РК1

1. Сформулировать определение линейного пространства. Доказать единственность нулевого элемента.

Определение: Множество $V$ элементов $\bar{x},\bar{y},\bar{z}\dots$ любой природы называют линейным пространством, если выполнены следующие условия:

1. На множестве $V$ определена операция сложения элементов, то есть каждой паре элементов $\bar{x}$ и $\bar{y}$ поставлен в соответствие элемент $\bar{z}\in V$, обозначаемый $\bar{z}=\bar{x}+\bar{y}$.
2. Для элементов множества $V$ определена операция умножения на действительное число, то есть каждому элементу $\forall \bar{x}\in V$ поставлен в соответствие элемент $\bar{z}\in V$, обозначаемый $\lambda \bar{x}=\bar{z}$.

Указанные операции подчиняются 8 аксиомам:

1. $\bar{x}+\bar{y}=\bar{y}+\bar{x}$
2. $(\bar{x}+\bar{y})+\bar{z}=\bar{x}+(\bar{y}+\bar{z})$
3. $\exists \bar{\theta }\in V:\forall \bar{x}\in V,\bar{x}+\bar{\theta }=\bar{x}$ (существование нуля).
4. $\forall \bar{x}\in V,\exists {\bar{x}}^{\prime }:\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime }=\bar{\theta }$ (существование противоположного).
5. $1\cdot \bar{x}=\bar{x}$
6. $\alpha (\beta \bar{x})=(\alpha \beta )\bar{x}$
7. $(\alpha +\beta )\bar{x}=\alpha \bar{x}+\beta \bar{x}$
8. $\alpha (\bar{x}+\bar{y})=\alpha \bar{x}+\alpha \bar{y}$

Доказательство единственности нулевого элемента: Пусть ${\bar{\theta }}_1$ и ${\bar{\theta }}_2$ — нейтральные (нулевые) элементы. Применим аксиому 3 поочередно для каждого из них: $\begin{array}{l}{\bar{\theta }}_1+{\bar{\theta }}_2={\bar{\theta }}_1(\text{где }{\bar{\theta }}_2\text{ выступает как ноль})\\ {\bar{\theta }}_1+{\bar{\theta }}_2={\bar{\theta }}_2+{\bar{\theta }}_1={\bar{\theta }}_2(\text{где }{\bar{\theta }}_1\text{ выступает как ноль})\end{array}\}\Rightarrow {\bar{\theta }}_1={\bar{\theta }}_2$ Нулевой элемент единственен. Ч.т.д.

2. Доказать единственность противоположного элемента.

Доказательство: Пусть элементы ${\bar{x}}^{\prime }\in V$ и ${\bar{x}}^{\prime \prime }\in V$ — противоположные элементу $\bar{x}\in V$. Рассмотрим сумму трех элементов ${\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime }$ двумя разными способами, используя ассоциативность сложения:

1 способ: ${\bar{x}}^{\prime \prime }+(\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime })={\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{\theta }={\bar{x}}^{\prime \prime }$

2 способ: $({\bar{x}}^{\prime \prime }+\bar{x})+{\bar{x}}^{\prime }=(\bar{x}+{\bar{x}}^{\prime \prime })+{\bar{x}}^{\prime }=\bar{\theta }+{\bar{x}}^{\prime }={\bar{x}}^{\prime }+\bar{\theta }={\bar{x}}^{\prime }$

Так как левые части равны, то равны и правые: ${\bar{x}}^{\prime }={\bar{x}}^{\prime \prime }$. Противоположный элемент единственен. Ч.т.д.

3. Сформулировать определения базиса и размерности линейного пространства. Доказать теорему о единственности разложения.

Определение базиса: Упорядоченную систему элементов ${\bar{x}}_1,\dots ,{\bar{x}}_n$ линейного пространства $V$ называют его базисом, если эти элементы линейно независимы и каждый элемент из пространства $V$ можно представить в виде их линейной комбинации — разложить по элементам базиса.

Определение размерности: Натуральное число $n$ называется размерностью линейного пространства $V$ ($\dim V=n$), если в этом пространстве имеется $n$ линейно независимых элементов, а любой $n+1$ элемент будет линейно зависимым.

