temp

Задание №6 сводится к обратной задаче (реверс-инжинирингу). Вместо того чтобы по уравнению искать корни и писать ответ, здесь нужно по готовым ответам восстановить корни и собрать из них исходное уравнение.

Все дифференциальные уравнения в этом задании — это линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами.

«Словарь» перевода функций в корни

Каждая функция в фундаментальной системе решений (ФСР) соответствует определенному корню характеристического уравнения $\lambda$. Чтобы собрать уравнение, нужно каждую функцию перевести в скобку с $\lambda$ по следующим правилам:

1. Простая экспонента: Если дано $y=e^{ax}$, это означает, что был действительный корень $\lambda =a$. Перевод в скобку: $(\lambda -a)$

2. Экспонента с иксом (кратный корень): Если дано $y_1=e^{ax}$ и $y_2=x{e}^{ax}$, это означает, что корень $\lambda =a$ совпал дважды (кратность $k=2$). Если есть еще $y_3=x^2{e}^{ax}$, кратность $k=3$. Перевод в скобку: $(\lambda -a{)}^k$

3. Чистые синус и косинус: Если даны $y_1=\sin (\beta x)$ и $y_2=\cos (\beta x)$ (они всегда ходят парой), это означает, что были чисто мнимые корни ${\lambda }_{1,2}=\pm i\beta$. Перевод в скобку: $(\lambda -i\beta )(\lambda +i\beta )=({\lambda }^2+{\beta }^2)$

4. Синус и косинус с экспонентой: Если даны $y_1=e^{\alpha x}\sin (\beta x)$ и $y_2=e^{\alpha x}\cos (\beta x)$, это комплексные корни ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta$. Перевод в скобку: $(\lambda -\alpha -i\beta )(\lambda -\alpha +i\beta )=$ $(\lambda -\alpha {)}^2+{\beta }^2$

---

Универсальный алгоритм решения

Шаг 1. Смотрим на ФСР, переводим каждую группу функций в скобки по «словарю». Шаг 2. Перемножаем все полученные скобки и приравниваем к нулю. Шаг 3. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые, чтобы получился классический многочлен вида ${\lambda }^n+A{\lambda }^{n-1}+\cdots +C=0$. Шаг 4. Делаем обратную замену: степень ${\lambda }^k$ превращается в производную $y^{(k)}$. (Важно: ${\lambda }^1$ становится первой производной $y^{\prime }$, а свободный член (число без $\lambda$) умножается на саму функцию $y$). Шаг 5. Записываем полученное дифференциальное уравнение, обязательно дописывая «$=0$».

---

Разбор всех возможных сценариев на реальных билетах

Сценарий 1: Смесь действительного и комплексных корней

(Билет 6): ФСР имеет вид $y_1=\sin x,y_2=\cos x,y_3=e^{2x}$.

1. Переводим функции:
   • Пара $\sin x,\cos x$ (здесь $\beta =1$) дает скобку $({\lambda }^2+1^2)=({\lambda }^2+1)$.
   • Функция $e^{2x}$ дает скобку $(\lambda -2)$.
2. Составляем характеристическое уравнение: $({\lambda }^2+1)(\lambda -2)=0$
3. Раскрываем скобки: ${\lambda }^3-2{\lambda }^2+\lambda -2=0$
4. Заменяем степени $\lambda$ на производные $y$: $y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=0$ Ответ: $y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=0$.

Сценарий 2: Кратные корни

(Билет 22): ФСР имеет вид $y_1=e^{-x},y_2=x{e}^{-x},y_3=x^2{e}^{-x}$.

1. Переводим функции:
   • Наличие $e^{-x},x{e}^{-x},x^2{e}^{-x}$ означает, что корень $\lambda =-1$ имеет кратность $k=3$.
   • Скобка имеет вид: $(\lambda -(-1){)}^3=(\lambda +1{)}^3$.
2. Составляем уравнение: $(\lambda +1{)}^3=0$
3. Раскрываем куб суммы по формуле $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$: ${\lambda }^3+3{\lambda }^2+3\lambda +1=0$
4. Переходим к дифференциальному уравнению (свободная единица умножается на $y$): $y^{\prime \prime \prime }+3y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+y=0$ Ответ: $y^{\prime \prime \prime }+3y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+y=0$.

Сценарий 3: Кратные корни + отдельный действительный корень

(Билет 28): ФСР имеет вид $y_1=e^{-2x},y_2=x{e}^{-2x},y_3=e^{3x}$.

1. Переводим функции:
   • Пара $e^{-2x}$ и $x{e}^{-2x}$ дает корень $\lambda =-2$ кратности 2. Скобка: $(\lambda +2{)}^2$.
   • Функция $e^{3x}$ дает корень $\lambda =3$. Скобка: $(\lambda -3)$.
2. Составляем уравнение: $(\lambda +2{)}^2(\lambda -3)=0$
3. Раскрываем скобки. Сначала квадрат суммы: $({\lambda }^2+4\lambda +4)(\lambda -3)=0$ Затем перемножаем скобки: ${\lambda }^3-3{\lambda }^2+4{\lambda }^2-12\lambda +4\lambda -12=0$ Приводим подобные: ${\lambda }^3+{\lambda }^2-8\lambda -12=0$
4. Переходим к производным: $y^{\prime \prime \prime }+y^{\prime \prime }-8y^{\prime }-12y=0$ Ответ: $y^{\prime \prime \prime }+y^{\prime \prime }-8y^{\prime }-12y=0$.

Сценарий 4: Экспонента и измененная частота тригонометрии

(Билет 15): ФСР имеет вид $y_1=e^{3x},y_2=\sin 4x,y_3=\cos 4x$.

1. Переводим:
   • Экспонента $e^{3x}⟹(\lambda -3)$.
   • Пара $\sin 4x,\cos 4x⟹({\lambda }^2+4^2)=({\lambda }^2+16)$.
2. Составляем уравнение: $(\lambda -3)({\lambda }^2+16)=0$
3. Раскрываем: ${\lambda }^3-3{\lambda }^2+16\lambda -48=0$
4. Пишем дифференциальное уравнение: $y^{\prime \prime \prime }-3y^{\prime \prime }+16y^{\prime }-48y=0$ Ответ: $y^{\prime \prime \prime }-3y^{\prime \prime }+16y^{\prime }-48y=0$.