РК2

1. Сформулировать определения: скалярной функции нескольких переменных (СФНП), линии и поверхности уровня СФНП, предела и непрерывности СФНП в точке.

Определение СФНП: Функцией $u$ от $n$ переменных $x_1,\dots ,x_n$ называют закон $f$, по которому каждой совокупности этих переменных (т.е. точке $M(x_1,\dots ,x_n)$ из некоторого множества $D\subset {\mathbb{R}}^n$) ставится в соответствие единственное действительное число $u$. Такое отображение $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ называется скалярной функцией нескольких переменных. Запись: $u=f(M)$ или $u=f(x_1,\dots ,x_n)$.

Линии и поверхности уровня:

• Линией уровня функции двух переменных $z=f(x,y)$ называется множество точек плоскости $Oxy$, в которых функция принимает одно и то же постоянное значение: $f(x,y)=C(\text{где }C=\text{const})$.
• Поверхностью уровня функции трёх переменных $u=f(x,y,z)$ называется множество точек трёхмерного пространства, в которых функция принимает постоянное значение: $f(x,y,z)=C$.

Предел СФНП в точке (по Гейне): Число $b$ называется пределом функции $u=f(M)$ при $M\to A$, если для любой сходящейся к точке $A$ последовательности точек $M_1,M_2,\dots ,M_k\to A$ (причем $M_k\ne A$), соответствующая последовательность значений функции $f(M_k)$ сходится к числу $b$.

Непрерывность СФНП в точке: Функцию $u=f(M)$ называют непрерывной в точке $A$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в самой точке: ${\lim }_{M\to A}f(M)=f(A)$ (Или в разностной форме: ${\lim }_{\Delta M\to 0}\Delta u=0$).

2. Сформулировать определение полного дифференциала скалярной функции нескольких переменных.

Определение: Полным дифференциалом скалярной функции нескольких переменных $u=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ в точке называется главная, линейная относительно приращений независимых переменных часть полного приращения $\Delta u$ этой функции в данной точке.

Дифференциал обозначается $du$ и равен сумме произведений частных производных функции на дифференциалы (приращения) соответствующих независимых переменных: $du=\frac{\partial u}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial u}{\partial x_2}d{x}_2+\cdots +\frac{\partial u}{\partial x_n}d{x}_n$ Для функции двух переменных $z=f(x,y)$ полный дифференциал имеет вид: $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$.

3. Сформулировать определение дифференцируемости скалярной функции нескольких переменных (СФНП) в точке.

Определение: Функция $u=f(x_1,\dots ,x_n)$ называется дифференцируемой в точке $M(x_1,\dots ,x_n)$, если её полное приращение $\Delta u$ в этой точке можно представить в виде суммы двух слагаемых:

1. Линейной комбинации приращений аргументов $A_1\Delta x_1+\cdots +A_n\Delta x_n$ (где $A_1,\dots ,A_n$ — числа, не зависящие от $\Delta x_i$).
2. Бесконечно малой величины более высокого порядка, чем расстояние между точками $\rho =\sqrt{\Delta x_1^2+\cdots +\Delta x_n^2}$.

Формула определения: $\Delta u=A_1\Delta x_1+A_2\Delta x_2+\cdots +A_n\Delta x_n+o(\rho ),\text{при }\rho \to 0$

4. Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии дифференцируемости СФНП в точке.

Теорема (Необходимое условие дифференцируемости): Если функция $u=f(x_1,\dots ,x_n)$ дифференцируема в точке $M$, то она имеет в этой точке частные производные по всем аргументам, причем они равны соответствующим коэффициентам $A_i$ в линейной части её приращения.

