5.1.5-30.09.2026 Цепи синусоидального тока с последовательным соединением элементов. Резонанс напряжений

1. Последовательная цепь $RL$ (активно-индуктивная цепь)

Рассматривается последовательное соединение идеального резистора $R$ и идеальной катушки индуктивности $L$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw (0,0) -- (0.8,0);
  \draw (0.8,-0.3) rectangle (1.8,0.3);
  \node at (1.3,0) {$R$};
  \draw (1.8,0) -- (2.6,0);
  \draw (2.6,0) arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.2]
        arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.2]
        arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.2];
  \node at (3.2,0.5) {$L$};
  \draw (3.8,0) -- (4.6,0);
 
  \draw[->] (0.2,0.4) -- (0.6,0.4) node[midway, above] {$i$};
  \draw[->] (0.9,-0.5) -- (1.7,-0.5) node[midway, below] {$u_R$};
  \draw[->] (2.7,-0.5) -- (3.7,-0.5) node[midway, below] {$u_L$};
  \draw[->] (0.5,-1.1) -- (4.1,-1.1) node[midway, below] {$u$};
 
  \fill (0,0) circle [radius=1.5pt];
  \fill (4.6,0) circle [radius=1.5pt];
\end{tikzpicture}
\end{document}

Пусть к зажимам цепи приложено синусоидальное напряжение: $u(t)=U_m\sin (\omega t+{\psi }_u)$

Параметры элементов $R$, $L$ и частота сети $\omega =2\pi f$ известны. Индуктивное сопротивление катушки: $X_L=\omega L=2\pi fL[\mathrm{\Omega }]$

---

1.1. Составление уравнений по законам Кирхгофа

1. В мгновенных значениях (II закон Кирхгофа): $u(t)=u_R(t)+u_L(t)=iR+L\frac{di}{dt}$

2. В комплексной форме (для действующих значений): $\underline{U}={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_L=\underline{I}R+\underline{I}(j{X}_L)$

   Отсюда по закону Ома выражаем ток цепи: $\underline{I}=\frac{\underline{U}}{R+j{X}_L}=\frac{\underline{U}}{\underline{Z}}=I{e}^{j{\psi }_i}$

Комплексное сопротивление цепи $RL$

$\underline{Z}=R+j{X}_L=z{e}^{j\phi }$

• Полное сопротивление (модуль импеданса): $z=|\underline{Z}|=\sqrt{R^2+X_L^2}[\mathrm{\Omega }]$
• Угол сдвига фаз: $\phi ={\psi }_u-{\psi }_i=\mathrm{arctg}\left(\frac{X_L}{R}\right)$

Поскольку $R>0$ и $X_L>0$, угол сдвига фаз лежит в диапазоне: $0<\phi <90^{\circ }$ Напряжение опережает ток на угол $\phi$. Цепь носит активно-индуктивный характер.

---

1.2. Векторная диаграмма цепи $RL$

Правила построения векторных диаграмм для последовательных цепей

1. Векторная диаграмма строится строго на основании уравнений Кирхгофа ($\underline{U}={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_L$).
2. Построение всегда начинают с общего параметра. Для последовательной цепи общим является ток $\underline{I}$ (он одинаков во всех элементах).
3. Вектор напряжения на резисторе ${\underline{U}}_R$ совпадает по направлению с вектором тока $\underline{I}$.
4. Вектор напряжения на катушке ${\underline{U}}_L$ опережает ток на $90^{\circ }$ (строится из конца вектора ${\underline{U}}_R$ под углом $+90^{\circ }$ против часовой стрелки).
5. Результирующий вектор общего напряжения $\underline{U}$ соединяет начало первого вектора с концом последнего (правило треугольника).

