3.1.3-17.09.2026 Тройной интеграл

Определение тройного интеграла

Вычисление массы неоднородного пространственного тела

Представим, что в пространстве ${\mathbb{R}}^3$ с декартовой системой координат $Oxyz$ задано некоторое материальное тело, занимающее замкнутую ограниченную пространственную область $Q$.

Тело является неоднородным: его плотность в каждой точке $M(x,y,z)$ не является постоянной величиной, а меняется от точки к точке и задаётся некоторой функцией: $\rho =\rho (x,y,z),(x,y,z)\in Q\subset {\mathbb{R}}^3$

Будем считать, что плотность строго положительна во всех точках тела: $\rho (x,y,z)>0,\forall (x,y,z)\in Q$ а также что функция $\rho (x,y,z)$ является непрерывной во всей замкнутой области $Q$.

\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
    \draw[->] (0,0,0) -- (4.5,0,0) node[below right] {$y$};
    \draw[->] (0,0,0) -- (0,4,0) node[above] {$z$};
    \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,4) node[below left] {$x$};
    \node at (-0.2,-0.2,0) {$O$};
    \draw[thick, fill=gray!15, fill opacity=0.6] 
        plot [smooth cycle, tension=0.8] coordinates {
            (1.5, 2.8, 1.0) (3.2, 3.2, 0.5) (3.5, 1.8, 0.5) 
            (2.8, 1.0, 1.5) (1.2, 1.2, 2.0) (0.8, 2.2, 1.5)
        };
    \node at (3.5, 2.8, 0.8) {$Q \subset \mathbb{R}^3$};
    \draw[thick, fill=blue!25, fill opacity=0.8] 
        (1.8, 2.0, 1.2) ellipse [x radius=0.35, y radius=0.25];
    \fill (1.8, 2.0, 1.2) circle [radius=1.2pt];
    \node[right=2pt] at (1.8, 2.0, 1.2) {\scriptsize $M_i(x_i, y_i, z_i)$};
    \node at (1.2, 1.8, 1.2) {\scriptsize $Q_i$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Чтобы найти полную массу $M$ такого неоднородного тела, применим классическую процедуру интегрального исчисления:

1. Разбиение. Разобьём тело $Q$ некоторой произвольной сеткой поверхностей на систему из $n$ малых частичных областей (ячеек): $T=\{Q_1,Q_2,\dots ,Q_n\}$ Частичные области $Q_i$ должны удовлетворять двум стандартным условиям:

   • Области в объединении дают всё исходное тело: $\bigcup _{i=1}^n{Q}_i=Q$;
   • Области не имеют общих внутренних точек: $\mathrm{int}(Q_i)\cap \mathrm{int}(Q_j)=\varnothing$ при $i\ne j$ (то есть соприкасаются исключительно своими границами).

2. Диаметр ячейки и диаметр разбиения. Для каждой элементарной области $Q_i$ определим её диаметр $d_i$:

   Диаметр области $d_i$ — это максимально возможное расстояние между любыми двумя точками данной области $Q_i$.

   В качестве диаметра (или шага) разбиения $T$ возьмём наибольший из диаметров всех частичных ячеек: $d(T)={\max }_{1\le i\le n}{d}_i$ Понятно, что при достаточно мелком разбиении все области $Q_i$ становятся сколь угодно малыми во всех измерениях.

3. Линеаризация на элементарной ячейке. Объём частичной ячейки $Q_i$ обозначим через $\Delta V_i$. Внутри каждой ячейки выберем произвольным образом по одной точке: $M_i(x_i,y_i,z_i)\in Q_i,i=\overline{1,n}$ Поскольку ячейка $Q_i$ мала, а плотность $\rho$ непрерывна, мы можем приближённо считать материальное тело внутри $Q_i$ однородным с постоянной плотностью, равной значению функции в выбранной точке: $\rho \approx \rho (x_i,y_i,z_i)$. Тогда масса $\Delta m_i$ этой ячейки приближённо равна произведению плотности на элементарный объём: $\Delta m_i\approx \rho (x_i,y_i,z_i)\cdot \Delta V_i$

4. Интегральная сумма. Суммируя массы всех частичных ячеек, получаем приближённое значение массы всего тела: $M\approx {\sum }_{i=1}^n\Delta m_i={\sum }_{i=1}^n\rho (x_i,y_i,z_i)\Delta V_i$

5. Предельный переход. Чтобы получить точное значение массы тела, необходимо перейти к пределу при условии, что диаметр разбиения стремится к нулю: $M={\lim }_{d(T)\to 0}{\sum }_{i=1}^n\rho (x_i,y_i,z_i)\Delta V_i$ При $d(T)\to 0$ число ячеек $n\to \infty$, а форма ячеек равномерно стягивается в точку.