Теорема о единственности разложения элемента по базису: Если разложение вектора по векторам базиса существует, то оно единственное. Доказательство (от противного): Пусть $e_1,e_2,\dots ,e_n$ — базис линейного пространства $V$. Предположим, что вектор $x$ имеет два различных разложения по этому базису:

1. $x={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_n{e}_n$
2. $x={\beta }_1{e}_1+{\beta }_2{e}_2+\cdots +{\beta }_n{e}_n$

Вычтем из первого равенства второе почленно: $x-x=({\alpha }_1-{\beta }_1)e_1+({\alpha }_2-{\beta }_2)e_2+\cdots +({\alpha }_n-{\beta }_n)e_n$ $\bar{\theta }=({\alpha }_1-{\beta }_1)e_1+({\alpha }_2-{\beta }_2)e_2+\cdots +({\alpha }_n-{\beta }_n)e_n$

Так как $e_1,\dots ,e_n$ — базис, то эти векторы линейно независимы. По определению линейной независимости, их линейная комбинация равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю: $\{\begin{array}{l}{\alpha }_1-{\beta }_1=0\Rightarrow {\alpha }_1={\beta }_1\\ \dots \\ {\alpha }_n-{\beta }_n=0\Rightarrow {\alpha }_n={\beta }_n\end{array}$ Вывод: Координаты совпадают, предположение о двух разных разложениях неверно. Разложение единственно. Ч.т.д.

4. Сформулировать определение координат вектора. Вывести формулу преобразования координат вектора при замене базиса.

Определение координат: Для элемента $\bar{x}$, представленного в виде линейной комбинации базисных векторов $\bar{x}=x_1{\bar{b}}_1+\cdots +x_n{\bar{b}}_n$, действительные числа $x_1,\dots ,x_n$ называются координатами элемента $\bar{x}$ в базисе $\{\bar{b}\}$.

Вывод формулы преобразования координат: Пусть $\bar{x}\in V$. Обозначим столбец его координат в старом базисе $F$ как $X$, а в новом базисе $G$ как $X^{\prime }$. Запишем разложение вектора по обоим базисам в матричном виде: $\bar{x}=F\cdot X,\bar{x}=G\cdot X^{\prime }$ Приравняем правые части и подставим формулу связи базисов $G=F\cdot P$ (где $P$ — матрица перехода): $F\cdot X=G\cdot X^{\prime }=(F\cdot P)\cdot X^{\prime }=F\cdot (P\cdot X^{\prime })$ В силу теоремы о единственности разложения вектора по базису (коэффициенты при одинаковых базисных векторах ${\bar{f}}_i$ должны совпадать), столбцы координат равны: $X=P\cdot X^{\prime }$ Это и есть формула изменения координат вектора.

5. Сформулировать определение матрицы перехода. Сформулировать и доказать свойства матрицы перехода.

Определение: Матрица $P$, столбцами которой являются координаты векторов нового базиса $G$ в старом базисе $F$, называется матрицей перехода от базиса $F$ к базису $G$. Связь базисов: $G=F\cdot P$.

Свойства матрицы перехода и их доказательства: 1) Свойство: Определитель матрицы перехода отличен от нуля ($\det P\ne 0$). Существует $P^{-1}$. Доказательство: Если бы $\det P=0$, то её столбцы были бы линейно зависимы. Так как столбцы $P$ — это координаты векторов нового базиса $G$ в старом базисе $F$, то сами векторы нового базиса оказались бы линейно зависимыми. Это противоречит определению базиса (базис — это линейно независимая система). Следовательно, $\det P\ne 0$.

2) Свойство: Матрица $P^{-1}$ является матрицей перехода от нового базиса $G$ к старому $F$. Доказательство: Умножим левую и правую части равенства $G=F\cdot P$ на матрицу $P^{-1}$ справа: $G\cdot P^{-1}=F\cdot P\cdot P^{-1}\Rightarrow G\cdot P^{-1}=F\cdot E\Rightarrow F=G\cdot P^{-1}$ Это означает, что столбцы матрицы $P^{-1}$ являются координатами элементов старого базиса $F$ относительно нового $G$.

3) Свойство: Правило умножения матриц перехода. Если $P$ — матрица перехода от $F$ к $G$, а $L$ — от $G$ к $D$, то матрица перехода от $F$ к $D$ есть $P\cdot L$. Доказательство: По определению: $G=F\cdot P,D=G\cdot L$. Подставим $G$: $D=(F\cdot P)\cdot L=F\cdot (P\cdot L)$. Следовательно, матрица $(P\cdot L)$ является искомой матрицей перехода.

6. Сформулировать определение евклидова пространства. Доказать неравенство Коши-Буняковского.

