6.1.6-07.10.2026 Параллельные цепи переменного тока. Резонанс токов. Цепи с реальными элементами

1. Параллельная цепь $RL$

Рассматривается параллельное соединение активного резистора $R$ и идеальной катушки индуктивности $L$, подключённых к источнику синусоидального напряжения.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw (0,0) -- (1.5,0);
  \draw (0,2.5) -- (1.5,2.5);
 
  \fill (1.5,0) circle [radius=1.5pt];
  \fill (1.5,2.5) circle [radius=1.5pt];
 
  \draw (1.5,2.5) -- (1.5,1.6);
  \draw (1.2,0.9) rectangle (1.8,1.6);
  \node at (1.5,1.25) {$R$};
  \draw (1.5,0.9) -- (1.5,0);
  \draw[->] (1.5,2.3) -- (1.5,1.8) node[midway, right] {$i_R$};
 
  \draw (1.5,2.5) -- (3.0,2.5) -- (3.0,1.9);
  \draw (3.0,1.9) arc[start angle=90, end angle=-90, radius=0.15]
        arc[start angle=90, end angle=-90, radius=0.15]
        arc[start angle=90, end angle=-90, radius=0.15];
  \node at (3.4,1.45) {$L$};
  \draw (3.0,1.0) -- (3.0,0) -- (1.5,0);
  \draw[->] (3.0,2.3) -- (3.0,1.8) node[midway, right] {$i_L$};
 
  \draw[->] (0.4,2.7) -- (1.0,2.7) node[midway, above] {$i$};
  \draw[->] (0.3,2.2) -- (0.3,0.3) node[midway, left] {$u$};
 
  \fill (0,0) circle [radius=1.5pt];
  \fill (0,2.5) circle [radius=1.5pt];
\end{tikzpicture}
\end{document}

Пусть напряжение источника задано выражением: $u(t)=U_m\sin \omega t⟹{\psi }_u=0,\underline{U}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}{e}^{j{0}^{\circ }}=U$

---

1.1. Уравнения цепи по первому закону Кирхгофа

1. В мгновенных значениях: $i(t)=i_R(t)+i_L(t)=u\cdot g+\frac{1}{L}\int udt$ $i(t)=U_{m}g\sin \omega t+U_m{b}_L\sin (\omega t-90^{\circ })$

2. В комплексной форме: $\underline{I}={\underline{I}}_R+{\underline{I}}_L=\underline{U}g+\underline{U}(-j{b}_L)=\underline{U}(g-j{b}_L)$

Проводимости в параллельной цепи

• $g=\frac{1}{R}$ — активная проводимость ветви $[\mathrm{Sm}]$ (Сименс);
• $b_L=\frac{1}{X_L}=\frac{1}{\omega L}$ — индуктивная реактивная проводимость $[\mathrm{Sm}]$;
• $\underline{Y}=g-j{b}_L=y{e}^{-j\phi }$ — комплексная полная проводимость (адмиттанс): $y=|\underline{Y}|=\sqrt{g^2+b_L^2},\phi =\mathrm{arctg}\left(\frac{b_L}{g}\right)>0$

По закону Ома в комплексной форме: $\underline{I}=\underline{U}\cdot \underline{Y}=I{e}^{-j\phi }$ Начальная фаза тока ${\psi }_i=-\phi <0$. Ток отстаёт от напряжения на угол $\phi$. Цепь носит активно-индуктивный характер.

---

1.2. Векторная диаграмма параллельной цепи $RL$

Правило построения диаграмм для параллельных цепей

1. В параллельной цепи общим параметром является напряжение $\underline{U}$, поэтому его откладывают по положительной вещественной оси $+1$.
2. Вектор тока резистора ${\underline{I}}_R$ направлен по напряжению $\underline{U}$.
3. Вектор тока индуктивности ${\underline{I}}_L$ отстаёт от напряжения на $90^{\circ }$ (направлен вниз вдоль оси $-j$).
4. Результирующий ток $\underline{I}$ строится по правилу параллелограмма.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  \draw[->] (-0.8,0) -- (4.0,0) node[right] {$+1$};
  \draw[->] (0,-2.8) -- (0,1.5) node[above] {$+j$};
  \node[above left] at (0,0) {$0$};
 
