Uchyoba

3.1.3-16.09.2026 Методы расчёта линейных электрических цепей постоянного тока

время чтения ~16 мин.

1. Метод контурных токов (МКТ)

Суть метода

Метод контурных токов (МКТ) основан на втором законе Кирхгофа и позволяет существенно сократить число совместно решаемых уравнений по сравнению с классической системой законов Кирхгофа.
В качестве неизвестных вводятся фиктивные контурные токи , замыкающиеся в соответствующих независимых контурах. Реальный ток в любой ветви находится как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих через эту ветвь.

Число независимых уравнений по МКТ равно числу независимых контуров цепи: где:

  • — общее число ветвей цепи;
  • — число ветвей с идеальными источниками тока;
  • — число узлов.

1.1. Каноническая система уравнений МКТ (для трёх контуров)

I_{11} R_{11} - I_{22} R_{12} - I_{33} R_{13} = \sum E_{1k} \\ -I_{11} R_{21} + I_{22} R_{22} - I_{33} R_{23} = \sum E_{2k} \\ -I_{11} R_{31} - I_{22} R_{32} + I_{33} R_{33} = \sum E_{3k} \end{cases}$$ > [!tip] Правила формирования коэффициентов системы > > 1. **Собственные сопротивления контуров ($R_{11}, R_{22}, R_{33}$):** > Стоят на главной диагонали матрицы. Равны арифметической сумме сопротивлений **всех** резисторов, входящих в данный контур. Всегда строго **положительны** ($> 0$). > 2. **Взаимные (межконтурные) сопротивления ($R_{12} = R_{21}, R_{13} = R_{31}, R_{23} = R_{32}$):** > Равны сумме сопротивлений ветвей, общих для двух соответствующих контуров. > * Если контурные токи выбраны в **одном направлении** (например, все по часовой стрелке), то в общей ветви они текут навстречу друг другу $\implies$ взаимные сопротивления в системе всегда берутся со знаком **минус** (матрица симметрична относительно главной диагонали). > * Если контурные токи направлены в разные стороны, знак определяется сонаправленностью их протекания через смежную ветвь. > 3. **Контурные ЭДС ($\sum E_{ik}$):** > Алгебраическая сумма всех источников ЭДС, входящих в данный контур. Источник ЭДС входит со знаком $(+)$, если направление его стрелки совпадает с направлением обхода контура, и со знаком $(-)$, если направлен навстречу. ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.1] \draw (0,2.5) -- (2.5,2.5); \draw (0,0) -- (2.5,0); \draw (1.25,2.5) -- (1.25,1.75); \draw[fill=white] (0.95,0.75) rectangle (1.55,1.75); \node at (1.25,1.25) {$R_{12}$}; \draw (1.25,0.75) -- (1.25,0); \draw[->, thick, red] (0.8, 1.8) arc (45:-225:0.55); \node[red, left] at (0.4, 1.25) {$I_{11}$}; \draw[->, thick, blue] (2.2, 1.8) arc (45:-225:0.55); \node[blue, right] at (2.2, 1.25) {$I_{22}$}; \draw[->, thick, red] (0.85, 1.7) -- (0.85, 0.8); \draw[->, thick, blue] (1.65, 0.8) -- (1.65, 1.7); \node[below] at (1.25, -0.4) {shared branch: opposing currents $\Rightarrow -I_{22} R_{12}$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` --- ### 1.2. Учёт идеального источника тока в МКТ > [!warning] Правило обхода ветви с источником тока > > Напряжение на зажимах идеального источника тока заранее **неизвестно**, поэтому через ветвь с источником