Определение: Линейное пространство $E$ называют Евклидовым пространством, если любым элементам $\bar{x},\bar{y}\in E$ ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением, такое, что выполняются аксиомы:

1. $(\bar{x},\bar{y})=(\bar{y},\bar{x})$ (симметрия).
2. $(\bar{x}+\bar{y},\bar{z})=(\bar{x},\bar{z})+(\bar{y},\bar{z})$ (дистрибутивность).
3. $(\alpha \bar{x},\bar{y})=\alpha (\bar{x},\bar{y})$ (ассоциативность скаляра).
4. $(\bar{x},\bar{x})\ge 0$, причём $(\bar{x},\bar{x})=0⟺\bar{x}=\bar{\theta }$.

Неравенство Коши-Буняковского: Для любых двух элементов $\bar{x},\bar{y}\in E$ справедливо: $(\bar{x},\bar{y}{)}^2\le (\bar{x},\bar{x})(\bar{y},\bar{y})(\ast )$ Доказательство:

1. Если скалярный квадрат $(\bar{y},\bar{y})$ равен 0, то $\bar{y}=\bar{\theta }$, и неравенство $(\ast )$ выполняется ($0\le 0$).
2. Если скалярный квадрат не равен 0, то для любого действительного числа $\lambda$ выполняется (в силу 4-й аксиомы): $(\bar{x}-\lambda \bar{y},\bar{x}-\lambda \bar{y})\ge 0$ Раскроем скобки по свойствам скалярного произведения: $(\bar{x},\bar{x})-2\lambda (\bar{x},\bar{y})+{\lambda }^2(\bar{y},\bar{y})\ge 0$ Получили квадратный трёхчлен относительно $\lambda$, значения которого неотрицательны при любых $\lambda$, в частности при $\lambda =\frac{(\bar{x},\bar{y})}{(\bar{y},\bar{y})}$. Подставим это значение $\lambda$: $(\bar{x},\bar{x})-2\frac{(\bar{x},\bar{y})}{(\bar{y},\bar{y})}(\bar{x},\bar{y})+\frac{(\bar{x},\bar{y}{)}^2}{(\bar{y},\bar{y}{)}^2}(\bar{y},\bar{y})=(\bar{x},\bar{x})-\frac{(\bar{x},\bar{y}{)}^2}{(\bar{y},\bar{y})}\ge 0$ Домножим на $(\bar{y},\bar{y})>0$ и перенесем вычитаемое вправо, получим: $(\bar{x},\bar{x})(\bar{y},\bar{y})\ge (\bar{x},\bar{y}{)}^2\text{Ч.т.д.}$

7. Сформулировать определения ортогональной и ортонормированной систем. Доказать теорему о линейной независимости.

Определения:

• Система элементов ${\bar{a}}_1,\dots ,{\bar{a}}_n\in E$ называется ортогональной, если попарные скалярные произведения равны нулю: $({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_j)=0,i\ne j$.
• Эта система называется ортонормированной, если она ортогональна и длина каждого элемента равна 1: $({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_j)=\{\begin{array}{ll}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

Теорема о линейной независимости: Ортонормированная (и любая ортогональная система ненулевых элементов) линейно независима. Доказательство: Пусть дана ортонормированная система элементов ${\bar{a}}_1,{\bar{a}}_2,\dots ,{\bar{a}}_n$. Составим их линейную комбинацию и приравняем её к $\bar{\theta }$: ${\beta }_1{\bar{a}}_1+\cdots +{\beta }_n{\bar{a}}_n=\bar{\theta }$ Умножим скалярно левую и правую часть на элемент ${\bar{a}}_i$. В силу ортогональности системы все слагаемые с $j\ne i$ обнулятся: ${\beta }_i({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_i)=(\bar{\theta },{\bar{a}}_i)=0$ Но так как система ортонормированная (векторы ненулевые), то $({\bar{a}}_i,{\bar{a}}_i)=1\ne 0$. Следовательно, ${\beta }_i=0$. Так как это рассуждение справедливо для любого $i$, все коэффициенты равны нулю, что по определению означает линейную независимость системы. Ч.т.д.

8. Сформулировать определение матрицы линейного оператора. Вывести формулу преобразования матрицы.

Определение: Матрица $A$, составленная из координатных столбцов образов базисных векторов $\mathcal{A}{\bar{e}}_1,\dots ,\mathcal{A}{\bar{e}}_n$ (разложенных по самому базису $\{\bar{e}\}$), называется матрицей линейного оператора $\mathcal{A}$ в заданном базисе $\{\bar{e}\}$.