Доказательство: По условию функция дифференцируема, значит её полное приращение имеет вид: $\Delta u=A_1\Delta x_1+A_2\Delta x_2+\cdots +A_n\Delta x_n+o(\rho )(1)$ Зададим приращение $\Delta x_1\ne 0$ только аргументу $x_1$, а остальные приращения положим равными нулю: $\Delta x_2=0,\dots ,\Delta x_n=0$. При этом полное приращение $\Delta u$ переходит в частное приращение ${\Delta }_{x_1}u$, а расстояние $\rho =\sqrt{\Delta x_1^2+0+\cdots +0}=|\Delta x_1|$. Формула (1) примет вид: ${\Delta }_{x_1}u=A_1\Delta x_1+o(|\Delta x_1|)$ Разделим обе части на $\Delta x_1$ и перейдём к пределу при $\Delta x_1\to 0$: ${\lim }_{\Delta x_1\to 0}\frac{{\Delta }_{x_1}u}{\Delta x_1}={\lim }_{\Delta x_1\to 0}\left(A_1+\frac{o(|\Delta x_1|)}{\Delta x_1}\right)=A_1+0=A_1$ По определению частной производной, левая часть — это $\frac{\partial u}{\partial x_1}$. Значит, $\frac{\partial u}{\partial x_1}=A_1$. Аналогично доказывается для всех остальных переменных. Ч.т.д.

5. Сформулировать теорему о достаточном условии дифференцируемости СФНП.

Теорема (Достаточное условие дифференцируемости): Если функция $u=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ имеет частные производные по всем своим переменным в некоторой окрестности точки $M(x_1,\dots ,x_n)$, и эти частные производные непрерывны в самой точке $M$, то функция $u=f(M)$ дифференцируема в этой точке.

6. Сформулировать и доказать теорему о производной сложной (скалярной) функции нескольких переменных.

Теорема: Если функция $y=f(x)$ (где $x\in E_n,y\in E_m$) дифференцируема в точке $x$, а функция $z=g(y)$ ($y\in E_m,z\in E_k$) дифференцируема в точке $y=f(x)$, то сложная функция $z=g(f(x))$ дифференцируема в точке $x$, и её матрица производных (матрица Якоби) равна произведению матриц Якоби: $\frac{\partial z}{\partial x}=g^{\prime }(y)\cdot f^{\prime }(x)$.

Доказательство: По определению дифференцируемости функций запишем их приращения: $\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+\alpha |\Delta x|,\text{где }\alpha \to 0\text{ при }\Delta x\to 0$ $\Delta z=g^{\prime }(y)\Delta y+\beta |\Delta y|,\text{где }\beta \to 0\text{ при }\Delta y\to 0$ Подставим выражение для $\Delta y$ в $\Delta z$: $\Delta z=g^{\prime }(y)[f^{\prime }(x)\Delta x+\alpha |\Delta x|]+\beta |\Delta y|$ Раскроем скобки и сгруппируем: $\Delta z=(g^{\prime }(y)f^{\prime }(x))\Delta x+[g^{\prime }(y)\alpha |\Delta x|+\beta |\Delta y|]$ Обозначим второе слагаемое как $\gamma |\Delta x|$. Так как исходные функции дифференцируемы (а значит и непрерывны), при $\Delta x\to 0\Rightarrow \Delta y\to 0\Rightarrow \alpha \to 0\text{ и }\beta \to 0$. Следовательно, величина $\gamma \to 0$. Получаем: $\Delta z=(g^{\prime }(y)f^{\prime }(x))\Delta x+\gamma |\Delta x|$. Это в точности является определением дифференцируемости сложной функции $z$ по переменной $x$, где её производная (линейный оператор) равна произведению производных: $g^{\prime }(y)f^{\prime }(x)$. Ч.т.д.

7. Сформулировать теорему о дифференцируемости сложной (скалярной) функции нескольких переменных.

Теорема: Если функция нескольких переменных $y=f(x):E_n\to E_m$ дифференцируема в точке $x$, а функция $z=g(y):E_m\to E_k$ дифференцируема в соответствующей точке $y=f(x)$, то сложная функция $z=g(f(x)):E_n\to E_k$ также дифференцируема в точке $x$. (Формулировка совпадает с началом теоремы из вопроса 6).

8. Сформулировать и доказать свойство инвариантности формы первого дифференциала.

Свойство инвариантности: Форма записи дифференциала первого порядка функции не зависит от того, являются ли аргументы, от которых зависит функция, независимыми переменными или же сами являются функциями других переменных.