тока разрешается замыкать **только один контур**. > > Направление этого контурного тока сразу выбирают совпадающим с направлением источника тока $J_k$, тогда его значение становится **известным**: > $$I_{33} = J_k$$ > Это уравнение не требует составления второго закона Кирхгофа, а лишь подставляется в остальные уравнения, уменьшая порядок решаемой системы. #### Пример схемы: * Число узлов: $у = 4$ * Число ветвей: $в = 6$ * Ветвей с источником тока: $в_J = 1$ (ветвь с $J_k$) * Число уравнений: $K_{МКТ} = 6 - 1 - 4 + 1 = 2$ неизвестных контурных тока ($I_{11}, I_{22}$). ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth] % Координаты узлов \coordinate (N1) at (0, 3.5); \coordinate (N2) at (3.5, 3.5); \coordinate (N3) at (7.0, 3.5); \coordinate (N4) at (3.5, 0); % Верхняя ветвь 1-3 (E5, ток I5) \draw (N1) -- (0, 5.2) -- (2.3, 5.2); \draw (2.65, 5.2) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (2.9, 5.2) -- (2.4, 5.2); \node[above=3pt] at (2.65, 5.55) {$E_5$}; \draw (3.0, 5.2) -- (7.0, 5.2) -- (N3); \draw[<-, thick] (4.5, 5.5) -- (5.3, 5.5) node[midway, above] {$I_5$}; % Ветвь 1-2 (R3, ток I3 вправо) \draw (N1) -- (1.1, 3.5); \draw[fill=white] (1.1, 3.25) rectangle (2.3, 3.75); \node at (1.7, 3.5) {$R_3$}; \draw (2.3, 3.5) -- (N2); \draw[->, thick] (0.4, 3.8) -- (0.9, 3.8) node[midway, above] {$I_3$}; % Ветвь 2-3 (R4, ток I4 вправо) \draw (N2) -- (4.6, 3.5); \draw[fill=white] (4.6, 3.25) rectangle (5.8, 3.75); \node at (5.2, 3.5) {$R_4$}; \draw (5.8, 3.5) -- (N3); \draw[->, thick] (6.0, 3.8) -- (6.5, 3.8) node[midway, above] {$I_4$}; % Ветвь 1-4 (левая): E1 вверх, R1, ток I1 вверх \draw (N1) -- (0, 2.7); \draw (0, 2.35) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (0, 2.1) -- (0, 2.6); \node[left=3pt] at (-0.35, 2.35) {$E_1$}; \draw (0, 2.0) -- (0, 1.6); \draw[fill=white] (-0.25, 0.8) rectangle (0.25, 1.6); \node[left=3pt] at (-0.25, 1.2) {$R_1$}; \draw (0, 0.8) -- (0, 0) -- (N4); \draw[->, thick] (-0.6, 0.5) -- (-0.6, 1.2) node[midway, left] {$I_1$}; % Ветвь 2-4 (средняя): R2, E2 вниз, ток I2 вниз \draw (N2) -- (3.5, 2.6); \draw[fill=white] (3.25, 1.8) rectangle (3.75, 2.6); \node[right=3pt] at (3.75, 2.2) {$R_2$}; \draw (3.5, 1.8) -- (3.5, 1.35); \draw (3.5, 1.0) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (3.5, 1.25) -- (3.5, 0.75); \node[right=3pt] at (3.85, 1.0) {$E_2$}; \draw (3.5, 0.65) -- (N4); \draw[->, thick] (3.0, 2.5) -- (3.0, 1.8) node[midway, left] {$I_2$}; % Ветвь 3-4 (правая): источник тока Jk \draw (N3) -- (7.0, 2.5); \draw (7.0, 2.0) circle [radius=0.4]; \draw[->, thick] (7.0, 1.7) -- (7.0, 2.3); \draw[->, thick] (7.0, 1.7) -- (7.0, 2.1); \node[right=3pt] at (7.45, 2.0) {$J_k$}; \draw (7.0, 1.6) -- (7.0, 0) -- (N4); % Узлы \fill (N1) circle [radius=2pt] node[above left] {1}; \fill (N2) circle [radius=2pt] node[above=2pt] {2}; \fill (N3) circle [radius=2pt] node[above right] {3}; \fill (N4) circle [radius=2pt] node[below=2pt] {4}; % Контуры % Контур I (левое окно) \draw[->, thick, red] (1.9, 1.8) arc (45:-270:0.5); \node[red] at (1.5, 1.5) {$I_{11}$}; % Контур