1.1.1-01.09.2026 Двойные интегралы

1. Введение: Роль курса в структуре математики в техническом ВУЗе

• Обобщение интегрального исчисления на случай ФНП (функций нескольких переменных).
• Аналогия:
  • Простые (одинарные) интегралы — это «азбука»;
  • Кратные интегралы этого семестра — это «слова» (интегральная сумма).
• Математика — язык технического ВУЗа! (описание таких величин, как температура, плотность, скорость, давление и др.).

---

2. Понятие двойного интеграла (вывод через обобщение)

Вспомним определение определённого интеграла Римана для функции одной переменной: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{d\to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$

Обобщим эту конструкцию на случай функции двух переменных $f(x,y)$, заданной в замкнутой квадрируемой области $D$ на плоскости $Oxy$:

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\lim }_{\max d_i\to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta S_i$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
  % Координатные оси
  \draw[->] (-0.5,0) -- (4.5,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.5) -- (0,4.0) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Область D
  \draw[thick, fill=blue!10] plot [smooth cycle, tension=0.8] 
    coordinates {(1.2,1.2) (2.0,3.2) (3.5,2.8) (3.2,1.0) (2.0,0.6)};
  \node[right] at (3.5,2.8) {$D$};
 
  % Сетка разбиения внутри области
  \draw[gray!60] (1.4,1.0) -- (1.4,2.5);
  \draw[gray!60] (1.8,0.7) -- (1.8,3.1);
  \draw[gray!60] (2.2,0.7) -- (2.2,3.1);
  \draw[gray!60] (2.6,0.8) -- (2.6,3.0);
  \draw[gray!60] (3.0,1.0) -- (3.0,2.6);
 
  \draw[gray!60] (1.0,1.2) -- (3.2,1.2);
  \draw[gray!60] (1.2,1.6) -- (3.4,1.6);
  \draw[gray!60] (1.3,2.0) -- (3.4,2.0);
  \draw[gray!60] (1.4,2.4) -- (3.2,2.4);
  \draw[gray!60] (1.6,2.8) -- (2.8,2.8);
 
  % Выделенная ячейка Delta S_i
  \filldraw[fill=red!30, draw=red!80!black] (1.8,1.6) rectangle (2.2,2.0);
  \fill (2.0,1.8) circle [radius=1.2pt];
  \node[above right] at (2.0,1.8) {\scriptsize $(\xi_i, \eta_i)$};
  \node[below left] at (2.0,1.8) {\scriptsize $\Delta S_i$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Условия существования предела:

1. Независимость от способа разбиения при условии, что максимальный диаметр ячеек $\max d_i\to 0$.
2. Независимость от выбора промежуточной точки $({\xi }_i,{\eta }_i)$ внутри элементарного кусочка $\Delta S_i$.

Наглядная интерпретация тройного (двойного) интеграла:
«На каждом этаже УЛК, в каждой аудитории, на каждом стуле написана буква; задача — пройти по всему УЛК и собрать все буквы».
Альтернативная интерпретация: измерение температуры во всех точках здания!

Важно: при построении и вычислении кратных интегралов критически важна геометрическая интерпретация. Без неё решать задачи крайне сложно!
Дальнейшее развитие темы: криволинейные и поверхностные интегралы.

---

3. Свойства кратных интегралов

Для кратных интегралов справедливы те же фундаментальные свойства, что и для определённого интеграла Римана:

1. Линейность: ${\iint }_D(\alpha f+\beta g)dxdy=\alpha {\iint }_{D}fdxdy+\beta {\iint }_{D}gdxdy$.
2. Аддитивность по области: если $D=D_1\cup D_2$ и $D_1\cap D_2$ не имеют общих внутренних точек, то ${\iint }_D={\iint }_{D_1}+{\iint }_{D_2}$.
3. Монотонность и переход к пределу в неравенствах: если $f\le g$, то ${\iint }_{D}f\le {\iint }_{D}g$.
4. Теорема об оценке интеграла: $m\cdot S_D\le {\iint }_{D}f(x,y)dxdy\le M\cdot S_D$.
5. Теорема о среднем: ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=f(\xi ,\eta )\cdot S_D$.