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (3.0,0) node[above] {$\underline{U},\ \underline{I}_R$};
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,-2.0) node[left] {$\underline{I}_L = -j \underline{U} b_L$};
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (3.0,-2.0) node[below right] {$\underline{I} = \underline{U} \underline{Y}$};
 
  \draw[dashed] (3.0,0) -- (3.0,-2.0);
  \draw[dashed] (0,-2.0) -- (3.0,-2.0);
 
  \draw (0.8,0) arc[start angle=0, end angle=-33.7, radius=0.8];
  \node at (1.1,-0.25) {$-\varphi$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

---

1.3. Треугольники токов, проводимостей и мощностей

Разделив стороны треугольника токов на $U$ или умножив их на $U$, получаем подобные треугольники:

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \begin{scope}[shift={(0,0)}]
    \draw[thick] (0,0) -- (2.2,0) node[midway, above] {$I_R$} -- (2.2,-1.5) node[midway, right] {$I_L$} -- cycle;
    \node at (1.0,-1.0) {$I$};
    \draw (0.6,0) arc[start angle=0, end angle=-34.3, radius=0.6];
    \node at (0.8,-0.2) {$\varphi$};
  \end{scope}
 
  \begin{scope}[shift={(3.8,0)}]
    \draw[thick] (0,0) -- (2.2,0) node[midway, above] {$g$} -- (2.2,-1.5) node[midway, right] {$b_L$} -- cycle;
    \node at (1.0,-1.0) {$y$};
    \draw (0.6,0) arc[start angle=0, end angle=-34.3, radius=0.6];
    \node at (0.8,-0.2) {$\varphi$};
  \end{scope}
 
  \begin{scope}[shift={(7.6,0)}]
    \draw[thick] (0,0) -- (2.2,0) node[midway, above] {$P$} -- (2.2,-1.5) node[midway, right] {$Q_L$} -- cycle;
    \node at (1.0,-1.0) {$S$};
    \draw (0.6,0) arc[start angle=0, end angle=-34.3, radius=0.6];
    \node at (0.8,-0.2) {$\varphi$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

• Активная мощность: $P=U^{2}g=UI\cos \phi =I_R^{2}R[\mathrm{W}]$
• Реактивная мощность: $Q_L=U^2{b}_L=UI\sin \phi =I_L^2{X}_L[\mathrm{var}]$
• Полная мощность: $S=U^{2}y=UI=\sqrt{P^2+Q_L^2}[\mathrm{V}\cdot \mathrm{A}]$
• Комплексная мощность: $\underline{S}=P+j{Q}_L=\underline{U}{\underline{I}}^{\ast }$

---

2. Параллельная цепь $RC$

Рассматривается параллельное соединение активного резистора $R$ и конденсатора $C$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw (0,0) -- (1.5,0);
  \draw (0,2.5) -- (1.5,2.5);
 
  \fill (1.5,0) circle [radius=1.5pt];
  \fill (1.5,2.5) circle [radius=1.5pt];
 
  \draw (1.5,2.5) -- (1.5,1.6);
  \draw (1.2,0.9) rectangle (1.8,1.6);
  \node at (1.5,1.25) {$R$};
  \draw (1.5,0.9) -- (1.5,0);
  \draw[->] (1.5,2.3) -- (1.5,1.8) node[midway, right] {$i_R$};
 
  \draw (1.5,2.5) -- (3.0,2.5) -- (3.0,1.4);
  \draw (2.7,1.4) -- (3.3,1.4);
  \draw (2.7,1.1) -- (3.3,1.1);
  \node at (3.5,1.25) {$C$};
  \draw (3.0,1.1) -- (3.0,0) -- (1.5,0);
  \draw[->] (3.0,2.3) -- (3.0,1.8) node[midway, right] {$i_C$};
 
  \draw[->] (0.4,2.7) -- (1.0,2.7) node[midway, above] {$i$};
  \draw[->] (0.3,2.2) -- (0.3,0.3) node[midway, left] {$u$};
 
