума нет (седловая точка).
• Если $\Delta =0\Rightarrow$ требуется дополнительное исследование.

Условный экстремум. Функция Лагранжа ^15-2-15-conditional-extremum-section

Определение (Условный экстремум) Условным экстремумом функции $u=f(x_1,\dots ,x_n)$ называется экстремум этой функции, достигаемый при условии, что её аргументы подчинены дополнительным уравнениям связи: ${\phi }_1(x_1,\dots ,x_n)=0,\dots ,{\phi }_m(x_1,\dots ,x_n)=0$ (где $m<n$).

Определение (Функция Лагранжа) функцией Лагранжа: $L(x_1,\dots ,x_n,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m)=f(x_1,\dots ,x_n)+{\sum }_{j=1}^m{\lambda }_j{\phi }_j(x_1,\dots ,x_n)$ Где ${\lambda }_j$ — неизвестные множители Лагранжа. Задача поиска условного экстремума функции $f$ сводится к задаче поиска обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа $L$.

Для нахождения условного экстремума составляется вспомогательная функция, называемая

---

Лекция 16.2.16-19.05.2026

LEGIT CHECK

Условный экстремум. Необходимое условие ^16-2-16-conditional-extremum-section

Постановка задачи $u=f(x_1,\dots ,x_n)\to \mathrm{extr}$ при выполнении условий связи: ${\phi }_1(x_1,\dots ,x_n)=0,\dots ,{\phi }_m(x_1,\dots ,x_n)=0(m<n)$.

Ищется экстремум скалярной функции

Теорема (Необходимое условие условного экстремума ФНП) $u=f(x,y)$ и функция связи $\phi (x,y)=0$ определены и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки $a(a_1,a_2)$. Если функция $f(x,y)$ имеет в точке $a$ условный экстремум при условии $\phi (x,y)=0$, причём $\mathrm{grad}\phi (a)\ne \bar{\theta }$, то $\exists \lambda \in \mathbb{R}$, которое вместе с координатами точки $a$ удовлетворяет системе уравнений: $\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(a)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(a)=0\\ f_y^{\prime }(a)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(a)=0\\ \phi (a_1,a_2)=0\end{array}(1)$

^16-2-16-conditional-necessary-thm Пусть скалярная функция

Доказательство $\mathrm{grad}\phi (a)\ne \bar{\theta }$, то хотя бы одна из частных производных в точке $a$ отлична от нуля. Пусть ${\phi }_y^{\prime }(a)\ne 0$.

Так как по условию

Тогда по теореме о неявной функции $\exists$ окрестность точки $a_1$, в которой уравнение связи $\phi (x,y)=0$ однозначно определяет $y$ как непрерывно дифференцируемую функцию $y=g(x)$, такую что $a_2=g(a_1)$. При этом её производная равна: $g_x^{\prime }=-\frac{{\phi }_x^{\prime }}{{\phi }_y^{\prime }}(2)$

Подставим $y=g(x)$ в исходную функцию $f(x,y)$. Она примет вид $f(x,g(x))$ и будет являться функцией одной переменной $x$. Обозначим её $q(x)=f(x,g(x))$. Это означает, что если функция $f(x,y)$ имеет в точке $a(a_1,a_2)$ условный экстремум, то функция одной переменной $q(x)$ имеет в точке $a_1$ обычный локальный экстремум.