Вывод формулы преобразования матрицы: Пусть $\bar{y}=\mathcal{A}\bar{x}$. В старом базисе $E$ это матричное уравнение имеет вид: $Y=AX$. В новом базисе $E^{\prime }$ это матричное уравнение имеет вид: $Y^{\prime }=A^{\prime }{X}^{\prime }$. Известно, что связь между координатными столбцами в разных базисах осуществляется через матрицу перехода $P$: $X=P{X}^{\prime }$ и $Y=P{Y}^{\prime }$. Выразим $Y^{\prime }$ из второго равенства: $Y^{\prime }=P^{-1}Y$. Подставим $Y=AX$: $Y^{\prime }=P^{-1}(AX)$. Подставим $X=P{X}^{\prime }$: $Y^{\prime }=P^{-1}(AP{X}^{\prime })=(P^{-1}AP)X^{\prime }$. Сравнивая полученное равенство $Y^{\prime }=(P^{-1}AP)X^{\prime }$ с исходным равенством $Y^{\prime }=A^{\prime }{X}^{\prime }$, делаем вывод, что матрица в новом базисе равна: $A^{\prime }=P^{-1}AP$

9. Сформулировать определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора.

Определение: Ненулевой элемент $\bar{x}\in V$ называется собственным элементом (вектором) линейного оператора $\mathcal{A}:V\to V$, если имеет место соотношение: $\mathcal{A}\bar{x}=\lambda \bar{x}$ При этом действительное (в вещественном пространстве) число $\lambda$ называется собственным значением (или собственным числом, характеристическим значением) линейного оператора $\mathcal{A}$, соответствующим этому собственному элементу.

10. Сформулировать и доказать теорему о собственных векторах, отвечающих попарно различным собственным значениям.

Формулировка теоремы: Система собственных элементов ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$ линейного оператора $\mathcal{A}$, соответствующих попарно различным собственным значениям ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, является линейно независимой.

Доказательство (метод математической индукции):

1. При $n=1$ утверждение выполняется, так как собственный элемент по определению ненулевой, а один ненулевой вектор линейно независим.
2. Пусть утверждение верно для любой системы из $n-1$ собственного элемента. Докажем от противного, что оно верно и для $n$ элементов.
3. Предположим, что система ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$ линейно зависима. Тогда существует линейная комбинация, равная нулю, где хотя бы один коэффициент не равен нулю (пусть ${\alpha }_1\ne 0$): ${\alpha }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{e}}_n=\bar{\theta }(\ast )$
4. Применим оператор $\mathcal{A}$ к обеим частям $(\ast )$. Так как $\mathcal{A}{\bar{e}}_i={\lambda }_i{\bar{e}}_i$: ${\alpha }_1{\lambda }_1{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\lambda }_n{\bar{e}}_n=\bar{\theta }(\ast \ast )$
5. Умножим исходное соотношение $(\ast )$ на ${\lambda }_n$: ${\alpha }_1{\lambda }_n{\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\lambda }_n{\bar{e}}_n=\bar{\theta }(\ast \ast \ast )$
6. Вычтем из $(\ast \ast )$ соотношение $(\ast \ast \ast )$: ${\alpha }_1({\lambda }_1-{\lambda }_n){\bar{e}}_1+\cdots +{\alpha }_{n-1}({\lambda }_{n-1}-{\lambda }_n){\bar{e}}_{n-1}=\bar{\theta }$
7. Так как все ${\lambda }_i$ попарно различны, скобка $({\lambda }_1-{\lambda }_n)\ne 0$. Коэффициент ${\alpha }_1$ тоже $\ne 0$. Значит, мы получили нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю, для $n-1$ векторов. Это означает, что система из $n-1$ векторов линейно зависима.
8. Мы получили противоречие с предположением индукции. Значит, исходная система из $n$ векторов линейно независима. Ч.т.д.

11. Сформулировать и доказать теорему об инвариантности характеристического многочлена относительно замены базиса.

Формулировка теоремы: Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса (инвариантен относительно замены базиса).