  \fill (0,0) circle [radius=1.5pt];
  \fill (0,2.5) circle [radius=1.5pt];
\end{tikzpicture}
\end{document}

2.1. Уравнения цепи и проводимости

1. В мгновенных значениях: $i(t)=i_R(t)+i_C(t)=u\cdot g+C\frac{du}{dt}=U_{m}g\sin \omega t+U_m{b}_C\sin (\omega t+90^{\circ })$

2. В комплексной форме: $\underline{I}={\underline{I}}_R+{\underline{I}}_C=\underline{U}g+\underline{U}(j{b}_C)=\underline{U}(g+j{b}_C)=\underline{U}\underline{Y}$

Проводимости цепи $RC$

• $b_C=\omega C=\frac{1}{X_C}$ — ёмкостная проводимость $[\mathrm{Sm}]$;
• $\underline{Y}=g+j{b}_C=y{e}^{j\phi }$ — комплексная проводимость: $y=\sqrt{g^2+b_C^2},\phi =\mathrm{arctg}\left(\frac{b_C}{g}\right)>0$

Ток опережает напряжение на угол $\phi$. Цепь носит активно-ёмкостный характер.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  \draw[->] (-0.8,0) -- (4.0,0) node[right] {$+1$};
  \draw[->] (0,-1.0) -- (0,2.8) node[above] {$+j$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (3.0,0) node[below] {$\underline{U},\ \underline{I}_R$};
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,2.0) node[left] {$\underline{I}_C = j \underline{U} b_C$};
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (3.0,2.0) node[above right] {$\underline{I} = \underline{U} \underline{Y}$};
 
  \draw[dashed] (3.0,0) -- (3.0,2.0);
  \draw[dashed] (0,2.0) -- (3.0,2.0);
 
  \draw (0.8,0) arc[start angle=0, end angle=33.7, radius=0.8];
  \node at (1.1,0.25) {$\varphi$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

---

3. Параллельная цепь $RLC$. Резонанс токов

Параллельное соединение резистора $R$, катушки $L$ и конденсатора $C$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw (0,0) -- (4.5,0);
  \draw (0,2.5) -- (4.5,2.5);
 
  \fill (1.5,0) circle [radius=1.5pt]; \fill (1.5,2.5) circle [radius=1.5pt];
  \fill (3.0,0) circle [radius=1.5pt]; \fill (3.0,2.5) circle [radius=1.5pt];
 
  \draw (1.5,2.5) -- (1.5,1.6);
  \draw (1.2,0.9) rectangle (1.8,1.6); \node at (1.5,1.25) {$R$};
  \draw (1.5,0.9) -- (1.5,0);
  \draw[->] (1.5,2.3) -- (1.5,1.8) node[midway, right] {$i_R$};
 
  \draw (3.0,2.5) -- (3.0,1.9);
  \draw (3.0,1.9) arc[start angle=90, end angle=-90, radius=0.15]
        arc[start angle=90, end angle=-90, radius=0.15]
        arc[start angle=90, end angle=-90, radius=0.15];
  \node at (3.4,1.45) {$L$};
  \draw (3.0,1.0) -- (3.0,0);
  \draw[->] (3.0,2.3) -- (3.0,1.8) node[midway, right] {$i_L$};
 
  \draw (4.5,2.5) -- (4.5,1.4);
  \draw (4.2,1.4) -- (4.8,1.4);
  \draw (4.2,1.1) -- (4.8,1.1);
  \node at (5.0,1.25) {$C$};
  \draw (4.5,1.1) -- (4.5,0);
  \draw[->] (4.5,2.3) -- (4.5,1.8) node[midway, right] {$i_C$};
 
  \draw[->] (0.4,2.7) -- (1.0,2.7) node[midway, above] {$i$};
  \draw[->] (0.3,2.2) -- (0.3,0.3) node[midway, left] {$u$};
 
  \fill (0,0) circle [radius=1.5pt];
  \fill (0,2.5) circle [radius=1.5pt];
\end{tikzpicture}
\end{document}

