5.1.5-01.10.2026 Криволинейные интегралы II рода. Формула Грина

1. Понятие криволинейного интеграла II рода (по координатам)

1.1. Построение интегральных сумм

Пусть на плоскости $Oxy$ задана ориентированная гладкая (или кусочно-гладкая) кривая $\breve{AB}$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
  \draw[->] (-0.5,0) -- (5.0,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.5) -- (0,3.5) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Кривая AB
  \draw[thick, blue] (1.0, 0.8) to[out=20, in=210] (2.5, 1.8) to[out=30, in=220] (4.2, 2.8);
  
  % Точки границы
  \fill (1.0, 0.8) circle [radius=1.5pt] node[below left] {$A = A_0$};
  \fill (4.2, 2.8) circle [radius=1.5pt] node[above right] {$B = A_n$};
 
  % Элементарная дуга A_{i-1} A_i
  \coordinate (Aim1) at (2.0, 1.45);
  \coordinate (Ai) at (3.2, 2.25);
  \fill (Aim1) circle [radius=1.5pt] node[above left] {$A_{i-1}$};
  \fill (Ai) circle [radius=1.5pt] node[above left] {$A_i$};
 
  % Промежуточная точка M_i
  \fill[red] (2.6, 1.88) circle [radius=1.5pt] node[above left] {$M_i(\xi_i, \eta_i)$};
 
  % Проекции приращений
  \draw[dashed] (Aim1) -- (2.0, 0) node[below] {$x_{i-1}$};
  \draw[dashed] (Ai) -- (3.2, 0) node[below] {$x_i$};
  \draw[dashed] (Aim1) -- (0, 1.45) node[left] {$y_{i-1}$};
  \draw[dashed] (Ai) -- (0, 2.25) node[left] {$y_i$};
 
  % Ступенька приращений
  \draw[thick, dashed, orange!90!black] (Aim1) -- (3.2, 1.45) node[midway, below] {$\Delta x_i$} -- (Ai) node[midway, right] {$\Delta y_i$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

1. Разбиение. Разобьём кривую $\breve{AB}$ точками $A=A_0,A_1,\dots ,A_n=B$ на $n$ элементарных дуг $A_{i-1}{A}_i$.
2. Для каждой дуги $A_{i-1}{A}_i$ найдем проекции на оси координат: $\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$
3. Длину элементарной дуги обозначим $\Delta s_i$.
   Диаметр разбиения: $\Delta ={\max }_{1\le i\le n}\Delta s_i$ При $\Delta \to 0$ одновременно стремятся к нулю проекции по обеим осям: $\Delta x_i\to 0$ и $\Delta y_i\to 0$.
4. На каждой частичной дуге выберем произвольную точку: $M_i({\xi }_i,{\eta }_i)\in \breve{A_{i-1}{A}_i}$
5. Пусть на кривой $\breve{AB}$ заданы непрерывные функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$.
   Составим две интегральные суммы: $S_1(T)={\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i,S_2(T)={\sum }_{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i$

---

1.2. Определение интегралов по координатам

Определение (Криволинейный интеграл II рода)

Если при $\Delta \to 0$ существуют конечные пределы сумм $S_1(T)$ и $S_2(T)$, не зависящие от способа разбиения $T$ и выбора точек $M_i$, то они называются криволинейными интегралами II рода (по координатам) вдоль ориентированной кривой $\breve{AB}$: $I_1={\lim }_{\Delta \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i={\int }_{AB}P(x,y)dx$ $I_2={\lim }_{\Delta \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i={\int }_{AB}Q(x,y)dy$

Общий вид криволинейного интеграла II рода: ${\int }_{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=I_1+I_2$

Замечание по обозначению:
В формуле пишется один знак интеграла, хотя под интегралом стоят два слагаемых с разными дифференциалами ($dx$ и $dy$). Это стандартная общепринятая форма записи.