Доказательство: Пусть линейный оператор $\mathcal{A}:V\to V$ в базисе $\{\bar{e}\}$ имеет матрицу $A$, а в новом базисе $\{{\bar{e}}^{\prime }\}$ имеет матрицу $A^{\prime }$. По теореме о связи матриц оператора, эти матрицы подобны: $A^{\prime }=P^{-1}AP$ Где $P$ — матрица перехода от старого базиса к новому. Составим характеристический многочлен матрицы $A^{\prime }$: $\det (A^{\prime }-\lambda E)=\det (P^{-1}AP-\lambda P^{-1}EP)=\det (P^{-1}(A-\lambda E)P)$ Используем свойство определителя произведения матриц ($\det (ABC)=\det A\cdot \det B\cdot \det C$): $=\det (P^{-1})\cdot \det (A-\lambda E)\cdot \det (P)$ Так как $\det (P^{-1})=\frac{1}{\det P}$, то $\det (P^{-1})\cdot \det (P)=1$. Получаем: $\det (A^{\prime }-\lambda E)=\det (A-\lambda E)$ Характеристические многочлены равны. Ч.т.д.

12. Сформулировать определение самосопряженного линейного оператора.

Определение: Линейный оператор $\mathcal{A}$, действующий из Евклидова пространства $E$ в $E$, называют самосопряжённым (или симметрическим), если он совпадает со своим сопряжённым оператором ($\mathcal{A}={\mathcal{A}}^{\ast }$). То есть, если для любых векторов $\bar{x},\bar{y}\in E$ имеет место следующее равенство скалярных произведений: $(\mathcal{A}\bar{x},\bar{y})=(\bar{x},\mathcal{A}\bar{y})$ Примеры: Тождественный оператор $\mathcal{I}$ и нулевой оператор $\Theta$.

13. Сформулировать и доказать теорему о собственных векторах самосопряженного оператора, отвечающих различным собственным значениям.

Формулировка теоремы: Собственные элементы самосопряжённого оператора $\mathcal{A}$, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство: Пусть ${\bar{x}}_1$ и ${\bar{x}}_2$ есть собственные элементы самосопряжённого оператора $\mathcal{A}$, отвечающие разным собственным значениям ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ (${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$). То есть $\mathcal{A}{\bar{x}}_1={\lambda }_1{\bar{x}}_1$ и $\mathcal{A}{\bar{x}}_2={\lambda }_2{\bar{x}}_2$. Рассмотрим скалярное произведение $(\mathcal{A}{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)$:

1. С одной стороны: $(\mathcal{A}{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=({\lambda }_1{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)={\lambda }_1({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)$.
2. С другой стороны (так как $\mathcal{A}$ — самосопряжённый): $(\mathcal{A}{\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=({\bar{x}}_1,\mathcal{A}{\bar{x}}_2)=({\bar{x}}_1,{\lambda }_2{\bar{x}}_2)={\lambda }_2({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)$.

Приравняем правые части: ${\lambda }_1({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)={\lambda }_2({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)\Rightarrow ({\lambda }_1-{\lambda }_2)({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=0$ Так как по условию собственные значения различны (${\lambda }_1-{\lambda }_2\ne 0$), то скалярное произведение обязано быть нулем: $({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2)=0$. Это означает, что векторы ${\bar{x}}_1$ и ${\bar{x}}_2$ ортогональны. Ч.т.д.

14. Сформулировать и доказать теорему о матрице самосопряженного линейного оператора в ОНБ.

Формулировка теоремы: Для того чтобы линейный оператор $\mathcal{A}:E\to E$ был самосопряжённым, необходимо и достаточно, чтобы его матрица $A$ в любом ортонормированном базисе была симметрической матрицей, то есть $A=A^T$.

Доказательство: Необходимость и достаточность: По определению, $\mathcal{A}$ есть самосопряжённый оператор тогда и только тогда, когда он равен своему сопряжённому ${\mathcal{A}}^{\ast }$. Следовательно, их матрицы также равны: $A=A^{\ast }$. По теореме о матрице сопряженного оператора, в ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора совпадает с транспонированной матрицей исходного оператора: $A^{\ast }=A^T$. Объединяя эти два факта, получаем $A=A^T$, что и является признаком симметричности матриц. Ч.т.д.

15. Сформулировать определение ортогональной матрицы. Сформулировать и доказать ее свойства.