3.1. Уравнения цепи и проводимость

$\underline{I}={\underline{I}}_R+{\underline{I}}_L+{\underline{I}}_C=\underline{U}(g-j{b}_L+j{b}_C)=\underline{U}(g-j(b_L-b_C))$

Комплексная проводимость параллельного контура

$\underline{Y}=g-j(b_L-b_C)=g-jb=y{e}^{-j\phi }$

• Полная проводимость: $y=\sqrt{g^2+(b_L-b_C{)}^2}$
• Угол сдвига фаз: $\phi =\mathrm{arctg}\left(\frac{b_L-b_C}{g}\right)$

---

3.2. Три режима работы параллельной цепи

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \begin{scope}[shift={(0,0)}]
    \draw[->] (-0.5,0) -- (3.0,0) node[right] {$+1$};
    \draw[->] (0,-2.2) -- (0,2.0) node[above] {$+j$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.0,0) node[above] {$\underline{U},\ \underline{I}_R$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,-1.8) node[left] {$\underline{I}_L$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,0.8) node[left] {$\underline{I}_C$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.0,-1.0) node[below right] {$\underline{I}$};
    \draw[dashed] (2.0,0) -- (2.0,-1.0) -- (0,-1.0);
    \draw (0.6,0) arc[start angle=0, end angle=-26.5, radius=0.6];
    \node at (0.9,-0.2) {$-\varphi$};
  \end{scope}
 
  \begin{scope}[shift={(4.5,0)}]
    \draw[->] (-0.5,0) -- (3.0,0) node[right] {$+1$};
    \draw[->] (0,-1.5) -- (0,2.5) node[above] {$+j$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.0,0) node[below] {$\underline{U},\ \underline{I}_R$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,-0.8) node[left] {$\underline{I}_L$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,1.8) node[left] {$\underline{I}_C$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.0,1.0) node[above right] {$\underline{I}$};
    \draw[dashed] (2.0,0) -- (2.0,1.0) -- (0,1.0);
    \draw (0.6,0) arc[start angle=0, end angle=26.5, radius=0.6];
    \node at (0.9,0.2) {$\varphi$};
  \end{scope}
 
  \begin{scope}[shift={(9.0,0)}]
    \draw[->] (-0.5,0) -- (3.0,0) node[right] {$+1$};
    \draw[->] (0,-2.0) -- (0,2.0) node[above] {$+j$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.0,0) node[below] {$\underline{U},\ \underline{I} = \underline{I}_R$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,-1.5) node[left] {$\underline{I}_L$};
    \draw[thick, ->] (0,0) -- (0,1.5) node[left] {$\underline{I}_C$};
    \node[above right] at (1.0,0.3) {$\varphi = 0$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

1. $b_L>b_C$ ($I_L>I_C$, индуктивный характер):
   • Ток отстаёт от напряжения ($\phi >0$);
   • Вектор общего тока $\underline{I}$ лежит в IV квадранте.
2. $b_L<b_C$ ($I_C>I_L$, ёмкостный характер):
   • Ток опережает напряжение ($\phi <0$);
   • Вектор общего тока $\underline{I}$ лежит в I квадранте.
3. $b_L=b_C$ ($I_L=I_C$, резонанс токов):
   • Ток и напряжение совпадают по фазе ($\phi =0$);
   • Реактивные токи катушки и конденсатора равны по величине и направлены противоположно (${\underline{I}}_L+{\underline{I}}_C=0$).

---

3.3. Резонанс токов

Определение

Резонансом токов называется режим работы цепи с параллельными индуктивной и ёмкостной ветвями, при котором общая реактивная проводимость цепи равна нулю ($b=0$), а общий ток совпадает по фазе с приложенным напряжением.

