temp

Задача 2. Доказательство базиса и матрица перехода

Условие: Заданы векторы $a_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right),a_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right)$ и $b_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right),b_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 9\end{array}\right)$. Доказать, что данные системы — базисы в $L$. Написать матрицу перехода $T_{b\to a}$.

Решение: 1. Доказательство базисов Векторы образуют базис в ${\mathbb{R}}^2$, если они линейно независимы. Составим матрицы из координатных столбцов векторов и вычислим их определители.

Для системы $\{a\}$: $\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 5\end{array}\right|=1\cdot 5-2\cdot (-2)=5+4=9$ Так как $\det A\ne 0$, система $\{a\}$ линейно независима и образует базис.

Для системы $\{b\}$: $\det B=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 9\end{array}\right|=1\cdot 9-2\cdot 5=9-10=-1$ Так как $\det B\ne 0$, система $\{b\}$ линейно независима и образует базис.

2. Нахождение матрицы перехода $T_{b\to a}$ Известно, что матрицы базисов $A$ и $B$ (в некотором исходном стандартном базисе) связаны с матрицей перехода формулой: $A=B\cdot T_{b\to a}$ Отсюда выражаем искомую матрицу перехода: $T_{b\to a}=B^{-1}\cdot A$

Найдем обратную матрицу $B^{-1}$. Для матрицы 2x2 меняем элементы главной диагонали местами, у побочной диагонали меняем знаки и делим на определитель ($\det B=-1$): $B^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}9& -2\\ -5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-9& 2\\ 5& -1\end{array}\right)$

Умножим $B^{-1}$ на $A$: $T_{b\to a}=\left(\begin{array}{cc}-9& 2\\ 5& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}(-9)\cdot 1+2\cdot (-2)& (-9)\cdot 2+2\cdot 5\\ 5\cdot 1+(-1)\cdot (-2)& 5\cdot 2+(-1)\cdot 5\end{array}\right)$ $T_{b\to a}=\left(\begin{array}{cc}-9-4& -18+10\\ 5+2& 10-5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-13& -8\\ 7& 5\end{array}\right)$

Ответ: Матрица перехода $T_{b\to a}=\left(\begin{array}{cc}-13& -8\\ 7& 5\end{array}\right)$.

Задача 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

Условие: $F(x,y,z)=x^2+z^2-2xy+4xz+2yz$.

Решение: 1. Составление матрицы квадратичной формы Коэффициенты при квадратах ставим на диагональ ($a_{22}=0$, так как нет $y^2$). Остальные делим на 2. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ -1& 0& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$

2. Характеристическое уравнение и собственные значения $\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & -1& 2\\ -1& -\lambda & 1\\ 2& 1& 1-\lambda \end{array}\right|=0$ Раскроем определитель: $(1-\lambda )(-\lambda (1-\lambda )-1)-(-1)(-(1-\lambda )-2)+2(-1-(-2\lambda ))=0$ $(1-\lambda )({\lambda }^2-\lambda -1)+1(\lambda -3)+2(2\lambda -1)=0$ $({\lambda }^2-\lambda -1-{\lambda }^3+{\lambda }^2+\lambda )+\lambda -3+4\lambda -2=0$ $-{\lambda }^3+2{\lambda }^2+5\lambda -6=0\Rightarrow {\lambda }^3-2{\lambda }^2-5\lambda +6=0$ Подбором находим первый корень: при $\lambda =1$ получим $1-2-5+6=0$. ${\lambda }_1=1$. Делим многочлен на $(\lambda -1)$ и решаем оставшееся квадратное уравнение ${\lambda }^2-\lambda -6=0$. Его корни: ${\lambda }_2=-2,{\lambda }_3=3$. Упорядочим корни: ${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=3$.

Канонический вид: $F(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=-2(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+3(z^{\prime }{)}^2$.

3. Нахождение собственных векторов Решаем системы $(A-{\lambda }_{i}E){\vec{v}}_i=0$.