Определение: Квадратная матрица $O$ называется ортогональной, если выполняется равенство: $O^{T}O=E$

Свойства и их доказательства:

1. Определитель равен $\pm 1$. Доказательство: $\det (O^{T}O)=\det (O^T)\det (O)=(\det O{)}^2$. Так как $\det E=1$, то $(\det O{)}^2=1\Rightarrow \det O=\pm 1$.
2. Обратная матрица совпадает с транспонированной ($O^{-1}=O^T$). Доказательство: Матрица невырождена ($\det \ne 0$), значит существует $O^{-1}$. Умножим $O^{T}O=E$ на $O^{-1}$ справа: $O^T(O{O}^{-1})=E{O}^{-1}\Rightarrow O^T=O^{-1}$.
3. $O{O}^T=E$. Доказательство: Согласно свойству 2: $O{O}^T=O{O}^{-1}=E$.
4. Матрица $O^T$ также ортогональная. Доказательство: $(O^T{)}^T\cdot O^T=O\cdot O^T=E$ (по свойству 3).
5. Произведение двух ортогональных матриц ($OC$) ортогонально. Доказательство: $(OC{)}^T(OC)=C^T{O}^{T}OC=C^T(O^{T}O)C=C^{T}EC=C^{T}C=E$.

16. Сформулировать и доказать теорему о матрице перехода от одного ОНБ к другому ОНБ.

Формулировка теоремы: Матрица перехода $P$ в евклидовом пространстве от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису есть ортогональная матрица.

Доказательство: Пусть $\{\bar{f}\}$ и $\{\bar{g}\}$ — два ортонормированных базиса. Матрица перехода $P=(P_1,P_2,\dots ,P_n)$ состоит из координатных столбцов векторов $\{\bar{g}\}$ в базисе $\{\bar{f}\}$. Рассмотрим матрицу $P^{T}P$. Элемент на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца этой матрицы равен произведению $P_i^T{P}_j$. В ортонормированном базисе $\{\bar{f}\}$ выражение $P_i^T{P}_j$ — это в точности скалярное произведение $({\bar{g}}_i,{\bar{g}}_j)$. Так как новый базис $\{\bar{g}\}$ тоже является ортонормированным, то: $P_i^T{P}_j=({\bar{g}}_i,{\bar{g}}_j)=\{\begin{array}{ll}0,& i\ne j\\ 1,& i=j\end{array}$ Значит, по главной диагонали стоят $1$, а остальные элементы — $0$. Следовательно, $P^{T}P=E$, что по определению означает, что $P$ — ортогональная матрица. Ч.т.д.

17. Сформулировать определения квадратичной формы, матрицы и ранга квадратичной формы.

Определение квадратичной формы: Квадратичной формой $F(\bar{x},\bar{x})$ от $n$ переменных $x_1,\dots ,x_n$ называется однородный многочлен второй степени от этих переменных с действительными коэффициентами $b_{ij}$: $F(\bar{x},\bar{x})={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j$

Определение матрицы квадратичной формы: Это квадратная симметрическая матрица $B$ ($B^T=B$), элементы которой заполняются по правилу: на главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных ($x_i^2$), а элементы вне главной диагонали равны половине коэффициента при соответствующем попарном произведении $x_i{x}_j$. Векторная запись формы: $F(\bar{x},\bar{x})=X^{T}BX$.

Определение ранга квадратичной формы: Рангом квадратичной формы называют ранг её матрицы $B$. Если $\det B\ne 0$ (ранг равен $n$), форма называется невырожденной.

18. Вывести формулу преобразования матрицы квадратичной формы при невырожденной линейной замене переменных.

Вывод: Пусть задана квадратичная форма в матричном виде $F(\bar{x},\bar{x})=X^{T}BX$. Рассмотрим невырожденную линейную замену переменных, соответствующую переходу к новому базису с матрицей перехода $T$. Связь старых координат $X$ и новых координат $Y$ имеет вид: $X=TY$ Подставим это выражение в исходную квадратичную форму: $F(\bar{x},\bar{x})=(TY{)}^{T}B(TY)$ Воспользуемся свойством транспонирования произведения ($(TY{)}^T=Y^T{T}^T$) и ассоциативностью матричного умножения: $F(\bar{x},\bar{x})=Y^T{T}^{T}BTY=Y^T(T^{T}BT)Y$ Обозначим матрицу в новых координатах как $B^{\prime }$. Тогда $F(\bar{x},\bar{x})=Y^T{B}^{\prime }Y$. Сравнивая, получаем формулу преобразования матрицы: $B^{\prime }=T^{T}BT$

19. Сформулировать критерий Сильвестра и закон инерции квадратичных форм.