Доказательство: Пусть $y=f(x)$ — дифференцируемая функция, где $x=(x_1,\dots ,x_n)$ — независимые переменные. Её первый дифференциал имеет вид: $dy=\frac{\partial f}{\partial x}dx(\ast )$ Здесь $dx$ — дифференциалы независимых переменных.

Предположим теперь, что аргументы $x$ сами являются дифференцируемыми функциями от новых независимых переменных $t=(t_1,\dots ,t_k)$, то есть $x=g(t)$. Получаем сложную функцию $y=f(g(t))$. Найдём её дифференциал по переменным $t$: $dy=\frac{\partial f(g(t))}{\partial t}dt$ По теореме о производной сложной функции (Вопрос 6), распишем частную производную: $dy=\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x}\cdot \frac{\partial g(t)}{\partial t}\right)dt=\frac{\partial f(x)}{\partial x}\cdot \left(\frac{\partial g(t)}{\partial t}dt\right)$ Выражение в скобках $\left(\frac{\partial g(t)}{\partial t}dt\right)$ по определению является дифференциалом функции $x=g(t)$, то есть это $dx$. Подставив $dx$, получаем: $dy=\frac{\partial f(x)}{\partial x}dx$ Вид формулы совпал с $(\ast )$. Инвариантность формы первого дифференциала доказана. Ч.т.д.

9. Сформулировать определение частной производной высшего порядка скалярной функции нескольких переменных.

Определение: Частной производной второго порядка (и выше) функции нескольких переменных называется частная производная от её частной производной первого (предыдущего) порядка.

Например, для функции $z=f(x,y)$: Частная производная первого порядка $\frac{\partial z}{\partial x}=f_x^{\prime }(x,y)$ сама является функцией от $x$ и $y$. Если мы продифференцируем её ещё раз по $x$, получим частную производную второго порядка по $x$: $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$ Если продифференцируем $\frac{\partial z}{\partial x}$ по переменной $y$, получим смешанную частную производную второго порядка: $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$

10. Сформулировать теорему о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования.

Теорема (Теорема Шварца): Если функция $z=f(x,y)$ и её частные производные $f_x^{\prime },f_y^{\prime }$, а также смешанные производные второго порядка $f_{xy}^{\prime \prime }$ и $f_{yx}^{\prime \prime }$ определены в некоторой окрестности точки $M(x,y)$ и непрерывны в самой этой точке, то в этой точке значения смешанных производных равны независимо от порядка дифференцирования: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

11. Сформулировать определение дифференциала $n$-го порядка скалярной функции нескольких переменных.

Определение: Дифференциалом $n$-го порядка $d^{n}u$ скалярной функции нескольких переменных называется первый дифференциал от её дифференциала $(n-1)$-го порядка: $d^{n}u=d(d^{n-1}u)$ При вычислении дифференциала $n$-го порядка предполагается, что дифференциалы независимых переменных $d{x}_1,d{x}_2,\dots ,d{x}_n$ являются постоянными величинами, то есть $d(d{x}_i)=0$. Форма дифференциала высшего порядка не обладает свойством инвариантности.

12. Вывести формулу вычисления дифференциала 2-го порядка для функции $n$-переменных.

Вывод: По определению, $d^{2}u=d(du)$. Запишем первый дифференциал функции $n$ переменных $u=f(x_1,\dots ,x_n)$: $du={\sum }_{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}d{x}_i$ Берём от этого выражения ещё один дифференциал, считая $d{x}_i$ постоянными (они выносятся за знак дифференциала как множители): $d^{2}u=d\left({\sum }_{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}d{x}_i\right)={\sum }_{i=1}^{n}d\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)d{x}_i$ Выражение $d\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)$ — это первый дифференциал от частной производной. Применим к нему формулу первого дифференциала: $d\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)={\sum }_{j=1}^n\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)d{x}_j={\sum }_{j=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}d{x}_j$ Подставим это обратно в сумму: $d^{2}u={\sum }_{i=1}^n\left({\sum }_{j=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}d{x}_j\right)d{x}_i={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}d{x}_{i}d{x}_j$

Замечание: Эта формула эквивалентна применению оператора дифференциала второго порядка: $d^{2}u={\left(\frac{\partial }{\partial x_1}d{x}_1+\cdots +\frac{\partial }{\partial x_n}d{x}_n\right)}^{2}u$.

