4.1.4-23.09.2026 Синусоидальный ток. Метод комплексных амплитуд. Элементы цепи переменного тока

1. Основные параметры синусоидальных величин

В цепях переменного тока напряжение, ток и ЭДС изменяются во времени по гармоническому закону (синусоидальному или косинусоидальному). Все математические свойства тригонометрических функций (чётность, формулы приведения, периодичность) сохраняют свою силу.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->] (-1.5,0) -- (6.5,0) node[right] {$\omega t$};
  \draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] {$i$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  \draw[thick] plot[domain=-1.2:6.0, samples=100] (\x, {2.0*sin((\x + 0.6) r)});
  \node[above] at (1.8,2.0) {$i(t)$};
 
  \draw[dashed] (0.97,0) -- (0.97,2.0);
  \draw[<->] (0.97,0) -- (0.97,2.0) node[midway, right] {$I_m$};
 
  \draw[dashed] (4.11,0) -- (4.11,-2.0);
  \draw[<->] (4.11,0) -- (4.11,-2.0) node[midway, left] {$-I_m$};
 
  \draw[dashed] (-0.6,0) -- (-0.6,0.5);
  \draw[<->] (-0.6,-0.3) -- (0,-0.3) node[midway, below] {$\psi_i$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Аналитическая форма записи синусоидальной величины

$i(t)=I_m\sin (\omega t+{\psi }_i)$ $u(t)=U_m\sin (\omega t+{\psi }_u)$ $e(t)=E_m\sin (\omega t+{\psi }_e)$

Основные величины:

1. Мгновенное значение ($i,u,e$) — значение тока, напряжения или ЭДС в данный конкретный момент времени $t$. Обозначается строчными (маленькими) буквами.
2. Амплитуда ($I_m,U_m,E_m$) — наибольшее (максимальное) положительное значение за период. Обозначается прописной буквой с индексом $m$.
3. Угловая (круговая) частота ($\omega$): $\omega =2\pi f=\frac{2\pi }{T},[\text{рад/с}]$
   • $T$ — период колебания [с];
   • $f=\frac{1}{T}$ — циклическая частота [Гц] (число полных периодов в секунду).

   Важное соглашение курса $\omega =\text{const}$. Изменение частоты в разных ветвях цепи в рамках данного раздела не рассматривается.

   Во всех рассматриваемых цепях частота генераторов одинакова:

4. Фаза ($\omega t+\psi$) — аргумент синуса, определяющий состояние колебания в момент времени $t$.
5. Начальная фаза ($\psi$) — значение фазы в начальный момент времени ($t=0$).
   • Показывает положение синусоиды относительно начала координат;
   • Измеряется в радианах или градусах: $\psi \in (-180^{\circ };+180^{\circ }]$ (или $[0;360^{\circ })$).
   • При построении векторных диаграмм на комплексной плоскости угол $\psi$ всегда выражают в градусах.
6. Угол сдвига фаз ($\phi$): $\phi ={\psi }_u-{\psi }_i$

   Обозначения углов $\psi$ обозначается начальная фаза отдельной величины (${\psi }_u,{\psi }_i$).
   Буквой $\phi$ обозначается исключительно угол сдвига фаз между напряжением и током. Заменять обозначение $\psi$ на $\phi$ нельзя.

   Буквой

---

Действующее (эффективное, RMS) значение

Тепловое действие переменного тока за период сравнивают с действием постоянного тока:

$I=\frac{I_m}{\sqrt{2}}\approx 0,707I_m,U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}\approx 0,707U_m,E=\frac{E_m}{\sqrt{2}}$

• Обозначается заглавными буквами без индексов ($I,U,E$);
• Все измерительные приборы электромагнитной и электродинамической систем (амперметры, вольтметры) измеряют и показывают именно действующие значения.

---

Соглашение о выборе базовой тригонометрической функции

От синуса всегда можно перейти к косинусу и обратно: $\sin (\alpha +90^{\circ })=\cos \alpha ,\cos (\alpha -90^{\circ })=\sin \alpha$

Правило единой функции

Если в цепи рассматривается несколько токов и напряжений, все величины должны быть выражены через одну и ту же функцию (либо все через синус, либо все через косинус). Смешивать функции в одних уравнениях запрещено.