II (верхнее окно) \draw[->, thick, red] (3.8, 4.5) arc (45:-270:0.45); \node[red] at (3.5, 4.3) {$I_{22}$}; % Контур III (правое окно с источником тока) \draw[->, thick, green!60!black] (5.5, 1.8) arc (45:-270:0.5); \node[green!60!black] at (5.2, 1.5) {$I_{33} = J_k$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` #### Составление уравнений для схемы: Так как контурный ток $I_{33} = J_k$ известен, составляем систему для контуров I и II: $$\begin{cases} I_{11}(R_1 + R_3 + R_2) - I_{22} R_3 + I_{33} R_2 = E_1 - E_2 \\ I_{22}(R_4 + R_3) - I_{11} R_3 + I_{33} R_4 = E_5 \end{cases}$$ Перенося известные слагаемые с $I_{33} = J_k$ в правую часть: $$\begin{cases} I_{11}(R_1 + R_2 + R_3) - I_{22} R_3 = E_1 - E_2 - J_k R_2 \\ -I_{11} R_3 + I_{22}(R_3 + R_4) = E_5 - J_k R_4 \end{cases}$$ --- ### 1.3. Связь токов ветвей с контурными токами После нахождения контурных токов $I_{11}$ и $I_{22}$ реальные токи ветвей находятся по принципу наложения: * Ветвь 1: $I_1 = I_{11}$ * Ветвь 2: $I_2 = -I_{11} - I_{33} = -I_{11} - J_k$ * Ветвь 3: $I_3 = I_{11} - I_{22}$ * Ветвь 4: $I_4 = -I_{22} - I_{33} = -I_{22} - J_k$ * Ветвь 5: $I_5 = -I_{22}$ --- ### 1.4. Баланс мощностей $$\sum P_{ист} = \sum P_{потр}$$ * **Мощность потребителей (всегда со знаком $+$):** $$P_{потр} = I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 + I_3^2 R_3 + I_4^2 R_4$$ * **Мощность источников:** $$P_{ист} = E_1 I_1 + E_2 I_2 - E_5 I_5 + J_k U_{34}$$ > [!warning] Правило знаков мощности источников > * Для источника ЭДС: если стрелка ЭДС $E$ и ток ветви $I$ сонаправлены $\implies +E \cdot I$; если направлены навстречу $\implies -E \cdot I$. > * Для источника тока: мощность равна $+J_k U_J$, где напряжение $U_{34}$ направлено против стрелки источника тока (от узла 3 к узлу 4). #### Определение напряжения на источнике тока $U_{34}$: Записываем II закон Кирхгофа для контура, включающего ветвь с источником тока: $$U_{34} + I_2 R_2 + I_4 R_4 = E_2 \implies U_{34} = E_2 - I_2 R_2 - I_4 R_4$$ --- ## 2. Метод узловых потенциалов (МУП) > [!info] Суть метода > > Метод узловых потенциалов (МУП) основан на первом законе Кирхгофа и законе Ома для активного участка цепи. > Число уравнений системы равно числу узлов минус один: > $$K_{МУП} = у - 1$$ > Один из узлов принимается за **базисный** (опорный), и его потенциал приравнивается к нулю: $\varphi_0 = 0$. Неизвестными являются потенциалы остальных узлов. --- ### 2.1. Каноническая система уравнений МУП Для цепи с четырьмя узлами ($у = 4$, узел 4 — базисный: $\varphi_4 = 0$): $$\begin{cases} \varphi_1 g_{11} - \varphi_2 g_{12} - \varphi_3 g_{13} = \sum E_{1k} g_{1k} + \sum J_{1k} \\ -\varphi_1 g_{21} + \varphi_2 g_{22} - \varphi_3 g_{23} = \sum E_{2k} g_{2k} + \sum J_{2k} \\ -\varphi_1 g_{31} - \varphi_2 g_{32} + \varphi_3 g_{33} = \sum E_{3k} g_{3k} + \sum J_{3k} \end{cases}$$ > [!tip] Правила формирования проводимостей и правых частей > > 1. $g = \dfrac{1}{R}$ — проводимость ветви $[См]$ (Сименс). > 2. **Собственные проводимости узлов ($g_{11}, g_{22}, g_{33}$):** сумма проводимостей всех