Экзамен

Физические основы механики.

1. Радиус-вектор, перемещение, скорость, ускорение материальной точки и связь между ними. Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорение.

Радиус-вектор $\vec{R}(t)$ — вектор, проведенный из начала системы координат в точку нахождения тела в данный момент времени. Перемещение $\Delta \vec{R}$ за интервал времени $(t_1,t_2)$ — вектор, равный векторной разности радиус-векторов: $\Delta \vec{R}=\vec{R}(t_2)-\vec{R}(t_1)$.

Мгновенная скорость $\vec{v}$ — первая производная от радиус-вектора по времени. Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории: $\vec{v}={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec{R}}{\Delta t}=\frac{d\vec{R}}{dt}=\dot{\vec{R}}(t)$

Ускорение $\vec{a}$ — первая производная скорости по времени (или вторая от радиус-вектора): $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\ddot{\vec{R}}(t)$

Компоненты ускорения: Вектор полного ускорения представляется в виде суммы $\vec{a}={\vec{a}}_{\tau }+{\vec{a}}_n$.

1. Тангенциальное ускорение ${\vec{a}}_{\tau }$ — определяет изменение модуля скорости, направлено параллельно вектору $\vec{v}$. $a_{\tau }=\frac{dv}{dt}$.

2. Нормальное ускорение ${\vec{a}}_n$ — отвечает за изменение направления вектора скорости, направлено к центру кривизны траектории. $a_n=\frac{v^2}{R}$.

Вывод компонент ускорения $\vec{\tau }=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$. Тогда вектор скорости можно записать как $\vec{v}=|\vec{v}|\vec{\tau }$. Берем производную по времени: $\vec{a}=\frac{d(|\vec{v}|\vec{\tau })}{dt}=\frac{d|\vec{v}|}{dt}\vec{\tau }+|\vec{v}|\frac{d\vec{\tau }}{dt}$

Введем единичный вектор (орт) направления скорости

• Первое слагаемое $\frac{d|\vec{v}|}{dt}\vec{\tau }$ коллинеарно скорости — это тангенциальное ускорение.
• Второе слагаемое перпендикулярно скорости (так как длина орта $|\vec{\tau }|=\text{const}$, его производная ортогональна ему). Это нормальное ускорение. При движении по окружности за малое время $dt$ точка проходит путь $dl=v\cdot dt=R\cdot d\alpha$. Вектор скорости поворачивается на тот же угол $d\alpha$, значит $dv=v\cdot d\alpha =a_n\cdot dt$. Отсюда $a_n=\frac{v\cdot d\alpha }{dt}=\frac{v\cdot (v\cdot dt/R)}{dt}=\frac{v^2}{R}$.

2. Векторы угловой скорости и углового ускорения твёрдого тела при вращательном движении. Их связь с линейными величинами. Период и частота вращения.

Угловая скорость $\vec{\omega }$ — вектор, направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта. $\vec{\omega }=\frac{d\vec{\phi }}{dt}$. Угловое ускорение $\vec{\epsilon }$ — вектор, равный производной угловой скорости: $\vec{\epsilon }=\frac{d\vec{\omega }}{dt}$.

Связь с линейными величинами:

• Вектор линейной скорости: $\vec{v}=[\vec{\omega }\times \vec{r}]$ (векторное произведение).
• Модуль линейной скорости: $v=\omega R_{\perp }$ (где $R_{\perp }$ — радиус окружности вращения точки).
• Тангенциальное ускорение: $a_{\tau }=\epsilon R_{\perp }$.
• Нормальное ускорение: $a_n={\omega }^2{R}_{\perp }$.

Период и частота:

• Период $T$ — время одного полного оборота ($2\pi$ рад): $T=\frac{2\pi }{\omega }$.

• Частота вращения $\nu$ — число оборотов в секунду: $\nu =\frac{1}{T}$. Отсюда $\omega =2\pi \nu$.

Векторная форма записи угловой скорости $d\phi$ вокруг оси $z$. Точка, находящаяся на расстоянии $r_{\perp }$ от оси, переместится на вектор $d\vec{s}$ по касательной к окружности: $ds=r_{\perp }d\phi$. Если задать положение точки радиус-вектором $\vec{r}$ из начала координат на оси вращения, то $r_{\perp }=r\sin \alpha$. Тогда $ds=r\sin \alpha \cdot d\phi$. Задавая вектор поворота $d\vec{\phi }$ вдоль оси вращения по правилу буравчика, получаем: $d\vec{s}=[d\vec{\phi }\times \vec{r}]$ Разделив на $dt$, получаем связь векторов: $\vec{v}=[\vec{\omega }\times \vec{r}]$.

Рассмотрим поворот твердого тела на малый угол

3. Классический закон сложения скоростей и ускорений при поступательном движении подвижной системы отсчета.

Рассмотрим две системы отсчета: неподвижную ($K$) и подвижную ($K^{\prime }$). Пусть система $K^{\prime }$ движется поступательно относительно $K$.

• Закон сложения радиус-векторов: ${\vec{r}}_K={\vec{r}}_{K^{\prime }}+{\vec{r}}_0$ (где ${\vec{r}}_0$ — радиус-вектор начала системы $K^{\prime }$ относительно $K$).

• Закон сложения скоростей: ${\vec{v}}_{абс}={\vec{v}}_{отн}+{\vec{v}}_{пер}$ (Абсолютная скорость тела равна векторной сумме его скорости относительно подвижной системы и скорости самой подвижной системы).

• Закон сложения ускорений: ${\vec{a}}_{абс}={\vec{a}}_{отн}+{\vec{a}}_{пер}$.

Преобразования Галилея $K^{\prime }$ движется относительно $K$ равномерно и прямолинейно со скоростью ${\vec{V}}_0=\text{const}$, то ${\vec{a}}_{пер}=0$. Следовательно, ${\vec{a}}_{абс}={\vec{a}}_{отн}$. Ускорение материальной точки одинаково во всех инерциальных системах отсчета. На этом основан принцип относительности Галилея: уравнения классической механики инвариантны по отношению к переходу из одной ИСО в другую.

Если система

4. Понятие инерциальной системы отсчета. I, II и III законы Ньютона. Силы упругости, тяжести, трения скольжения и сопротивления среды.

ИСО — система отсчета, в которой выполняется I закон Ньютона. I закон Ньютона: Существуют системы отсчета, в которых материальная точка покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на нее не действуют силы или их сумма равна нулю. II закон Ньютона: В ИСО ускорение точки сонаправлено сумме сил. $\vec{a}=\frac{\sum \vec{F}}{m}$, или $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$. III закон Ньютона: Точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению: ${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$.

Силы:

• Тяжести (гравитация): $F_{гр}=G\frac{m_1{m}_2}{R^2}$, вблизи Земли $F=mg$.

• Упругости (Гука): ${\vec{F}}_{упр}=-k\Delta \vec{x}$.

• Трения скольжения: $F_{тр}=\mu N$. Направлена против относительной скорости.

• Сопротивления среды: ${\vec{F}}_{сопр}=-r\vec{v}$ (при малых скоростях) или $\sim v^2$ (при больших).

Обобщенный закон Гука $L_0$ и площадью $S$. Введем нормальное напряжение $\sigma =\frac{F}{S}$ и относительную деформацию $\epsilon =\frac{\Delta L}{L_0}$. Из школьного закона $F=k\Delta L$ следует: $\sigma S=k{L}_0\epsilon ⟹\sigma =\frac{k{L}_0}{S}\epsilon$. Коэффициент $E=\frac{k{L}_0}{S}$ — это модуль Юнга. Обобщенный закон: напряжение прямо пропорционально относительной деформации ($\sigma =E\cdot \epsilon$).

Рассмотрим деформируемый стержень длиной

5. Импульс тела. Импульс силы. Механическая система. Центр масс. Уравнение изменения импульса системы. Закон сохранения импульса.

Импульс тела: $\vec{p}=m\vec{v}$. Импульс силы: ${\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}dt=\Delta \vec{p}$. Механическая система — совокупность материальных точек. Силы внутри системы — внутренние, снаружи — внешние. Центр масс — точка с радиус-вектором ${\vec{R}}_c=\frac{\sum m_i{\vec{r}}_i}{m_{sys}}$. Импульс системы: ${\vec{P}}_{sys}=m_{sys}{\vec{v}}_c$.

Уравнение изменения импульса механической системы: Производная от суммарного импульса системы равна сумме внешних сил (теорема о движении центра масс): $\frac{d{\vec{P}}_{sys}}{dt}=\sum {\vec{F}}_{внеш}$ Закон сохранения импульса (ЗСИ): Если $\sum {\vec{F}}_{внеш}=0$, то ${\vec{P}}_{sys}=\text{const}$.

Вывод уравнения динамики системы $m_i{\vec{a}}_i={\vec{F}}_i^{внеш}+{\sum }_j{\vec{F}}_{ij}^{внутр}$. Сложим уравнения для всех точек. Сумма всех внутренних сил равна нулю по III закону Ньютона (каждая пара сил компенсируется ${\vec{F}}_{12}+{\vec{F}}_{21}=0$). Остается: $\sum m_i{\vec{a}}_i=\sum {\vec{F}}_{внеш}$. Так как $\sum m_i{\vec{a}}_i=\frac{d}{dt}\sum p_i=\frac{d{\vec{P}}_{sys}}{dt}$, получаем, что внутренние силы никак не влияют на суммарный импульс системы.

Запишем II закон Ньютона для каждой точки системы:

6. Момент инерции твердого тела относительно оси. Момент инерции, стержня, трубки и диска. Момент инерции шара. Теорема Штейнера.

Момент инерции $I_z$ — мера инертности при вращении. $I_z=\sum \Delta m_i{r}_{i\perp }^2$, для сплошного: $I_z=\int r_{\perp }^{2}dm$. Табличные значения:

• Трубка (обруч): $I=m{R}^2$.
• Цилиндр (диск): $I=\frac{1}{2}m{R}^2$.
• Шар (через центр): $I=\frac{2}{5}m{R}^2$.
• Стержень (через центр): $I=\frac{1}{12}m{l}^2$.

