Сферическая система координат и приложения тройных интегралов
1. Сферическая система координат (СФСК)
Положение точки в пространстве задаётся тремя числами:
- — расстояние от начала координат до точки (сферический радиус, );
- — долгота / азимутальный угол (угол между осью и проекцией радиус-вектора на плоскость , );
- — зенитный угол / широта (угол наклона).
В математике и физике используются два варианта отсчёта угла :
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
\begin{scope}[shift={(0,0)}]
\draw[->] (0,0) -- (3.2,0) node[right] {$y$};
\draw[->] (0,0) -- (0,3.2) node[above] {$z$};
\draw[->] (0,0) -- (-1.8,-1.8) node[below left] {$x$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\coordinate (M) at (2.2, 2.2);
\coordinate (A) at (2.2, -0.6);
\draw[thick, blue] (0,0) -- (M) node[midway, above left] {$r$};
\draw[dashed] (M) -- (A);
\draw[dashed, blue] (0,0) -- (A) node[midway, below] {$r\cos\theta$};
\fill (M) circle [radius=1.5pt] node[above right] {$(x, y, z)$};
\fill (A) circle [radius=1.2pt] node[below right] {$A$};
\draw[->, thick, red] (1.0,-0.27) arc[start angle=-15, end angle=45, radius=1.0];
\node[red] at (1.3,0.2) {$\theta$};
\draw[->, thick, orange!90!black] (-0.6,-0.6) arc[start angle=225, end angle=330, radius=0.8];
\node[orange!90!black] at (0.2,-0.9) {$\varphi$};
\node at (1.0, 3.5) {\textbf{Variant I}};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(6.5,0)}]
\draw[->] (0,0) -- (3.2,0) node[right] {$y$};
\draw[->] (0,0) -- (0,3.2) node[above] {$z$};
\draw[->] (0,0) -- (-1.8,-1.8) node[below left] {$x$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\coordinate (M2) at (2.2, 2.2);
\coordinate (A2) at (2.2, -0.6);
\draw[thick, blue] (0,0) -- (M2) node[midway, below right] {$r$};
\draw[dashed] (M2) -- (A2);
\draw[dashed, blue] (0,0) -- (A2) node[midway, below] {$r\sin\theta$};
\fill (M2) circle [radius=1.5pt] node[above right] {$(x, y, z)$};
\fill (A2) circle [radius=1.2pt] node[below right] {$A$};
\draw[->, thick, red] (0,1.2) arc[start angle=90, end angle=45, radius=1.2];
\node[red] at (0.5,1.5) {$\theta$};
\draw[->, thick, orange!90!black] (-0.6,-0.6) arc[start angle=225, end angle=330, radius=0.8];
\node[orange!90!black] at (0.2,-0.9) {$\varphi$};
\node at (1.0, 3.5) {\textbf{Variant II}};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}Сравнение двух вариантов сферических координат
Вариант I (географический — угол от плоскости ): Длина проекции на плоскость : .
Вариант II (классический математический — угол от оси ): Длина проекции на плоскость : .
2. Вычисление якобиана перехода к сферическим координатам
Для Варианта I:
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial r} \\[6pt] \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} \\[6pt] \dfrac{\partial x}{\partial \theta} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta\cos\varphi & \cos\theta\sin\varphi & \sin\theta \\[6pt] -r\cos\theta\sin\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & 0 \\[6pt] -r\sin\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta \end{vmatrix}$$ Раскладываем определитель по элементам третьего столбца: $$J_I = \sin\theta \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -r\cos\theta\sin\varphi & r\cos\theta\cos\varphi \\ -r\sin\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \end{vmatrix} + r\cos\theta \cdot (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} \cos\theta\cos\varphi & \cos\theta\sin\varphi \\ -r\cos\theta\sin\varphi & r\cos\theta\cos\varphi \end{vmatrix}$$ $$= \sin\theta \cdot \big(r^2 \sin\theta\cos\theta\sin^2\varphi + r^2 \sin\theta\cos\theta\cos^2\varphi\big) + r\cos\theta \cdot \big(r\cos^2\theta\cos^2\varphi + r\cos^2\theta\sin^2\varphi\big)$$ $$= r^2 \sin^2\theta\cos\theta + r^2 \cos^3\theta = r^2\cos\theta(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = r^2\cos\theta$$ > [!tip] Якобианы сферической системы координат > > * Для **Варианта I** ($\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$): > $$|J_I| = r^2\cos\theta \implies dx\,dy\,dz = r^2\cos\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta$$ > * Для **Варианта II** ($\theta \in [0, \pi]$): > $$|J_{II}| = r^2\sin\theta \implies dx\,dy\,dz = r^2\sin\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta$$ --- ### 3. Обобщённая сферическая система координат Применяется для областей, ограниченных трёхосными эллипсоидами $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} \le 1$: $$\begin{cases} x = a\,r\cos\theta\cos\varphi \\ y = b\,r\cos\theta\sin\varphi \\ z = c\,r\sin\theta \end{cases} \implies |J| = a\,b\,c\,r^2\cos\theta$$ Граница эллипсоида в новых координатах принимает вид $r = 1$. --- ### 4. Приложения тройного интеграла 1. **Вычисление объёма пространственного тела $Q$:** $$V_Q = \iiint_Q dx\,dy\,dz$$ 2. **Масса неоднородного тела с плотностью $\rho = \rho(x,y,z)$:** $$M = \iiint_Q \rho(x, y, z)\,dx\,dy\,dz$$ 3. **Координаты центра масс тела в пространстве:** $$x_{цм} = \frac{M_{yOz}}{M}, \qquad y_{цм} = \frac{M_{xOz}}{M}, \qquad z_{цм} = \frac{M_{xOy}}{M}$$ где статические моменты относительно координатных плоскостей равны: $$M_{yOz} = \iiint_Q x\,\rho(x,y,z)\,dV, \quad M_{xOz} = \iiint_Q y\,\rho(x,y,z)\,dV, \quad M_{xOy} = \iiint_Q z\,\rho(x,y,z)\,dV$$ 4. **Моменты инерции тела:** * **Относительно координатных плоскостей:** $$I_{yOz} = \iiint_Q x^2 \rho\,dV, \qquad I_{xOz} = \iiint_Q y^2 \rho\,dV, \qquad I_{xOy} = \iiint_Q z^2 \rho\,dV$$ * **Относительно координатных осей:** $$I_{Ox} = \iiint_Q (y^2 + z^2)\rho\,dV, \quad I_{Oy} = \iiint_Q (x^2 + z^2)\rho\,dV, \quad I_{Oz} = \iiint_Q (x^2 + y^2)\rho\,dV$$ * **Полярный момент инерции (относительно начала координат):** $$I_O = \iiint_Q (x^2 + y^2 + z^2)\rho\,dV = I_{yOz} + I_{xOz} + I_{xOy} = \frac{1}{2}(I_{Ox} + I_{Oy} + I_{Oz})$$ --- # Криволинейные интегралы I рода (по длине дуги) ### 1. Определение криволинейного интеграла I рода Пусть в плоскости $Oxy$ задана спрямляемая (гладкая или кусочно-гладкая) кривая $\breve{AB}$, вдоль которой определена непрерывная функция $f(x, y)$. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth] \draw[->] (-0.3,0) -- (4.8,0) node[below] {$x$}; \draw[->] (0,-0.3) -- (0,3.5) node[left] {$y$}; \node[below left] at (0,0) {$O$}; % Кривая AB \draw[thick, blue] (1.0, 1.0) to[out=20, in=200] (2.2, 1.8) to[out=20, in=230] (4.0, 2.8); \node[right] at (4.0, 2.8) {$B$}; \node[left] at (1.0, 1.0) {$A$}; % Точки разбиения \fill (1.0, 1.0) circle [radius=1.5pt] node[below] {$A_0$}; \fill (1.8, 1.5) circle [radius=1.5pt] node[above left] {$A_{i-1}$}; \fill (2.7, 2.0) circle [radius=1.5pt] node[below right] {$A_i$}; \fill (4.0, 2.8) circle [radius=1.5pt] node[above] {$A_n$}; % Промежуточная