---

2. Метод комплексных амплитуд

Сложение, вычитание и дифференцирование синусоид через тригонометрические формулы приводит к громоздким вычислениям. Метод комплексных амплитуд (символический метод) позволяет заменить дифференциальные уравнения алгебраическими уравнениями с комплексными числами.

Мнимую единицу в электротехнике обозначают буквой $j$ ($j=\sqrt{-1}$), чтобы не путать её с мгновенным током $i$.

Представление гармонической величины комплексным числом

Каждому синусоидальному сигналу $u(t)=U_m\sin (\omega t+{\psi }_u)$ ставится в соответствие вектор на комплексной плоскости:

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  \draw[->] (-1.5,0) -- (4.0,0) node[right] {$+1$};
  \draw[->] (0,-1.5) -- (0,3.5) node[above] {$+j$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.5,2.14) node[above right] {$\underline{U}_m$};
  \draw (0.8,0) arc[start angle=0, end angle=40.5, radius=0.8];
  \node at (1.1,0.3) {$\psi_u$};
 
  \draw[dashed] (2.5,2.14) -- (2.5,0) node[below] {$a = U_m \cos\psi_u$};
  \draw[dashed] (2.5,2.14) -- (0,2.14) node[left] {$j b = j U_m \sin\psi_u$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Формы записи комплексных величин

1. Показательная форма: ${\underline{U}}_m=U_m{e}^{j{\psi }_u}\text{— комплексная амплитуда}$ $\underline{U}=U{e}^{j{\psi }_u}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}{e}^{j{\psi }_u}\text{— комплексное действующее значение}$

2. Алгебраическая форма: $\underline{U}=a+jb$

   • $a=U\cos {\psi }_u$ — действительная часть ($\mathrm{Re}$);
   • $b=U\sin {\psi }_u$ — мнимая часть ($\mathrm{Im}$).

3. Переход от алгебраической формы к показательной: $U=\sqrt{a^2+b^2},{\psi }_u=\mathrm{arctg}\left(\frac{b}{a}\right)$

Пример перевода величин

Задано мгновенное напряжение: $u(t)=20\sin (\omega t-45^{\circ })\text{ В}$ 4. Комплексная амплитуда: ${\underline{U}}_m=20e^{-j45^{\circ }}\text{ В}$ 5. Комплексное действующее значение: $\underline{U}=\frac{20}{\sqrt{2}}{e}^{-j45^{\circ }}\approx 14,14e^{-j45^{\circ }}\text{ В}$

Вектор располагается в IV квадранте комплексной плоскости под углом $-45^{\circ }$ к вещественной оси $+1$.

---

3. Законы электротехники в цепях синусоидального тока

Все фундаментальные законы цепей постоянного тока переносятся на цепи синусоидального тока:

1. В мгновенных значениях:

   • I закон Кирхгофа: $\sum i_k(t)=0$;
   • II закон Кирхгофа: $\sum u_k(t)=\sum e_k(t)$.

2. В комплексной форме (для действующих значений):

   • Закон Ома: $\underline{I}=\frac{\underline{U}}{\underline{Z}}$;
   • I закон Кирхгофа: $\sum {\underline{I}}_k=0$;
   • II закон Кирхгофа: $\sum {\underline{I}}_k{\underline{Z}}_k=\sum {\underline{E}}_k$.

Здесь $\underline{Z}$ — комплексное сопротивление двухполюсника (импеданс).

---

4. Идеальные элементы в цепи синусоидального тока

---

4.1. Резистивный элемент ($R$)

Пусть к резистору $R$ приложено напряжение $u(t)=U_m\sin \omega t$ (${\psi }_u=0$).

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  \draw (0,0) -- (1.0,0);
  \draw (1.0,-0.3) rectangle (2.2,0.3);
  \node at (1.6,0) {$R$};
  \draw (2.2,0) -- (3.2,0);
  \draw[->] (0.3,0.5) -- (0.9,0.5) node[midway, above] {$i$};
  \draw[->] (0.5,-0.6) -- (2.7,-0.6) node[midway, below] {$u$};
 
  \begin{scope}[shift={(5.0,0)}]
    \draw[->] (-1.0,0) -- (3.0,0) node[right] {$+1$};
    \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above] {$+j$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.2,0) node[above] {$\underline{U}$};
    \draw[thick, ->, dashed] (0,0) -- (1.4,0) node[below] {$\underline{I}$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

По закону Ома: $i(t)=\frac{u(t)}{R}=\frac{U_m}{R}\sin \omega t=I_m\sin \omega t$ Начальная фаза тока: ${\psi }_i=0$.