Теорема Штейнера: $I_z=I_c+m{d}^2$, где $I_c$ — момент инерции относительно оси через центр масс, $d$ — расстояние между осями.

Вывод моментов инерции и теоремы Штейнера Диск: Выделим кольцо радиусом $r$, толщиной $dr$. Его масса $dm=\frac{m}{\pi R^2}2\pi rdr=\frac{2m}{R^2}rdr$. $I={\int }_0^R{r}^{2}dm={\int }_0^R\frac{2m}{R^2}{r}^{3}dr=\frac{1}{2}m{R}^2$. Стержень: Элемент $dx$ имеет массу $dm=\frac{m}{l}dx$. $I={\int }_{-l/2}^{l/2}{x}^2\frac{m}{l}dx=\frac{m}{l}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-l/2}^{l/2}=\frac{1}{12}m{l}^2$. Теорема Штейнера: Ось $z_2$ параллельна $z_1$ и сдвинута на вектор $\vec{a}$. $I_{z2}=\sum m_i({\vec{r}}_{i1}+\vec{a}{)}^2=\sum m_i{r}_{i1}^2+\sum m_i{a}^2+2\vec{a}\sum m_i{\vec{r}}_{i1}$. Последнее слагаемое равно нулю, если $z_1$ проходит через центр масс. Получаем $I_{z2}=I_c+m{a}^2$.

7. Момент силы. Момент импульса. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент силы: $\vec{M}=[\vec{r}\times \vec{F}]$. Момент импульса: $\vec{L}=[\vec{r}\times \vec{p}]=[\vec{r}\times m\vec{v}]$. Для твердого тела $L_z=I_z\omega$. Уравнение моментов: $\frac{d{\vec{L}}_{sys}}{dt}=\sum {\vec{M}}_{внеш}$. (Внутренние моменты обнуляются). Закон сохранения: Если $\sum {\vec{M}}_{внеш}=0$, то ${\vec{L}}_{sys}=\text{const}$. Основное уравнение динамики вращения: $I_z\epsilon =M_z^{внеш}$.

Вывод $I_z\epsilon =M_z^{внеш}$ Момент импульса твердого тела относительно оси $z$: $L_z=I_z\omega$. Подставим это в уравнение моментов в проекции на ось $z$: $\frac{d{L}_z}{dt}=M_z^{внеш}⟹\frac{d(I_z\omega )}{dt}=M_z^{внеш}$. Так как для абсолютно твердого тела $I_z=\text{const}$, выносим его за знак производной: $I_z\frac{d\omega }{dt}=M_z^{внеш}⟹I_z\epsilon =M_z^{внеш}$.

8. Работа. Кинетическая энергия. Связь работы с изменением кинетической энергии. Кинетическая энергия твердого тела. Теорема Кёнига.

Работа $\delta A=\vec{F}\cdot d\vec{r}$. Полная работа $A=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$. Кинетическая энергия $W_k=\frac{m{v}^2}{2}$. Теорема о кинетической энергии: $W_{k2}-W_{k1}=A_{всех\_сил}$. Кинетическая энергия вращения: $W_{k,вр}=\frac{I_z{\omega }^2}{2}$. Теорема Кёнига: Полная кинетическая энергия равна сумме энергии поступательного движения центра масс и вращательного вокруг него: $W_k=\frac{m{v}_c^2}{2}+\frac{I_c{\omega }^2}{2}$.

Вывод теоремы об изменении кинетической энергии $m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}$. Умножим обе части скалярно на перемещение $d\vec{r}=\vec{v}dt$: $m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot \vec{v}dt=\vec{F}\cdot d\vec{r}⟹m\vec{v}\cdot d\vec{v}=\delta A$. Так как $\vec{v}\cdot d\vec{v}=d\left(\frac{v^2}{2}\right)$, получаем $d\left(\frac{m{v}^2}{2}\right)=\delta A$. Интегрируя, приходим к $W_{k2}-W_{k1}=A$. Вывод вращательной энергии: $W_k=\sum \frac{\Delta m_i{v}_i^2}{2}$. Подставим $v_i=\omega r_{i\perp }$: $W_k=\sum \frac{\Delta m_i(\omega r_{i\perp }{)}^2}{2}=\frac{{\omega }^2}{2}\sum \Delta m_i{r}_{i\perp }^2=\frac{I_z{\omega }^2}{2}$.

Из II закона Ньютона

9. Консервативные и неконсервативные силы. Работа в потенциальном поле. Потенциальная энергия. Связь силы и энергии, градиент.

Консервативные силы — работа зависит только от начального и конечного положения, по замкнутому контуру равна нулю ($\oint \vec{F}d\vec{r}=0$). Неконсервативные — работа зависит от пути (трение). Потенциальная энергия $W_p$ — скалярная функция координат, убыль которой равна работе консервативной силы: $A_{конс}=W_{p1}-W_{p2}=-\Delta W_p$. Виды $W_p$:

• Упругость: $k{x}^2/2$.

• Однородное поле тяжести: $mgh$.

• Гравитация (общий случай): $-G\frac{mM}{r}$. Связь с силой: $\vec{F}=-\text{grad}{W}_p$. Вектор силы направлен в сторону скорейшего убывания потенциальной энергии.

Математическая связь и вывод гравитации $dA=\vec{F}\cdot d\vec{r}=F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz$. С другой стороны $dA=-d{W}_p=-\left(\frac{\partial W_p}{\partial x}dx+\frac{\partial W_p}{\partial y}dy+\frac{\partial W_p}{\partial z}dz\right)$. Отсюда $F_x=-\frac{\partial W_p}{\partial x}$ и т.д., что и есть антиградиент. Гравитация: Работа при перемещении из $r_1$ в $r_2$: $A={\int }_{r_1}^{r_2}\left(-G\frac{mM}{r^2}\right)dr=G\frac{mM}{r_2}-G\frac{mM}{r_1}$. Так как $A=W_{p1}-W_{p2}$, получаем $W_p=-G\frac{mM}{r}$.

10. Полная механическая энергия. Изменение полной механической энергии системы. Закон сохранения.

Полная механическая энергия $W=W_k+W_p$. Изменение: $\Delta W=A_{неконс}$ (изменение энергии равно работе всех неконсервативных сил, как внешних, так и внутренних). Закон сохранения: Если работа неконсервативных сил равна нулю ($A_{неконс}=0$), то полная механическая энергия системы сохраняется: $W_k+W_p=\text{const}$.

Вывод из теоремы об изменении кинетической энергии $\Delta W_k=A_{конс}+A_{неконс}$. По определению $A_{конс}=W_{p1}-W_{p2}=-\Delta W_p$. Подставим: $\Delta W_k=-\Delta W_p+A_{неконс}⟹\Delta W_k+\Delta W_p=A_{неконс}$. $\Delta (W_k+W_p)=A_{неконс}⟹\Delta W_{мех}=A_{неконс}$.

Теория колебаний

11. Гармонические колебания. Амплитуда, частота, циклическая частота, период, фаза и начальная фаза колебаний. Понятия свободных и вынужденных колебаний.

Гармонические колебания — процесс, при котором физическая величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса: $x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )$

• Амплитуда ($A$) — модуль максимального отклонения от положения равновесия ($A>0$).
• Фаза (${\omega }_{0}t+\alpha$) — аргумент гармонической функции, определяет текущее состояние системы. Начальная фаза ($\alpha$) — фаза в момент времени $t=0$.
• Циклическая (круговая) частота (${\omega }_0$) — число полных колебаний за $2\pi$ секунд (рад/с).
• Период ($T$) — минимальное время, через которое система возвращается в исходное состояние: $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$.
• Частота ($\nu$) — число полных колебаний в секунду (Гц): $\nu =\frac{1}{T}$. Отсюда ${\omega }_0=2\pi \nu$.

Свободные колебания — происходят в системе, предоставленной самой себе, после выведения её из положения равновесия. Вынужденные колебания — происходят под действием внешней периодической силы.

Дифференциальное уравнение и периодичность $x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )$ является решением линейного дифференциального уравнения 2-го порядка: $\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$. Поскольку функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, состояние системы повторяется при изменении фазы на $2\pi$. Через время $T$: ${\omega }_0(t+T)+\alpha =({\omega }_{0}t+\alpha )+2\pi ⟹{\omega }_{0}T=2\pi ⟹T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$.

Уравнение

12. Квазиупругая сила. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Собственные частоты математического, физического и пружинного маятников.

Квазиупругая сила — сила любой физической природы, которая возникает при малых отклонениях от положения равновесия, направлена к нему и прямо пропорциональна смещению: $F_x=-kx$. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний: $\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$ Собственные (циклические) частоты маятников:

1. Пружинный маятник (масса $m$, жесткость $k$): ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

2. Математический маятник (длина $l$): ${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$.

3. Физический маятник (момент инерции $I_z$, расстояние от центра масс до оси $d$): ${\omega }_0=\sqrt{\frac{mgd}{I_z}}$.

Вывод уравнений маятников Пружинный: $m{a}_x=-kx⟹m\ddot{x}+kx=0⟹\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$. Математический: Ускорение по касательной $a_{\tau }=l\ddot{\phi }$. Сила вдоль дуги $F_{\tau }=-mg\sin \phi$. При малых углах $\sin \phi \approx \phi$. Тогда $ml\ddot{\phi }=-mg\phi ⟹\ddot{\phi }+\frac{g}{l}\phi =0$. Физический: Уравнение моментов $I_z\ddot{\phi }=M_z$. Возвращающий момент силы тяжести $M_z=-mgd\sin \phi \approx -mgd\phi$. Отсюда $I_z\ddot{\phi }+mgd\phi =0⟹\ddot{\phi }+\frac{mgd}{I_z}\phi =0$.

13. Энергия и импульс гармонического осциллятора. Фазовая траектория.

Импульс: $p=m\dot{x}=-m{\omega }_{0}A\sin ({\omega }_{0}t+\alpha )$. Энергия:

• Кинетическая: $W_k=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{m{\omega }_0^2{A}^2}{2}{\sin }^2({\omega }_{0}t+\alpha )$.
• Потенциальная: $W_p=\frac{k{x}^2}{2}=\frac{m{\omega }_0^2{A}^2}{2}{\cos }^2({\omega }_{0}t+\alpha )$.
• Полная механическая: $W_{мех}=W_k+W_p=\frac{k{A}^2}{2}=\text{const}$.