Критерий Сильвестра (знакоопределенность):

• Квадратичная форма является положительно определенной (строго $>0$ при $\bar{x}\ne \bar{\theta }$) тогда и только тогда, когда все главные угловые миноры ее матрицы строго положительны: ${\Delta }_1>0,{\Delta }_2>0,\dots ,{\Delta }_n>0$.
• Квадратичная форма является отрицательно определенной (строго $<0$) тогда и только тогда, когда знаки ее главных угловых миноров чередуются, начиная с минуса: ${\Delta }_1<0,{\Delta }_2>0,{\Delta }_3<0,\dots ,(-1{)}^n{\Delta }_n>0$.

Закон инерции квадратичных форм: Число положительных и число отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы (ее сигнатура) не зависит от способа (невырожденного линейного преобразования), которым эта форма была приведена к каноническому виду.

---

Тип 1. Доказательство базиса и нахождение координат вектора

Условие: Даны векторы ${\bar{a}}_1,\dots ,{\bar{a}}_n$. Доказать, что они образуют базис. Найти координаты вектора $\bar{x}$ в этом базисе.

Алгоритм решения:

1. Доказательство базиса: Составить матрицу $A$, записав координаты заданных векторов ${\bar{a}}_1,\dots ,{\bar{a}}_n$ по столбцам.
2. Вычислить определитель $\det A$.
   • Если $\det A\ne 0$, векторы линейно независимы. Так как их количество совпадает с размерностью пространства, они образуют базис.
3. Нахождение координат: Составить векторное уравнение $\bar{x}={\alpha }_1{\bar{a}}_1+\cdots +{\alpha }_n{\bar{a}}_n$.
4. Записать это уравнение в виде системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), где столбцом свободных членов являются координаты вектора $\bar{x}$. В матричном виде: $A\cdot X_{new}=X_{old}$.
5. Решить СЛАУ (методом Гаусса или Крамера). Найденные числа ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ — это искомые координаты вектора $\bar{x}$ в новом базисе.

Тип 2. Нахождение матрицы перехода между базисами

Условие: Даны два базиса $\{\bar{e}\}$ и $\{{\bar{e}}^{\prime }\}$, заданные своими координатами в некотором исходном базисе. Найти матрицу перехода $T_{e\to e^{\prime }}$.

Алгоритм решения:

1. По определению, матрица перехода $T_{e\to e^{\prime }}$ состоит из координат векторов нового базиса $\{{\bar{e}}^{\prime }\}$, разложенных по векторам старого базиса $\{\bar{e}\}$.
2. Составить матрицу $E$ из координатных столбцов старого базиса $\{\bar{e}\}$ и матрицу $E^{\prime }$ из координатных столбцов нового базиса $\{{\bar{e}}^{\prime }\}$.
3. Записать матричное уравнение: $E^{\prime }=E\cdot T$.
4. Выразить искомую матрицу перехода: $T=E^{-1}\cdot E^{\prime }$.
5. Найти обратную матрицу $E^{-1}$ (через алгебраические дополнения или метод Гаусса-Жордана) и умножить её на $E^{\prime }$.

Лайфхак: Если старый базис $\{\bar{e}\}$ — канонический (т.е. $E$ — единичная матрица), то $T$ просто совпадает с $E^{\prime }$ (координаты новых векторов записываются в столбцы).

Тип 3. Проверка оператора на линейность и нахождение его матрицы

Условие: Задано преобразование $\mathcal{A}\bar{x}=(y_1,y_2,y_3)$. Выяснить, является ли оно линейным оператором, и найти его матрицу в каноническом базисе.

Алгоритм решения:

1. Проверка на линейность:
   • Проверить свойство аддитивности: $\mathcal{A}(\bar{x}+\bar{y})=\mathcal{A}\bar{x}+\mathcal{A}\bar{y}$. Подставить вектор с координатами $(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots )$ в правило оператора и разбить результат на сумму двух векторов.
   • Проверить свойство однородности: $\mathcal{A}(\alpha \bar{x})=\alpha \mathcal{A}\bar{x}$.
   • Лайфхак: Если в правиле есть свободные числа (не умноженные на координаты), квадраты или модули координат, оператор не является линейным (сразу пишем контрпример). Если только линейные комбинации — оператор линейный.
2. Нахождение матрицы: Вычислить образы канонических базисных векторов ${\bar{e}}_1=(1,0,0{)}^T$, ${\bar{e}}_2=(0,1,0{)}^T$, ${\bar{e}}_3=(0,0,1{)}^T$, подставив их координаты в заданное правило оператора.
3. Записать полученные векторы $\mathcal{A}{\bar{e}}_1,\mathcal{A}{\bar{e}}_2,\mathcal{A}{\bar{e}}_3$ по столбцам в матрицу $A$.