13. Выписать дифференциал второго порядка и матрицу Гессе для скалярной функции двух переменных.

Дифференциал второго порядка для функции $z=f(x,y)$: Раскрывая операторную формулу ${\left(\frac{\partial }{\partial x}dx+\frac{\partial }{\partial y}dy\right)}^{2}z$, получаем (с учетом равенства смешанных производных $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$): $d^{2}z=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}d{y}^2$

Матрица Гессе — это матрица, составленная из вторых частных производных функции. Для функции 2-х переменных она имеет размер $2\times 2$: $H=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}^{\prime \prime }& f_{xy}^{\prime \prime }\\ f_{yx}^{\prime \prime }& f_{yy}^{\prime \prime }\end{array}\right)$ В терминах этой матрицы дифференциал 2-го порядка является квадратичной формой от приращений $dx$ и $dy$.

14. Сформулировать определение неявно заданной функции нескольких переменных.

Определение: Функция $u$ называется неявно заданной уравнением $F(x_1,\dots ,x_n,u)=0$, если это уравнение не разрешено явно относительно $u$, но ставит в соответствие набору независимых переменных $(x_1,\dots ,x_n)$ такое значение $u$, подстановка которого обращает данное уравнение в тождество.

15. Сформулировать теорему о существовании дифференцируемой неявно заданной функции нескольких переменных.

Теорема о неявной функции: Пусть функция $F(x,y,u)$ определена и непрерывна в некоторой окрестности точки $M_0(x^0,y^0,u^0)\in {\mathbb{R}}^3$, причём её частная производная $\frac{\partial F}{\partial u}$ также непрерывна в этой окрестности. Если выполнены два условия:

1. $F(M_0)=0$
2. $\frac{\partial F}{\partial u}(M_0)\ne 0$

То существует некоторая окрестность точки $(x^0,y^0)\in {\mathbb{R}}^2$, в которой уравнение $F(x,y,u)=0$ однозначно определяет $u$ как функцию $u=\phi (x,y)$, такую что $\phi (x^0,y^0)=u^0$. При этом функция $\phi (x,y)$ непрерывна и дифференцируема в этой окрестности.

16. Вывести формулу вычисления частных производных неявно заданной функции. (Вкл. Док-во 5)

Вывод (он же доказательство дифференцируемости): Пусть функция задана неявно уравнением $F(x_1,x_2,u)=0$. Используя свойство инвариантности формы первого дифференциала, продифференцируем это тождество. Так как $F\equiv 0$, то и $dF=0$: $dF=\frac{\partial F}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial F}{\partial x_2}d{x}_2+\frac{\partial F}{\partial u}du=0$ Выразим отсюда $du$ (по теореме $\frac{\partial F}{\partial u}\ne 0$): $\frac{\partial F}{\partial u}du=-\frac{\partial F}{\partial x_1}d{x}_1-\frac{\partial F}{\partial x_2}d{x}_2$ $du=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_1}}{\frac{\partial F}{\partial u}}d{x}_1-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_2}}{\frac{\partial F}{\partial u}}d{x}_2(1)$ С другой стороны, по определению полного дифференциала функции $u(x_1,x_2)$: $du=\frac{\partial u}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial u}{\partial x_2}d{x}_2(2)$ Сравнивая коэффициенты при дифференциалах независимых переменных в (1) и (2), получаем искомые формулы: $\frac{\partial u}{\partial x_1}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_1}}{\frac{\partial F}{\partial u}},\frac{\partial u}{\partial x_2}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_2}}{\frac{\partial F}{\partial u}}$

17. Сформулировать теорему о формуле Тейлора для СФНП. Формула Маклорена.