точка M_i \fill[red] (2.25, 1.82) circle [radius=1.5pt] node[above left] {$M_i(\xi_i, \eta_i)$}; \draw[dashed] (1.0, 1.0) -- (1.0, 0) node[below] {$a$}; \draw[dashed] (1.8, 1.5) -- (1.8, 0) node[below] {$x_{i-1}$}; \draw[dashed] (2.7, 2.0) -- (2.7, 0) node[below] {$x_i$}; \draw[dashed] (4.0, 2.8) -- (4.0, 0) node[below] {$b$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` 1. Разобьём дугу $\breve{AB}$ точками $A = A_0, A_1, \dots, A_n = B$ на $n$ элементарных дуг $A_{i-1}A_i$ с длинами $\Delta s_i$. 2. Шаг разбиения: $\Delta = \max\limits_{1 \le i \le n} \Delta s_i$. 3. На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку $M_i(\xi_i, \eta_i) \in \breve{A_{i-1}A_i}$. 4. Составим интегральную сумму: $$S(T) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta s_i$$ > [!info] Определение (Криволинейный интеграл I рода) > > Если при $\Delta \to 0$ существует конечный предел интегральной суммы $S(T)$, не зависящий от способа разбиения кривой и выбора точек $M_i$, то он называется **криволинейным интегралом I рода** (по длине дуги) от функции $f(x, y)$ по кривой $\breve{AB}$: > $$\lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta s_i = \int_{AB} f(x, y)\,ds \quad (\text{или } \int_L f\,dl)$$ > где $ds = dl$ — дифференциал дуги кривой. #### Физический и геометрический смысл: 1. **Масса материальной кривой:** если $f(x, y) = \rho(x, y)$ — линейная плотность, то $\int_{AB} \rho(x, y)\,ds = M$. 2. **Площадь цилиндрической поверхности («забора»):** если $f(x, y) \ge 0$, то интеграл равен площади вертикальной цилиндрической стенки с направляющей $AB$ в плоскости $Oxy$ и высотой $z = f(x, y)$. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth] \draw[->] (0,0) -- (4.5,0) node[right] {$y$}; \draw[->] (0,0) -- (0,3.5) node[above] {$z$}; \draw[->] (0,0) -- (-2.0,-2.0) node[below left] {$x$}; \node[below left] at (0,0) {$O$}; % Кривая в плоскости Oxy \draw[thick, blue] (-1.0,-1.0) to[out=20, in=200] (1.5,-0.5) to[out=20, in=220] (3.0, 0.0); \node[below] at (-1.0,-1.0) {$A$}; \node[below] at (3.0, 0.0) {$B$}; % Цилиндрическая стенка (забор) \draw[thick] (-1.0,-1.0) -- (-1.0, 1.2); \draw[thick] (3.0, 0.0) -- (3.0, 2.2); \draw[thick, red] (-1.0, 1.2) to[out=20, in=200] (1.5, 1.8) to[out=20, in=220] (3.0, 2.2); \node[above] at (1.5, 1.8) {$z = f(x, y)$}; \fill[gray!20, opacity=0.6] (-1.0,-1.0) to[out=20, in=200] (1.5,-0.5) to[out=20, in=220] (3.0, 0.0) -- (3.0, 2.2) to[out=220, in=20] (1.5, 1.8) to[out=200, in=20] (-1.0, 1.2) -- cycle; \end{tikzpicture} \end{document} ``` --- ### 2. Свойства криволинейного интеграла I рода 1. **Длина дуги:** $\displaystyle \int_{AB} ds = L_{AB}$. 2. **Линейность:** $\displaystyle \int_{AB} (\alpha f + \beta g)\,ds = \alpha \int_{AB} f\,ds + \beta \int_{AB} g\,ds$. 3. **Аддитивность:** $\displaystyle \int_{AB} f\,ds = \int_{AC} f\,ds + \int_{CB} f\,ds \quad (C \in \breve{AB})$. 4. **НЕЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАПРАВЛЕНИЯ ОБХОДА (Ориентированность):** $$\int_{AB} f(x, y)\,ds = \int_{BA} f(x, y)\,ds$$ > *Доказательство:* в интегральной сумме Римана длина элементарной дуги $\Delta s_i > 0$ всегда строго положительна и не зависит от того, идём ли мы от $A$ к $B$ или от $B$ к $A$. 