Условие резонанса токов:

$b_L=b_C⟺\frac{1}{\omega L}=\omega C$ ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

Признаки и свойства резонанса токов:

1. Полная проводимость цепи минимальна и чисто активна: $y_{\min }=g$
2. Полное сопротивление цепи максимально: $z_{\max }=\frac{1}{y_{\min }}=R$
3. Общий ток цепи минимален и совпадает по фазе с напряжением: $I_{\min }=U\cdot g=\frac{U}{R}$
4. Токи в реактивных ветвях равны по величине: $I_L=I_C=U\cdot b_0=U{\omega }_{0}C=\frac{U}{{\omega }_{0}L}$ При малых активных потерях ($g\ll b$) токи в ветвях катушки и конденсатора могут во много раз превышать общий ток, потребляемый от источника ($I_L=I_C\gg I$). Это явление безопасно для питающей сети, но требует учёта при выборе сечения проводов внутри колебательного контура.

---

4. Частотные характеристики колебательного контура

Частотными характеристиками называются зависимости сопротивлений, проводимостей, токов и напряжений от частоты питающего генератора $\omega$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  \begin{scope}[shift={(0,0)}]
    \draw[->] (0,0) -- (4.5,0) node[right] {$\omega$};
    \draw[->] (0,0) -- (0,3.5) node[above] {$R, X_L, X_C, z$};
    \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
    \draw[thick] (0,0.8) -- (4.0,0.8) node[right] {$R$};
    \draw[thick] (0,0) -- (3.5,3.0) node[right] {$X_L = \omega L$};
    \draw[thick] plot[domain=0.35:4.0, samples=50] (\x, {0.9/\x}) node[right] {$X_C = \frac{1}{\omega C}$};
 
    \draw[thick, dashed] plot[domain=0.4:3.8, samples=50] (\x, {sqrt(0.8*0.8 + (0.85*\x - 0.9/\x)*(0.85*\x - 0.9/\x))});
    \node[above] at (3.2,2.4) {$z(\omega)$};
 
    \draw[dotted] (1.03,0) -- (1.03,0.8);
    \node[below] at (1.03,0) {$\omega_0$};
  \end{scope}
 
  \begin{scope}[shift={(5.5,0)}]
    \draw[->] (0,0) -- (4.5,0) node[right] {$\omega$};
    \draw[->] (0,0) -- (0,3.5) node[above] {$I(\omega)$};
    \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
    \draw[thick] plot[domain=0.2:3.8, samples=80] (\x, {3.0 / (1.0 + 8.0*(\x - 1.8)*(\x - 1.8))});
    \draw[thick, dashed] plot[domain=0.2:3.8, samples=80] (\x, {1.8 / (1.0 + 2.0*(\x - 1.8)*(\x - 1.8))});
 
    \draw[dotted] (1.8,0) -- (1.8,3.0);
    \node[below] at (1.8,0) {$\omega_0$};
    \node[above] at (1.8,3.0) {$I_{\max}$};
 
    \node[right] at (2.4,2.2) {$Q_1 > Q_2$};
    \node[right] at (2.6,1.0) {$Q_2$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Добротность и полоса пропускания контура

• Добротность ($Q$): показывает, во сколько раз напряжение на реактивных элементах при резонансе превышает входное напряжение контура: $Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}CR}=\frac{\rho }{R}$
• Полоса пропускания ($\Delta \omega$): диапазон частот вблизи ${\omega }_0$, на границах которого ток падает до уровня $\frac{I_{\max }}{\sqrt{2}}\approx 0,707I_{\max }$: $\Delta \omega =\frac{{\omega }_0}{Q}$ Чем выше добротность контура ($Q\gg 1$), тем острее резонансная кривая и тем выше избирательность контура к рабочей частоте ${\omega }_0$.

---

5. Цепи переменного тока с реальными элементами

В реальных цепях катушка индуктивности обладает сопротивлением обмотки $R_L$, а конденсатор — сопротивлением диэлектрических потерь $R_C$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw (0,0) -- (1.0,0);
  \draw (1.0,-0.3) rectangle (2.0,0.3);
  \node at (1.5,0) {$R$};
  \draw (2.0,0) -- (2.6,0);
 