---

4. Вычисление кратных интегралов: сведение к повторным

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению двух однократных (повторных) интегралов:

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[->] (-0.5,0) -- (4.8,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.5) -- (0,3.8) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
  \draw[dashed] (1,0) node[below] {$a$} -- (1,2.5);
  \draw[dashed] (3.8,0) node[below] {$b$} -- (3.8,2.7);
  \filldraw[fill=blue!10, draw=none]
    (1,1.2) to[out=40, in=190] (2.4,1.8) to[out=10, in=160] (3.8,1.4)
    -- (3.8,2.7) to[out=170, in=10] (2.4,3.2) to[out=190, in=30] (1,2.5) -- cycle;
  \draw[thick, red] (1,1.2) to[out=40, in=190] (2.4,1.8) to[out=10, in=160] (3.8,1.4)
    node[midway, below=3pt] {$y_1(x)$ (entry)};
  \draw[thick, green!60!black] (1,2.5) to[out=30, in=190] (2.4,3.2) to[out=10, in=170] (3.8,2.7)
    node[midway, above=3pt] {$y_2(x)$ (exit)};
  \node at (2.4,2.3) {$D$};
  \draw[thick, dashed, violet] (2.1,0) node[below] {$x = \mathrm{const}$} -- (2.1,3.4);
  \draw[->, very thick, violet] (2.1,1.2) -- (2.1,3.1);
  \fill[red] (2.1,1.72) circle [radius=1.5pt] node[below right] {\scriptsize entry};
  \fill[green!60!black] (2.1,3.12) circle [radius=1.5pt] node[above right] {\scriptsize exit};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Алгоритм расстановки пределов («вертикальная раскраска»):

1. Фиксируем промежуточный $x$ ($x=\text{const}$): определяем диапазон изменения переменной $x\in [a,b]$ на внешнем интеграле.
2. Проводим вертикальный луч в направлении возрастания $y$ и определяем функцию входа в область $y_1(x)$ и функцию выхода из области $y_2(x)$.
3. Внутренний интеграл берётся по переменной $y$ при «замороженном» $x$.

Хороший аналог: ребёнок закрашивает область карандашом — штриховка (раскраска) может быть «вертикальной» ($\int dx\int dy$) или «горизонтальной» ($\int dy\int dx$).

Re: Показать, что кратные интегралы (двойной и тройной) строятся строго в рамках логики обычных (одинарных) интегралов: через разбиение области и построение интегральной суммы.

---

5. Практикум: Вычисление и смена порядка интегрирования

---

Задача 1 (Демидович, № 2113 — базовая)

Вычислить повторный интеграл: ${\int }_0^{2}dy{\int }_0^1(x^2+2y)dx$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[->] (-0.3,0) -- (2.5,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.3) -- (0,2.6) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
  \filldraw[fill=blue!15, draw=blue!80!black, thick] (0,0) rectangle (1,2);
  \node at (0.5,1.0) {$D$};
  \draw[dashed] (1,0) node[below] {$1$} -- (1,2);
  \draw[dashed] (0,2) node[left] {$2$} -- (1,2);
  \draw[thick, dashed, red] (-0.2,1.2) -- (1.5,1.2) node[right] {$y = \mathrm{const}$};
  \draw[->, very thick, red] (0,1.2) -- (1,1.2);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение: Внутренний интеграл берётся по $x$ при «замороженном» $y$: $={\int }_0^{2}dy{\left[\frac{x^3}{3}+2yx\right]}_{x=0}^{x=1}={\int }_0^2\left(\frac{1}{3}+2y\right)dy={\left[\frac{1}{3}y+y^2\right]}_0^2=\frac{2}{3}+4=\frac{14}{3}$

Важно:

• Построение интеграла: сначала строится внешний предел, затем внутренний.
• Вычисление интеграла: наоборот — сначала вычисляется внутренний, затем внешний!