Фазовая траектория — это график зависимости импульса $p$ (или скорости $v$) от координаты $x$. Для гармонического осциллятора (свободные незатухающие колебания) фазовая траектория представляет собой эллипс.

Вывод уравнения фазовой траектории $W_{мех}=\frac{p^2}{2m}+\frac{k{x}^2}{2}=\text{const}$ Поделим обе части на полную энергию $W=\frac{k{A}^2}{2}$: $\frac{p^2}{2mW}+\frac{k{x}^2}{2W}=1⟹\frac{p^2}{(p_{max}{)}^2}+\frac{x^2}{A^2}=1$ Это каноническое уравнение эллипса с полуосями $A$ и $p_{max}=m{\omega }_{0}A$. Точка движется по нему бесконечно, вращаясь по часовой стрелке.

Запишем закон сохранения энергии:

14. Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления равных и близких частот. Биения.

Векторная (амплитудная) диаграмма — графическое представление колебания в виде радиус-вектора длины $A$, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega$.

Сложение равных частот (${\omega }_1={\omega }_2=\omega$): Результирующее колебание происходит с той же частотой $\omega$. Амплитуда ищется по теореме косинусов: $A_{\Sigma }^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos ({\alpha }_2-{\alpha }_1)$

Биения (близкие частоты, $\Delta \omega \ll \omega$): Это периодическое (и скачкообразное по фазе) изменение амплитуды результирующего колебания. При сложении двух колебаний с $A_1=A_2=A$ получаем: $x_{\Sigma }(t)=\left[2A\left|\cos \left(\frac{\Delta \omega }{2}t\right)\right|\right]\cos (\omega t+\theta )$ Выражение в квадратных скобках — пульсирующая амплитуда биений.

Вывод биений $x_1=A\cos (\omega t)$ и $x_2=A\cos ((\omega +\Delta \omega )t)$. Сложим их по формуле суммы косинусов: $x=x_1+x_2=2A\cos \left(\frac{\Delta \omega }{2}t\right)\cos \left(\omega t+\frac{\Delta \omega }{2}t\right)$ Так как $\Delta \omega \ll \omega$, членом $\frac{\Delta \omega }{2}t$ во втором косинусе пренебрегаем: $x\approx 2A\cos \left(\frac{\Delta \omega }{2}t\right)\cos (\omega t)$

Пусть

15. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний равных и кратных частот. Фигуры Лиссажу.

Точка одновременно участвует в колебаниях: $x=A_x\cos ({\omega }_{x}t)$ и $y=A_y\cos ({\omega }_{y}t+\delta )$.

Равные частоты (${\omega }_x={\omega }_y$): В общем случае траекторией является эллипс.

• Если $\delta =0$ или $\pi$, эллипс вырождается в прямую.
• Если $\delta =\pi /2$ и $A_x=A_y$, эллипс превращается в окружность.

Кратные (рациональные) частоты ($\frac{{\omega }_x}{{\omega }_y}=\frac{n_y}{n_x}$): Траекториями являются сложные замкнутые кривые — фигуры Лиссажу. Отношение частот равно отношению числа пересечений фигуры с прямыми, параллельными соответствующим осям координат.

Вывод уравнения эллипса $\cos (\omega t)=\frac{x}{A_x}$, тогда $\sin (\omega t)=\sqrt{1-(x/A_x{)}^2}$. Раскроем косинус суммы: $\frac{y}{A_y}=\cos (\omega t)\cos \delta -\sin (\omega t)\sin \delta$. Подставим $\cos$ и $\sin$: $\frac{y}{A_y}-\frac{x}{A_x}\cos \delta =-\sqrt{1-{\left(\frac{x}{A_x}\right)}^2}\sin \delta$ Возведем в квадрат и сгруппируем: ${\left(\frac{x}{A_x}\right)}^2-2\frac{xy}{A_x{A}_y}\cos \delta +{\left(\frac{y}{A_y}\right)}^2={\sin }^2\delta$ Это каноническое уравнение эллипса, оси которого повернуты на некоторый угол.

Из первого уравнения

16. Свободные затухающие колебания. Уравнение, частота, коэффициент затухания, время релаксации, декременты, добротность.

Возникают в среде с вязким трением (${\vec{F}}_{тр}=-r\vec{v}$). Дифференциальное уравнение: $\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$. Решение (при $\beta <{\omega }_0$): $x(t)=A_0{e}^{-\beta t}\cos (\omega t+\alpha )$.

Характеристики:

• Коэффициент затухания $\beta$: $\beta =\frac{r}{2m}$. Характеризует быстроту затухания.

• Частота затухающих колебаний: $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$.

• Время релаксации $\tau$: Время, за которое амплитуда падает в $e$ раз. $\tau =\frac{1}{\beta }$.

• Декремент затухания $\Delta$: Отношение соседних амплитуд. $\Delta =\frac{A(t)}{A(t+T)}=e^{\beta T}$.

• Логарифмический декремент $\delta$: $\delta =\ln \Delta =\beta T=\frac{T}{\tau }$.

• Добротность $Q$: Показывает во сколько раз запас энергии больше потерь за время изменения фазы на 1 рад. $Q=\frac{\pi }{\delta }=\frac{\pi }{\beta T}$.

Вывод дифференциального уравнения $m{a}_x=-kx-r{v}_x$. $m\ddot{x}+r\dot{x}+kx=0$. Делим на $m$: $\ddot{x}+\frac{r}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0$. Обозначим $2\beta =\frac{r}{m}$ и ${\omega }_0^2=\frac{k}{m}$, получаем канонический вид. Фазовый портрет таких колебаний — сужающаяся к нулю спираль (энергия системы диссипирует).

По II закону Ньютона:

17. Вынужденные колебания. Уравнение. Механический резонанс. Резонансная частота.

Происходят под действием внешней периодической силы $F(t)=F_0\cos (\Omega t)$. Дифференциальное уравнение: $\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=f_0\cos (\Omega t)$ где $f_0=\frac{F_0}{m}$, $\Omega$ — частота вынуждающей силы.

Установившиеся колебания: Через некоторое время собственные затухающие колебания исчезают, остаются только вынужденные с частотой $\Omega$: $x(t)=A_B\cos (\Omega t-\theta )$ Механический резонанс — явление резкого возрастания амплитуды $A_B$ при приближении частоты вынуждающей силы $\Omega$ к собственной резонансной частоте системы. Резонансная частота: ${\Omega }_{рез}=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\beta }^2}$.

Вывод амплитуды и резонансной частоты $f_0^2=({\omega }_0^2{A}_B-{\Omega }^2{A}_B{)}^2+(2\beta \Omega A_B{)}^2⟹A_B=\frac{f_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\Omega }^2{)}^2+4{\beta }^2{\Omega }^2}}$. Для поиска резонанса (максимума $A_B$) найдем минимум подкоренного выражения знаменателя. Берем производную по $\Omega$ и приравниваем к нулю: $\frac{d}{d\Omega }[({\omega }_0^2-{\Omega }^2{)}^2+4{\beta }^2{\Omega }^2]=2({\omega }_0^2-{\Omega }^2)(-2\Omega )+8{\beta }^2\Omega =0$. Сокращаем на $4\Omega$: $-({\omega }_0^2-{\Omega }^2)+2{\beta }^2=0⟹{\Omega }^2={\omega }_0^2-2{\beta }^2$.

С помощью векторной диаграммы уравнение приводится к теореме Пифагора для амплитуд:

Механические волны

18. Виды механических волн (продольные, поперечные, плоские, цилиндрические и сферические).

Волна — процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.

По направлению смещения частиц:

• Поперечные волны: Частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (в струне, на поверхности воды).
• Продольные волны: Частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны (звук в воздухе, волны сжатия/растяжения в стержне).

По форме волнового фронта (фазовой поверхности): Фазовая поверхность — геометрическое место точек, имеющих одинаковую фазу колебаний.

• Плоские волны: Фазовые поверхности представляют собой параллельные плоскости.
• Сферические волны: Фазовые поверхности — концентрические сферы (источник — пульсирующая точка).
• Цилиндрические волны: Фазовые поверхности — коаксиальные цилиндры (источник — пульсирующая нить).

19. Уравнение плоской гармонической волны. Характеристики волны. Волновой вектор. Фазовая скорость. Уравнение сферической волны.

Уравнение плоской бегущей гармонической волны вдоль оси $X$: $\xi (x,t)=A\cos (\omega t-kx+\alpha )$

• Амплитуда $A$: максимальное смещение частиц.
• Длина волны $\lambda$: расстояние, на которое волна распространяется за один период ($T$). $\lambda =vT$.
• Волновое число $k$: показывает число длин волн, укладывающихся на отрезке $2\pi$ метров. $k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{\omega }{v}$.
• Волновой вектор $\vec{k}$: Вектор, модуль которого равен $k$, направленный перпендикулярно волновому фронту в сторону распространения волны.

Фазовая скорость $v$ — скорость перемещения точки с постоянной фазой (волнового фронта): $v=\frac{\omega }{k}$.

Уравнение сферической волны: Амплитуда убывает обратно пропорционально расстоянию $r$ от источника (в отсутствие поглощения энергии): $\xi (r,t)=\frac{A_0}{r}\cos (\omega t-kr+\alpha )$

Вывод аргумента волны $x=0$) и колеблется как $\xi (0,t)=A\cos (\omega t+\alpha )$. До точки $x$ волна, движущаяся со скоростью $v$, дойдет с задержкой по времени $\Delta t=\frac{x}{v}$. Значит, колебание в точке $x$ в момент $t$ в точности такое же, каким оно было в источнике в момент $(t-\Delta t)$: $\xi (x,t)=A\cos (\omega (t-\frac{x}{v})+\alpha )=A\cos (\omega t-\frac{\omega }{v}x+\alpha )=A\cos (\omega t-kx+\alpha )$.