5. **Положительность:** если $f(x, y) \ge 0$ на $\breve{AB}$, то $\displaystyle \int_{AB} f(x, y)\,ds \ge 0$. --- ### 3. Вычисление криволинейного интеграла I рода > [!tip] Формулы вычисления через определённый интеграл > > > 1. **Явное задание кривой:** $y = y(x), \; x \in [a, b]$: > $$ds = \sqrt{1 + (y'(x))^2}\,dx \implies \int_{AB} f(x, y)\,ds = \int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1 + (y'(x))^2}\,dx$$ > > 2. **Параметрическое задание:** $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}, \; t \in [\alpha, \beta]$: > $$ds = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt \implies \int_{AB} f(x, y)\,ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt$$ > > 3. **В полярных координатах:** $r = r(\varphi), \; \varphi \in [\alpha, \beta]$: > $$ds = \sqrt{r^2(\varphi) + (r'(\varphi))^2}\,d\varphi \implies \int_{AB} f(x, y)\,ds = \int_\alpha^\beta f(r\cos\varphi, r\sin\varphi) \sqrt{r^2 + (r')^2}\,d\varphi$$ > > 4. **Для пространственной кривой:** $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}, \; t \in [\alpha, \beta]$: > $$ \begin{gathered} ds = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\,dt \\ \Downarrow \\ \int_L f(x, y, z)\,ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{(x')^2 + (y')^2 + (z')^2}\,dt \end{gathered}$$ --- ### 4. Примеры вычисления криволинейных интегралов I рода > [!example] Пример 1 (Интегрирование по прямолинейному отрезку) > > Вычислить $\displaystyle \int_{AB} x^2\,dl$, где $AB$ — отрезок прямой $x + y = a$ от точки $B(0, a)$ до точки $A(a, 0)$. > > ```tikz > \begin{document} > \begin{tikzpicture}[scale=1.5, >=stealth] > \draw[->] (-0.3,0) -- (2.0,0) node[below] {$x$}; > \draw[->] (0,-0.3) -- (0,2.0) node[left] {$y$}; > \node[below left] at (0,0) {$0$}; > > \draw[thick, blue] (0,1.5) -- (1.5,0); > \fill (1.5,0) circle [radius=1.2pt] node[below] {$A(a,0)$}; > \fill (0,1.5) circle [radius=1.2pt] node[left] {$B(0,a)$}; > \node[above right] at (0.8,0.8) {$x+y=a$}; > \end{tikzpicture} > \end{document} > ``` > > **Решение:** > 1. Уравнение прямой: $y = a - x \implies dy = -dx$. > 2. Дифференциал дуги: $dl = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1 + (-1)^2}\,dx = \sqrt{2}\,dx$. > 3. Пределы по $x$: от $0$ до $a$: > $$\int_{AB} x^2\,dl = \int_0^a x^2 \sqrt{2}\,dx = \left. \sqrt{2}\,\frac{x^3}{3} \right|_0^a = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$$ --- > [!example] Пример 2 (Интегрирование по дуге окружности) > > Вычислить $\displaystyle \int_{AB} x^2\,dl$, где $AB$ — дуга окружности $x^2 + y^2 = a^2$, лежащая в первом квадранте ($A(a, 0)$ до $B(0, a)$). > > ```tikz > \begin{document} > \begin{tikzpicture}[scale=1.5, >=stealth] > \draw[->] (-0.3,0) -- (2.0,0) node[below] {$x$}; > \draw[->] (0,-0.3) -- (0,2.0) node[left] {$y$}; > \node[below left] at (0,0) {$0$}; > > \draw[thick, blue] (1.5,0) arc[start angle=0, end angle=90, radius=1.5]; > \fill (1.5,0) circle [radius=1.2pt] node[below] {$A(a,0)$}; > \fill (0,1.5) circle [radius=1.2pt] node[left] {$B(0,a)$}; > \node[above right] at (1.1,1.1) {$r = a$}; > \end{tikzpicture} > \end{document} > ``` > > **Решение в полярных координатах:** > 1. Уравнение окружности: $r = a = \text{const} \implies r'_\varphi = 0$. > 2. Дифференциал дуги: $dl = \sqrt{r^2 + (r')^2}\,d\varphi = \sqrt{a^2 + 0}\,d\varphi = a\,d\varphi$. > 3. Подынтегральная функция: $x = a\cos\varphi \implies x^2 = a^2\cos^2\varphi$. > 4. Пределы: $\varphi \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$: > $$\int_{AB} x^2\,dl = \int_0^{\pi/2} a^2\cos^2\varphi \cdot (a\,d\varphi) = a^3 \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2\varphi}{2}\,d\varphi = \frac{a^3}{2} \left. \left( \varphi + \frac{\sin 2\varphi}{2} \right) \right|_0^{\pi/2} = \frac{\pi a^3}{4}$$ --- > [!example] Пример 3 (Интегрирование по контуру прямоугольника) > > Вычислить $\displaystyle \int_{ABC} x^2\,dl$, где контур состоит из двух звеньев: отрезка $AC$ от $A(a, 0)$ до $C(a, a)$ и отрезка $CB$ от $C(a, a)$ до $B(0, a)$. > > ```tikz > \begin{document} > \begin{tikzpicture}[scale=1.5, >=stealth] > \draw[->] (-0.3,0) -- (2.2,0) node[below] {$x$}; > \draw[->] (0,-0.3) -- (0,2.2) node[left] {$y$}; > \node[below left] at (0,0) {$O$}; > > \draw[thick, blue] (1.5,0) -- (1.5,1.5) -- (0,1.5); > \fill (1.5,0) circle [radius=1.2pt] node[below] {$A(a,0)$}; > \fill (1.5,1.5) circle [radius=1.2pt] node[above right] {$C(a,a)$}; > \fill (0,1.5) circle [radius=1.2pt] node[left] {$B(0,a)$}; > \end{tikzpicture} > \end{document} > ``` > > **Решение:** > По свойству аддитивности: > $$\int_{ABC} x^2\,dl = \int_{AC} x^2\,dl + \int_{CB} x^2\,dl$$ > 1. На звене $AC$: $x = a = \text{const} \implies dx = 0$, $dl = dy$, $y$ меняется от $0$ до $a$: > $$\int_{AC} x^2\,dl = \int_0^a a^2\,dy = a^2 \cdot a = a^3$$ > 2. На звене $CB$: $y = a = \text{const} \implies dy = 0$, $dl = dx$, $x$ меняется от $0$ до $a$: > $$\int_{CB} x^2\,dl = \int_0^a x^2\,dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^a = \frac{a^3}{3}$$ > > **Итого:** > $$\int_{ABC} x^2\,dl = a^3 + \frac{a^3}{3} = \frac{4}{3} a^3$$ --- > [!example] Пример 4 (Масса одного витка винтовой линии) > > Найти массу одного витка винтовой линии: > $$\begin{cases} x = a\cos t \\ y = a\sin t \\ z = bt \end{cases} \qquad (t \in [0, 2\pi])$$ > если плотность в каждой точке обратно пропорциональна квадрату расстояния от начала координат: > $$\rho = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2}$$ > > **Решение:** > 1. Производные: $x'_t = -a\sin t$, $y'_t = a\cos t$, $z'_t = b$. > 2. Дифференциал дуги: > $$dl = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2 + b^2}\,dt = \sqrt{a^2 + b^2}\,dt$$ > 3. Расстояние в знаменателе: > $$x^2 + y^2 + z^2 = a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t + b^2 t^2 = a^2 + b^2 t^2$$ > 4. Вычисление массы: > $$M = \int_L \rho\,dl = \int_0^{2\pi} \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a^2 + b^2 t^2}\,dt = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a^2} \int_0^{2\pi} \frac{dt}{1 + \left(\frac{b}{a} t\right)^2}$$ > $$= \left. \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a^2} \cdot \frac{a}{b} \operatorname{arctg}\left(\frac{b}{a} t\right) \right|_0^{2\pi} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{ab} \operatorname{arctg}\left(\frac{2\pi b}{a}\right)$$ --- # Криволинейные интегралы II рода (по координатам) ### 1. Физическая мотивация: работа переменной силы вдоль кривой Пусть материальная точка перемещается вдоль ориентированной кривой $\breve{AB}$ под действием векторного силового поля: $$\vec{F}(x, y) = P(x, y)\vec{i} + Q(x, y)\vec{j}$$ ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth] \draw[->] (-0.3,0) -- (4.8,0) node[below] {$x$}; \draw[->] (0,-0.3) -- (0,3.2) node[left] {$y$}; \node[below left] at (0,0) {$O$}; % Кривая с направлением обхода \draw[thick, blue] (1.0, 0.8) to[out=60, in=190] (2.2, 2.5) to[out=10, in=130] (4.0, 1.8); \node[left] at (1.0, 0.8) {$A$}; \node[right] at (4.0, 1.8) {$B$}; % Вектор перемещения \coordinate (Cprev) at (2.2, 2.5); \coordinate (Cnext) at (3.0, 2.3); \draw[->, thick, green!60!black] (Cprev) -- (Cnext) node[midway, below] {$d\vec{r}$}; % Вектор силы \draw[->, very thick, red] (Cprev) -- (2.8, 3.2) node[above right] {$\vec{F}$}; \fill (Cprev) circle [radius=1.5pt]; \fill (Cnext) circle [radius=1.5pt]; \end{tikzpicture} \end{document} ``` 1. **Элементарная работа** силы $\vec{F}$ на перемещении $d\vec{r} = dx\,\vec{i} + dy\,\vec{j}$ равна скалярному произведению: $$dA = \vec{F} \cdot d\vec{r} = P(x, y)\,dx + Q(x, y)\,dy$$ 2. **Суммарная работа** по перемещению точки из положения $A$ в положение $B$: $$A = \int_{AB} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{AB} P(x, y)\,dx + Q(x, y)\,dy$$ > [!info] Определение (Криволинейный интеграл II рода) > > Интеграл вида: > $$\int_{AB} P(x, y)\,dx + Q(x, y)\,dy$$ > называется **криволинейным интегралом II рода** (по координатам). --- ### 2. Связь между криволинейными интегралами I и II рода Если $\vec{\tau}_0 = (\cos\alpha)\vec{i} + (\cos\beta)\vec{j}$ — единичный касательный вектор к кривой в направлении перемещения, то: $$dx = \cos\alpha\,ds, \qquad dy = \cos\beta\,ds$$ Подставляя эти соотношения, получаем формулу связи: $$\int_{AB} P\,dx + Q\,dy = \int_{AB} (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\,ds$$ > [!tip] Важнейшее отличие криволинейного интеграла II рода: > > Криволинейный интеграл II рода **чувствителен к направлению обхода кривой**: при смене направления интегрирования на противоположное интеграл меняет знак: > $$\int_{BA} P\,dx + Q\,dy = -\int_{AB} P\,dx + Q\,dy$$ --- ### 3. Пример вычисления криволинейного интеграла II рода > [!example] Пример 5 > > Вычислить криволинейный интеграл: > $$\int_{AB} 2xy\,dx + x^2\,dy$$ > вдоль ломаной траектории $ACB$, где $A(0, 0)$, $C(2, 0)$, $B(2, 1)$. > > ```tikz > \begin{document} > \begin{tikzpicture}[scale=1.5, >=stealth] > \draw[->] (-0.3,0) -- (3.0,0) node[below] {$x$}; > \draw[->] (0,-0.3) -- (0,2.0) node[left] {$y$}; > \node[below left] at (0,0) {$O$}; > > \draw[->, very thick, blue] (0,0) -- (1.2,0); > \draw[very thick, blue] (1.2,0) -- (2.0,0); > \draw[->, very thick, blue] (2.0,0) -- (2.0,0.6); > \draw[very thick, blue] (2.0,0.6) -- (2.0,1.2); > > \fill (0,0) circle [radius=1.5pt] node[below left] {$A(0,0)$}; > \fill (2.0,0) circle [radius=1.5pt] node[below] {$C(2,0)$}; > \fill (2.0,1.2) circle [radius=1.5pt] node[above right] {$B(2,1)$}; > > \draw[dashed] (0,1.2) node[left] {$1$} -- (2.0,1.2); > \end{tikzpicture} > \end{document} > ``` > > **Решение:** > Интеграл по ломаной равен сумме интегралов по её звеньям: > $$\int_{AB} = \int_{AC} + \int_{CB}$$ > > 1. **Участок $AC$ (горизонтальный отрезок):** > $$y = 0 \implies dy = 0, \qquad x \in [0, 2]$$ > Подставляем в подынтегральное выражение: > $$\int_{AC} \big(2x \cdot 0\,dx + x^2 \cdot 0\big) = 0$$ > > 2. **Участок $CB$ (вертикальный отрезок):** > $$x = 2 = \text{const} \implies dx = 0, \qquad y \in [0, 1]$$ > Подставляем в подынтегральное выражение: > $$\int_{CB} \big(2(2)y \cdot 0 + 2^2\,dy\big) = \int_0^1 4\,dy = \left. 4y \right|_0^1 = 4$$ > > **Итого:** > $$\int_{AB} 2xy\,dx + x^2\,dy = 0 + 4 = 4$$