Дополнение (самостоятельная работа):

Вычислить исходный интеграл ${\iint }_D(x^2+2y)dxdy$, изменив порядок интегрирования на $\int dx\int dy$: ${\iint }_D(x^2+2y)dxdy={\int }_0^{1}dx{\int }_0^2(x^2+2y)dy={\int }_0^{1}dx{\left[x^{2}y+y^2\right]}_{y=0}^{y=2}={\int }_0^1(2x^2+4)dx={\left[\frac{2}{3}{x}^3+4x\right]}_0^1=\frac{14}{3}\text{(Верно!)}$

---

Задача 2 (Демидович, № 2114 — самостоятельно, чуть сложнее)

Вычислить повторный интеграл: ${\int }_3^{4}dx{\int }_1^2\frac{dy}{(x+y{)}^2}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]
  \draw[->] (-0.5,0) -- (5.0,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.5) -- (0,3.0) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
  \filldraw[fill=orange!20, draw=orange!80!black, thick] (3,1) rectangle (4,2);
  \node at (3.5,1.5) {$D$};
  \draw[dashed] (3,0) node[below] {$3$} -- (3,1);
  \draw[dashed] (4,0) node[below] {$4$} -- (4,1);
  \draw[dashed] (0,1) node[left] {$1$} -- (3,1);
  \draw[dashed] (0,2) node[left] {$2$} -- (3,2);
  \node[below right, red] at (1.0,-0.6) {\scriptsize (schematic, not to scale)};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение: ${\int }_3^{4}dx{\left[-\frac{1}{x+y}\right]}_{y=1}^{y=2}={\int }_3^4\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx={\left[\ln |x+1|-\ln |x+2|\right]}_3^4={\ln \left|\frac{x+1}{x+2}\right||}_3^4=\ln \frac{5}{6}-\ln \frac{4}{5}=\ln \frac{25}{24}$

---

Задача 3 (Демидович, № 2121 — на понимание сути)

Написать уравнения границ области интегрирования, изобразить область на чертеже и поменять порядок интегрирования: ${\int }_{-6}^{2}dy{\int }_{y^2/4-1}^{2-y}f(x,y)dx$

Решение:

1. Уравнения границ области: $\{\begin{array}{l}x=2-y(\text{прямая }y=2-x)\\ x=\frac{y^2}{4}-1(\text{парабола }{y}^2=4(x+1))\end{array}$ Пределы изменения по $y$: от $y=-6$ до $y=2$.

2. Точки пересечения границ: $\frac{y^2}{4}-1=2-y⟺y^2+4y-12=0⟺(y-2)(y+6)=0⟹\{\begin{array}{l}{y}_1=2⟹x_1=0\\ y_2=-6⟹x_2=8\end{array}$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7, >=stealth]
  \draw[->] (-2.5,0) -- (9.5,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-7.0) -- (0,3.5) node[left] {$y$};
  \node[above left] at (0,0) {$O$};
 
  % Парабола x = y^2/4 - 1 <=> y = +- 2*sqrt(x+1)
  \draw[domain=-6.2:2.2, smooth, variable=\y, thick, blue] 
    plot ({\y*\y/4 - 1}, {\y}) node[above] {$x = \frac{y^2}{4}-1$};
 
  % Прямая x = 2 - y <=> y = 2 - x
  \draw[domain=-1.5:8.5, smooth, variable=\x, thick, red] 
    plot ({\x}, {2 - \x}) node[below right] {$x = 2 - y$};
 
  % Заливка области D
  \fill[gray!25, opacity=0.7] 
    plot[domain=-6:2, variable=\y] ({\y*\y/4 - 1}, {\y}) -- 
    plot[domain=2:-6, variable=\y] ({2 - \y}, {\y}) -- cycle;
 
