Вопросы к экзамену
Модуль I. Линейная алгебра
- Определение линейного пространства, следствия из аксиом. Примеры.
- Определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов линейного пространства. Критерий линейной зависимости. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.
- Определение базиса и размерности линейного пространства. Связь между этими понятиями. Примеры. Теорема о единственности разложения по базису вектора линейного пространства. Линейные операции с векторами в координатной форме.
- Определение подпространства линейного пространства. Пример. Определение линейной оболочки системы векторов. Линейная оболочка как линейное подпространство.
- Определение ранга системы векторов линейного пространства. Теорема о ранге системы векторов и её следствие.
- Линейное преобразование линейного пространства (переход к новому базису). Матрица перехода. Изменение координат вектора при переходе к новому базису.
- Определение евклидова пространства. Примеры. Формулы для вычисления скалярного произведения двух векторов и нормы вектора в ортонормированном базисе.
- Определение ортонормированной системы векторов евклидова пространства, теорема о ее линейной независимости.
- Процесс ортогонализации Грама-Шмидта в евклидовом пространстве. Пример.
- Определение нормы вектора в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.
Модуль I. Вопросы с доказательством
- Теорема о единственности нулевого и противоположного элементов в линейном пространстве.
- Теорема о единственности разложения вектора по базису.
- Теорема о невырожденности матрицы перехода от одного базиса к другому.
- Формула изменения координат вектора при переходе к новому базису.
- Неравенства Коши-Буняковского и треугольника.