ветвей, присоединённых к данному узлу. Всегда входят со знаком $(+)$. > 3. **Взаимные проводимости ($g_{12} = g_{21}, g_{13} = g_{31}, g_{23} = g_{32}$):** сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел $i$ и узел $j$. В уравнениях всегда берутся со знаком $(-)$. > 4. **Узловые токи (правая часть):** > * Слагаемое $E_k g_k$ берётся со знаком $(+)$, если ЭДС направлена **к узлу**, и со знаком $(-)$, если **от узла**. > * Ток источника тока $J_k$ берётся со знаком $(+)$, если он втекает **в узел**, и со знаком $(-)$, если вытекает **из узла**. --- ### 2.2. Особый случай: цепь с идеальным источником ЭДС > [!warning] Идеальный источник ЭДС в МУП > > Если в цепи есть ветвь, содержащая **только источник ЭДС без сопротивления** ($R_E = 0 \implies g_E = \infty$), каноническое уравнение составить нельзя. > **Способ решения:** > За базисный (нулевой) узел обязательно принимают один из выводов этого идеального источника ЭДС! > В нашей схеме ветвь 5 содержит идеальный источник $E_5$ между узлами 1 и 3: > * Если принять $\varphi_1 = 0$, то потенциал узла 3 становится известным автоматически: > $$\varphi_3 = E_5$$ > * Число неизвестных потенциалов уменьшается на один: остаются только $\varphi_2$ и $\varphi_4$! ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.0] \coordinate (N1) at (0, 3.5); \coordinate (N2) at (3.5, 3.5); \coordinate (N3) at (7.0, 3.5); \coordinate (N4) at (3.5, 0); \draw (N1) -- (0, 5.0) -- (2.3, 5.0); \draw (2.65, 5.0) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (2.9, 5.0) -- (2.4, 5.0); \node[above=3pt] at (2.65, 5.35) {$E_5$}; \draw (3.0, 5.0) -- (7.0, 5.0) -- (N3); \node[above] at (5.0, 5.0) {branch 5 (no resistor)}; \draw (N1) -- (1.1,3.5); \draw[fill=white] (1.1,3.25) rectangle (2.3,3.75); \node at (1.7,3.5) {$R_3$}; \draw (2.3,3.5) -- (N2); \draw (N2) -- (4.6,3.5); \draw[fill=white] (4.6,3.25) rectangle (5.8,3.75); \node at (5.2,3.5) {$R_4$}; \draw (5.8,3.5) -- (N3); \draw (N1) -- (0, 2.7); \draw (0, 2.35) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (0, 2.1) -- (0, 2.6); \node[left=3pt] at (-0.35, 2.35) {$E_1$}; \draw (0, 2.0) -- (0, 1.6); \draw[fill=white] (-0.25, 0.8) rectangle (0.25, 1.6); \node[left=3pt] at (-0.25, 1.2) {$R_1$}; \draw (0, 0.8) -- (0, 0) -- (N4); \draw (N2) -- (3.5, 2.6); \draw[fill=white] (3.25, 1.8) rectangle (3.75, 2.6); \node[right=3pt] at (3.75, 2.2) {$R_2$}; \draw (3.5, 1.8) -- (3.5, 1.35); \draw (3.5, 1.0) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (3.5, 1.25) -- (3.5, 0.75); \node[right=3pt] at (3.85, 1.0) {$E_2$}; \draw (3.5, 0.65) -- (N4); \draw (N3) -- (7.0, 2.5); \draw (7.0, 2.0) circle [radius=0.4]; \draw[->, thick] (7.0, 1.7) -- (7.0, 2.3); \node[right=3pt] at (7.45, 2.0) {$J_k$}; \draw (7.0, 1.6) -- (7.0, 0) -- (N4); \fill (N1) circle [radius=2.5pt] node[left=2pt] {$\mathbf{1}\ (\varphi_1 = 0)$}; \fill (N2) circle [radius=2.5pt] node[above=2pt] {$\mathbf{2}\ (\varphi_2)$}; \fill (N3) circle [radius=2.5pt] node[right=2pt] {$\mathbf{3}\ (\varphi_3 = E_5)$}; \fill (N4) circle [radius=2.5pt] node[below=2pt] {$\mathbf{4}\ (\varphi_4)$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` #### Составление уравнений для узлов 2 и 4: При $\varphi_1 = 0$ и $\varphi_3 = E_5$: * **Для узла 2:** $$\varphi_2 \left(\frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_2}\right) - \varphi_1 \frac{1}{R_3} - \varphi_3 \frac{1}{R_4} - \varphi_4 \frac{1}{R_2} = \frac{E_2}{R_2}$$ Подставляя $\varphi_1 = 0$ и $\varphi_3 = E_5$: $$\varphi_2 \left(\frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_2}\right) - \varphi_4 \frac{1}{R_2} = \frac{E_2}{R_2} + E_5 \frac{1}{R_4}$$ * **Для узла 4:** $$\varphi_4 \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) - \varphi_1 \frac{1}{R_1} - \varphi_2 \frac{1}{R_2} = -\frac{E_1}{R_1} - \frac{E_2}{R_2} - J_k$$ Подставляя $\varphi_1 = 0$: $$-\varphi_2 \frac{1}{R_2} + \varphi_4 \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) = -\frac{E_1}{R_1} - \frac{E_2}{R_2} - J_k$$ Решая систему из двух уравнений, находим потенциалы $\varphi_2$ и $\varphi_4$. --- ### 2.3. Нахождение токов в ветвях по закону Ома Зная потенциалы всех узлов ($\varphi_1 = 0, \varphi_2, \varphi_3 = E_5, \varphi_4$), токи ветвей находятся по обобщённому закону Ома: $$I_1 = \frac{\varphi_4 - \varphi_1 + E_1}{R_1} = \frac{\varphi_4 + E_1}{R_1}$$ $$I_2 = \frac{\varphi_4 - \varphi_2 + E_2}{R_2}$$ $$I_3 = \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{R_3} = \frac{-\varphi_2}{R_3}$$ $$I_4 = \frac{\varphi_2 - \varphi_3}{R_4} = \frac{\varphi_2 - E_5}{R_4}$$ > [!tip] Ток в ветви с идеальным источником ЭДС > > В ветви 5 нет резистора, поэтому закон Ома применить нельзя. Ток $I_5$ находится по **первому закону Кирхгофа** для узла 3: > $$-I_5 + I_4 + J_k = 0 \implies I_5 = I_4 + J_k$$ --- ## 3. Метод эквивалентного генератора (МЭГ) > [!info] Теорема об активном двухполюснике (Теорема Тевенена) > > Любая сложная линейная электрическая цепь по отношению к выделенной ветви может быть представлена эквивалентным генератором с ЭДС $E_{экв} = U_{хх}$ и внутренним сопротивлением $R_{вх}$. > > Ток в исследуемой ветви определяется формулой: > $$I_k = \frac{E_k \pm U_{хх}}{R_k + R_{вх}}$$ ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.0] \draw[thick, fill=gray!15] (0,0) rectangle (2.5,2.0); \node at (1.25,1.0) {\large $\mathbf{A}$}; \draw (2.5,1.6) -- (3.5,1.6); \draw (2.5,0.4) -- (3.5,0.4); \fill (3.5,1.6) circle [radius=2pt]; \fill (3.5,0.4) circle [radius=2pt]; \draw[->] (3.2, 1.5) -- (3.2, 0.5) node[midway, left] {$U_{oc}$}; \draw (3.5,1.6) -- (5.0,1.6); \draw[->, thick] (4.0, 1.85) -- (4.6, 1.85) node[midway, above] {$I_k$}; \draw[fill=white] (4.7, 0.9) rectangle (5.3, 1.5); \node at (5.0, 1.2) {$R_k$}; \draw (5.0, 1.6) -- (5.0, 1.5); \draw (5.0, 0.9) -- (5.0, 0.65); \draw (5.0, 0.3) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (5.0, 0.05) -- (5.0, 0.55); \node[right=3pt] at (5.35, 0.3) {$E_k$}; \draw (5.0, -0.05) -- (5.0, -0.3) -- (3.5, -0.3) -- (3.5, 0.4); \begin{scope}[shift={(7.0,0)}] \node at (-0.7, 1.0) {\Huge $\Leftrightarrow$}; \draw (0,0) rectangle (2.5,2.0); \draw (1.25, 2.0) -- (1.25, 