Теорема о формуле Тейлора: Пусть функция $z=f(x,y)$ непрерывна вместе со своими частными производными до $(n+1)$-го порядка включительно в некоторой $\delta$-окрестности точки $M(x,y)$. Если точка $M_1(x+\Delta x,y+\Delta y)$ лежит в этой окрестности, то приращение функции $\Delta f=f(M_1)-f(M)$ можно представить в виде: $\Delta f=df(x,y)+\frac{d^{2}f(x,y)}{2!}+\cdots +\frac{d^{n}f(x,y)}{n!}+R_n$ Где $R_n=\frac{d^{n+1}f(x+\theta \Delta x,y+\theta \Delta y)}{(n+1)!}$ — остаточный член в форме Лагранжа, а $0<\theta <1$.

Формула Маклорена: Это частный случай формулы Тейлора, когда разложение функции производится в окрестности начала координат, то есть в точке $M_0(0,0,\dots ,0)$. В этом случае $\Delta x_i=x_i$, и функция раскладывается по степеням самих переменных $x_i$.

18. Сформулировать определение производной по направлению скалярной функции нескольких переменных.

Определение: Пусть функция $z=f(M)$ определена в окрестности точки $M$. Зададим вектор направления $\bar{l}$ (или ${\bar{n}}^0$). Сместимся из точки $M$ в точку $M^{\prime }$ в этом направлении. Расстояние между точками обозначим $\rho =|M{M}^{\prime }|$. Приращение функции на этом отрезке равно $\Delta z=f(M^{\prime })-f(M)$. Производной функции $z$ по направлению $\bar{l}$ в точке $M$ называется предел отношения приращения функции к расстоянию $\rho$ при $\rho \to 0$: $\frac{\partial z}{\partial l}={\lim }_{\rho \to 0}\frac{\Delta z}{\rho }$

19. Вывести формулу для вычисления производной по направлению. (Вкл. Док-во 6)

Вывод (Доказательство): Пусть $z=f(x,y)$ дифференцируема. Сместимся по направлению вектора $\bar{l}$, заданного углом $\alpha$ с осью $Ox$. Тогда приращения координат $\Delta x=\rho \cos \alpha$ и $\Delta y=\rho \sin \alpha$. Полное приращение функции можно представить как: $\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+o(\rho )$ Разделим обе части на расстояние $\rho$: $\frac{\Delta z}{\rho }=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\Delta x}{\rho }+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\Delta y}{\rho }+\frac{o(\rho )}{\rho }$ Заменим $\frac{\Delta x}{\rho }$ и $\frac{\Delta y}{\rho }$ на направляющие косинусы: $\frac{\Delta z}{\rho }=\frac{\partial z}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial z}{\partial y}\sin \alpha +\frac{o(\rho )}{\rho }$ Перейдём к пределу при $\rho \to 0$. Левая часть по определению станет производной по направлению $\frac{\partial z}{\partial l}$. Величина $\frac{o(\rho )}{\rho }\to 0$. Итоговая формула: $\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial z}{\partial y}\sin \alpha$ (Для $n$ переменных формула обобщается на сумму произведений частных производных на направляющие косинусы вектора).

20. Сформулировать определение и свойства градиента скалярной функции нескольких переменных. (Вкл. Док-во 7)

Определение: Градиентом дифференцируемой скалярной функции $u=f(x,y,z)$ в точке $M_0$ называется вектор, координатами которого являются частные производные заданной функции по всем её аргументам, вычисленные в этой точке: $\text{grad }u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)$

Свойства (с выводом): Формулу производной по направлению $\bar{l}$ можно записать как скалярное произведение градиента и единичного вектора ${\bar{l}}^0$: $\frac{\partial u}{\partial l}=(\text{grad }u,{\bar{l}}^0)=|\text{grad }u|\cdot |{\bar{l}}^0|\cdot \cos \phi =|\text{grad }u|\cdot \cos \phi$, где $\phi$ — угол между градиентом и направлением $\bar{l}$.