Выводы для резистора

1. Сдвиг фаз равен нулю: $\phi ={\psi }_u-{\psi }_i=0-0=0$ Ток и напряжение на резисторе совпадают по фазе.
2. Комплексное сопротивление: ${\underline{Z}}_R=R=R{e}^{j{0}^{\circ }}$
3. Векторная диаграмма: векторы тока $\underline{I}$ и напряжения $\underline{U}$ направлены вдоль одной линии.
4. Активная мощность: $P=UI\cos \phi =UI\cos 0^{\circ }=UI=I^{2}R[\text{Вт}]$

---

4.2. Ёмкостный элемент ($C$)

Пусть к конденсатору $C$ приложено напряжение $u(t)=U_m\sin \omega t$ (${\psi }_u=0$).

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  \draw (0,0) -- (1.3,0);
  \draw (1.3,-0.6) -- (1.3,0.6);
  \draw (1.7,-0.6) -- (1.7,0.6);
  \draw (1.7,0) -- (3.0,0);
  \node at (1.5,0.9) {$C$};
  \draw[->] (0.3,0.5) -- (0.9,0.5) node[midway, above] {$i$};
  \draw[->] (0.5,-0.9) -- (2.5,-0.9) node[midway, below] {$u$};
 
  \begin{scope}[shift={(5.0,0)}]
    \draw[->] (-1.0,0) -- (3.0,0) node[right] {$+1$};
    \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[above] {$+j$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.2,0) node[below] {$\underline{U}$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,1.8) node[left] {$\underline{I}$};
    \draw (0.5,0) arc[start angle=0, end angle=90, radius=0.5];
    \node at (0.8,0.5) {$90^\circ$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Связь между током и напряжением на конденсаторе: $i(t)=C\frac{du}{dt}=C\frac{d}{dt}(U_m\sin \omega t)=C\omega U_m\cos \omega t$

Перейдём к базовой функции (синусу): $i(t)=I_m\sin (\omega t+90^{\circ })$ где амплитуда тока: $I_m=\omega C{U}_m=\frac{U_m}{X_C}$

• $X_C=\frac{1}{\omega C}$ — ёмкостное сопротивление [Ом];
• $B_C=\omega C$ — ёмкостная проводимость [См].

Начальная фаза тока: ${\psi }_i=+90^{\circ }$.

Выводы для конденсатора

1. Сдвиг фаз: $\phi ={\psi }_u-{\psi }_i=0^{\circ }-90^{\circ }=-90^{\circ }$ Ток на конденсаторе опережает напряжение на $90^{\circ }$ (напряжение отстаёт от тока на $90^{\circ }$).
2. Комплексное сопротивление конденсатора: ${\underline{Z}}_C=-j{X}_C=\frac{1}{j\omega C}=X_C{e}^{-j90^{\circ }}$
3. Вектор напряжения $\underline{U}$ отстаёт от вектора тока $\underline{I}$ на угол $90^{\circ }$ (по часовой стрелке).
4. Активная мощность конденсатора равна нулю: $P=UI\cos (-90^{\circ })=0$ Энергия не расходуется необратимо, а периодически запасается в электрическом поле конденсатора и возвращается обратно в сеть.
5. Реактивная мощность: $Q_C=-UI=-I^2{X}_C[\text{ВАр}]$

---

4.3. Индуктивный элемент ($L$)

Пусть через катушку индуктивности $L$ протекает ток $i(t)=I_m\sin \omega t$ (${\psi }_i=0$).