В силу необходимого условия локального экстремума (теорема Ферма) для функции одной переменной: $q^{\prime }(a_1)=0$. Найдём эту производную по правилу дифференцирования сложной функции: $q^{\prime }(a_1)=f_x^{\prime }(a)+f_y^{\prime }(a)\cdot g_x^{\prime }(a_1)=0$ Подставим выражение $(2)$ для $g_x^{\prime }(a_1)$: $f_x^{\prime }(a)+f_y^{\prime }(a)\left(-\frac{{\phi }_x^{\prime }(a)}{{\phi }_y^{\prime }(a)}\right)=0$ $f_x^{\prime }(a)-\frac{f_y^{\prime }(a)}{{\phi }_y^{\prime }(a)}{\phi }_x^{\prime }(a)=0$

Введём обозначение для множителя: пусть $\lambda =-\frac{f_y^{\prime }(a)}{{\phi }_y^{\prime }(a)}$. Из этого обозначения сразу следует второе уравнение системы: $f_y^{\prime }(a)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(a)=0$ А подставив $\lambda$ в полученное ранее равенство, получим первое уравнение системы: $f_x^{\prime }(a)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(a)=0$

Добавляем к этим двум уравнениям само условие связи $\phi (a_1,a_2)=0$, которое обязано выполняться в точке условного экстремума. Получаем искомую систему $(1)$. Ч.т.д.

Замечание: Доказательство теоремы в случае, когда ${\phi }_x^{\prime }(a)\ne 0$, проводится абсолютно аналогично (выражается $x=h(y)$).

Функция Лагранжа ^16-2-16-lagrange-func-section

Функция Лагранжа $(1)$ получается при приравнивании к нулю частных производных вспомогательной функции: $L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$ Эта функция называется функцией Лагранжа для функции $f(x,y)$ и уравнения связи $\phi (x,y)=0$, а параметр $\lambda$ — множителем Лагранжа.

Система

Замечание (Обобщение на $n$ переменных) Доказанное необходимое условие распространяется и на функцию $n$ переменных $u=f(x_1,\dots ,x_n)$ с $m$ уравнениями связи ${\phi }_j(x)=0$. Функция Лагранжа в общем виде: $L(x_1,\dots ,x_n,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m)=f(x)+{\sum }_{j=1}^m{\lambda }_j{\phi }_j(x)$

Алгоритм поиска точек возможного условного экстремума:

1. Составить функцию Лагранжа.
2. Найти все частные производные от этой функции по аргументам $x_1,\dots ,x_n$, приравнять их к $0$.
3. К этой системе из $n$ уравнений добавить $m$ уравнений связи (которые являются производными $L$ по ${\lambda }_j$).
4. Решить систему из $(n+m)$ уравнений и найти стационарные точки.

Условный экстремум. Достаточное условие ^16-2-16-conditional-sufficient-section

Теорема (Достаточное условие условного экстремума) $f(x):E_n\to E_1$ и функции связи $\phi (x):E_n\to E_m$ дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки $a$, в которой $\phi (a)=0$, а ранг матрицы Якоби ${\phi }^{\prime }(a)=m$. Пусть точка $a$ вместе с числами ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ удовлетворяет системе необходимых условий (является стационарной точкой функции Лагранжа $L$).

Пусть функция

Исследуем знак второго дифференциала функции Лагранжа $d^{2}L(a)$ при условии, что дифференциалы переменных связаны соотношениями $d{\phi }_j(a)=0$:

1. Если $d^{2}L(a)>0$ (положительно определенная квадратичная форма), то функция $f(x)$ имеет в точке $a$ условный минимум.
2. Если $d^{2}L(a)<0$ (отрицательно определенная квадратичная форма), то функция $f(x)$ имеет в точке $a$ условный максимум.
3. Если $d^{2}L(a)$ — знакопеременная квадратичная форма, то функция $f(x)$ в точке $a$ условного экстремума не имеет.
4. Замечание: Если $d^{2}L(a)=0$, то требуется дополнительное исследование.