Из этого тождества напрямую выводятся свойства:

1. Направление наибольшего роста: Так как $\cos \phi \le 1$, максимальное значение $\frac{\partial u}{\partial l}$ достигается при $\cos \phi =1$ (когда $\phi =0$). Значит, градиент указывает направление наискорейшего возрастания функции.
2. Модуль максимальной скорости: Максимальное значение производной по направлению равно модулю градиента: ${\left(\frac{\partial u}{\partial l}\right)}_{\max }=|\text{grad }u|$.
3. Ортогональность линиям/поверхностям уровня: Если двигаться по поверхности (линии) уровня $u=C$, то функция не меняется, значит $\frac{\partial u}{\partial l}=0\Rightarrow \cos \phi =0\Rightarrow \phi =90^{\circ }$. Следовательно, градиент всегда направлен по нормали (перпендикулярно) к поверхности (линии) уровня в данной точке.

21. Сформулировать определения касательной плоскости и нормали к поверхности.

Касательная плоскость: Касательной плоскостью к поверхности в точке $M_0$ называется плоскость, в которой лежат касательные прямые ко всем кривым, проведённым на этой поверхности через точку $M_0$.

Нормаль к поверхности: Нормалью к поверхности в точке $M_0$ называется прямая линия, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости. Её направляющий вектор совпадает с нормальным вектором касательной плоскости (то есть с градиентом функции, задающей поверхность).

22. Выписать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением $z=f(x,y)$. Пояснить геометрический смысл дифференциала.

Если поверхность задана явно уравнением $z=f(x,y)$, то:

Уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0,y_0,z_0)$: $z-z_0=f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)$

Уравнение нормали: $\frac{x-x_0}{f_x^{\prime }(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y^{\prime }(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$

Геометрический смысл полного дифференциала: Правая часть уравнения касательной плоскости в точности совпадает с выражением для полного дифференциала функции $dz$, если положить $\Delta x=x-x_0=dx$ и $\Delta y=y-y_0=dy$. Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных геометрически представляет собой приращение аппликаты (координаты $z$) касательной плоскости к графику функции при переходе от точки касания $M_0$ к смежной точке.

23. Выписать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением $F(x,y,z)=0$. (Вкл. Док-во 8)

Уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0,y_0,z_0)$: ${\frac{\partial F}{\partial x}|}_{M_0}(x-x_0)+{\frac{\partial F}{\partial y}|}_{M_0}(y-y_0)+{\frac{\partial F}{\partial z}|}_{M_0}(z-z_0)=0$

Уравнение нормали: $\frac{x-x_0}{{\frac{\partial F}{\partial x}|}_{M_0}}=\frac{y-y_0}{{\frac{\partial F}{\partial y}|}_{M_0}}=\frac{z-z_0}{{\frac{\partial F}{\partial z}|}_{M_0}}$

Вопрос с доказательством №8: Вывод уравнений: Поверхность задана неявно уравнением $F(x,y,z)=0$. Это уравнение можно рассматривать как уравнение поверхности уровня функции $F(x,y,z)$ для константы $C=0$. Ранее, в свойствах градиента, было доказано, что градиент функции $\text{grad }F$ всегда направлен по нормали (перпендикулярно) к поверхности уровня в данной точке. Значит, в качестве нормального вектора касательной плоскости $\bar{N}$ можно взять градиент: $\bar{N}=\text{grad }F(M_0)=\left(F_x^{\prime }(M_0),F_y^{\prime }(M_0),F_z^{\prime }(M_0)\right)$ Имея нормальный вектор $\bar{N}=(A,B,C)$ и точку $M_0(x_0,y_0,z_0)$, запишем стандартное уравнение плоскости $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$: $F_x^{\prime }(M_0)(x-x_0)+F_y^{\prime }(M_0)(y-y_0)+F_z^{\prime }(M_0)(z-z_0)=0$ Канонические уравнения прямой (нормали), проходящей через $M_0$ с направляющим вектором $\bar{N}$, имеют вид: $\frac{x-x_0}{F_x^{\prime }(M_0)}=\frac{y-y_0}{F_y^{\prime }(M_0)}=\frac{z-z_0}{F_z^{\prime }(M_0)}$ Вывод завершён.