Пусть источник находится в начале координат (

20. Одномерное волновое уравнение для продольной упругой волны в твёрдом теле. Общий вид волнового уравнения.

Одномерное волновое уравнение описывает распространение волны вдоль одной оси (например, оси $X$): $\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}$ где $\xi$ — смещение, $v$ — фазовая скорость волны. Любая функция вида $\xi =f(x\pm vt)$ является его решением.

Общий вид волнового уравнения (в 3D-пространстве): $\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}=v^2\left(\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\xi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\xi }{\partial z^2}\right)\text{или}\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}=v^2\Delta \xi$ где $\Delta$ — оператор Лапласа.

Вывод волнового уравнения для стержня $dx$. Его масса $dm=\rho Sdx$. При деформации на торцы элемента действуют силы упругости $F_1={\sigma }_{1}S$ и $F_2={\sigma }_{2}S$. По обобщенному закону Гука $\sigma =E\epsilon =E\frac{\partial \xi }{\partial x}$. По II закону Ньютона $dm\cdot a=F_2-F_1⟹\rho Sdx\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}=S({\sigma }_{x+dx}-{\sigma }_x)$. Поделим на $S\cdot dx$: $\rho \frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}=\frac{\partial \sigma }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(E\frac{\partial \xi }{\partial x}\right)=E\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}$. Отсюда получаем уравнение: $\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}=\frac{E}{\rho }\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}$. Из сравнения с общим видом видно, что скорость продольных волн в стержне $v=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$.

Выделим в упругом стержне элемент длиной

21. Энергия упругой волны. Объёмная плотность энергии. Вектор Умова.

При распространении волны переносится энергия колебательного движения. Объёмная плотность энергии волны ($w$) — это сумма плотностей кинетической и потенциальной энергий в данной точке. Для плоской гармонической волны $\xi =A\cos (\omega t-kx)$: $w=w_k+w_p=\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-kx)$ Энергия в каждой точке меняется от 0 до максимума, пульсируя с удвоенной частотой. Средняя плотность энергии: $⟨w⟩=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2$.

Вектор Умова (вектор плотности потока энергии) $\vec{j}$ — показывает количество энергии, переносимой волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению луча. Направлен в сторону распространения волны: $\vec{j}=w\cdot \vec{v}$ Интенсивность волны $I$ равна модулю среднего по времени вектора Умова: $I=⟨j⟩=⟨w⟩v=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^{2}v$.

Вывод вектора Умова $v$ несет плотность энергии $w$ сквозь площадку $S$ по нормали. За время $dt$ энергия заполнит цилиндр объемом $dV=S\cdot vdt$. Энергия в этом объеме $dW=w\cdot dV=w\cdot S\cdot vdt$. Мощность переноса (поток энергии): $\Phi =\frac{dW}{dt}=w\cdot S\cdot v$. Плотность потока энергии (мощность на единицу площади): $j=\frac{\Phi }{S}=w\cdot v$. В векторном виде это $\vec{j}=w\vec{v}$.

Пусть волна со скоростью

22. Стоячие волны. Узлы и пучности.

Стоячая волна образуется при наложении двух когерентных плоских волн с одинаковой амплитудой, бегущих навстречу друг другу (например, падающей и отраженной от преграды). Уравнение стоячей волны: $\xi (x,t)=[2A\cos (kx)]\cos (\omega t)$ Выражение в квадратных скобках — амплитуда стоячей волны. Она зависит от координаты $x$.

Пучности — точки, где амплитуда колебаний максимальна ($2A$). Косинус равен $\pm 1$. Координаты пучностей: $x=\pm m\frac{\lambda }{4}$ (где $m=0,2,4\dots$). Узлы — точки, где амплитуда равна нулю (частицы не колеблются). Косинус равен $0$. Координаты узлов: $x=\pm m\frac{\lambda }{4}$ (где $m=1,3,5\dots$). Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) равно $\lambda /2$. Расстояние между соседним узлом и пучностью — $\lambda /4$. Стоячая волна не переносит энергию.

Вывод уравнения стоячей волны ${\xi }_1=A\cos (\omega t-kx)$. Отраженная (навстречу): ${\xi }_2=A\cos (\omega t+kx)$. Складываем их по принципу суперпозиции: $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2=A[\cos (\omega t-kx)+\cos (\omega t+kx)]$ По формуле суммы косинусов: $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$. Применяя формулу: $\xi (x,t)=2A\cos \left(\frac{2kx}{2}\right)\cos \left(\frac{2\omega t}{2}\right)=2A\cos (kx)\cos (\omega t)$

Пусть падающая волна:

Основы специальной теории относительности

23. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея.

Принцип относительности Галилея: Законы классической механики не зависят от выбора инерциальной системы отсчета (ИСО). Во всех ИСО механические явления протекают совершенно одинаково. Время в классической механике является абсолютным параметром — оно не зависит от системы отсчета и везде течет одинаково.

Преобразования Галилея: Связывают радиус-векторы, координаты и скорости материальной точки в двух ИСО ($K$ и $K^{\prime }$), если система $K^{\prime }$ движется относительно $K$ поступательно с постоянной скоростью $\vec{V}$. В векторном виде: $\vec{r}={\vec{r}}^{\prime }+\vec{V}t$. В координатном виде (если движение происходит вдоль оси $X$): $x=x^{\prime }+Vt,y=y^{\prime },z=z^{\prime },t=t^{\prime }$

Следствия (закон сложения скоростей): Взяв производную по времени от радиус-вектора, получаем: $\vec{v}={\vec{v}}^{\prime }+\vec{V}$.

Доказательство инвариантности законов Ньютона $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d{\vec{v}}^{\prime }}{dt}+\frac{d\vec{V}}{dt}$. Так как система $K^{\prime }$ движется относительно $K$ равномерно и прямолинейно, $\vec{V}=\text{const}$, следовательно, $\frac{d\vec{V}}{dt}=0$. Отсюда $\vec{a}={\vec{a}}^{\prime }$. Ускорение точки абсолютно и одинаково во всех ИСО. Так как масса $m$ в классической механике не зависит от скорости, а силы зависят только от расстояний между телами (которые тоже не меняются), то основное уравнение механики $m\vec{a}=\vec{F}$ выглядит одинаково во всех ИСО.

Продифференцируем уравнение сложения скоростей по времени:

24. Область применимости СТО. Постулаты Эйнштейна. Принцип соответствия.

Область применимости СТО: Специальная теория относительности (СТО) применяется для описания физических процессов, происходящих при скоростях, сравнимых со скоростью света в вакууме ($v\sim c$). Такие скорости называются релятивистскими.

Постулаты Эйнштейна (1905 г.):

1. Принцип относительности: Все законы природы (не только механические, но и электромагнитные, оптические и др.) одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Уравнения, выражающие эти законы, инвариантны при переходе от одной ИСО к другой.
2. Принцип постоянства скорости света: Скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО, не зависит от движения источника или приемника и является предельной скоростью передачи сигнала (силового воздействия) в природе. $c\approx 3\cdot 10^8$ м/с.

Принцип соответствия: Любая новая, более общая физическая теория должна включать в себя старую теорию как частный (предельный) случай. Для СТО: при малых скоростях ($v\ll c$) все релятивистские формулы переходят в классические формулы механики Ньютона.

Синхронизация часов и предельная скорость $c$ строго постоянна. Если из точки $A$ в момент $t$ испускается световой сигнал, то часы в точке $B$ (на расстоянии $L$) должны быть установлены на время $t+L/c$ в момент получения сигнала. Ввиду конечности скорости передачи взаимодействий, одновременность событий становится относительным понятием.

В СТО понятие времени теряет свой абсолютный характер. Синхронизация часов в разных точках пространства производится с помощью световых сигналов, так как скорость света

25. Преобразования Лоренца для координат и времени.

Преобразования Лоренца — это формулы перехода от координат и времени $(x,y,z,t)$ одной ИСО ($K$) к координатам и времени $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$ другой ИСО ($K^{\prime }$), движущейся относительно первой со скоростью $V$ вдоль оси $X$.

$x^{\prime }=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-(V/c{)}^2}}$ $y^{\prime }=y$ $z^{\prime }=z$ $t^{\prime }=\frac{t-\frac{V}{c^2}x}{\sqrt{1-(V/c{)}^2}}$

В СТО время становится полноправной четвертой координатой. Положение точки описывается в четырехмерном мировом пространстве (пространстве Минковского) координатами $(t,x,y,z)$. Каждая точка этого пространства называется мировой точкой (событием), а траектория частицы — мировой линией.

Вывод (кинематический смысл) $O$ и $O^{\prime }$ происходит вспышка света, то фронт световой волны образует сферу, уравнение которой в системе $K$ равно $x^2+y^2+z^2=(ct{)}^2$, а в системе $K^{\prime }$ обязано быть $(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+(z^{\prime }{)}^2=(c{t}^{\prime }{)}^2$. Чтобы эти уравнения были совместимы при переходе между системами, время должно преобразовываться вместе с пространственными координатами. Если скорость $V$ мала ($V/c\to 0$), то множитель $\sqrt{1-(V/c{)}^2}\to 1$, а слагаемое $\frac{V}{c^2}x\to 0$. В этом пределе преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея: $x^{\prime }=x-Vt$ и $t^{\prime }=t$.

Преобразования Лоренца можно получить из постулата постоянства скорости света. Если в момент совпадения начал координат

26. Изменение промежутка времени и Лоренцево сокращение длины. Преобразование компонент скорости при переходе в другую СО.

Лоренцево сокращение длины: Длина тела $L$ в системе отсчета, относительно которой оно движется со скоростью $V$, меньше его собственной длины $L_0$ (измеренной в системе, где тело покоится): $L=L_0\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}$ Поперечные размеры тела при этом не изменяются.