---

Математическое определение тройного интеграла

Перейдём от физической постановки к строгой математической задаче.

Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области $Q\subset {\mathbb{R}}^3$ трёхмерного пространства задана произвольная ограниченная функция: $f(M)=f(x,y,z)$

Повторим описанную процедуру:

1. Разобьём область $Q$ на $n$ частичных областей: $T=\{Q_1,\dots ,Q_n\}$;
2. В каждой области $Q_i$ произвольно выберем точку $M_i(x_i,y_i,z_i)\in Q_i$;
3. Составим интегральную сумму Римана: $S(T)={\sum }_{i=1}^{n}f(M_i)\Delta V_i={\sum }_{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i$ где $\Delta V_i$ — объём частичной области $Q_i$.

Тройной интеграл

Если при $d(T)\to 0$ существует конечный предел интегральной суммы $S(T)$, который не зависит ни от способа разбиения $T$ области $Q$, ни от выбора промежуточных точек $M_i\in Q_i$, то функция $f(x,y,z)$ называется интегрируемой в области $Q$.
Сам этот предел называется тройным интегралом от функции $f(x,y,z)$ по области $Q$ и обозначается: ${\lim }_{d(T)\to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f(M_i)\Delta V_i={\iiint }_{Q}f(x,y,z)dxdydz\text{или}{\int }_{Q}f(M)dV$

Полная форма записи содержит три знака интеграла и три дифференциала: ${\iiint }_{Q}f(x,y,z)dxdydz$.
Однако часто для краткости пишут один интеграл с дифференциалом объёма: ${\int }_{Q}f(M)dV$. Обе эти формы записи абсолютно равносильны.

Физический и геометрический смысл:

1. Если $f(M)=\rho (M)>0$ — плотность тела, то тройной интеграл численно равен массе тела: $M={\iiint }_Q\rho (x,y,z)dxdydz$
2. Если подынтегральная функция тождественно равна единице ($f(M)\equiv 1$), то интегральная сумма превращается в сумму элементарных объёмов $\sum \Delta V_i=V_Q$, и интеграл выражает объём пространственной области $Q$: $V_Q={\iiint }_{Q}dxdydz$

---

Теоремы существования (интегрируемости)

Теорема 1 (Достаточное условие интегрируемости)

Всякая функция $f(x,y,z)$, ограниченная в замкнутой области $Q$ и непрерывная всюду в $Q$, за исключением конечного числа точек или точек, лежащих на гладких поверхностях нулевого объёма, является интегрируемой в этой области.

Теорема 2 (Интегрируемость непрерывной функции)

Всякая непрерывная в замкнутой ограниченной области $Q$ функция $f(x,y,z)$ интегрируема в этой области.

---

Свойства тройного интеграла

Свойства тройного интеграла полностью аналогичны свойствам двойного интеграла и обычному определённому интегралу на отрезке.

1. Вычисление объёма области: ${\iiint }_{Q}1\cdot dV={\iiint }_{Q}dxdydz=V_Q$

2. Линейность: Пусть функции $f(M)$ и $g(M)$ интегрируемы в пространственной области $Q$, где $M=M(x,y,z)$. Тогда для любых действительных констант $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ функция $\alpha f(M)+\beta g(M)$ также интегрируема в $Q$, и справедливо равенство: ${\iiint }_Q(\alpha f(M)+\beta g(M))dV=\alpha {\iiint }_{Q}f(M)dV+\beta {\iiint }_{Q}g(M)dV$

3. Аддитивность по области интегрирования: Если область $Q$ разбита на две части $Q^{\prime }$ и $Q^{\prime \prime }=Q\setminus Q^{\prime }$, не имеющие общих внутренних точек ($\mathrm{int}(Q^{\prime })\cap \mathrm{int}(Q^{\prime \prime })=\varnothing$), то: ${\iiint }_{Q}f(M)dV={\iiint }_{Q^{\prime }}f(M)dV+{\iiint }_{Q\setminus Q^{\prime }}f(M)dV$

4. Сохранение знака (неотрицательность): Если функция $f(M)$ интегрируема в $Q$ и во всех точках области выполняется $f(M)\ge 0$, то: ${\iiint }_{Q}f(M)dV\ge 0$

5. Монотонность интеграла: Если функции $f(M)$ и $g(M)$ интегрируемы в $Q$ и во всех точках области выполняется неравенство $f(M)\ge g(M)$, то: ${\iiint }_{Q}f(M)dV\ge {\iiint }_{Q}g(M)dV$