Тип 4. Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису

Условие: Оператор $\mathcal{A}$ имеет матрицу $A$ в базисе $\{\bar{e}\}$. Найти его матрицу $A^{\prime }$ в базисе $\{{\bar{e}}^{\prime }\}$. Задана связь между векторами базисов.

Алгоритм решения:

1. Составить матрицу перехода $P$ от старого базиса к новому. Координаты разложения новых векторов ${\bar{e}}_i^{\prime }$ по старым векторам ${\bar{e}}_i$ записываются строго по столбцам.
2. Найти обратную матрицу $P^{-1}$.
3. Вычислить новую матрицу оператора по формуле подобия: $A^{\prime }=P^{-1}\cdot A\cdot P$. (Сначала умножить $P^{-1}$ на $A$, затем результат умножить на $P$).

Тип 5. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Условие: Заданы векторы ${\bar{a}}_1,{\bar{a}}_2,{\bar{a}}_3$. Построить на их основе ортонормированный базис.

Алгоритм решения:

1. Ортогонализация: Построить промежуточные ортогональные векторы ${\bar{b}}_1,{\bar{b}}_2,{\bar{b}}_3$.
   • ${\bar{b}}_1={\bar{a}}_1$
   • ${\bar{b}}_2={\bar{a}}_2-\alpha {\bar{b}}_1$, где $\alpha =\frac{({\bar{a}}_2,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}$
   • ${\bar{b}}_3={\bar{a}}_3-{\beta }_1{\bar{b}}_1-{\beta }_2{\bar{b}}_2$, где ${\beta }_1=\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}$, ${\beta }_2=\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_2)}{({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_2)}$
2. Вычислить скалярные произведения как сумму произведений координат. Обязательно проверить себя: скалярные произведения $({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_2)$, $({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_3)$, $({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_3)$ должны равняться нулю.
3. Нормировка: Вычислить длины полученных векторов $||{\bar{b}}_i||=\sqrt{({\bar{b}}_i,{\bar{b}}_i)}$.
4. Разделить каждый вектор ${\bar{b}}_i$ на его длину: ${\bar{e}}_i=\frac{1}{||{\bar{b}}_i||}{\bar{b}}_i$. Векторы ${\bar{e}}_1,{\bar{e}}_2,{\bar{e}}_3$ — искомый ортонормированный базис.

Тип 6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (Ортогональное преобразование)

Условие: Привести квадратичную форму $F(x,y,z)$ к каноническому виду ортогональным преобразованием. Указать преобразование. Требование кафедры: $\det T=1$, собственные числа в порядке возрастания.

Алгоритм решения:

1. Составить матрицу квадратичной формы $A$ (симметрическая матрица, где на диагонали коэффициенты при $x^2,y^2,z^2$, а вне диагонали — коэффициенты при $xy,xz,yz$, разделенные пополам).
2. Найти собственные значения ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ из характеристического уравнения $\det (A-\lambda E)=0$.
3. Расположить найденные $\lambda$ в порядке возрастания: ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le {\lambda }_3$.
4. Записать канонический вид: $F(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })={\lambda }_1(x^{\prime }{)}^2+{\lambda }_2(y^{\prime }{)}^2+{\lambda }_3(z^{\prime }{)}^2$.
5. Найти собственные векторы для каждого $\lambda$. Для этого решить однородные системы $(A-{\lambda }_{i}E)X=0$. Получим векторы ${\bar{v}}_1,{\bar{v}}_2,{\bar{v}}_3$.
6. Проверить векторы на ортогональность (скалярные произведения должны быть равны нулю). Если есть кратный корень (например ${\lambda }_1={\lambda }_2$), то для него найдутся два вектора, которые нужно будет ортогонализовать процессом Грама-Шмидта.
7. Нормировать собственные векторы: разделить каждый на его длину. Получим векторы ${\bar{e}}_1,{\bar{e}}_2,{\bar{e}}_3$.
8. Составить матрицу ортогонального преобразования $T$, записав нормированные векторы в столбцы.
9. Вычислить $\det T$.
   • Если $\det T=1$, матрица найдена верно.
   • Если $\det T=-1$, умножить один из столбцов (т.е. один собственный вектор) на $-1$, чтобы сменить знак определителя, не нарушая ортонормированность.
10. Записать ответ в виде: “Канонический вид: $...$, Преобразование: $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=T\cdot \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)$“.