  \draw (2.6,-0.3) rectangle (3.4,0.3);
  \node at (3.0,0) {$R_L$};
  \draw (3.4,0) -- (3.8,0);
  \draw (3.8,0) arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.2]
        arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.2];
  \node at (4.2,0.45) {$L$};
  \draw (4.6,0) -- (5.2,0);
  \draw[dashed] (2.4,-0.6) rectangle (4.9,0.7);
  \node[above] at (3.65,0.7) {$Coil$};
 
  \draw (5.2,0) -- (5.6,0) -- (5.6,0.7) -- (6.0,0.7);
  \draw (6.0,0.45) rectangle (6.8,0.95);
  \node at (6.4,0.7) {$R_C$};
  \draw (6.8,0.7) -- (7.2,0.7) -- (7.2,0) -- (7.8,0);
 
  \draw (5.6,0) -- (5.6,-0.7) -- (6.3,-0.7);
  \draw (6.3,-1.0) -- (6.3,-0.4);
  \draw (6.5,-1.0) -- (6.5,-0.4);
  \node at (6.4,-0.15) {$C$};
  \draw (6.5,-0.7) -- (7.2,-0.7);
  \draw[dashed] (5.4,-1.2) rectangle (7.4,1.2);
  \node[above] at (6.4,1.2) {$Capacitor$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

---

5.1. Комплексное сопротивление и условие резонанса для реального контура

Комплексное сопротивление параллельного блока конденсатора: ${\underline{Z}}_C=\frac{R_C(-j{X}_C)}{R_C-j{X}_C}=\frac{-j{R}_C{X}_C(R_C+j{X}_C)}{R_C^2+X_C^2}=\frac{R_C{X}_C^2}{R_C^2+X_C^2}-j\frac{R_C^2{X}_C}{R_C^2+X_C^2}$

Полное комплексное сопротивление всей цепи: $\underline{Z}=R+R_L+j{X}_L+{\underline{Z}}_C=\left(R+R_L+\frac{R_C{X}_C^2}{R_C^2+X_C^2}\right)+j\left(X_L-\frac{R_C^2{X}_C}{R_C^2+X_C^2}\right)$

• Эквивалентное активное сопротивление: $R_{eq}=R+R_L+\frac{R_C{X}_C^2}{R_C^2+X_C^2}$
• Эквивалентное реактивное сопротивление: $X_{eq}=X_L-\frac{R_C^2{X}_C}{R_C^2+X_C^2}$

Условие резонанса в цепи с потерями

Резонанс наступает при обращении мнимой части входного сопротивления в ноль: $X_{eq}=0⟺X_L-\frac{R_C^2{X}_C}{R_C^2+X_C^2}=0$

---

5.2. Векторная диаграмма цепи с реальными элементами при резонансе

В реальной цепи напряжения на катушке ${\underline{U}}_{coil}$ и конденсаторе ${\underline{U}}_{cap}$ содержат как реактивные, так и активные составляющие: ${\underline{U}}_{coil}={\underline{U}}_{La}+{\underline{U}}_{Lr},{\underline{U}}_{cap}={\underline{U}}_{Ca}+{\underline{U}}_{Cr}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  \draw[->] (-0.8,0) -- (4.8,0) node[right] {$+1$};
  \draw[->] (0,-1.5) -- (0,3.2) node[above] {$+j$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (1.5,0) node[below] {$\underline{U}_R$};
  \draw[thick, ->] (1.5,0) -- (2.3,0) node[below] {$\underline{U}_{La}$};
  \draw[thick, ->] (2.3,0) -- (2.3,2.4) node[left] {$\underline{U}_{Lr}$};
  \draw[thick, ->] (1.5,0) -- (2.3,2.4) node[above left] {$\underline{U}_{coil}$};
 
  \draw[thick, ->] (2.3,2.4) -- (2.7,2.4) node[above] {$\underline{U}_{Ca}$};
  \draw[thick, ->] (2.7,2.4) -- (2.7,0) node[right] {$\underline{U}_{Cr}$};
  \draw[thick, ->] (2.3,2.4) -- (2.7,0) node[below right] {$\underline{U}_{cap}$};
 
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (2.7,0);
  \node[below] at (2.7,-0.3) {$\underline{U} = \underline{U}_{gen}$};
 
  \draw[thick, ->] (0,0) -- (3.8,0) node[above] {$\underline{I}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

При резонансе реактивные составляющие напряжений строго компенсируют друг друга ($U_{Lr}=U_{Cr}$), а общее напряжение генератора равно арифметической сумме всех активных падений: $U_{gen}=U_R+U_{La}+U_{Ca}$ Вектор тока $\underline{I}$ совпадает по фазе с вектором входного напряжения ${\underline{U}}_{gen}$ ($\phi =0$).