6. Оценка модуля интеграла: Если функция $f(M)$ интегрируема в области $Q$, то функция $|f(M)|$ также интегрируема, и выполняется неравенство: $\left|{\iiint }_{Q}f(M)dV\right|\le {\iiint }_Q|f(M)|dV$

7. Теорема об оценке тройного интеграла:

Теорема об оценке тройного интеграла

Пусть функция $f(M)$ интегрируема в области $Q$, и во всех точках области её значения заключены между числами $m$ и $M$: $m\le f(M)\le M,\forall M\in Q$ Тогда справедлива оценка: $m\cdot V_Q\le {\iiint }_{Q}f(M)dV\le M\cdot V_Q$

8. Теорема о среднем значении для тройного интеграла:

Теорема о среднем значении

Если функция $f(M)$ непрерывна в замкнутой связной области $Q$, то существует по крайней мере одна точка $M_0(x_0,y_0,z_0)\in Q$, такая, что значение тройного интеграла равно значению функции в этой точке, умноженному на объём области: ${\iiint }_{Q}f(M)dV=f(M_0)\cdot V_Q$ Значение $f(M_0)=\frac{1}{V_Q}{\iiint }_{Q}f(M)dV$ называют средним значением функции в области $Q$.

---

Геометрическое понятие: кубируемость области

Кубируемая область

В двойном интеграле мы говорили о квадрируемых областях (то есть областях на плоскости, для которых существует понятие площади: границу можно покрыть многоугольниками, и разность площадей внешних и внутренних многоугольников стремится к нулю).
Для тройного интеграла используется термин кубируемая область — ограниченная область в трёхмерном пространстве, объём которой может быть измерен с помощью аппроксимации многогранниками: в неё можно вписать и вокруг неё можно описать многогранники так, что при измельчении разность их объёмов стремится к нулю.
Корректное интегрирование определено только по кубируемым областям с кусочно-гладкими границами.

---

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Цилиндрическая область (проекция на плоскость $Oxy$)

Пусть область $Q$ представляет собой цилиндрическое тело, ориентированное вдоль оси $Oz$: $Q=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid (x,y)\in D\subset {\mathbb{R}}^2,z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\right\}$ где:

• $D$ — проекция тела $Q$ на координатную плоскость $Oxy$;
• $z=z_1(x,y)$ — нижнее основание (поверхность входа любого луча, параллельного оси $Oz$);
• $z=z_2(x,y)$ — верхнее основание (поверхность выхода луча);
• Боковая поверхность тела образована вертикальными образующими, параллельными оси $Oz$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
    \draw[->] (0,0) -- (5.5,0) node[right] {$y$};
    \draw[->] (0,0) -- (0,5.2) node[above] {$z$};
    \draw[->] (0,0) -- (-2.2,-2.2) node[below left] {$x$};
    \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
    \draw[thick, fill=gray!20, fill opacity=0.7] (2.4,-1.2) ellipse [x radius=1.4, y radius=0.65];
    \node at (2.4,-1.2) {$D$};
 
    \draw[dashed, gray!80] (1.0,-1.2) -- (1.0, 1.6);
    \draw[dashed, gray!80] (3.8,-1.2) -- (3.8, 1.8);
 
    \fill[blue!15, fill opacity=0.5] 
        (1.0, 1.6) -- (1.0, 3.6) 
        arc[start angle=180, end angle=360, x radius=1.4, y radius=0.6] 
        -- (3.8, 1.8) 
        arc[start angle=0, end angle=-180, x radius=1.4, y radius=0.5] -- cycle;
 
    \draw[thick] (1.0, 1.6) -- (1.0, 3.6);
    \draw[thick] (3.8, 1.8) -- (3.8, 3.8);
 
    \draw[thick] (1.0, 1.6) arc[start angle=180, end angle=360, x radius=1.4, y radius=0.5];
    \draw[dashed] (1.0, 1.6) arc[start angle=180, end angle=0, x radius=1.4, y radius=0.5];
    \node[right] at (3.8, 1.8) {$z = z_1(x, y)$};
 
    \filldraw[thick, fill=blue!25, fill opacity=0.7] 
        (2.4, 3.8) ellipse [x radius=1.4, y radius=0.6];
    \node[right] at (3.8, 3.8) {$z = z_2(x, y)$};
 
    \node at (2.4, 2.7) {$Q$};
 
    \fill (2.1,-1.3) circle [radius=1.3pt];
    \node[below] at (2.1,-1.3) {\scriptsize $(x,y)$};
 
    \draw[->, thick, red, dashed] (2.1,-1.3) -- (2.1, 1.55);
    \draw[thick, red] (2.1, 1.55) -- (2.1, 3.75);
    \draw[->, thick, red] (2.1, 3.75) -- (2.1, 4.8);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Теорема (Сведение тройного интеграла к повторному)