Замедление времени: Промежуток времени $\Delta t$ между двумя событиями, происходящими в одной точке в движущейся системе отсчета, больше собственного промежутка времени $\Delta t_0$ (измеренного часами, покоящимися вместе с объектом): $\Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$

Релятивистский закон сложения скоростей: При переходе от подвижной системы $K^{\prime }$ (движущейся со скоростью $V$ вдоль $X$) к неподвижной $K$, проекции скорости $v_x$ преобразуются не простым сложением, а по формулам: $v_x=\frac{v_x^{\prime }+V}{1+\frac{v_x^{\prime }V}{c^2}}{v}_y=\frac{v_y^{\prime }\sqrt{1-V^2/c^2}}{1+\frac{v_x^{\prime }V}{c^2}}$

Вывод кинематических эффектов из ПЛ Длина: Пусть стержень покоится в $K^{\prime }$. Его длина $L_0=x_2^{\prime }-x_1^{\prime }$. В системе $K$ он движется. Чтобы измерить его длину в $K$, мы должны зафиксировать координаты концов одновременно по часам системы $K$ ($\Delta t=t_2-t_1=0$). Из обратных преобразований Лоренца: $x_2^{\prime }-x_1^{\prime }=\frac{x_2-x_1-V(t_2-t_1)}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$. Так как $t_2-t_1=0$, получаем $L_0=\frac{L}{\sqrt{1-V^2/c^2}}⟹L=L_0\sqrt{1-V^2/c^2}$. Скорость: Скорость $v_x=\frac{dx}{dt}$. Из преобразований Лоренца берем дифференциалы: $dx=\frac{d{x}^{\prime }+Vd{t}^{\prime }}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$ и $dt=\frac{d{t}^{\prime }+\frac{V}{c^2}d{x}^{\prime }}{\sqrt{1-V^2/c^2}}$. Делим $dx$ на $dt$, корни сокращаются, числитель и знаменатель делим на $d{t}^{\prime }$: $v_x=\frac{\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}+V}{1+\frac{V}{c^2}\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}}=\frac{v_x^{\prime }+V}{1+\frac{v_x^{\prime }V}{c^2}}$.

27. Интервал и его инвариантность.

Интервалом $s_{12}$ между двумя событиями (мировыми точками) в 4-мерном пространстве-времени называется величина, квадрат которой равен: $s_{12}^2=c^2(t_2-t_1{)}^2-\left[(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2\right]$ или коротко: $s^2=c^2\Delta t^2-\Delta l^2$.

Инвариантность интервала: Величина интервала между двумя заданными событиями не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. При переходе от $K$ к $K^{\prime }$: $s^2=(s^{\prime }{)}^2=\text{inv}$ Интервал является пространственно-временным аналогом расстояния между точками в классической геометрии.

Виды интервалов:

1. Времениподобный ($s^2>0$): $c\Delta t>\Delta l$. Между событиями возможна причинно-следственная связь (сигнал может успеть дойти). Существует ИСО, где события происходят в одной точке.

2. Пространственноподобный ($s^2<0$): $c\Delta t<\Delta l$. События не могут влиять друг на друга. Существует ИСО, где события происходят одновременно.

3. Светоподобный ($s^2=0$): $c\Delta t=\Delta l$. События могут быть связаны только световым сигналом. Поверхность $s^2=0$ называется световым конусом.

Вывод инвариантности $(s^{\prime }{)}^2=c^2(t_2^{\prime }-t_1^{\prime }{)}^2-(x_2^{\prime }-x_1^{\prime }{)}^2-(y_2^{\prime }-y_1^{\prime }{)}^2-(z_2^{\prime }-z_1^{\prime }{)}^2$ и выразить штрихованные величины через $x,y,z,t$ и скорость $V$, то после возведения в квадрат и алгебраических сокращений громоздких дробей мы в точности получим выражение для нештрихованного интервала $s^2$. Поскольку при преобразованиях Галилея время абсолютно, там инвариантом является просто квадрат длины (расстояния) $\Delta l^2$. В СТО время и пространство переплетаются, и инвариантом становится их комбинация.

Инвариантность интервала напрямую доказывается подстановкой преобразований Лоренца. Если записать

28. Импульс в СТО. Основное уравнение релятивистской динамики.

Релятивистский импульс: В СТО импульс материальной точки определяется выражением: $\vec{p}=\frac{m_0\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ где $m_0$ — масса покоя (масса частицы в системе отсчета, где она неподвижна). Величину $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ называют релятивистской (динамической) массой, растущей со скоростью. Тогда $\vec{p}=m\vec{v}$.

Основное уравнение релятивистской динамики: Второй закон Ньютона в СТО сохраняет свой вид только в импульсной форме: $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$ Производная от релятивистского импульса по времени равна силе, действующей на частицу.

Несовпадение ускорения и силы $\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(m\vec{v})=m\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{v}\frac{dm}{dt}=\vec{F}$, видно кардинальное отличие от классической механики. Так как релятивистская масса $m$ зависит от скорости, её производная $\frac{dm}{dt}\ne 0$. Беря сложную производную, получаем: $\frac{m_0\vec{a}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+\frac{m_0\vec{v}(\vec{v}\cdot \vec{a})}{c^2(1-v^2/c^2{)}^{3/2}}=\vec{F}$ Из-за второго слагаемого (содержащего скалярное произведение $\vec{v}\cdot \vec{a}$) вектор ускорения $\vec{a}$ не совпадает по направлению с вектором силы $\vec{F}$, за исключением двух частных случаев: когда сила направлена строго вдоль скорости (разгон по прямой), или строго перпендикулярно (движение по окружности).

Если расписать производную импульса

29. Кинетическая энергия релятивистской частицы. Полная энергия и энергия покоя.

В релятивистской механике масса и энергия неразрывно связаны. Полная энергия ($E$): $E=m{c}^2=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ Энергия покоя ($E_0$): Это энергия, которой обладает частица в состоянии покоя ($v=0$). $E_0=m_0{c}^2$ Кинетическая энергия ($W_k$): В СТО кинетическая энергия определяется как разность между полной энергией движущейся частицы и её энергией покоя: $W_k=E-E_0=m{c}^2-m_0{c}^2=m_0{c}^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1\right)$

Вывод и связь с классической механикой $d{W}_k=dA=\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{d\vec{p}}{dt}\cdot \vec{v}dt=\vec{v}\cdot d\vec{p}$. Подставляя $\vec{p}=\frac{m_0\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ и интегрируя от $0$ до $v$, получаем: $W_k=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-m_0{c}^2$. Обозначая первый член как полную энергию $E$, получаем закон Эйнштейна $E=m{c}^2$. Принцип соответствия: При малых скоростях $v\ll c$, дробь $v^2/c^2\to 0$. Используя разложение в ряд Тейлора $(1-x{)}^{-1/2}\approx 1+\frac{1}{2}x$, получаем: $W_k\approx m_0{c}^2\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}-1\right)=\frac{m_0{v}^2}{2}$, что в точности совпадает с классической формулой Ньютона.

По теореме об изменении кинетической энергии

30. Связь между импульсом и энергией релятивистской частицы. Релятивистская инвариантность выражения $E^2-p^2{c}^2$.

В СТО полная энергия $E$ и импульс $p$ зависят от скорости, однако существует их комбинация, которая от скорости (а значит, и от системы отсчета) не зависит.

Связь энергии и импульса: Полная энергия частицы выражается через её импульс и массу покоя формулой: $E^2=(m_0{c}^2{)}^2+(pc{)}^2\text{или}E=\sqrt{m_0^2{c}^4+p^2{c}^2}$ Для безмассовых частиц (фотон, $m_0=0$) эта формула дает $E=pc$.

Инвариантность выражения: Если мы перенесем слагаемое с импульсом, то получим величину: $E^2-p^2{c}^2=m_0^2{c}^4$ Поскольку масса покоя $m_0$ и скорость света $c$ являются фундаментальными постоянными и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, величина $E^2-p^2{c}^2$ является релятивистским инвариантом.

Вывод инварианта $E^2=\frac{m_0^2{c}^4}{1-v^2/c^2}$ $p^2{c}^2=\frac{m_0^2{v}^2{c}^2}{1-v^2/c^2}$ Вычтем второе из первого: $E^2-p^2{c}^2=\frac{m_0^2{c}^4-m_0^2{v}^2{c}^2}{1-v^2/c^2}=\frac{m_0^2{c}^4(1-v^2/c^2)}{1-v^2/c^2}=m_0^2{c}^4$ Этот инвариант в четырехмерном пространстве-времени играет роль, аналогичную квадрату длины вектора: вектор $(E/c,p_x,p_y,p_z)$ называется 4-вектором энергии-импульса, и квадрат его длины неизменен при преобразованиях Лоренца.

Запишем квадраты полной энергии и импульса:

Молекулярная физика и термодинамика

31. Термодинамическое равновесие. Температура. Равновесные и неравновесные процессы. Идеальный газ. Термодинамическая система. Функции состояния.

Термодинамическая система — макроскопический объект, состоящий из огромного числа частиц, совершающих хаотическое тепловое движение и обменивающихся энергией. Термодинамическое равновесие — состояние, при котором в изолированной системе прекращаются все макроскопические изменения параметров (давления, температуры, объема), и отсутствуют потоки вещества или энергии. Температура ($T$) — макроскопический параметр, характеризующий состояние термодинамического равновесия системы. Тела, находящиеся в тепловом контакте и тепловом равновесии, имеют одинаковую температуру.

Равновесный (квазистатический) процесс — бесконечно медленный переход системы из одного состояния в другое через непрерывный ряд промежуточных равновесных состояний. Такие процессы обратимы (их можно провести в обратном направлении без остаточных изменений в окружающей среде). Неравновесный процесс — реальный процесс, протекающий с конечной скоростью, сопровождающийся градиентами температур и давлений. Такие процессы необратимы.

Идеальный газ — теоретическая модель, в которой: 1) молекулы — материальные точки (их собственный объем равен нулю); 2) отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия на расстоянии (потенциальная энергия взаимодействия равна нулю); 3) столкновения абсолютно упругие. Функции состояния — физические величины, зависящие только от текущего состояния системы (давление $p$, объем $V$, температура $T$, внутренняя энергия $U$, энтропия $S$). Изменение функции состояния не зависит от пути перехода. (Работа $A$ и теплота $Q$ функциями состояния не являются).