---

2. Свойства криволинейного интеграла II рода

Свойство 1 (Ориентированность / смена направления интегрирования)

При изменении направления обхода кривой криволинейный интеграл II рода меняет знак на противоположный: ${\int }_{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-{\int }_{BA}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

Объяснение:
В отличие от криволинейного интеграла I рода, где элемент длины $\Delta s_i>0$ всегда положителен, в интеграле II рода приращение $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ зависит от направления движения: $\Delta x_i(B\to A)=x_{i-1}-x_i=-\Delta x_i(A\to B)$ Этот минус выносится за знак интегральной суммы, что меняет знак интеграла.

---

Свойство 2 (Линейность)

Для любых непрерывных функций $P_1,P_2$ и констант $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$: ${\int }_{AB}(\alpha P_1(x,y)+\beta P_2(x,y))dx=\alpha {\int }_{AB}{P}_1(x,y)dx+\beta {\int }_{AB}{P}_2(x,y)dx$

---

Свойство 3 (Аддитивность по пути интегрирования)

Для любой промежуточной точки $C$, разбивающей кривую $\breve{AB}$ на дуги $\breve{AC}$ и $\breve{CB}$: ${\int }_{AB}Pdx+Qdy={\int }_{AC}Pdx+Qdy+{\int }_{CB}Pdx+Qdy$

---

Свойство 4 (Интегрирование вдоль отрезков, параллельных осям)

1. Если участок пути $AB$ параллелен оси $Oy$, то $x=\text{const}⟹dx=0$, поэтому: ${\int }_{AB}P(x,y)dx=0⟹{\int }_{AB}Pdx+Qdy={\int }_{AB}Q(x,y)dy$
2. Если участок пути $AB$ параллелен оси $Ox$, то $y=\text{const}⟹dy=0$, поэтому: ${\int }_{AB}Q(x,y)dy=0⟹{\int }_{AB}Pdx+Qdy={\int }_{AB}P(x,y)dx$

---

Свойство 5 (Интеграл по замкнутому контуру)

Если кривая $L$ является замкнутым контуром, то значение криволинейного интеграла II рода не зависит от выбора начальной точки пути: ${\oint }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ Значение зависит исключительно от направления обхода контура.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \begin{scope}[shift={(0,0)}]
    \draw[thick, blue, ->] (0,0) ellipse [x radius=1.6, y radius=1.0];
    \node at (0,0) {$D$};
    \node[above] at (0,1.0) {$L^+$};
    \draw[->, thick, red] (1.6,0) arc[start angle=0, end angle=90, x radius=1.6, y radius=1.0];
    \node[below=2pt] at (0,-1.3) {\textbf{Positive} (counterclockwise)};
  \end{scope}
  \begin{scope}[shift={(5.5,0)}]
    \draw[thick, blue, <-] (0,0) ellipse [x radius=1.6, y radius=1.0];
    \node at (0,0) {$D$};
    \node[above] at (0,1.0) {$L^-$};
    \draw[<-, thick, red] (1.6,0) arc[start angle=0, end angle=90, x radius=1.6, y radius=1.0];
    \node[below=2pt] at (0,-1.3) {\textbf{Negative} (clockwise)};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Определение (Положительное направление обхода контура)

Положительным направлением обхода контура называется такое направление, при движении по которому область $D$, ограниченная этим контуром, остаётся по левую руку (слева от наблюдателя).

• Для внешней границы простой плоской области положительным направлением является обход против часовой стрелки.
• Если значок кружка на интеграле ${\oint }_L$ стоит без стрелок, по умолчанию подразумевается положительное направление обхода.