Если существует тройной интеграл по области $Q$ от функции $f(x,y,z)$, и для каждой фиксированной точки $(x,y)\in D$ существует внутренний интеграл: $I(x,y)={\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$ то существует повторный интеграл, и выполняется равенство: ${\iiint }_{Q}f(x,y,z)dxdydz={\iint }_{D}dxdy\left({\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right)$

Полученный интеграл $I(x,y)$ формально является функцией двух переменных, которую затем интегрируют по плоской области $D$.
В свою очередь, двойной интеграл по $D$ расписывается как повторный. Например, если область $D$ правильная относительно оси $Oy$: $D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,y_1(x)\le y\le y_2(x)\}$ то тройной интеграл сводится к трёхкратному повторному интегралу: ${\iiint }_{Q}f(x,y,z)dxdydz={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$

---

Порядки интегрирования

С учётом трёх переменных число возможных перестановок порядка интегрирования равно $3!=6$:

1. $dxdydz$
2. $dxdzdy$
3. $dydxdz$
4. $dydzdx$
5. $dzdxdy$
6. $dzdydx$

Если тело вытянуто вдоль оси $Ox$ или $Oy$ (является $x$-цилиндрическим или $y$-цилиндрическим), то первое интегрирование целесообразно вести не по $z$, а соответственно по $x$ или по $y$.
Каждый из 6 порядков приведёт к верному числовому ответу, однако порядок выбирают так, чтобы не пришлось разбивать область на части.

---

Вычисление интеграла по пирамиде (разбор порядка интегрирования)

Пример 1

Вычислить тройной интеграл: $I={\iiint }_{Q}xdxdydz$ где область $Q$ ограничена плоскостями: $x+z=1,y+z=1,x=0,y=0,z=0$

Геометрический анализ области $Q$:

Типичная ошибка на рубежном контроле:
Легко перепутать фигуру с правильным тетраэдром $x+y+z=1$. У тетраэдра в основании лежит треугольник $x+y\le 1$.
В данной задаче заданы две независимые наклонные плоскости:

• Плоскость $x+z=1$ отсекает на осях $Ox$ и $Oz$ отрезки длины $1$ и идёт параллельно оси $Oy$;
• Плоскость $y+z=1$ отсекает на осях $Oy$ и $Oz$ отрезки длины $1$ и идёт параллельно оси $Ox$.

Эти две плоскости пересекаются в пространстве по прямой $x=y,z=1-x$.
Кроме того, тело ограничено тремя координатными плоскостями $x=0$, $y=0$, $z=0$.
На плоскости $z=0$ прямые принимают вид $x=1$ и $y=1$. Следовательно, в основании лежит квадрат $[0,1]\times [0,1]$.
Фигура представляет собой четырёхугольную пирамиду с вершиной в точке $(0,0,1)$ и квадратным основанием со стороной $1$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2.0, >=stealth]
    \draw[->] (0,0,0) -- (1.5,0,0) node[below left] {$x$};
    \draw[->] (0,0,0) -- (0,1.7,0) node[above] {$z$};
    \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,1.8) node[right] {$y$};
    \node at (-0.08,-0.08,0) {\scriptsize $0$};
 
    \coordinate (Top) at (0,1.2,0);
    \coordinate (X1) at (1.1,0,0);
    \coordinate (Y1) at (0,0,1.4);
    \coordinate (XY1) at (1.1,0,1.4);
 
    \draw[dashed] (0,0,0) -- (X1);
    \draw[dashed] (0,0,0) -- (Y1);
    \draw[thick] (X1) -- (XY1) -- (Y1);
 
    \draw[thick] (Top) -- (X1) node[midway, left=2pt] {\scriptsize $x+z=1$};
    \draw[thick] (Top) -- (Y1) node[midway, above right] {\scriptsize $y+z=1$};
    \draw[thick] (Top) -- (XY1) node[midway, right=3pt] {\scriptsize $x=y$};
 
    \fill (Top) circle [radius=0.8pt];
    \node[left] at (Top) {\scriptsize $1$};
    \fill (X1) circle [radius=0.8pt];
    \node[below] at (X1) {\scriptsize $1$};
    \fill (Y1) circle [radius=0.8pt];
    \node[right] at (Y1) {\scriptsize $1$};
    \fill (XY1) circle [radius=0.8pt];
 
    \draw[dashed, red] (0,0,0) -- (XY1);
    \node[red] at (0.7,0,0.5) {\scriptsize $D_1$};
    \node[red] at (0.4,0,1.0) {\scriptsize $D_2$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Вариант 1 (Нерациональный порядок: интегрирование по $z$)

Спроецируем фигуру на плоскость $Oxy$. Проекция — квадрат $D$ со стороной $1$.
Если брать точку $(x,y)\in D$ и проводить вертикальную прямую, то $z$ снизу всегда начинается от нуля ($z=0$), а сверху верхняя граница определяется тем, какая из плоскостей находится ниже:

• Если точка лежит в треугольнике $D_1$ ($x\ge y$), то верхняя граница задаётся первой плоскостью: $z=1-x$;
• Если точка лежит в треугольнике $D_2$ ($y\ge x$), то верхняя граница задаётся второй плоскостью: $z=1-y$.