  % Характерные точки
  \fill (-1,0) circle [radius=2pt] node[below left] {$-1$};
  \fill (0,2) circle [radius=2pt] node[above right] {$(0, 2)$};
  \fill (8,-6) circle [radius=2pt] node[below right] {$(8, -6)$};
  \fill (2,0) circle [radius=2pt] node[above] {$2$};
 
  \draw[dashed] (8,0) node[above] {$8$} -- (8,-6) -- (0,-6) node[left] {$-6$};
  \draw[dashed, red] (0,2) -- (0,-6);
  
  % Разделитель областей при смене порядка
  \draw[dashed, violet, thick] (0,-6) -- (0,2);
  \node at (-0.4,-0.5) {$D_1$};
  \node at (2.5,-1.5) {$D_2$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

3. Смена порядка интегрирования ($\int dx\int dy$): При движении по оси $Ox$ область делится на две части вертикальной прямой $x=0$:
   • Область $D_1$ ($x\in [-1,0]$): вход через нижнюю ветвь параболы $y=-\sqrt{4x+4}$, выход через верхнюю ветвь параболы $y=+\sqrt{4x+4}$.
   • Область $D_2$ ($x\in [0,8]$): вход через нижнюю ветвь параболы $y=-\sqrt{4x+4}$, выход через прямую $y=2-x$.

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{-1}^{0}dx{\int }_{-\sqrt{4x+4}}^{\sqrt{4x+4}}f(x,y)dy+{\int }_0^{8}dx{\int }_{-\sqrt{4x+4}}^{2-x}f(x,y)dy$

Замечания:

• От выбора порядка интегрирования напрямую зависит вид и сложность интеграла (одно слагаемое превратилось в два).
• Самое время освежить в памяти кривые и поверхности из курса «Аналитическая геометрия»!

---

Задача 4 (Демидович, № 2125 — самостоятельно)

Нарисовать область и изменить порядок интегрирования: ${\int }_0^{3}dx{\int }_0^{\sqrt{25-x^2}}f(x,y)dy$

Решение:

1. Границы: $x=0$, $x=3$, $y=0$, $y=\sqrt{25-x^2}⟹x^2+y^2=25$ ($R=5$).
2. На прямой $x=3$ значение ординаты на окружности: $y=\sqrt{25-3^2}=4$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9, >=stealth]
  \draw[->] (-0.5,0) -- (6.0,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.5) -- (0,6.0) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Окружность
  \draw[thick, blue] (0,0) arc[start angle=90, end angle=0, radius=5] node[above right] {$x^2+y^2=25$};
  
  % Вертикальная линия x = 3
  \draw[thick, red] (3,0) node[below] {$3$} -- (3,4);
  \draw[dashed] (3,4) -- (3,5);
 
  % Заливка области
  \fill[blue!15] (0,0) -- (3,0) -- (3,4) arc[start angle=53.13, end angle=90, radius=5] -- cycle;
 
  \draw[dashed] (0,4) node[left] {$4$} -- (3,4);
  \fill (0,5) circle [radius=1.5pt] node[left] {$5$};
  \fill (3,4) circle [radius=1.5pt];
  \fill (5,0) circle [radius=1.5pt] node[below] {$5$};
 
  \draw[dashed, violet] (0,4) -- (3,4);
  \node at (1.5,2.0) {$D_1$};
  \node at (1.2,4.4) {$D_2$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

3. Смена порядка интегрирования ($\int dy\int dx$): При проецировании на ось $Oy$ область разбивается горизонталью $y=4$ на две части:
   • При $y\in [0,4]$: $x$ меняется от $0$ до прямой $x=3$.
   • При $y\in [4,5]$: $x$ меняется от $0$ до окружности $x=\sqrt{25-y^2}$.

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_0^{4}dy{\int }_0^{3}f(x,y)dx+{\int }_4^{5}dy{\int }_0^{\sqrt{25-y^2}}f(x,y)dx$

---

Задача 5 (Демидович, № 2128)

Написать формулы расстановки пределов для вычисления двойного интеграла ${\iint }_{S}f(x,y)dxdy$ в различном порядке, если $S$ — треугольник с вершинами $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$.