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  \draw[->] (-1.0,0) -- (4.5,0) node[right] {$+1$};
  \draw[->] (0,-1.0) -- (0,3.5) node[above] {$+j$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.5,0) node[below] {$\underline{I},\ \underline{U}_R$};
  \draw[thick, ->] (2.5,0) -- (2.5,2.2) node[right] {$\underline{U}_L = j \underline{I} X_L$};
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.5,2.2) node[above left] {$\underline{U} = \underline{I} \underline{Z}$};
 
  \draw (0.7,0) arc[start angle=0, end angle=41.3, radius=0.7];
  \node at (1.0,0.25) {$\varphi$};
 
  \draw (2.2,0) -- (2.2,0.3) -- (2.5,0.3);
\end{tikzpicture}
\end{document}

---

1.3. Треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей

Разделив стороны треугольника напряжений на ток $I$ или умножив их на ток $I$, получаем подобные прямоугольные треугольники с тем же углом $\phi$:

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \begin{scope}[shift={(0,0)}]
    \draw[thick] (0,0) -- (2.0,0) node[midway, below] {$U_R$} -- (2.0,1.5) node[midway, right] {$U_L$} -- cycle;
    \node at (0.9,1.0) {$U$};
    \draw (0.5,0) arc[start angle=0, end angle=36.8, radius=0.5];
    \node at (0.7,0.2) {$\varphi$};
  \end{scope}
 
  \begin{scope}[shift={(3.5,0)}]
    \draw[thick] (0,0) -- (2.0,0) node[midway, below] {$R$} -- (2.0,1.5) node[midway, right] {$X_L$} -- cycle;
    \node at (0.9,1.0) {$z$};
    \draw (0.5,0) arc[start angle=0, end angle=36.8, radius=0.5];
    \node at (0.7,0.2) {$\varphi$};
  \end{scope}
 
  \begin{scope}[shift={(7.0,0)}]
    \draw[thick] (0,0) -- (2.0,0) node[midway, below] {$P$} -- (2.0,1.5) node[midway, right] {$Q_L$} -- cycle;
    \node at (0.9,1.0) {$S$};
    \draw (0.5,0) arc[start angle=0, end angle=36.8, radius=0.5];
    \node at (0.7,0.2) {$\varphi$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Мощности цепи $RL$

• Активная мощность ($P$): выделяется на резисторе, переходит в тепло: $P=UI\cos \phi =I^{2}R[\mathrm{W}]$
• Реактивная мощность ($Q_L$): характеризует энергообмен между источником и магнитным полем катушки: $Q_L=UI\sin \phi =I^2{X}_L[\mathrm{var}]$
• Полная мощность ($S$): $S=UI=I^{2}z=\sqrt{P^2+Q_L^2}[\mathrm{V}\cdot \mathrm{A}]$
• Комплексная мощность: $\underline{S}=P+j{Q}_L=\underline{U}{\underline{I}}^{\ast }$ (где ${\underline{I}}^{\ast }$ — сопряжённый комплекс тока).

---

2. Последовательная цепь $RC$ (активно-ёмкостная цепь)

Рассматривается последовательное соединение идеального резистора $R$ и идеального конденсатора $C$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw (0,0) -- (0.8,0);
  \draw (0.8,-0.3) rectangle (1.8,0.3);
  \node at (1.3,0) {$R$};
  \draw (1.8,0) -- (2.6,0);
  \draw (2.6,-0.4) -- (2.6,0.4);
  \draw (2.9,-0.4) -- (2.9,0.4);
  \node at (2.75,0.6) {$C$};
  \draw (2.9,0) -- (3.8,0);
 
  \draw[->] (0.2,0.4) -- (0.6,0.4) node[midway, above] {$i$};
  \draw[->] (0.9,-0.5) -- (1.7,-0.5) node[midway, below] {$u_R$};
  \draw[->] (2.5,-0.6) -- (3.1,-0.6) node[midway, below] {$u_C$};
  \draw[->] (0.5,-1.1) -- (3.3,-1.1) node[midway, below] {$u$};
 
  \fill (0,0) circle [radius=1.5pt];
  \fill (3.8,0) circle [radius=1.5pt];
\end{tikzpicture}
\end{document}