Прямая $x=y$ делит квадрат на две области $D_1$ и $D_2$. При таком порядке тройной интеграл распадается на сумму двух слагаемых: $I={\iint }_{D_1}dxdy{\int }_0^{1-x}xdz+{\iint }_{D_2}dxdy{\int }_0^{1-y}xdz$

Вариант 2 (Рациональный порядок: смена оси первого интегрирования)

Сменим порядок интегрирования и сначала проинтегрируем по переменной $y$.
Тогда оставшийся двойной интеграл берётся по проекции фигуры на плоскость $Oxz$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2.0, >=stealth]
    \draw[->] (0,0) -- (1.5,0) node[right] {$x$};
    \draw[->] (0,0) -- (0,1.5) node[above] {$z$};
    \draw[thick, fill=blue!15] (0,0) -- (1.2,0) -- (0,1.2) -- cycle;
    \node at (0.35,0.35) {$D_{xOz}$};
    \draw (0,1.2) node[left] {$1$} -- (1.2,0) node[below] {$1$};
    \node[above right] at (0.5,0.6) {$x + z = 1$};
    \node at (-0.1,-0.1) {$0$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Проекция пирамиды на координатную плоскость $Oxz$ — это простой треугольник $D_{xOz}$, ограниченный осями и прямой $x+z=1$: $D_{xOz}=\{(x,z)\mid 0\le x\le 1,0\le z\le 1-x\}$

Для любой точки этого треугольника проведём прямую, параллельную оси $Oy$.
Переменная $y$ на входе в тело равна $0$, а на выходе определяется уравнением наклонной плоскости: $y+z=1⟹y=1-z$.
Область не разбивается на части: $I={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1-x}dz{\int }_0^{1-z}xdy$

Вычисление интеграла:

1. Внутренний интеграл по $y$: ${\int }_0^{1-z}xdy=x\cdot [y{]}_0^{1-z}=x(1-z)$
2. Средний интеграл по $z$: ${\int }_0^{1-x}x(1-z)dz=x{\left[z-\frac{z^2}{2}\right]}_0^{1-x}=x\left((1-x)-\frac{(1-x{)}^2}{2}\right)=x\left(\frac{1-x^2}{2}\right)=\frac{x-x^3}{2}$
3. Внешний интеграл по $x$: $I={\int }_0^1\frac{x-x^3}{2}dx=\frac{1}{2}{\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8}$

Вариант 3 (Проекция на плоскость $Oyz$)

Если спроецировать фигуру на плоскость $Oyz$, получаем треугольник $D_{yOz}$: $0\le z\le 1,0\le y\le 1-z$ Прямая, параллельная оси $Ox$, входит в тело при $x=0$ и выходит при $x=1-z$: $I={\int }_0^{1}dz{\int }_0^{1-z}dy{\int }_0^{1-z}xdx={\int }_0^{1}dz{\int }_0^{1-z}\frac{(1-z{)}^2}{2}dy={\int }_0^1\frac{(1-z{)}^3}{2}dz={\left[-\frac{(1-z{)}^4}{8}\right]}_0^1=\frac{1}{8}$

---

Замена переменных в тройном интеграле

Общая формула замены переменных

Пусть происходит отображение некоторой пространственной области ${\Omega }^{\ast }\subset {\mathbb{R}}^3$ в область $Q^{\ast }\subset {\mathbb{R}}^3$:

x = x(\xi, \eta, \zeta) \\ y = y(\xi, \eta, \zeta) \\ z = z(\xi, \eta, \zeta) \end{cases}$$ где $(\xi, \eta, \zeta) \in \Omega^*$, а $(x, y, z) \in Q^*$. *($\xi$ — кси, $\eta$ — эта, $\zeta$ — дзета).* ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=0.95, >=stealth] \begin{scope}[shift={(0,0)}] \draw[->] (0,0,0) -- (3,0,0) node[right] {$\eta$}; \draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0) node[above] {$\zeta$}; \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3) node[below left] {$\xi$}; \draw[thick, fill=green!15] (0.8,0.8,0) -- (2.0,0.8,0) -- (2.0,2.0,0) -- (0.8,2.0,0) -- cycle; \draw[thick, fill=green!25] (0.8,2.0,0) -- (2.0,2.0,0) -- (2.0,2.0,1.2) -- (0.8,2.0,1.2) -- cycle; \draw[thick, fill=green!20] (2.0,0.8,0) -- (2.0,2.0,0) -- (2.0,2.0,1.2) -- (2.0,0.8,1.2) -- cycle; \node at (1.4,2.5,0.6) {$\Omega$}; \end{scope} \draw[->, very thick] (3.5,1.5) -- (5.5,1.5); \node[above] at (4.5,1.6) {$\vec{r}(\xi,\eta,\zeta)$}; \begin{scope}[shift={(6.5,0)}] \draw[->] (0,0,0) -- (3,0,0) node[right] {$y$}; \draw[->] (0,0,0) -- (0,3,0) node[above] {$z$}; \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,3) node[below left] {$x$}; \draw[thick, fill=blue!15] plot [smooth cycle, tension=0.7] coordinates {(0.8,0.9) (2.4,0.7) (2.2,2.3) (0.9,2.0)}; \node at (1.6,2.5,0) {$Q$}; \end{scope} \end{tikzpicture} \end{document} ``` Предполагается, что: 1. Отображение является **взаимно однозначным**; 2. Функции $x, y, z$ непрерывно дифференцируемы; 3. **Якобиан отображения** отличен от нуля во всех точках области $\Omega^*$. > [!info] Определение (Якобиан отображения) > > **Якобианом отображения** называется определитель матрицы частных производных размера $3 \times 3$: > $$J(\xi, \eta, \zeta) = \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\xi, \eta, \zeta)} = \begin{vmatrix} > \dfrac{\partial x}{\partial \xi} & \dfrac{\partial x}{\partial \eta} & \dfrac{\partial x}{\partial \zeta} \\[8pt] > \dfrac{\partial y}{\partial \xi} & \dfrac{\partial y}{\partial \eta} & \dfrac{\partial y}{\partial \zeta} \\[8pt] > \dfrac{\partial z}{\partial \xi} & \dfrac{\partial z}{\partial \eta} & \dfrac{\partial z}{\partial \zeta} > \end{vmatrix} \neq 0, \quad \forall (\xi, \eta, \zeta) \in \Omega^*$$ > [!tip] Теорема (Формула замены переменных в тройном интеграле) > > Пусть область $Q$ входит в область $Q^*$. Тогда тройной интеграл от функции $f(x, y, z)$ по области $Q$ равен тройному интегралу по соответствующей области $\Omega$ в новых переменных: > $$\iiint_Q f(x, y, z)\,dx\,dy\,dz = \iiint_\Omega f\big(x(\xi, \eta, \zeta), y(\xi, \eta, \zeta), z(\xi, \eta, \zeta)\big) \cdot |J(\xi, \eta, \zeta)|\,d\xi\,d\eta\,d\zeta$$ --- ## Цилиндрическая система координат Помимо декартовой системы координат в трёхмерном пространстве широко используются две криволинейные системы: 1. **Цилиндрическая система координат**; 2. **Сферическая система координат** . Цилиндрическая система координат представляет собой прямое обобщение полярных координат на трёхмерный случай: на плоскости $Oxy$ берутся полярные координаты $(r, \varphi)$, а третья переменная $z$ остаётся обычной декартовой координатой (аппликатой). ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth] \draw[->] (0,0,0) -- (4.5,0,0) node[below right] {$y$}; \draw[->] (0,0,0) -- (0,4.2,0) node[above] {$z$}; \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,4.2) node[below left] {$x$}; \node at (-0.2,0.2) {$O$}; \coordinate (M) at (2.2, 3.2, 2.5); \coordinate (Mproj) at (2.2, 0, 2.5); \draw[dashed, thick] (M) -- (Mproj); \draw[dashed] (Mproj) -- (0,0,0); \draw[dashed] (M) -- (0, 3.2, 0) node[left] {$z$}; \fill (M) circle [radius=1.5pt]; \node[above right] at (M) {$M(x,y,z) = M(r,\varphi,z)$}; \fill (Mproj) circle [radius=1.2pt]; \node[below right] at (Mproj) {$M'(r,\varphi,0)$}; \draw[thick, blue] (0,0,0) -- (Mproj) node[midway, below] {$r$}; \draw[->, thick, red] (0,0,1.2) arc[start angle=90, end angle=45, radius=1.2]; \node[red] at (0.5,0,1.4) {$\varphi$}; \draw[thick, dashed, green!60!black] (Mproj) -- (M) node[midway, right] {$z$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` Пусть точка $M$ имеет декартовы координаты $(x, y, z)$. Спроецируем её на плоскость $Oxy$ в точку $M'$. * $r$ — полярный радиус (расстояние от начала координат $O$ до проекции $M'$); * $\varphi$ — полярный угол между положительным направлением оси $Ox$ и радиус-вектором проекции точки; * $z$ — аппликата (высота подъёма точки над плоскостью $Oxy$). ### Формулы связи декартовых и цилиндрических координат: $$\begin{cases} x = r \cos \varphi \\ y = r \sin \varphi \\ z = z \end{cases}$$ ### Диапазоны изменения координат: * $r \ge 0$; * $\varphi \in [0, 2\pi]$ (или $[-\pi, \pi]$); * $z \in (-\infty, +\infty)$. --- ### Вычисление якобиана перехода к цилиндрическим координатам: $$J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial x}{\partial z} \\[8pt] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial y}{\partial z} \\[8pt] \dfrac{\partial z}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial z}{\partial z} \end{vmatrix}$$ Находим частные производные: * $\frac{\partial x}{\partial r} = \cos \varphi, \quad \frac{\partial y}{\partial r} = \sin \varphi, \quad \frac{\partial z}{\partial r} = 0$; * $\frac{\partial x}{\partial \varphi} = -r \sin \varphi, \quad \frac{\partial y}{\partial \varphi} = r \cos \varphi, \quad \frac{\partial z}{\partial \varphi} = 0$; * $\frac{\partial x}{\partial z} = 0, \quad \frac{\partial y}{\partial z} = 0, \quad \frac{\partial z}{\partial z} = 1$. Подставляем в определитель: $$J = \begin{vmatrix} \cos \varphi & -r \sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & r \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Раскладываем определитель по последней строке (или последнему столбцу): $$J = 1 \cdot (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} \cos \varphi & -r \sin \varphi \\ \sin \varphi & r \cos \varphi \end{vmatrix} = r \cos^2 \varphi - (-r \sin^2 \varphi) = r(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) = r$$ **Модуль якобиана перехода равен:** $$|J| = r$$ ### Элемент объёма в цилиндрической системе: $$dV = dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\varphi\,dz$$ ### Формула перехода: $$\iiint_Q f(x, y, z)\,dx\,dy\,dz = \iiint_\Omega f(r\cos\varphi, r\sin\varphi, z) \cdot r\,dr\,d\varphi\,dz$$ --- ## Тело, ограниченное сферой и конусом > [!example] Пример 2 > > Вычислить объём тела, ограниченного сферой и конусом: > $$\begin{cases} > x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2 \\ > x^2 + y^2 = z^2 > \end{cases}$$ > Тело расположено **внутри конуса**. > > ```tikz > \begin{document} > \begin{tikzpicture}[scale=1.4, >=stealth] > \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] {$y$}; > \draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] {$z$}; > \node at (-0.2,-0.2) {$O$}; > > \draw[thick] (0,0) circle [radius=2.0]; > \node[above right] at (1.4,1.4) {$x^2+y^2+z^2=2a^2$}; > > \draw[thick, blue] (-2,-2) -- (2,2); > \draw[thick, blue] (-2,2) -- (2,-2); > > \fill[blue!25, fill opacity=0.6] > (0,0) -- (1.414, 1.414) > arc[start angle=45, end angle=135, radius=2.0] -- cycle; > > \draw[dashed, red] (-1.414, 1.414) -- (1.414, 1.414); > \fill (0, 1.414) circle [radius=1.2pt]; > \node[left] at (0, 1.414) {$a$}; > \node[right] at (1.414, 1.414) {$\; z = a, \; r = a$}; > > \fill[blue!15, fill opacity=0.4] > (0,0) -- (1.414, -1.414) > arc[start angle=-45, end angle=-135, radius=2.0] -- cycle; > \draw[dashed, red] (-1.414, -1.414) -- (1.414, -1.414); > \fill (0, -1.414) circle [radius=1.2pt]; > \node[left] at (0, -1.414) {$-a$}; > > \node at (0, 1.8) {$Q^+$}; > \node at (0, -1.8) {$Q^-$}; > \end{tikzpicture} > \end{document} > ``` > > ### Геометрический анализ: > 1. Радиус сферы равен $R = a\sqrt{2}$. > 2. Конус задан уравнением $x^2 + y^2 = z^2$ (две полы конуса: верхняя $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ и нижняя $z = -\sqrt{x^2 + y^2}$). > Условие «тело лежит внутри конуса» означает $x^2 + y^2 \le z^2$. > Нас интересует область, лежащая внутри обеих полостей конуса: получается две симметричные шапки (верхняя и нижняя). > 3. В силу симметрии тела относительно плоскости $Oxy$ общий объём равен удвоенному объёму верхней части: > $$V = 2 V_{Q^+} = 2 \iiint_{Q^+} dx\,dy\,dz$$ > > ### Пересечение сферы и конуса: > Найдём линию пересечения, подставив $x^2 + y^2 = z^2$ в уравнение сферы: > $$z^2 + z^2 = 2a^2 \implies 2z^2 = 2a^2 \implies z = \pm a$$ > Для верхней части сфера и конус пересекаются в плоскости $z = a$. > Подставляя $z = a$ в уравнение конуса, получаем линию пересечения: > $$x^2 + y^2 = a^2$$ > Это окружность радиуса $a$ в плоскости $z = a$. > Проекцией верхней части тела $Q^+$ на плоскость $Oxy$ является **круг радиуса $a$**: > $$D = \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 \le a^2 \}$$ > > --- > > ### Вариант 1 (Смешанный: сначала интеграл по $z$, затем переход к полярным координатам) > В декартовых координатах при фиксированной точке $(x, y) \in D$ переменная $z$ изменяется от конуса до сферы: > * Нижняя граница (конус): $z_1 = \sqrt{x^2 + y^2}$; > * Верхняя граница (сфера): $z_2 = \sqrt{2a^2 - x^2 - y^2}$. > > $$V = 2 \iint_D dx\,dy \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{2a^2-x^2-y^2}} dz = 2 \iint_D \left( \sqrt{2a^2 - x^2 - y^2} - \sqrt{x^2 + y^2} \right) dx\,dy$$ > > Поскольку область $D$ — круг с центром в начале координат, переходим к полярным координатам: > $$x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad dx\,dy = r\,dr\,d\varphi$$ > Пределы по области $D$: > * $\varphi \in [0, 2\pi]$; > * $r \in [0, a]$. > > Получаем: > $$V = 2 \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^a \left( \sqrt{2a^2 - r^2} - r \right) r\,dr$$ > > --- > > ### Вариант 2 (Прямая расстановка пределов в цилиндрической системе) > Запишем уравнения поверхностей сразу в цилиндрических координатах: > * Конус: $z = r$; > * Сфера: $r^2 + z^2 = 2a^2 \implies z = \sqrt{2a^2 - r^2}$. > > Пределы интегрирования: > $$\begin{cases} > 0 \le \varphi \le 2\pi \\ > 0 \le r \le a \\ > r \le z \le \sqrt{2a^2 - r^2} > \end{cases}$$ > > $$V = 2 \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^a r\,dr \int_r^{\sqrt{2a^2 - r^2}} dz$$ > После первого интегрирования по $z$ мы получаем абсолютно то же самое выражение. > > --- > > ### Пошаговое вычисление интеграла: > 1. Внешний интеграл по углу $\varphi$: > $$\int_0^{2\pi} d\varphi = 2\pi \implies 2 \cdot 2\pi = 4\pi$$ > > 2. Интеграл по $r$: > $$V = 4\pi \int_0^a \left( r\sqrt{2a^2 - r^2} - r^2 \right) dr = 4\pi \left( \int_0^a r\sqrt{2a^2 - r^2}\,dr - \int_0^a r^2\,dr \right)$$ > > 3. Первый интеграл: > Сделаем замену переменной: > $$t = 2a^2 - r^2 \implies dt = -2r\,dr \implies r\,dr = -\frac{1}{2}\,dt$$ > Новые пределы: > * при $r = 0 \implies t = 2a^2$; > * при $r = a \implies t = 2a^2 - a^2 = a^2$. > > $$\begin{gathered}\int_0^a r\sqrt{2a^2 - r^2}\,dr = \int_{2a^2}^{a^2} \sqrt{t} \left( -\frac{1}{2} \right) dt = \frac{1}{2} \int_{a^2}^{2a^2} t^{1/2}\,dt = \\=\frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{a^2}^{2a^2} = \frac{1}{3} \Big( (2a^2)^{3/2} - (a^2)^{3/2} \Big) = \frac{a^3}{3} \big( 2\sqrt{2} - 1 \big)\end{gathered}$$ > > 4. Второй интеграл: > $$\int_0^a r^2\,dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^a = \frac{a^3}{3}$$ > > 5. Итоговый объём: > $$V = 4\pi \left( \frac{a^3}{3} (2\sqrt{2} - 1) - \frac{a^3}{3} \right) = \frac{4\pi a^3}{3} (2\sqrt{2} - 2) = \frac{8\pi a^3}{3} (\sqrt{2} - 1)$$