32. Внутренняя энергия. Теплопередача. Работа жидкости или газа при изменении объема. Первое начало термодинамики.

Внутренняя энергия ($U$) — функция состояния, равная сумме кинетических энергий хаотического движения всех микрочастиц системы и потенциальных энергий их взаимодействия друг с другом. Теплопередача — процесс изменения внутренней энергии системы без совершения над ней макроскопической работы (путем теплопроводности, конвекции, излучения).

Работа идеального газа при изменении объема: При малом расширении газа на величину $dV$ он совершает элементарную работу: $\delta A=p\cdot dV$. Полная работа процесса: $A={\int }_{V_1}^{V_2}pdV$.

Первое начало термодинамики (закон сохранения энергии): Количество теплоты $\delta Q$, сообщенное термодинамической системе, расходуется на приращение ее внутренней энергии $dU$ и на совершение системой работы $\delta A$ над внешними телами: $\delta Q=dU+\delta A\text{или для макропроцесса}Q=\Delta U+A$

Вывод работы газа $S$. Сила, с которой газ давит на поршень: $F=pS$. При смещении поршня на $dx$ газ совершает работу $\delta A=Fdx=pSdx$. Так как $Sdx=dV$ (приращение объема), получаем $\delta A=pdV$. Работа равна площади под кривой процесса в осях $P-V$.

Пусть газ расширяется в цилиндре под поршнем площадью

33. Понятие уравнения состояния. Идеальный газ. Уравнение Менделеева-Клапейрона. Идеальная газовая шкала температур. Уравнение $p=nkT$.

Уравнение состояния — функциональная зависимость, связывающая параметры равновесного состояния системы (давление, объем, температуру): $f(p,V,T)=0$.

Уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа): $pV=\frac{m}{\mu }RT=\nu RT$ где $m$ — масса газа, $\mu$ — молярная масса, $\nu$ — количество вещества (в молях), $R=8.31\text{ Дж/(моль}\cdot \text{К)}$ — универсальная газовая постоянная.

Идеально-газовая шкала температур — шкала, построенная на зависимости давления идеального газа от температуры при постоянном объеме (газовый термометр постоянного объема). Она строго совпадает с абсолютной термодинамической шкалой (шкалой Кельвина).

Уравнение $p=nkT$: Если подставить в уравнение состояния $\nu =\frac{N}{N_A}$ (где $N$ — полное число молекул, $N_A$ — число Авогадро) и ввести концентрацию $n=\frac{N}{V}$, получим: $p=\frac{N}{V}\frac{R}{N_A}T=nkT$ где $k=\frac{R}{N_A}\approx 1.38\cdot 10^{-23}\text{ Дж/К}$ — постоянная Больцмана.

34. Основное уравнение МКТ идеального газа. Средняя энергия поступательного движения молекул.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) связывает макроскопический параметр (давление газа) с микропараметрами (массой молекулы $m_0$, концентрацией $n$ и средней квадратичной скоростью хаотического движения $⟨v^2⟩$): $p=\frac{1}{3}n{m}_0⟨v^2⟩$

Средняя энергия поступательного движения: Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы: $⟨W_{к.пост}⟩=\frac{m_0⟨v^2⟩}{2}$. Тогда основное уравнение МКТ можно переписать через энергию: $p=\frac{2}{3}n⟨W_{к.пост}⟩$ Сравнивая с уравнением состояния $p=nkT$, получаем важнейший вывод МКТ — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул зависит только от абсолютной температуры: $⟨W_{к.пост}⟩=\frac{3}{2}kT$

Идея вывода уравнения МКТ $S$. При упругом ударе молекула меняет импульс проекции скорости $v_x$ на $-v_x$. Изменение импульса $\Delta p=2m_0{v}_x$. За время $dt$ стенки достигнут только молекулы из объема $V=S\cdot v_{x}dt$. Число ударов равно $\frac{1}{6}nS{v}_{x}dt$ (т.к. равновероятно движение по трем осям туда и обратно). Импульс силы $Fdt$ равен полному переданному импульсу. Отсюда сила давления $F=\frac{1}{3}n{m}_0⟨v^2⟩S$, а давление $p=F/S=\frac{1}{3}n{m}_0⟨v^2⟩$.

Рассмотрим удары молекул об упругую стенку сосуда площадью

35. Эффективный диаметр и длина свободного пробега молекул идеального газа. Понятие физического вакуума.

Эффективный диаметр молекулы ($d$) — минимальное расстояние, на которое могут сблизиться центры двух молекул при столкновении.

Средняя длина свободного пробега ($\lambda$) — среднее расстояние, которое пролетает молекула газа между двумя последовательными столкновениями. Длина свободного пробега обратно пропорциональна концентрации молекул $n$: $\lambda =\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^{2}n}$ (Величина $\sigma =\pi d^2$ называется эффективным сечением рассеяния).

Физический (технический) вакуум — это состояние газа в сосуде, при котором средняя длина свободного пробега молекул $\lambda$ сравнима или больше характерного размера сосуда $L$ ($\lambda \ge L$). В вакууме молекулы чаще сталкиваются со стенками сосуда, чем друг с другом (исчезает вязкость газа).

36. Понятие числа степеней свободы. Число степеней свободы молекул идеальных газов. Внутренняя энергия идеального газа.

Число степеней свободы ($i$) — это минимальное количество независимых координат, которые необходимо задать для однозначного определения положения системы (тела) в пространстве.

Число степеней свободы для молекул:

• Одноатомный газ (He, Ar): $i=3$ (только поступательные).
• Двухатомный газ (H${}_2$, O${}_2$, N${}_2$): $i=5$ (3 поступательные + 2 вращательные оси).
• Многоатомный газ (H${}_2$O, CO${}_2$, трехатомные и выше нелинейные): $i=6$ (3 поступательные + 3 вращательные).

Закон равномерного распределения энергии: На каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная $\frac{1}{2}kT$. Полная средняя энергия одной молекулы: $⟨W_k⟩=\frac{i}{2}kT$.

Внутренняя энергия идеального газа ($U$): Так как в идеальном газе нет потенциальной энергии взаимодействия, полная энергия — это сумма кинетических энергий всех $\nu \cdot N_A$ молекул: $U=N\cdot ⟨W_k⟩=\nu N_A\frac{i}{2}kT=\frac{i}{2}\nu RT$

37. Теплоёмкость, молярная и удельная теплоёмкость. Уравнение Майера.

Теплоемкость ($C$) — количество теплоты, необходимое для нагревания тела на 1 Кельвин: $C=\frac{\delta Q}{dT}$. Зависит от процесса. Удельная теплоемкость ($c$) — теплоемкость 1 кг вещества: $c=\frac{C}{m}$. Молярная теплоемкость ($C_{\mu }$) — теплоемкость 1 моля вещества: $C_{\mu }=\frac{C}{\nu }$.

Молярная теплоемкость в изопроцессах:

• Изохорный процесс ($V=\text{const}$): Работа не совершается ($A=0$), вся теплота идет на изменение внутренней энергии. $C_V=\frac{dU}{\nu dT}=\frac{i}{2}R$
• Изобарный процесс ($p=\text{const}$): Теплота идет на изменение внутренней энергии и на совершение работы расширения ($\delta A=pdV=\nu RdT$). $C_p=\frac{dU+\nu RdT}{\nu dT}=\frac{i}{2}R+R=\frac{i+2}{2}R$

Уравнение Майера: Связывает молярные изобарную и изохорную теплоемкости идеального газа: $C_p=C_V+R$ Физический смысл $R$: Универсальная газовая постоянная численно равна работе изобарного расширения одного моля идеального газа при его нагревании на 1 Кельвин.

38. Адиабатически изолированная система. Уравнение Пуассона (адиабаты). Показатель адиабаты.

Адиабатически изолированная система — система, заключенная в оболочку, не допускающую теплообмена с окружающей средой. Адиабатный процесс — процесс без теплообмена: $\delta Q=0$. Работа в нем совершается строго за счет убыли внутренней энергии: $\delta A=-dU$.

Показатель адиабаты (коэффициент Пуассона) $\gamma$: Отношение изобарной теплоемкости к изохорной: $\gamma =\frac{C_p}{C_V}=\frac{\frac{i+2}{2}R}{\frac{i}{2}R}=\frac{i+2}{i}(\gamma >1)$

Уравнение Пуассона (уравнение адиабаты): Для квазистатического адиабатического процесса в идеальном газе связь между давлением и объемом выражается как: $p{V}^{\gamma }=\text{const}$ В переменных T и V: Подставляя $p=\nu RT/V$, получаем: $T{V}^{\gamma -1}=\text{const}$

Вывод уравнения Пуассона $\delta Q=0$: $dU+pdV=0$. Выразим $dU=\nu C_{V}dT$ и $p=\frac{\nu RT}{V}$: $\nu C_{V}dT+\frac{\nu RT}{V}dV=0⟹C_V\frac{dT}{T}+R\frac{dV}{V}=0$. По уравнению Менделеева-Клапейрона $pdV+Vdp=\nu RdT⟹dT=\frac{pdV+Vdp}{\nu R}$. Подставим в уравнение: $C_V(pdV+Vdp)+RpdV=0$. Учитывая $C_V+R=C_p$, получаем: $C_{V}Vdp+C_{p}pdV=0$. Разделим на $C_{V}pV$: $\frac{dp}{p}+\gamma \frac{dV}{V}=0$. Интегрируем: $\ln p+\gamma \ln V=\text{const}⟹p{V}^{\gamma }=\text{const}$.

Из I начала термодинамики при

39. Работа идеального газа в изотермическом процессе. Политропические процессы. Работа в политропическом процессе.

Работа в изотермическом процессе ($T=\text{const}$): $A_{изотерм}={\int }_{V_1}^{V_2}pdV={\int }_{V_1}^{V_2}\frac{\nu RT}{V}dV=\nu RT\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

Политропический процесс — процесс, протекающий при постоянной теплоемкости газа ($C=\text{const}$). Все изопроцессы и адиабатный процесс являются частными случаями политропического. Уравнение политропы имеет вид: $p{V}^n=\text{const}$ где показатель политропы $n=\frac{C-C_p}{C-C_V}$. Частные случаи: $n=0$ (изобара), $n=1$ (изотерма), $n=\gamma$ (адиабата), $n=\infty$ (изохора).