1.6); \draw[fill=white] (0.95, 0.9) rectangle (1.55, 1.6); \node[right=2pt] at (1.55, 1.25) {$R_{in}$}; \draw (1.25, 0.9) -- (1.25, 0.65); \draw (1.25, 0.3) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (1.25, 0.55) -- (1.25, 0.05); \node[right=2pt] at (1.6, 0.3) {$E_{eq} = U_{oc}$}; \draw (1.25, -0.05) -- (1.25, -0.3); \draw (1.25, 2.0) -- (3.5, 2.0) -- (3.5, 1.5); \draw[fill=white] (3.2, 0.9) rectangle (3.8, 1.5); \node[right=2pt] at (3.8, 1.2) {$R_k$}; \draw (3.5, 0.9) -- (3.5, 0.65); \draw (3.5, 0.3) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (3.5, 0.05) -- (3.5, 0.55); \node[right=2pt] at (3.85, 0.3) {$E_k$}; \draw (3.5, -0.05) -- (3.5, -0.3) -- (1.25, -0.3); \draw[->, thick] (2.1, 2.2) -- (2.7, 2.2) node[midway, above] {$I_k$}; \end{scope} \end{tikzpicture} \end{document} ``` --- ### 3.1. Алгоритм расчёта тока ветви 1 методом МЭГ Найдём ток $I_1$ в ветви с источником $E_1$ и резистором $R_1$. #### Шаг 1: Размыкание исследуемой ветви Удаляем из схемы ветвь 1 между узлами 1 и 4. Между оставшимися зажимами произвольно направляем напряжение холостого хода $U_{хх}$ (например, от узла 1 к узлу 4). ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=0.95] \coordinate (N1) at (0, 3.5); \coordinate (N2) at (3.5, 3.5); \coordinate (N3) at (7.0, 3.5); \coordinate (N4) at (3.5, 0); \draw (N1) -- (0, 4.8) -- (2.3, 4.8); \draw (2.65, 4.8) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (2.9, 4.8) -- (2.4, 4.8); \node[above=2pt] at (2.65, 5.15) {$E_5$}; \draw (3.0, 4.8) -- (7.0, 4.8) -- (N3); \draw (N1) -- (1.1, 3.5); \draw[fill=white] (1.1, 3.25) rectangle (2.3, 3.75); \node at (1.7, 3.5) {$R_3$}; \draw (2.3, 3.5) -- (N2); \draw (N2) -- (4.6, 3.5); \draw[fill=white] (4.6, 3.25) rectangle (5.8, 3.75); \node at (5.2, 3.5) {$R_4$}; \draw (5.8, 3.5) -- (N3); \draw (N2) -- (3.5, 2.5); \draw[fill=white] (3.25, 1.8) rectangle (3.75, 2.5); \node[right=2pt] at (3.75, 2.15) {$R_2$}; \draw (3.5, 1.8) -- (3.5, 1.35); \draw (3.5, 1.0) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (3.5, 1.25) -- (3.5, 0.75); \node[right=2pt] at (3.85, 1.0) {$E_2$}; \draw (3.5, 0.65) -- (N4); \draw (N3) -- (7.0, 2.4); \draw (7.0, 2.0) circle [radius=0.4]; \draw[->, thick] (7.0, 1.7) -- (7.0, 2.3); \node[right=2pt] at (7.45, 2.0) {$J_k$}; \draw (7.0, 1.6) -- (7.0, 0) -- (N4); \fill (N1) circle [radius=2.5pt] node[left=2pt] {1}; \fill (N4) circle [radius=2.5pt] node[below=2pt] {4}; \draw[dashed, red, ->, very thick] (N1) to[out=-70, in=170] (2.8, 0.2); \node[red, left] at (1.2, 1.5) {$U_{oc}$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` #### Шаг 2: Определение напряжения холостого хода $U_{хх}$ Составим уравнение по II закону Кирхгофа по контуру через зажимы 1–4, ветвь 2 и ветвь 3: $$U_{хх} + I_2 R_2 - I_3 R_3 = E_2 \implies U_{хх} = E_2 - I_2 R_2 + I_3 R_3$$ Токи $I_2$ и $I_3$ в схеме с разомкнутой ветвью 1 рассчитываются методом МКТ: * Контур через источник тока: $I_{22} = J_k$. * Контур через ветви 3, 4 и источник $E_5$: $$I_{11}(R_3 + R_4) - I_{22} R_4 = -E_5 \implies I_{11}(R_3 + R_4) - J_k R_4 = -E_5$$ Отсюда находим $I_{11}$, при этом ток $I_3 = I_{11}$. * Ток через ветвь 2: $I_2 = -J_k$. * Подставляя $I_2$ и $I_3$, вычисляем числовое значение $U_{хх}$. --- #### Шаг 3: Определение входного сопротивления $R_{вх}$ Пассивируем схему относительно зажимов 1–4: * Все источники ЭДС закорачиваются ($E_2 = 0, E_5 = 0 \implies$ заменяются перемычками). * Все источники тока размыкаются ($J_k = 0 \implies$ ветвь с $J_k$ обрывается). ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.0] \coordinate (N1) at (0, 2.5); \coordinate (N2) at (3.0, 2.5); \coordinate (N3) at (6.0, 2.5); \coordinate (N4) at (3.0, 0); \draw (N1) -- (0, 3.5) -- (6.0, 3.5) -- (N3); \draw (N1) -- (0.8, 2.5); \draw[fill=white] (0.8, 2.25) rectangle (1.8, 2.75); \node at (1.3, 2.5) {$R_3$}; \draw (1.8, 2.5) -- (N2); \draw (N2) -- (3.8, 2.5); \draw[fill=white] (3.8, 2.25) rectangle (4.8, 2.75); \node at (4.3, 2.5) {$R_4$}; \draw (4.8, 2.5) -- (N3); \draw (N2) -- (3.0, 1.8); \draw[fill=white] (2.7, 0.8) rectangle (3.3, 1.8); \node[right=2pt] at (3.3, 1.3) {$R_2$}; \draw (3.0, 0.8) -- (N4); \fill (N1) circle [radius=2.5pt] node[left] {1}; \fill (N4) circle [radius=2.5pt] node[below] {4}; \draw[dashed, red, <->] (N1) to[out=-60, in=170] (N4); \node[red] at (1.2, 0.8) {$R_{in}$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` Анализ схемы для $R_{вх}$: * Узлы 1 и 3 замкнуты перемычкой $\implies$ это один и тот же электрический узел. * Резисторы $R_3$ и $R_4$ включены **параллельно** друг другу. * Резистор $R_2$ подключён **последовательно** к параллельной группе $R_3 \parallel R_4$: $$R_{вх} = \frac{R_3 \cdot R_4}{R_3 + R_4} + R_2$$ --- #### Шаг 4: Расчёт тока $I_1$ Собираем эквивалентную схему: к генератору с параметрами $E_{экв} = U_{хх}$ и $R_{вх}$ подключаем обратно ветвь 1 ($R_1, E_1$). ```tikz \begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.0] \draw (0, 0) -- (0, 0.6); \draw (0, 0.95) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (0, 0.7) -- (0, 1.2); \node[left=2pt] at (-0.35, 0.95) {$E_1$}; \draw (0, 1.3) -- (0, 1.7); \draw[fill=white] (-0.25, 1.7) rectangle (0.25, 2.5); \node[left=2pt] at (-0.25, 2.1) {$R_1$}; \draw (0, 2.5) -- (0, 3.2) -- (3.0, 3.2); \fill (0, 3.2) circle [radius=2pt] node[above left] {1}; \fill (0, 0) circle [radius=2pt] node[below left] {4}; \draw (3.0, 3.2) -- (3.0, 2.5); \draw[fill=white] (2.75, 1.7) rectangle (3.25, 2.5); \node[right=2pt] at (3.25, 2.1) {$R_{in}$}; \draw (3.0, 1.7) -- (3.0, 1.3); \draw (3.0, 0.95) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (3.0, 1.2) -- (3.0, 0.7); \node[right=2pt] at (3.35, 0.95) {$E_{eq} = U_{oc}$}; \draw (3.0, 0.6) -- (3.0, 0) -- (0, 0); \draw[->, thick] (1.2, 3.4) -- (1.8, 3.4) node[midway, above] {$I_1$}; \end{tikzpicture} \end{document} ``` По закону Ома: $$I_1 = \frac{E_1 - U_{хх}}{R_1 + R_{вх}}$$ > [!tip] Главное контрольное правило > > Значение тока $I_1$, полученное методом эквивалентного генератора, **должно в точности совпасть** со значениями, найденными методами МКТ и МУП! Правильность ответа не зависит от выбранного метода расчёта.

Вид графа