---

2.1. Односвязные и многосвязные области

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \begin{scope}[shift={(0,0)}]
    \filldraw[fill=blue!15, draw=blue!80!black, thick]
      plot [smooth cycle, tension=0.8] coordinates {(0,0) (1.8,0.2) (2.4,1.8) (1.0,2.2) (-0.4,1.4)};
    \node at (1.0, 1.1) {$D$};
    \draw[thick, dashed, red] (0.8, 1.1) circle [radius=0.5];
    \node[red, above] at (0.8, 1.6) {$L \subset D$};
    \node[below=2pt] at (1.0, -0.6) {\textbf{Simply connected}};
  \end{scope}
  \begin{scope}[shift={(5.5,0)}]
    \filldraw[fill=blue!15, draw=blue!80!black, thick]
      plot [smooth cycle, tension=0.8] coordinates {(0,0) (2.4,0.1) (2.8,2.0) (1.2,2.4) (-0.4,1.4)};
    \filldraw[fill=white, draw=black, thick] (0.6, 1.3) circle [radius=0.35];
    \filldraw[fill=white, draw=black, thick] (1.8, 0.9) circle [radius=0.3];
    \node at (1.2, 1.7) {$D$};
    \draw[thick, dashed, red] (0.6, 1.3) circle [radius=0.6];
    \node[below=2pt] at (1.2, -0.6) {\textbf{Multiply connected}};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Определение (Односвязная область)

Замкнутая область $D$ называется односвязной, если любой замкнутый контур, целиком лежащий в области $D$, ограничивает область, которая также целиком лежит в $D$ (простыми словами: область без внутренних «дыр»).
Если в области есть «дыры», она называется многосвязной (двусвязной с одной дырой, трёхсвязной с двумя дырами и т.д.).

---

3. Вычисление криволинейных интегралов II рода

Формулы вычисления через определённый интеграл

1. Параметрическое задание кривой: $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [t_1,t_2]$:
   Дифференциалы: $dx=x^{\prime }(t)dt,dy=y^{\prime }(t)dt$.
   ${\int }_{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{t_1}^{t_2}\left[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)\right]dt$ Важно: пределы интегрирования $t_1$ и $t_2$ расставляются строго в соответствии с направлением движения: $t_1$ соответствует начальной точке $A$, а $t_2$ — конечной точке $B$ (независимо от того, $t_1<t_2$ или $t_1>t_2$).

2. Явное задание кривой: $y=y(x),x\in [a,b]$:
   Дифференциал: $dy=y^{\prime }(x)dx$.
   ${\int }_{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_a^b\left[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y^{\prime }(x)\right]dx$

---

4. Физический смысл: работа силового поля

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
  \draw[->] (-0.3,0) -- (4.5,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.3) -- (0,3.2) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Кривая AB
  \draw[thick, blue] (1.0, 0.8) to[out=50, in=190] (2.5, 2.2) to[out=10, in=140] (4.0, 1.6);
  \node[left] at (1.0, 0.8) {$A$};
  \node[right] at (4.0, 1.6) {$B$};
 
  % Точка на кривой и вектор r
  \coordinate (M) at (2.5, 2.2);
  \draw[->, thick, gray] (0,0) -- (M) node[midway, above left] {$\vec{r}$};
  \fill (M) circle [radius=1.5pt];
 
  % Касательный вектор dr и вектор силы F
  \draw[->, very thick, green!60!black] (M) -- (3.2, 2.1) node[below] {$d\vec{r}$};
  \draw[->, very thick, red] (M) -- (3.0, 3.0) node[above right] {$\vec{F}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Пусть радиус-вектор точки на кривой равен $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}$, тогда вектор элементарного перемещения, направленный по касательной к кривой, равен: $d\vec{r}=dx\vec{i}+dy\vec{j}$

На материальную точку действует векторное силовое поле: $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$

Элементарная работа силы на перемещении $d\vec{r}$ выражается скалярным произведением: $dA=\vec{F}\cdot d\vec{r}=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

Полная работа по перемещению точки из положения $A$ в положение $B$: $A={\int }_{AB}\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

Связь с криволинейным интегралом I рода: $A={\int }_{AB}(\vec{F}\cdot {\vec{\tau }}_0)ds$ где ${\vec{\tau }}_0$ — единичный вектор касательной в направлении обхода кривой.