Пусть $u(t)=U_m\sin (\omega t+{\psi }_u)$. Ёмкостное сопротивление: $X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}[\mathrm{\Omega }]$

---

2.1. Составление уравнений

1. В мгновенных значениях: $u(t)=u_R(t)+u_C(t)=iR+\frac{1}{C}\int idt$

2. В комплексной форме: $\underline{U}={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_C=\underline{I}R+\underline{I}(-j{X}_C)=\underline{I}(R-j{X}_C)$ $\underline{I}=\frac{\underline{U}}{R-j{X}_C}=\frac{\underline{U}}{\underline{Z}}$

Комплексное сопротивление цепи $RC$

$\underline{Z}=R-j{X}_C=z{e}^{j\phi }$

• Полное сопротивление: $z=\sqrt{R^2+X_C^2}[\mathrm{\Omega }]$
• Угол сдвига фаз: $\phi ={\psi }_u-{\psi }_i=\mathrm{arctg}\left(\frac{-X_C}{R}\right)=-\mathrm{arctg}\left(\frac{X_C}{R}\right)$

Угол сдвига фаз отрицателен: $-90^{\circ }<\phi <0$ Напряжение отстаёт от тока на угол $|\phi |$ (ток опережает напряжение). Цепь носит активно-ёмкостный характер.

---

2.2. Векторная диаграмма цепи $RC$

Напряжение ${\underline{U}}_R$ направлено по току $\underline{I}$, а напряжение на конденсаторе ${\underline{U}}_C$ отстаёт от тока на $90^{\circ }$ (строится из конца вектора ${\underline{U}}_R$ вниз под углом $-90^{\circ }$ по часовой стрелке).

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  \draw[->] (-1.0,0) -- (4.5,0) node[right] {$+1$};
  \draw[->] (0,-3.0) -- (0,1.5) node[above] {$+j$};
  \node[above left] at (0,0) {$0$};
 
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.5,0) node[above] {$\underline{I},\ \underline{U}_R$};
  \draw[thick, ->] (2.5,0) -- (2.5,-2.2) node[right] {$\underline{U}_C = -j \underline{I} X_C$};
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.5,-2.2) node[below left] {$\underline{U}$};
 
  \draw (0.7,0) arc[start angle=0, end angle=-41.3, radius=0.7];
  \node at (1.0,-0.25) {$\varphi$};
 
  \draw (2.2,0) -- (2.2,-0.3) -- (2.5,-0.3);
\end{tikzpicture}
\end{document}

2.3. Мощности цепи $RC$

• Активная мощность: $P=UI\cos \phi =I^{2}R$ [Вт];
• Реактивная мощность: отрицательна, так как конденсатор генерирует реактивную мощность: $Q_C=UI\sin \phi =-I^2{X}_C[\mathrm{var}]$
• Полная мощность: $S=\sqrt{P^2+Q_C^2}=UI$ [В·А];
• Комплексная мощность: $\underline{S}=P-j{Q}_C=\underline{U}{\underline{I}}^{\ast }$.

---

3. Моделирование реальных элементов цепи

Реальные элементы обладают сопутствующими потерями и не являются идеальными. В расчётных схемах они представляются эквивалентными схемами замещения.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \begin{scope}[shift={(0,0)}]
    \draw (0,0) -- (0.5,0);
    \draw (0.5,-0.25) rectangle (1.3,0.25);
    \node at (0.9,0) {$R_L$};
    \draw (1.3,0) -- (1.7,0);
    \draw (1.7,0) arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.2]
          arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.2];
    \draw (2.5,0) -- (3.0,0);
    \node at (2.1,0.4) {$L$};
    \draw[dashed] (0.3,-0.5) rectangle (2.8,0.7);
  \end{scope}
 
  \begin{scope}[shift={(5.0,0)}]
    \draw (0,0) -- (0.6,0) -- (0.6,0.6) -- (1.0,0.6);
    \draw (1.0,0.35) rectangle (1.8,0.85);
    \node at (1.4,0.6) {$R_C$};
    \draw (1.8,0.6) -- (2.2,0.6) -- (2.2,0) -- (2.8,0);
 