Работа в политропическом процессе (для $n\ne 1$): Вычисляется интегрированием $p=\frac{p_1{V}_1^n}{V^n}$: $A={\int }_{V_1}^{V_2}\frac{p_1{V}_1^n}{V^n}dV=\frac{p_1{V}_1}{n-1}\left(1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{n-1}\right)=\frac{p_1{V}_1-p_2{V}_2}{n-1}$

40. Ван-дер-Ваальсовский газ. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса.

Реальный газ (модель Ван-дер-Ваальса) учитывает два фактора, которыми пренебрегает модель идеального газа:

1. Собственный объем молекул (уменьшает доступный для движения объем).
2. Силы межмолекулярного притяжения (создают дополнительное «внутреннее» давление, сжимающее газ).

Уравнение Ван-дер-Ваальса для $\nu$ молей: $\left(p+\frac{{\nu }^{2}a}{V^2}\right)(V-\nu b)=\nu RT$ где $a$ — поправка на силы притяжения (зависит от природы газа), $b$ — поправка на собственный объем молекул. Член $\frac{{\nu }^{2}a}{V^2}$ называется внутренним давлением.

Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса: Складывается из кинетической энергии молекул (как у идеального газа) и отрицательной потенциальной энергии их взаимного притяжения. $U_{VdW}=\nu C_{V}T-\frac{{\nu }^{2}a}{V}$ Следствие: При расширении реального газа в пустоту (без совершения работы) его объем $V$ увеличивается, слагаемое $\frac{{\nu }^{2}a}{V}$ уменьшается по модулю. Так как внутренняя энергия сохраняется ($U=\text{const}$), кинетическая часть $\nu C_{V}T$ должна уменьшиться — газ охлаждается (эффект Джоуля-Томсона).

41. Второе начало термодинамики (Клаузиус и Кельвин). Вечные двигатели 1 и 2 рода. Тепловая, холодильная машины, тепловой насос и их КПД.

Второе начало термодинамики задает направление самопроизвольных термодинамических процессов.

• Формулировка Клаузиуса: Теплота самопроизвольно, без изменений в окружающих телах, не может перейти от менее нагретого тела к более нагретому.
• Формулировка Кельвина (Томсона): Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого была бы механическая работа, совершаемая за счет отвода теплоты от одного теплового резервуара.

Вечные двигатели:

• 1-го рода: Двигатель, совершающий работу без потребления энергии. Невозможен согласно Первому началу термодинамики (закону сохранения энергии).
• 2-го рода: Двигатель, полностью превращающий всю полученную от нагревателя теплоту в работу (КПД = 100%). Невозможен согласно Второму началу термодинамики.

Машины и их КПД (или коэффициенты):

• Тепловая машина: Берет тепло $Q_1$ от нагревателя, совершает работу $A$, отдает тепло $|Q_2|$ холодильнику. КПД: $\eta =\frac{A}{Q_1}=\frac{Q_1-|Q_2|}{Q_1}=1-\frac{|Q_2|}{Q_1}$.
• Холодильная машина: Совершает работу $A_{внеш}$ для отбора тепла $Q_2$ у холодного тела и передачи тепла нагретому. Холодильный коэффициент: ${\eta }_{х}=\frac{Q_2}{A_{внеш}}$.
• Тепловой насос: Аналог холодильника, но цель — передать тепло $Q_1^{\prime }$ нагретому телу (обогрев комнаты). Коэффициент: ${\eta }_{тн}=\frac{Q_1^{\prime }}{A_{внеш}}=\frac{1}{\eta }$.

42. Цикл Карно. Вывод КПД. Теорема Карно. Термодинамическая шкала температур.

Цикл Карно — идеальный обратимый круговой процесс, состоящий из двух изотерм (при $T_1$ и $T_2$) и двух адиабат. Является самым эффективным циклом в заданном диапазоне температур. КПД цикла Карно: $\eta =1-\frac{T_2}{T_1}$.

Теоремы Карно:

1. КПД любой тепловой машины, работающей по обратимому циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела, а определяется только температурами нагревателя и холодильника.
2. КПД любой необратимой тепловой машины всегда меньше КПД обратимой машины Карно, работающей в тех же температурных пределах: ${\eta }_{необр}<{\eta }_{обр}$.

Термодинамическая шкала температур (Кельвина): Опирается на 1-ю теорему Карно. Из отношения теплот $\frac{|Q_2|}{Q_1}=\frac{T_2}{T_1}$ можно ввести абсолютную шкалу температур, не зависящую от свойств термометрического вещества (в отличие от газовых или жидкостных термометров).

Вывод КПД цикла Карно $A=Q_1-|Q_2|$. Газ получает тепло $Q_1$ на верхней изотерме ($T_1$) и отдает $|Q_2|$ на нижней ($T_2$). При изотермическом расширении $Q_1=\nu R{T}_1\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$. При изотермическом сжатии $|Q_2|=\nu R{T}_2\ln \left(\frac{V_3}{V_4}\right)$. Уравнения адиабат связывают температуры и объемы: $T_1{V}_2^{\gamma -1}=T_2{V}_3^{\gamma -1}$ и $T_1{V}_1^{\gamma -1}=T_2{V}_4^{\gamma -1}$. Поделив одно на другое, получаем ${\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{\gamma -1}={\left(\frac{V_3}{V_4}\right)}^{\gamma -1}⟹\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}$. Значит, логарифмы в формулах для теплот равны. Тогда КПД $\eta =1-\frac{|Q_2|}{Q_1}=1-\frac{\nu R{T}_2\ln (V_3/V_4)}{\nu R{T}_1\ln (V_2/V_1)}=1-\frac{T_2}{T_1}$.

Работа газа за цикл равна

43. Неравенство Клаузиуса. Термодинамическая энтропия. Закон возрастания энтропии. Третье начало термодинамики.

Неравенство Клаузиуса: Алгебраическая сумма приведенных теплот ($\frac{\delta Q}{T}$) для любого кругового процесса не может быть положительной: $\oint \frac{\delta Q}{T}\le 0$ Знак равенства (Равенство Клаузиуса $\oint \frac{\delta Q}{T}=0$) выполняется только для полностью обратимых процессов.

Термодинамическая энтропия ($S$): Так как интеграл по замкнутому контуру для обратимого процесса равен нулю, подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции состояния: $dS=\frac{\delta Q_{обр}}{T}⟹\Delta S={\int }_1^2\frac{\delta Q_{обр}}{T}$ Закон возрастания энтропии: В любой адиабатически изолированной системе энтропия не может убывать ($\Delta S\ge 0$). В обратимых процессах она сохраняется, в необратимых — возрастает.

Третье начало термодинамики (Теорема Нернста): При стремлении абсолютной температуры равновесной системы к нулю, её энтропия также стремится к нулю (или к константе, которую можно принять за нуль): ${\lim }_{T\to 0}S=0$. Следствие: абсолютный нуль недостижим.

44. Основное неравенство и основное уравнение термодинамики. Термодинамические потенциалы.

Объединив первое начало $\delta Q=dU+pdV$ и определение энтропии $dS\ge \frac{\delta Q}{T}$ (для любых процессов), получаем основное неравенство термодинамики: $TdS\ge dU+pdV$ Для обратимых процессов оно превращается в основное уравнение термодинамики: $TdS=dU+pdV$

Термодинамические потенциалы: Это функции состояния, позволяющие при дифференцировании по их независимым переменным находить все остальные термодинамические параметры системы. Основные потенциалы:

1. Внутренняя энергия $U(S,V)$: $dU=TdS-pdV$.
2. Энтальпия $H(S,p)=U+pV$: $dH=TdS+Vdp$. Физический смысл: изменение энтальпии равно подведенному теплу в изобарном процессе ($Q=\Delta H$ при $p=\text{const}$).
3. Свободная энергия Гельмгольца $\Psi (T,V)=U-TS$: $d\Psi =-SdT-pdV$. Физический смысл: убыль свободной энергии равна работе системы в изотермическом процессе.
4. Энергия Гиббса $G(T,p)=U-TS+pV$: $dG=-SdT+Vdp$. При $T,p=\text{const}$ стремится к минимуму.

45. Эффект Джоуля-Томпсона. Принцип Ле Шателье - Брауна.

Эффект Джоуля-Томпсона — изменение температуры реального газа при его стационарном адиабатическом протекании (просачивании) через пористую перегородку из области высокого давления в область низкого. Этот процесс является необратимым и протекает при постоянной энтальпии ($H=\text{const}$). Идеальный газ при таком расширении температуру не меняет ($\Delta T=0$). Реальный газ охлаждается (положительный эффект) или нагревается (отрицательный эффект) из-за работы сил межмолекулярного взаимодействия. Температура, при которой эффект меняет знак, называется температурой инверсии.

Принцип Ле Шателье-Брауна: Если на систему, находящуюся в состоянии устойчивого термодинамического равновесия, действуют внешние факторы, выводящие её из этого состояния, то в системе возникают процессы, стремящиеся ослабить это внешнее воздействие (аналог закона электромагнитной индукции Ленца). Пример: Если нагревать равновесную смесь льда и воды, лёд начнёт таять с поглощением тепла, мешая температуре расти.

46. Статистическое описание. Функция распределения. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

В статистической физике состояние системы описывается вероятностями. Функция плотности распределения $f(x)$ показывает долю частиц (или вероятность), значения параметра которых лежат в единичном интервале вблизи $x$. $dP=f(x)dx$. Условие нормировки: ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$.

Барометрическая формула описывает зависимость давления изотермического идеального газа от высоты $z$ в однородном поле тяжести Земли: $p=p_0{e}^{-\frac{m_{0}gz}{kT}}$ где $m_0$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана, $p_0$ — давление на высоте $z=0$.

Распределение Больцмана: Обобщение барометрической формулы. Концентрация молекул $n$ в любой точке силового поля зависит от потенциальной энергии $W_p$ молекул в этом поле по закону: $n=n_0{e}^{-\frac{W_p}{kT}}$ Смысл: при $T\to 0$ все молекулы скапливаются в минимуме потенциальной энергии ($W_p=0$). При повышении $T$ тепловое движение «размазывает» их по всему объему.