---

5. Формула Грина для односвязной области

Формула Грина связывает криволинейный интеграл II рода по замкнутой границе области с двойным интегралом по самой этой области.

Теорема (Формула Грина для односвязной области)

Пусть замкнутая область $D$ на плоскости $Oxy$ ограничена простым кусочно-гладким контуром $L$.
Если функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ непрерывны вместе со своими частными производными $\frac{\partial P}{\partial y}$ и $\frac{\partial Q}{\partial x}$ в замкнутой области $D$, то справедлива формула Грина: ${\oint }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$ где обход контура $L$ совершается в положительном направлении (против часовой стрелки).

---

Доказательство формулы Грина

Докажем формулу для частного случая: пусть $Q(x,y)\equiv 0$. Тогда требуется доказать равенство: ${\oint }_{L}P(x,y)dx=-{\iint }_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth]
  \draw[->] (-0.3,0) -- (4.8,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.3) -- (0,3.5) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Линии a и b
  \draw[dashed] (1.0,0) node[below] {$a$} -- (1.0,2.5);
  \draw[dashed] (3.6,0) node[below] {$b$} -- (3.6,2.7);
 
  % Вершины
  \coordinate (A) at (1.0, 0.8);
  \coordinate (Dpt) at (3.6, 1.2);
  \coordinate (C) at (3.6, 2.7);
  \coordinate (B) at (1.0, 2.4);
 
  % Заливка области D
  \filldraw[fill=blue!15, draw=none]
    (A) to[out=20, in=190] (Dpt) -- (C) to[out=170, in=20] (B) -- cycle;
 
  % Граничные дуги с направлениями
  \draw[thick, blue, ->] (A) to[out=20, in=190] (Dpt) node[midway, below] {$y_1(x)$};
  \draw[thick, blue, ->] (Dpt) -- (C);
  \draw[thick, blue, ->] (C) to[out=170, in=20] (B) node[midway, above] {$y_2(x)$};
  \draw[thick, blue, ->] (B) -- (A);
 
  \fill (A) circle [radius=1.2pt] node[below left] {$A$};
  \fill (Dpt) circle [radius=1.2pt] node[below right] {$D$};
  \fill (C) circle [radius=1.2pt] node[above right] {$C$};
  \fill (B) circle [radius=1.2pt] node[above left] {$B$};
 
  \node at (2.3, 1.8) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

1. Предположим, что область $D$ правильная относительно оси $Oy$: $D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,y_1(x)\le y\le y_2(x)\}$
2. Вычислим двойной интеграл в правой части: ${\iint }_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dy={\int }_a^b\left[P(x,y_2(x))-P(x,y_1(x))\right]dx$ $={\int }_a^{b}P(x,y_2(x))dx-{\int }_a^{b}P(x,y_1(x))dx$
3. Контур $L$ состоит из четырёх участков:
   • Нижняя кривая: от $A$ до $D$ по линии $y=y_1(x)$;
   • Вертикальный отрезок $DC$: параллелен $Oy⟹x=b=\text{const}⟹dx=0⟹{\int }_{DC}Pdx=0$;
   • Верхняя кривая: от $C$ до $B$ по линии $y=y_2(x)$;
   • Вертикальный отрезок $BA$: параллелен $Oy⟹x=a=\text{const}⟹dx=0⟹{\int }_{BA}Pdx=0$.
4. Запишем интеграл по замкнутому контуру: ${\oint }_{L}Pdx={\int }_{AD}Pdx+{\int }_{DC}Pdx+{\int }_{CB}Pdx+{\int }_{BA}Pdx={\int }_{AD}Pdx+{\int }_{CB}Pdx$
5. Выразим через определённые интегралы:
   • На дуге $AD$: $x$ изменяется от $a$ до $b$: ${\int }_{AD}Pdx={\int }_a^{b}P(x,y_1(x))dx$
   • На дуге $CB$: движение идёт от точки $C$ ($x=b$) к точке $B$ ($x=a$): ${\int }_{CB}Pdx=-{\int }_{BC}Pdx=-{\int }_a^{b}P(x,y_2(x))dx$
6. Складывая: ${\oint }_{L}Pdx={\int }_a^{b}P(x,y_1(x))dx-{\int }_a^{b}P(x,y_2(x))dx=-\left[{\int }_a^{b}P(x,y_2(x))dx-{\int }_a^{b}P(x,y_1(x))dx\right]$ $=-{\iint }_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$