    \draw (0.6,0) -- (0.6,-0.6) -- (1.3,-0.6);
    \draw (1.3,-0.9) -- (1.3,-0.3);
    \draw (1.5,-0.9) -- (1.5,-0.3);
    \node at (1.4,-0.1) {$C$};
    \draw (1.5,-0.6) -- (2.2,-0.6);
    \draw[dashed] (0.4,-1.1) rectangle (2.4,1.1);
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

1. Реальная катушка индуктивности:

   • Провод обмотки обладает омическим сопротивлением $R_L$.
   • Схема замещения: последовательное соединение активного сопротивления $R_L$ и идеальной индуктивности $L$ ($X_L=\omega L$).
   • Комплексное сопротивление: ${\underline{Z}}_L=R_L+j{X}_L$.

2. Реальный конденсатор:

   • Диэлектрик имеет ток утечки и диэлектрические потери, характеризуемые сопротивлением потерь $R_C$ (или проводимостью $g_C=1/R_C$).
   • Схема замещения: параллельное соединение ёмкости $C$ ($B_C=\omega C$) и активной проводимости $g_C$.
   • Комплексная проводимость: ${\underline{Y}}_C=g_C+j{B}_C$.

---

4. Экспериментальное определение параметров катушки индуктивности

---

Метод трёх вольтметров

Метод позволяет определить активное сопротивление $R_L$ и индуктивность $L$ реальной катушки без амперметра с фазометром, используя только показания трёх вольтметров и амперметра.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw (0,0) -- (0.5,0);
  \draw (0.8,0) circle [radius=0.3];
  \node at (0.8,0) {$A$};
  \draw (1.1,0) -- (1.6,0);
  \draw (1.6,-0.25) rectangle (2.6,0.25);
  \node at (2.1,0) {$R_1$};
  \draw (2.6,0) -- (3.2,0);
 
  \draw (3.2,-0.25) rectangle (4.0,0.25);
  \node at (3.6,0) {$R_L$};
  \draw (4.0,0) -- (4.3,0);
  \draw (4.3,0) arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.2]
        arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.2];
  \draw (5.1,0) -- (5.6,0);
  \node at (4.7,0.4) {$L$};
 
  \draw (1.4,0) -- (1.4,1.0) -- (1.8,1.0);
  \draw (2.1,1.0) circle [radius=0.3];
  \node at (2.1,1.0) {$V_1$};
  \draw (2.4,1.0) -- (2.8,1.0) -- (2.8,0);
 
  \draw (3.0,0) -- (3.0,1.0) -- (4.1,1.0);
  \draw (4.4,1.0) circle [radius=0.3];
  \node at (4.4,1.0) {$V_2$};
  \draw (4.7,1.0) -- (5.3,1.0) -- (5.3,0);
 
  \draw (1.3,0) -- (1.3,-1.0) -- (3.1,-1.0);
  \draw (3.4,-1.0) circle [radius=0.3];
  \node at (3.4,-1.0) {$V_3$};
  \draw (3.7,-1.0) -- (5.5,-1.0) -- (5.5,0);
\end{tikzpicture}
\end{document}

• Вольтметр $V_1$ измеряет напряжение на образцовом резисторе: $U_1=I{R}_1$;
• Вольтметр $V_2$ измеряет напряжение на катушке: $U_{coil}=I{z}_{coil}=I\sqrt{R_L^2+X_L^2}$;
• Вольтметр $V_3$ измеряет общее напряжение цепи: $U=I{z}_{total}$;
• Частота питающего напряжения $f$ фиксируется.