24. Сформулировать определение локального экстремума скалярной функции нескольких переменных.

Точка $a(a_1,\dots ,a_n)$ называется точкой локального минимума функции $f(x_1,\dots ,x_n)$, если в некоторой окрестности точки $a$ для всех точек $x\ne a$ выполняется условие: $f(a)\le f(x)$. Точка $a$ называется точкой локального максимума, если выполняется условие: $f(a)\ge f(x)$.

Точки локального минимума и максимума объединяют понятием точек локального экстремума. Если неравенства строгие ($f(a)<f(x)$ или $f(a)>f(x)$), то говорят о строгом локальном экстремуме.

25. Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии существования локального экстремума. (Вкл. Док-во 9)

Теорема: Если скалярная функция обладает в точке $a$ частными производными первого порядка по всем переменным и имеет в этой точке локальный экстремум, то все частные производные первого порядка обращаются в точке $a$ в ноль (то есть $df(a)=0$).

Доказательство: Установим справедливость равенства для одной переменной, например $x_1$. Зафиксируем у функции $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ все аргументы, кроме первого, положив их равными координатам точки экстремума $a$: $x_2=a_2,\dots ,x_n=a_n$. Мы получим функцию только одной переменной $x_1$: $\Phi (x_1)=f(x_1,a_2,\dots ,a_n)$. Так как исходная функция $f$ имеет в точке $a$ экстремум, то функция одной переменной $\Phi (x_1)$ имеет экстремум в точке $x_1=a_1$. По теореме Ферма из дифференциального исчисления функций одной переменной, если функция имеет экстремум и дифференцируема, то её производная равна нулю: ${\Phi }^{\prime }(a_1)=0$. Так как ${\Phi }^{\prime }(a_1)$ — это в точности частная производная $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ в точке $a$, получаем: $\frac{\partial f(a)}{\partial x_1}=0$. Повторяя эти рассуждения для остальных переменных, доказываем равенство нулю всех частных производных. Ч.т.д.

26. Сформулировать достаточное условие существования строгого локального экстремума для дважды дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть функция $u=f(x)$ дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки $a$, причём точка $a$ есть стационарная точка (необходимое условие выполнено, $df(a)=0$). Достаточное условие определяется знаком её второго дифференциала $d^{2}f(a)$ (который является квадратичной формой):

1. Если $d^{2}f(a)$ является положительно определённой квадратичной формой, то функция имеет строгий локальный минимум в точке $a$.
2. Если $d^{2}f(a)$ является отрицательно определённой квадратичной формой, то функция имеет строгий локальный максимум в точке $a$.
3. Если $d^{2}f(a)$ является знакопеременной формой, то локального экстремума в точке $a$ нет. (Для функции двух переменных знак формы определяется по критерию Сильвестра для матрицы Гессе: $\Delta =AC-B^2>0\Rightarrow$ экстремум есть).

27. Сформулировать определение условного экстремума скалярной функции нескольких переменных.

Определение: Условным экстремумом функции $u=f(x_1,\dots ,x_n)$ называется экстремум этой функции, достигаемый при условии, что её аргументы не являются полностью независимыми, а подчинены дополнительным ограничениям (уравнениям связи): ${\phi }_1(x_1,\dots ,x_n)=0,\dots ,{\phi }_m(x_1,\dots ,x_n)=0$, где $m<n$.

28. Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии существования условного экстремума функции 2-х переменных. (Вкл. Док-во 10)

Теорема: Пусть ищется условный экстремум функции $z=f(x,y)$ при условии связи $\phi (x,y)=0$. Составим функцию Лагранжа: $L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$. Необходимое условие состоит в равенстве нулю её частных производных: $L_x^{\prime }=0,L_y^{\prime }=0,L_{\lambda }^{\prime }=\phi (x,y)=0$.