Аналогично, предполагая правильность области относительно оси $Ox$, доказывается вторая половина формулы: ${\oint }_{L}Q(x,y)dy={\iint }_D\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy$

Складывая оба равенства, получаем полную формулу Грина: ${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$

---

Обобщение на произвольную односвязную область (метод разрезов)

Если область $D$ не является правильной, разобьём её вспомогательными линиями на конечное число правильных областей $D=D_1\cup D_2\cup D_3$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]
  \draw[thick, fill=blue!10] plot [smooth cycle, tension=0.8] 
    coordinates {(0.5,0.5) (2.5,0.2) (4.5,1.2) (3.5,2.8) (1.2,2.6) (0.2,1.5)};
  \node at (2.5, 2.5) {$D$};
 
  % Разрезы
  \draw[thick, red] (1.4, 0.35) -- (1.5, 2.65);
  \draw[thick, red] (3.0, 0.45) -- (3.2, 2.5);
 
  % Стрелки на разрезах (взаимно противоположные)
  \draw[->, thick, red] (1.45, 0.7) -- (1.45, 1.6);
  \draw[<-, thick, red] (1.55, 0.7) -- (1.55, 1.6);
 
  \draw[->, thick, red] (3.05, 0.8) -- (3.05, 1.8);
  \draw[<-, thick, red] (3.15, 0.8) -- (3.15, 1.8);
 
  \node at (0.8, 1.2) {$D_1$};
  \node at (2.3, 1.2) {$D_2$};
  \node at (3.8, 1.4) {$D_3$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Для каждой части формулу Грина мы уже доказали: ${\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy={\sum }_{k=1}^3{\iint }_{D_k}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy={\sum }_{k=1}^3{\oint }_{\partial D_k}Pdx+Qdy$

По свойству ориентированности интеграл по каждому внутреннему разрезу берётся дважды в противоположных направлениях, поэтому интегралы по разрезам взаимно уничтожаются. Остаётся интеграл строго по внешнему контуру $L$.

---

6. Формула Грина для многосвязной области

Пусть многосвязная область $D$ ограничена внешним контуром $L_0$ и внутренними контурами $L_1,L_2,\dots ,L_n$ («дырами»).

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
  % Внешний контур L0
  \draw[thick, blue, ->] plot [smooth cycle, tension=0.8] 
    coordinates {(0,0) (3.0,-0.2) (4.5,1.5) (3.5,3.2) (1.0,3.0) (-0.5,1.5)};
  \node[above right, blue] at (3.5,3.2) {$L_0^+$};
 
  % Внутренние контуры L1, L2, L3
  \coordinate (H1) at (0.9, 1.8);
  \coordinate (H2) at (2.2, 1.0);
  \coordinate (H3) at (3.2, 2.0);
 
  \draw[thick, black, <-] (H1) circle [radius=0.4];
  \node at (H1) {\scriptsize $L_1^-$};
 
  \draw[thick, black, <-] (H2) circle [radius=0.35];
  \node at (H2) {\scriptsize $L_2^-$};
 
  \draw[thick, black, <-] (H3) circle [radius=0.35];
  \node at (H3) {\scriptsize $L_3^-$};
 
  % Разрезы от внешнего контура к внутренним
  \draw[dashed, red] (-0.3, 1.7) -- (0.5, 1.8);
  \draw[dashed, red] (1.3, 1.8) -- (1.85, 1.0);
  \draw[dashed, red] (2.55, 1.0) -- (2.85, 2.0);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Чтобы применить формулу Грина к многосвязной области, сделаем разрезы, соединяющие внешний контур с внутренними. Получится вспомогательная односвязная область $D^{\ast }$.