Графическое построение векторной диаграммы:

1. В выбранном масштабе откладывается горизонтальный отрезок вектора тока $\underline{I}$ и вектор ${\underline{U}}_1={\underline{U}}_{R1}$ по току.
2. Из конца вектора ${\underline{U}}_1$ циркулем делается засечка радиусом, равным значению $U_{coil}$ (показание $V_2$).
3. Из начала вектора ${\underline{U}}_1$ циркулем делается засечка радиусом общего напряжения $U$ (показание $V_3$).
4. Точка пересечения засечек однозначно восстанавливает треугольник напряжений:

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.0,0) node[midway, below] {$U_1$};
  \draw[thick, ->] (2.0,0) -- (3.8,1.6) node[midway, above left] {$U_{coil}$};
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (3.8,1.6) node[midway, above left] {$U$};
 
  \draw[dashed] (3.8,1.6) -- (3.8,0);
  \draw[dashed] (2.0,0) -- (3.8,0) node[midway, below] {$U_{aL}$};
  \draw[dashed] (3.8,0) -- (3.8,1.6) node[midway, right] {$U_{rL}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Опустив перпендикуляр из вершины на горизонталь, получаем:

• Активное падение напряжения на катушке: $U_{aL}$;
• Реактивное падение напряжения на катушке: $U_{rL}$.

Расчёт параметров катушки:

$R_L=\frac{U_{aL}}{I},X_L=\frac{U_{rL}}{I},L=\frac{X_L}{2\pi f}$

---

5. Последовательная цепь $RLC$. Резонанс напряжений

Цепь состоит из последовательно соединённых резистора $R$, индуктивности $L$ и ёмкости $C$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw (0,0) -- (0.6,0);
  \draw (0.6,-0.25) rectangle (1.4,0.25);
  \node at (1.0,0) {$R$};
  \draw (1.4,0) -- (1.8,0);
  \draw (1.8,0) arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.15]
        arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.15]
        arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.15];
  \node at (2.25,0.4) {$L$};
  \draw (2.7,0) -- (3.2,0);
  \draw (3.2,-0.35) -- (3.2,0.35);
  \draw (3.4,-0.35) -- (3.4,0.35);
  \node at (3.3,0.55) {$C$};
  \draw (3.4,0) -- (4.0,0);
 
  \draw[->] (0.2,0.4) -- (0.5,0.4) node[midway, above] {$i$};
  \draw[->] (0.4,-0.7) -- (3.6,-0.7) node[midway, below] {$u$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

5.1. Уравнения цепи

1. В мгновенных значениях: $u(t)=iR+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int idt$

2. В комплексной форме: $\underline{U}={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_L+{\underline{U}}_C=\underline{I}R+j\underline{I}{X}_L-j\underline{I}{X}_C=\underline{I}(R+j(X_L-X_C))$ $\underline{I}=\frac{\underline{U}}{\underline{Z}}$

Комплексное сопротивление цепи $RLC$

$\underline{Z}=R+j(X_L-X_C)=z{e}^{j\phi }$

• Полное сопротивление: $z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$
• Угол сдвига фаз: $\phi =\mathrm{arctg}\left(\frac{X_L-X_C}{R}\right)$

---

5.2. Три режима работы цепи $RLC$

В зависимости от соотношения реактивных сопротивлений $X_L$ и $X_C$ возможны три случая:

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \begin{scope}[shift={(0,0)}]
    \draw[->] (-0.5,0) -- (2.8,0) node[right] {$+1$};
    \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[above] {$+j$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (1.6,0) node[below] {$\underline{I}$};
    \draw[thick, ->] (1.6,0) -- (1.6,1.8) node[right] {$\underline{U}_L$};
    \draw[thick, ->] (1.6,1.8) -- (1.6,1.0) node[right] {$\underline{U}_C$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (1.6,1.0) node[above left] {$\underline{U}$};
    \draw (0.5,0) arc[start angle=0, end angle=32, radius=0.5];
    \node at (0.7,0.2) {$\varphi$};
  \end{scope}
 