Доказательство: Пусть ${\phi }_y^{\prime }\ne 0$. По теореме о неявной функции, уравнение связи $\phi (x,y)=0$ задаёт $y$ как функцию от $x$: $y=y(x)$. Подставим $y(x)$ в исходную функцию: $u(x)=f(x,y(x))$. Теперь мы ищем обычный безусловный экстремум функции одной переменной $u(x)$. Необходимое условие (по цепному правилу): $\frac{du}{dx}=f_x^{\prime }+f_y^{\prime }\cdot y_x^{\prime }=0(1)$ Производную $y_x^{\prime }$ найдём из уравнения связи $\phi (x,y)=0$: ${\phi }_x^{\prime }+{\phi }_y^{\prime }\cdot y_x^{\prime }=0\Rightarrow y_x^{\prime }=-\frac{{\phi }_x^{\prime }}{{\phi }_y^{\prime }}$ Подставим $y_x^{\prime }$ в уравнение (1): $f_x^{\prime }-f_y^{\prime }\frac{{\phi }_x^{\prime }}{{\phi }_y^{\prime }}=0$ Введём новую переменную — множитель Лагранжа: $\lambda =-\frac{f_y^{\prime }}{{\phi }_y^{\prime }}$. Из этого обозначения следует: $f_y^{\prime }+\lambda {\phi }_y^{\prime }=0$. Подставив $\lambda$ в уравнение выше, получим: $f_x^{\prime }+\lambda {\phi }_x^{\prime }=0$. Эти уравнения в точности совпадают с частными производными функции Лагранжа $L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$ по $x$ и по $y$. Третье уравнение $\phi (x,y)=0$ — это производная $L$ по $\lambda$. Таким образом, задача сводится к поиску стационарных точек функции Лагранжа. Ч.т.д.

29. Сформулировать необходимое и достаточное условия существования условного экстремума функции при $m$ условиях связи.

Необходимое условие: Составляется функция Лагранжа: $L=f(x_1,\dots ,x_n)+{\sum }_{j=1}^m{\lambda }_j{\phi }_j(x_1,\dots ,x_n)$. Точки возможного условного экстремума находятся как решения системы уравнений: $\frac{\partial L}{\partial x_i}=0(i=\overline{1,n}),\frac{\partial L}{\partial {\lambda }_j}={\phi }_j=0(j=\overline{1,m})$

Достаточное условие: В найденной стационарной точке составляется второй дифференциал функции Лагранжа: $d^{2}L={\sum }_{i,k}\frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_i\partial x_k}d{x}_{i}d{x}_k$. Знак $d^{2}L$ исследуется при условии, что дифференциалы переменных связаны соотношениями $d{\phi }_j={\sum }_{i=1}^n\frac{\partial {\phi }_j}{\partial x_i}d{x}_i=0$.

• Если при этих условиях $d^{2}L>0$ (положительно определён), то в точке условный минимум.
• Если $d^{2}L<0$ (отрицательно определён), то в точке условный максимум.

30. Сформулировать определения дифференцируемости ВФНП, матрицы Якоби, якобиана.

Векторная функция (ВФНП): Отображение $E_n\to E_m$. Задается набором из $m$ скалярных координатных функций: $u_1=f_1(x),\dots ,u_m=f_m(x)$.

Дифференцируемость ВФНП: ВФНП $\bar{u}=\bar{f}(\bar{x})$ называется дифференцируемой в точке $\bar{x}$, если её полное приращение $\Delta \bar{u}$ можно представить в виде: $\Delta \bar{u}=J\cdot \Delta \bar{x}+\bar{o}(\rho )$ Где $J$ — матрица линейного оператора (не зависящая от $\Delta \bar{x}$), $\Delta \bar{x}$ — столбец приращений аргументов, а $\rho \to 0$. Это возможно тогда и только тогда, когда дифференцируемы все её координатные функции.

Матрица Якоби: Матрица $J$ размером $m\times n$, составленная из частных производных первого порядка всех координатных функций $u_i$ по всем переменным $x_j$: $J=\frac{\partial (u_1,\dots ,u_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial u_1}{\partial x_n}\\ \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial u_m}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial u_m}{\partial x_n}\end{array}\right)$

Якобиан: Если число функций совпадает с числом переменных ($m=n$), то матрица Якоби является квадратной. Её определитель $\det J$ называется якобианом системы функций.