• Интегралы по двум берегам каждого разреза проходятся в противоположных направлениях и взаимно уничтожаются;
• При положительном обходе объединённого контура (область остаётся слева) внешний контур $L_0$ обходится против часовой стрелки, а все внутренние контуры $L_i$ — по часовой стрелке.

Формула Грина для многосвязной области

${\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy={\oint }_{L_0^{+}}(Pdx+Qdy)+{\sum }_{i=1}^n{\oint }_{L_i^{-}}(Pdx+Qdy)$ где $L_0^{+}$ — обход внешнего контура против часовой стрелки, а $L_i^{-}$ — обход внутренних контуров по часовой стрелке.

---

7. Пример применения формулы Грина

Задача

Вычислить криволинейный интеграл: $I={\oint }_L-x^{2}dx+x{y}^{2}dy$ где $L$ — окружность $x^2+y^2=a^2$, проходимая в положительном направлении (против часовой стрелки).

Сравнение трёх способов решения:

1. Способ 1 (Непосредственное вычисление в ДСК):
   Пришлось бы разбивать окружность на две полуокружности $y=\pm \sqrt{a^2-x^2}$ и брать громоздкие несобственные интегралы с корнями. Это самый долгий путь.

2. Способ 2 (Параметризация контура в ПСК):
   Уравнения окружности: $x=a\cos t,y=a\sin t,t\in [0,2\pi ]$ Дифференциалы: $dx=-a\sin tdt,dy=a\cos tdt$ Подставляем в интеграл: $I={\int }_0^{2\pi }\left[-a^2{\cos }^{2}t\cdot (-a\sin t)+a\cos t\cdot a^2{\sin }^{2}t\cdot a\cos t\right]dt$ $={\int }_0^{2\pi }{a}^3{\cos }^{2}t\sin tdt+{\int }_0^{2\pi }{a}^4{\cos }^{2}t{\sin }^{2}tdt$

   • Первый интеграл равен $0$ за полный период;
   • Второй интеграл вычисляется через формулу двойного угла: $a^4{\int }_0^{2\pi }\frac{{\sin }^{2}2t}{4}dt=\frac{a^4}{8}{\int }_0^{2\pi }(1-\cos 4t)dt=\frac{a^4}{8}\cdot 2\pi =\frac{\pi a^4}{4}$

3. Способ 3 (С помощью формулы Грина — самый простой и быстрый):

   • Выделяем подынтегральные функции: $P(x,y)=-x^2,Q(x,y)=x{y}^2$
   • Находим частные производные: $\frac{\partial P}{\partial y}=0,\frac{\partial Q}{\partial x}=y^2$
   • По формуле Грина контурный интеграл сворачивается в двойной интеграл по кругу $D:x^2+y^2\le a^2$: $I={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy={\iint }_D(y^2-0)dxdy={\iint }_D{y}^{2}dxdy$
   • Переходим к полярным координатам ($y=r\sin \phi ,dxdy=rdrd\phi$): $I={\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^a(r\sin \phi {)}^2\cdot rdr=\left({\int }_0^a{r}^{3}dr\right)\cdot \left({\int }_0^{2\pi }{\sin }^2\phi d\phi \right)$ $={\frac{r^4}{4}|}_0^a\cdot {\int }_0^{2\pi }\frac{1-\cos 2\phi }{2}d\phi =\frac{a^4}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi =\frac{\pi a^4}{4}$

Вывод: формула Грина позволила свести контурный интеграл к элементарному двойному интегралу по кругу, решение заняло три строчки!