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  \draw (0,0) -- (0.8,0);
  \draw (0.8,0) arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.25]
        arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.25]
        arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.25];
  \draw (2.0,0) -- (2.8,0);
  \node at (1.4,0.6) {$L$};
  \draw[->] (0.2,0.4) -- (0.6,0.4) node[midway, above] {$i$};
  \draw[->] (0.4,-0.6) -- (2.4,-0.6) node[midway, below] {$u$};
 
  \begin{scope}[shift={(5.0,0)}]
    \draw[->] (-1.0,0) -- (3.0,0) node[right] {$+1$};
    \draw[->] (0,-1.0) -- (0,2.5) node[above] {$+j$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.0,0) node[below] {$\underline{I}$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,1.8) node[left] {$\underline{U}$};
    \draw (0.5,0) arc[start angle=0, end angle=90, radius=0.5];
    \node at (0.8,0.5) {$90^\circ$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Напряжение на индуктивности определяется законом электромагнитной индукции: $u(t)=L\frac{di}{dt}=L\frac{d}{dt}(I_m\sin \omega t)=\omega L{I}_m\cos \omega t=U_m\sin (\omega t+90^{\circ })$ где амплитуда напряжения: $U_m=\omega L{I}_m=I_m{X}_L$

• $X_L=\omega L$ — индуктивное сопротивление [Ом];
• ${\psi }_u=+90^{\circ }$.

Выводы для индуктивности

1. Сдвиг фаз: $\phi ={\psi }_u-{\psi }_i=90^{\circ }-0^{\circ }=+90^{\circ }$ Напряжение на катушке индуктивности опережает ток на $90^{\circ }$ (ток отстаёт от напряжения на $90^{\circ }$).
2. Комплексное сопротивление катушки: ${\underline{Z}}_L=j{X}_L=j\omega L=X_L{e}^{j90^{\circ }}$
3. Вектор напряжения $\underline{U}$ опережает вектор тока $\underline{I}$ на угол $90^{\circ }$ (против часовой стрелки).
4. Активная мощность катушки равна нулю: $P=UI\cos (90^{\circ })=0$
5. Реактивная мощность: $Q_L=UI=I^2{X}_L[\text{ВАр}]$

---

5. Векторная диаграмма на комплексной плоскости

При совместном анализе элементов цепи вектор тока обычно откладывают вдоль действительной оси $+1$ (${\psi }_i=0$), а векторы напряжений строят с учётом их фазовых сдвигов.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  \draw[->] (-1.0,0) -- (4.0,0) node[right] {$+1$};
  \draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] {$+j$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.5,0) node[above] {$\underline{I},\ \underline{U}_R$};
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,2.0) node[above right] {$\underline{U}_L$};
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,-2.0) node[below right] {$\underline{U}_C$};
 
  \draw (0.4,0) arc[start angle=0, end angle=90, radius=0.4];
  \node at (0.7,0.5) {$+90^\circ$};
 
  \draw (0.4,0) arc[start angle=0, end angle=-90, radius=0.4];
  \node at (0.7,-0.5) {$-90^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

---

6. Сводная таблица параметров элементов

Параметр / Свойство	Резистор ($R$)	Конденсатор ($C$)	Катушка индуктивности ($L$)
Связь мгновенных значений	$u=iR$	$i=C\frac{du}{dt}$	$u=L\frac{di}{dt}$
Сопротивление	$R$	$X_C=\frac{1}{\omega C}$	$X_L=\omega L$
Комплексное сопротивление $\underline{Z}$	$R$	$-j{X}_C=\frac{1}{j\omega C}$	$j{X}_L=j\omega L$
Сдвиг фаз $\phi ={\psi }_u-{\psi }_i$	$0^{\circ }$	$-90^{\circ }$	$+90^{\circ }$
Соотношение по фазе	Ток и напряжение совпадают	Напряжение отстаёт от тока на $90^{\circ }$	Напряжение опережает ток на $90^{\circ }$
Активная мощность ($P$), [Вт]	$P=I^{2}R$	$P=0$	$P=0$
Реактивная мощность ($Q$), [ВАр]	$Q=0$	$Q_C=-I^2{X}_C$	$Q_L=I^2{X}_L$

Главные правила построения векторных диаграмм (выучить наизусть!)

1. На резисторе напряжение и ток совпадают по фазе и направлению.
2. На конденсаторе напряжение отстаёт от тока на $90^{\circ }$ (поворот на $90^{\circ }$ по часовой стрелке).
3. На катушке индуктивности напряжение опережает ток на $90^{\circ }$ (поворот на $90^{\circ }$ против часовой стрелки).