Частный случай для функции $z=f(x,y)$ (Вывод с доски) Рассмотрим функцию двух переменных $z=f(x,y)$ при одном условии связи $\phi (x,y)=0$. Запишем второй дифференциал функции Лагранжа $L(x,y,\lambda )$ в стационарной точке: $d^{2}L=L_{xx}^{\prime \prime }d{x}^2+2L_{xy}^{\prime \prime }dxdy+L_{yy}^{\prime \prime }d{y}^2(1)$ Дифференциалы $dx$ и $dy$ не являются независимыми. Возьмем дифференциал от уравнения связи: $d\phi ={\phi }_x^{\prime }(x_0,y_0)dx+{\phi }_y^{\prime }(x_0,y_0)dy=0(\ast \ast )$ Выразим отсюда $dy$: $dy=-\frac{{\phi }_x^{\prime }}{{\phi }_y^{\prime }}dx(\ast )$ Подставим $(\ast )$ в уравнение $(1)$: $d^{2}L=\left(L_{xx}^{\prime \prime }-2\frac{{\phi }_x^{\prime }}{{\phi }_y^{\prime }}{L}_{xy}^{\prime \prime }+{\left(\frac{{\phi }_x^{\prime }}{{\phi }_y^{\prime }}\right)}^2{L}_{yy}^{\prime \prime }\right)d{x}^2$ Приведем скобку к общему знаменателю $({\phi }_y^{\prime }{)}^2$: $d^{2}L=\frac{({\phi }_y^{\prime }{)}^2{L}_{xx}^{\prime \prime }-2{\phi }_x^{\prime }{\phi }_y^{\prime }{L}_{xy}^{\prime \prime }+({\phi }_x^{\prime }{)}^2{L}_{yy}^{\prime \prime }}{({\phi }_y^{\prime }{)}^2}d{x}^2$

Заметим, что числитель этого выражения в точности равен определителю матрицы размером $3\times 3$, взятому со знаком минус: $\Delta =-\left|\begin{array}{ccc}0& {\phi }_x^{\prime }& {\phi }_y^{\prime }\\ {\phi }_x^{\prime }& L_{xx}^{\prime \prime }& L_{xy}^{\prime \prime }\\ {\phi }_y^{\prime }& L_{yx}^{\prime \prime }& L_{yy}^{\prime \prime }\end{array}\right|$

Тогда второй дифференциал можно переписать в виде: $d^{2}L=\frac{\Delta }{({\phi }_y^{\prime }{)}^2}d{x}^2$

Так как дробь $\frac{d{x}^2}{({\phi }_y^{\prime }{)}^2}$ всегда строго положительна, знак $d^{2}L$ полностью совпадает со знаком определителя $\Delta$.

Итоговый критерий: Вычисляем определитель $\Delta$ в стационарной точке $(x_0,y_0,{\lambda }_0)$:

• Если $\Delta >0$, то $d^{2}L>0\Rightarrow$ в точке $M_0$ условный минимум.
• Если $\Delta <0$, то $d^{2}L<0\Rightarrow$ в точке $M_0$ условный максимум.
• Если $\Delta =0$, требуется дополнительное исследование.

Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных ^16-2-16-global-extremum-section

Постановка задачи $\bar{D}$ непрерывная функция $u=f(x_1,\dots ,x_n)$ достигает своего наибольшего и наименьшего значения (по теореме Вейерштрасса). Эти значения могут достигаться либо во внутренних стационарных точках области, либо на её границе.

В замкнутой ограниченной области

Алгоритм нахождения:

1. Внутри области: Найти все стационарные точки функции $f(x)$ внутри области $D$ (решить систему $f_{x_i}^{\prime }=0$). Вычислить значения функции в этих точках. (Проверять достаточное условие через Гессиан не обязательно, нужны только значения).
2. На границе области: Граница задается уравнениями связи (например, $\phi (x,y)=0$). Решить задачу на условный экстремум функции $f(x)$ на границе. Найти все точки возможного условного экстремума и вычислить значения функции в них.
3. Сравнение: Сравнить все полученные значения функции из пунктов 1 и 2. Самое большое из них будет наибольшим значением функции в области $\bar{D}$ ($f_{\max }$), а самое маленькое — наименьшим значением ($f_{\min }$).