Вывод барометрической формулы $dz$ имеет площадь $S$. Разность давлений на слой компенсируется его силой тяжести: $pS-(p+dp)S-\rho Sdz\cdot g=0⟹dp=-\rho gdz$. Плотность идеального газа $\rho =\frac{p\mu }{RT}$. Подставим: $dp=-p\frac{\mu g}{RT}dz⟹\frac{dp}{p}=-\frac{\mu g}{RT}dz$. Интегрируем от $z=0$ (где $p=p_0$) до $z$: $\ln \left(\frac{p}{p_0}\right)=-\frac{\mu gz}{RT}⟹p=p_0{e}^{-\frac{\mu gz}{RT}}$. Разделив молярную массу $\mu$ и газовую постоянную $R$ на число Авогадро $N_A$, получим $p=p_0{e}^{-\frac{m_{0}gz}{kT}}$.

Рассмотрим столб газа. Слой толщиной

47. Распределение Максвелла. Вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости. Экспериментальная проверка. Распределение Максвелла-Больцмана.

Распределение Максвелла описывает распределение молекул идеального равновесного газа по модулю скорости. Функция плотности вероятности имеет вид: $f(v)=4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}^{3/2}{v}^2{e}^{-\frac{m_0{v}^2}{2kT}}$ Характерные скорости молекул (в порядке возрастания $v_{вер}<⟨v⟩<v_{кв}$):

1. Наиболее вероятная скорость ($v_{вер}$): Скорость, при которой функция $f(v)$ достигает максимума. $v_{вер}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}$.
2. Средняя (арифметическая) скорость ($⟨v⟩$): Математическое ожидание модуля скорости. $⟨v⟩=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}$.
3. Средняя квадратичная скорость ($v_{кв}$): Корень из среднего квадрата скорости. Определяет кинетическую энергию и давление газа. $v_{кв}=\sqrt{⟨v^2⟩}=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$.

Экспериментальная проверка: Опыт Штерна (оседание атомов серебра на вращающихся цилиндрах), опыты Ламмерта (селекция пучка вращающимися дисками с щелями) и опыт Эстермана (отклонение пучка атомов в поле тяжести).

Распределение Максвелла-Больцмана: Описывает совместное распределение молекул по координатам (в потенциальном поле) и по скоростям. Вероятность найти частицу в элементе объема $dV$ с заданными скоростями пропорциональна $e^{-\frac{W_k+W_p}{kT}}$.

Идея вывода распределения Максвелла $v_x$ имеет вид нормального распределения (Гаусса): $f(v_x)=A{e}^{-\alpha v_x^2}$. Так как проекции независимы, вероятность обладать вектором скорости $\vec{v}$ равна произведению вероятностей: $f(\vec{v})=f(v_x)f(v_y)f(v_z)=A^3{e}^{-\alpha (v_x^2+v_y^2+v_z^2)}=A^3{e}^{-\alpha v^2}$. Чтобы перейти от вектора к модулю скорости, нужно учесть объем шарового слоя в пространстве скоростей $d{V}_v=4\pi v^{2}dv$. Появляется множитель $v^2$, который смещает максимум распределения от нуля вправо.

Вывод базируется на принципе детального равновесия и независимости распределения проекций скорости. Вероятность найти проекцию скорости

48. Статистический вес. Формула Больцмана для статистической энтропии. Аддитивность энтропии.

Статистический вес (термодинамическая вероятность) $\Omega$ — это число различных микросостояний (способов распределения координат и импульсов частиц), которыми может быть реализовано данное макроскопическое состояние системы. Чем больше $\Omega$, тем более вероятно данное состояние. Система всегда самопроизвольно стремится перейти в состояние с максимальным статистическим весом (состояние равновесия).

Формула Больцмана: Устанавливает связь между макроскопической термодинамической энтропией $S$ и статистическим весом $\Omega$ макросостояния: $S=k\ln \Omega$ где $k$ — постоянная Больцмана. (Энтропия есть мера беспорядка в системе).

Аддитивность энтропии: Если сложную систему мысленно разбить на две независимые части, то общее число микросостояний системы равно произведению микросостояний её частей: $\Omega ={\Omega }_1\cdot {\Omega }_2$. Подставим в формулу Больцмана: $S=k\ln ({\Omega }_1\cdot {\Omega }_2)=k\ln {\Omega }_1+k\ln {\Omega }_2=S_1+S_2$ Энтропия всей системы равна сумме энтропий её частей.

49. Термодинамические потоки. Явления переноса в газах: диффузия, теплопроводность и вязкость. Эффузия в разреженном газе.

Явления переноса возникают при нарушении термодинамического равновесия (наличии градиентов параметров) и стремятся вернуть систему в равновесие.

• Диффузия (перенос массы): Закон Фика. Плотность потока массы $j_m=-D\frac{d\rho }{dx}$. Коэффициент диффузии $D=\frac{1}{3}⟨v⟩\lambda$.
• Теплопроводность (перенос энергии): Закон Фурье. Плотность теплового потока $j_Q=-\text{ae}\frac{dT}{dx}$. Коэффициент теплопроводности $\text{ae}=\frac{1}{3}⟨v⟩\lambda \rho c_v$.
• Вязкость (перенос импульса): Закон Ньютона. Сила внутреннего трения (поток импульса) $j_p=-\eta \frac{du}{dx}$. Коэффициент вязкости (внутреннего трения) $\eta =\frac{1}{3}⟨v⟩\lambda \rho$. (Здесь $⟨v⟩$ — средняя скорость теплового движения, $\lambda$ — средняя длина свободного пробега, $\rho$ — плотность газа).

Эффузия в разреженном газе: Медленное истечение газа через малое отверстие (размер отверстия $\ll \lambda$, вакуум). Истечение носит молекулярный характер. Плотность потока частиц $j=\frac{1}{4}n⟨v⟩$. Скорость истечения обратно пропорциональна $\sqrt{\mu }$ (более легкие газы вытекают быстрее).

50. Броуновское движение.

Броуновское движение — беспорядочное (зигзагообразное) движение малых макроскопических частиц (размером $\sim 1$ мкм), взвешенных в жидкости или газе. Причина: Тепловое движение молекул среды. Молекулы ударяют броуновскую частицу со всех сторон. Из-за малого размера частицы эти удары не компенсируют друг друга (возникают флуктуации давления).

Закон Эйнштейна-Смолуховского: Средний квадрат смещения броуновской частицы $⟨x^2⟩$ за время $t$ прямо пропорционален времени, температуре и обратно пропорционален вязкости среды $\eta$ и размеру частицы $a$: $⟨x^2⟩=2Dt=\frac{kT}{3\pi \eta a}t$ Интенсивность движения не зависит от времени, растет с температурой и падает при росте вязкости или размера частицы. Наблюдая броуновское движение, Перрен экспериментально определил число Авогадро $N_A$, доказав реальность существования молекул.

51. Производство энтропии в необратимых процессах.

В неравновесной термодинамике изменение энтропии системы $dS$ складывается из энтропии, поступающей извне ($d{S}_e$), и энтропии, производимой внутри системы из-за необратимых процессов ($d{S}_i$). Производство энтропии ${\sigma }_S=\frac{d{S}_i}{dt}$ — это скорость возникновения энтропии в единице объема. В соответствии со Вторым началом термодинамики, производство энтропии всегда неотрицательно: ${\sigma }_S\ge 0$.

Производство энтропии выражается через сумму произведений термодинамических потоков $j_k$ (поток тепла, массы) на сопряженные им термодинамические силы $X_k$ (градиент температуры, концентрации): ${\sigma }_S={\sum }_k{j}_k{X}_k\ge 0$

Линейная термодинамика и Принцип Пригожина $j_i=\sum L_{ik}{X}_k$, где $L_{ik}$ — кинетические коэффициенты (по теореме Онсагера $L_{ik}=L_{ki}$). В этом случае ${\sigma }_S$ является квадратичной формой от сил. Принцип минимума производства энтропии (Пригожина): В стационарном неравновесном состоянии, поддерживаемом внешними условиями, скорость производства энтропии ${\sigma }_S$ принимает минимально возможное значение.

При малых отклонениях от равновесия потоки линейно зависят от термодинамических сил:

52. Агрегатные состояния вещества. Условия равновесия фаз. Капиллярные явления. Фазовые переходы I и II рода.

Агрегатные состояния: Твердое (дальний порядок), жидкое (ближний порядок), газообразное (хаос) и плазма. Условия равновесия фаз: Для равновесия двух фаз одного вещества (например, воды и пара) необходимо равенство их температур ($T_1=T_2$), давлений ($p_1=p_2$) и удельных термодинамических потенциалов Гиббса (химических потенциалов): ${\phi }_1(p,T)={\phi }_2(p,T)$.

Фазовые переходы I рода: Переходы, сопровождающиеся скачкообразным изменением плотности (объема) и энтропии, а также поглощением или выделением скрытой теплоты $q$. Первые производные потенциала Гиббса терпят скачок. (Примеры: плавление, кипение, сублимация). Описываются уравнением Клапейрона-Клаузиуса: $\frac{dp}{dT}=\frac{q}{T(v_2-v_1)}$. Фазовые переходы II рода: Переходы без выделения/поглощения скрытой теплоты и скачка объема. Вторые производные потенциала Гиббса (теплоемкость, сжимаемость) терпят скачок. Меняется симметрия решетки. (Примеры: переход металла в сверхпроводник, железа из ферромагнетика в парамагнетик).

Поверхностное натяжение и капиллярные явления:

• Коэффициент поверхностного натяжения $\sigma =\frac{\delta A^{\prime }}{dS}$.
• Формула Лапласа для избыточного давления под искривленной поверхностью: $\Delta p=\sigma \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$.
• Капиллярный подъем: жидкость поднимается или опускается в узкой трубке на высоту $h=\frac{2\sigma \cos \theta }{\rho gr}$, где $\theta$ — краевой угол смачивания.