Для ${\lambda }_1=-2$: $\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ -1& 2& 1\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}-x+2y+z=0\\ 2x+y+3z=0\end{array}\Rightarrow \text{Пусть }y=1\Rightarrow {\vec{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

Для ${\lambda }_2=1$: $\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ -1& -1& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}-y+2z=0\\ 2x+y=0\end{array}\Rightarrow \text{Пусть }z=1\Rightarrow {\vec{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Для ${\lambda }_3=3$: $\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 2\\ -1& -3& 1\\ 2& 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}-2x-y+2z=0\\ 2x+y-2z=0\end{array}\Rightarrow \text{Пусть }x=1\Rightarrow {\vec{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

(Проверка: векторы ортогональны, скалярные произведения попарно равны нулю).

4. Нормировка и матрица преобразования Вычисляем длины векторов: $|{\vec{v}}_1|=\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3}$ $|{\vec{v}}_2|=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}$ $|{\vec{v}}_3|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}$

Составляем ортогональную матрицу перехода $T$, деля каждый вектор на его длину: $T=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{3}& 2/\sqrt{6}& 0\\ -1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right)$ Проверка определителя: $\det T=1$ (Преобразование является чистым поворотом).

Ответ: Канонический вид: $F=-2(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2+3(z^{\prime }{)}^2$. Преобразование: $\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{3}& 2/\sqrt{6}& 0\\ -1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)$.

Задача 4. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Условие: Заданы векторы $a_1=(2,2,1{)}^T$, $a_2=(3,0,3{)}^T$, $a_3=(6,-3,3{)}^T$. Построить ОНБ.

Решение: Шаг 1. Построение ортогонального базиса $\{\bar{b}\}$

1. Полагаем ${\bar{b}}_1={\bar{a}}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$. Скалярный квадрат: $({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)=2^2+2^2+1^2=4+4+1=9$.

2. ${\bar{b}}_2={\bar{a}}_2-\frac{({\bar{a}}_2,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}{\bar{b}}_1$. $({\bar{a}}_2,{\bar{b}}_1)=3\cdot 2+0\cdot 2+3\cdot 1=6+0+3=9$. $\alpha =9/9=1$. ${\bar{b}}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 3\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$. (Проверка: $({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_2)=2-4+2=0$). Скалярный квадрат: $({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_2)=1^2+(-2{)}^2+2^2=1+4+4=9$.

3. ${\bar{b}}_3={\bar{a}}_3-\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_1)}{({\bar{b}}_1,{\bar{b}}_1)}{\bar{b}}_1-\frac{({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_2)}{({\bar{b}}_2,{\bar{b}}_2)}{\bar{b}}_2$. $({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_1)=6\cdot 2+(-3)\cdot 2+3\cdot 1=12-6+3=9$. $\Rightarrow {\beta }_1=9/9=1$. $({\bar{a}}_3,{\bar{b}}_2)=6\cdot 1+(-3)\cdot (-2)+3\cdot 2=6+6+6=18$. $\Rightarrow {\beta }_2=18/9=2$. ${\bar{b}}_3=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 3\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6-2-2\\ -3-2+4\\ 3-1-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -2\end{array}\right)$. (Проверка: $({\bar{b}}_3,{\bar{b}}_1)=4-2-2=0$, $({\bar{b}}_3,{\bar{b}}_2)=2+2-4=0$). Скалярный квадрат: $({\bar{b}}_3,{\bar{b}}_3)=2^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2=4+1+4=9$.

Шаг 2. Нормировка Длины всех векторов одинаковые: $||{\bar{b}}_1||=||{\bar{b}}_2||=||{\bar{b}}_3||=\sqrt{9}=3$. Разделим каждый вектор на $3$ и получим ортонормированный базис $\{\bar{e}\}$:

Ответ: ${\bar{e}}_1=\left(\begin{array}{c}2/3\\ 2/3\\ 1/3\end{array}\right),{\bar{e}}_2=\left(\begin{array}{c}1/3\\ -2/3\\ 2/3\end{array}\right),{\bar{e}}_3=\left(\begin{array}{c}2/3\\ -1/3\\ -2/3\end{array}\right)$.