---

6. Лабораторная схема измерения параметров реальных элементов

Для экспериментального разделения потерь и определения параметров $R_L,L,R_C,C$ собирается схема с вольтметрами и амперметром.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw (0,0) -- (0.6,0);
  \draw (0.9,0) circle [radius=0.3];
  \node at (0.9,0) {$A$};
  \draw (1.2,0) -- (1.6,0);
 
  \draw (1.6,-0.25) rectangle (2.4,0.25);
  \node at (2.0,0) {$R$};
  \draw (2.4,0) -- (3.0,0);
 
  \draw (3.0,-0.25) rectangle (3.7,0.25);
  \node at (3.35,0) {$R_L$};
  \draw (3.7,0) -- (4.0,0);
  \draw (4.0,0) arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.15]
        arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.15];
  \node at (4.3,0.35) {$L$};
  \draw (4.6,0) -- (5.2,0);
 
  \draw (5.2,0) -- (5.5,0) -- (5.5,0.5) -- (5.8,0.5);
  \draw (5.8,0.3) rectangle (6.4,0.7);
  \node at (6.1,0.5) {$R_C$};
  \draw (6.4,0.5) -- (6.7,0.5) -- (6.7,0) -- (7.2,0);
  \draw (5.5,0) -- (5.5,-0.5) -- (6.0,-0.5);
  \draw (6.0,-0.7) -- (6.0,-0.3);
  \draw (6.2,-0.7) -- (6.2,-0.3);
  \node at (6.1,-0.1) {$C$};
  \draw (6.2,-0.5) -- (6.7,-0.5);
 
  \draw (1.5,0) -- (1.5,1.0) -- (1.7,1.0);
  \draw (2.0,1.0) circle [radius=0.3]; \node at (2.0,1.0) {$V_1$};
  \draw (2.3,1.0) -- (2.5,1.0) -- (2.5,0);
 
  \draw (2.9,0) -- (2.9,1.0) -- (3.5,1.0);
  \draw (3.8,1.0) circle [radius=0.3]; \node at (3.8,1.0) {$V_2$};
  \draw (4.1,1.0) -- (4.7,1.0) -- (4.7,0);
 
  \draw (5.1,0) -- (5.1,1.0) -- (5.9,1.0);
  \draw (6.2,1.0) circle [radius=0.3]; \node at (6.2,1.0) {$V_3$};
  \draw (6.5,1.0) -- (7.1,1.0) -- (7.1,0);
 
  \draw (0.3,0) -- (0.3,-1.2) -- (3.4,-1.2);
  \draw (3.7,-1.2) circle [radius=0.3]; \node at (3.7,-1.2) {$V_0$};
  \draw (4.0,-1.2) -- (7.1,-1.2) -- (7.1,0);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Порядок расчёта параметров:

1. Вольтметр $V_1$ измеряет падение напряжения на образцовом резисторе: $R=\frac{U_1}{I}$
2. Вольтметр $V_2$ измеряет полное напряжение катушки: $U_{coil}=U_2$. По геометрическому разделению (засечками циркуля на векторной диаграмме) находятся составляющие $U_{La}$ и $U_{Lr}$: $R_L=\frac{U_{La}}{I},X_L=\frac{U_{Lr}}{I}⟹L=\frac{X_L}{2\pi f}$
3. Вольтметр $V_3$ измеряет напряжение на конденсаторе: $U_{cap}=U_3$. Из проекций находятся составляющие тока: $R_C=\frac{U_3}{I_{Ca}},X_C=\frac{U_3}{I_{Cr}}⟹C=\frac{1}{2\pi f{X}_C}$