  \begin{scope}[shift={(4.5,0)}]
    \draw[->] (-0.5,0) -- (2.8,0) node[right] {$+1$};
    \draw[->] (0,-2.0) -- (0,2.0) node[above] {$+j$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (1.6,0) node[above] {$\underline{I}$};
    \draw[thick, ->] (1.6,0) -- (1.6,0.8) node[right] {$\underline{U}_L$};
    \draw[thick, ->] (1.6,0.8) -- (1.6,-1.1) node[right] {$\underline{U}_C$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (1.6,-1.1) node[below left] {$\underline{U}$};
    \draw (0.5,0) arc[start angle=0, end angle=-34.5, radius=0.5];
    \node at (0.7,-0.2) {$\varphi$};
  \end{scope}
 
  \begin{scope}[shift={(9.0,0)}]
    \draw[->] (-0.5,0) -- (2.8,0) node[right] {$+1$};
    \draw[->] (0,-1.8) -- (0,2.0) node[above] {$+j$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (1.6,0) node[below] {$\underline{I}$};
    \draw[thick, ->] (1.6,0) -- (1.6,1.4) node[right] {$\underline{U}_L$};
    \draw[thick, ->] (1.6,1.4) -- (1.6,0);
    \node[left] at (1.6,0.7) {$\underline{U}_C$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (1.6,0) node[above] {$\underline{U}$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

1. $X_L>X_C$ (активно-индуктивный режим):
   • $\phi >0$ — напряжение опережает ток;
   • Вектор ${\underline{U}}_L$ длиннее вектора ${\underline{U}}_C$.
2. $X_L<X_C$ (активно-ёмкостный режим):
   • $\phi <0$ — напряжение отстаёт от тока;
   • Вектор ${\underline{U}}_C$ длиннее вектора ${\underline{U}}_L$.
3. $X_L=X_C$ (резонанс напряжений):
   • $\phi =0$ — напряжение и ток совпадают по фазе;
   • Реактивные напряжения полностью компенсируют друг друга: ${\underline{U}}_L+{\underline{U}}_C=0$.

---

5.3. Резонанс напряжений

Определение

Резонансом напряжений называется режим работы последовательного колебательного контура ($RLC$), при котором реактивное сопротивление цепи равно нулю, а ток и входное напряжение совпадают по фазе.

Условие резонанса:

$X_L=X_C⟺\omega L=\frac{1}{\omega C}$

• Резонансная круговая частота (формула Томсона): ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

Признаки и свойства резонанса напряжений:

1. Полное сопротивление цепи минимально и чисто активно: $z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}=R$
2. Ток в цепи максимален и находится в фазе с входным напряжением: $I_0=\frac{U}{R}$
3. Реактивные напряжения равны по величине и противоположны по фазе: $U_L=U_C=I_0{X}_L=I_0{X}_C$ На векторной диаграмме эти векторы взаимно уничтожаются, поэтому общее напряжение падает только на резисторе: $\underline{U}={\underline{U}}_R$.
4. Реактивная мощность цепи равна нулю: $Q=Q_L-Q_C=0$ Коэффициент мощности максимален: $\cos \phi =1$.
5. Характеристическое сопротивление контура $\rho$ и добротность $Q_{qual}$: $\rho =\sqrt{\frac{L}{C}}=X_{L0}=X_{C0}[\mathrm{\Omega }]$ Добротность контура: $Q_{qual}=\frac{\rho }{R}=\frac{U_L}{U}=\frac{U_C}{U}$

   Опасность резонанса напряжений в силовых сетях $Q_{qual}>1$ (при малом $R$), то напряжения на катушке и конденсаторе могут во много раз превышать напряжение питающей сети ($U_L=U_C\gg U$), что способно вызвать пробой изоляции оборудования. В радиотехнике это свойство, напротив, используется для избирательного усиления сигнала.

   Если добротность

Физическая картина энергообмена:

При резонансе суммарная энергия электромагнитного поля контура остаётся постоянной. Происходит непрерывное перекачивание энергии из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно: $W_L(t)+W_C(t)=\frac{L{i}^2(t)}{2}+\frac{C{u}_C^2(t)}{2}=\mathrm{const}$ Источник энергии компенсирует только необратимые тепловые потери на активном сопротивлении $R$.