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2.2, >=stealth]
  \draw[->] (-0.2,0) -- (1.5,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.2) -- (0,1.4) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  \filldraw[fill=red!15, draw=red!80!black, thick] (0,0) -- (1,0) -- (1,1) -- cycle;
  \draw[thick, blue] (0,0) -- (1,1) node[midway, above left] {$y = x$};
 
  \fill (0,0) circle [radius=1pt];
  \fill (1,0) circle [radius=1pt] node[below] {$1$};
  \fill (1,1) circle [radius=1pt] node[above right] {$(1,1)$};
  \draw[dashed] (1,1) -- (0,1) node[left] {$1$};
 
  \node at (0.7,0.3) {$S$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. Порядок $\int dx\int dy$ (вертикальные полосы): ${\iint }_{S}f(x,y)dxdy={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x}f(x,y)dy$
2. Порядок $\int dy\int dx$ (горизонтальные полосы): ${\iint }_{S}f(x,y)dxdy={\int }_0^{1}dy{\int }_y^{1}f(x,y)dx$

Дополнение: геометрический смысл при $f(x,y)\equiv 1$:

Интеграл от единицы даёт площадь плоской области $S$: ${\iint }_{S}1dxdy={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x}dy={\int }_0^{1}xdx={\frac{x^2}{2}|}_0^1=\frac{1}{2}$ И в обратном порядке: ${\iint }_{S}1dxdy={\int }_0^{1}dy{\int }_y^{1}dx={\int }_0^1(1-y)dy={\left(y-\frac{y^2}{2}\right)|}_0^1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=S_{\Delta }$

---

Задача 6 (Демидович, № 2136)

Поменять порядок интегрирования: ${\int }_0^{4}dx{\int }_{3x^2}^{12x}f(x,y)dy$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7, >=stealth]
  \draw[->] (-0.5,0) -- (5.5,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-2) -- (0,7.5) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  % Масштаб по y сжат в 8 раз для наглядности (48 -> 6)
  \draw[domain=0:4.2, smooth, variable=\x, thick, blue] 
    plot ({\x}, {3*\x*\x / 8}) node[right] {$y = 3x^2$};
  \draw[domain=0:4.3, smooth, variable=\x, thick, red] 
    plot ({\x}, {12*\x / 8}) node[above left] {$y = 12x$};
 
  % Заливка области между кривыми
  \fill[gray!20, opacity=0.8] 
    plot[domain=0:4, variable=\x] ({\x}, {3*\x*\x / 8}) -- 
    plot[domain=4:0, variable=\x] ({\x}, {12*\x / 8}) -- cycle;
 
  \draw[dashed] (4,0) node[below] {$4$} -- (4,6);
  \draw[dashed] (0,6) node[left] {$48$} -- (4,6);
  \fill (4,6) circle [radius=2pt] node[right] {$(4, 48)$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. Точки пересечения: $3x^2=12x⟹3x(x-4)=0⟹x_1=0(y_1=0),x_2=4(y_2=48)$
2. Выражаем $x$ через $y$:
   • Из уравнения прямой $y=12x⟹x=\frac{y}{12}$ (линия входа по $x$);
   • Из уравнения параболы $y=3x^2⟹x=+\sqrt{\frac{y}{3}}$ (линия выхода по $x$).
3. Результат: ${\int }_0^{48}dy{\int }_{y/12}^{\sqrt{y/3}}f(x,y)dx$

---

Задача 7 (Демидович, № 2138 — составная область)

Изменить порядок интегрирования в интеграле: ${\int }_0^{a}dx{\int }_{\frac{a^2-x^2}{2a}}^{\sqrt{a^2-x^2}}f(x,y)dy(a>0)$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2.0, >=stealth]
  \draw[->] (-0.2,0) -- (1.5,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.2) -- (0,1.5) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Окружность x^2 + y^2 = a^2 (радиус 1, т.е. a=1)
  \draw[thick, blue] (1,0) arc[start angle=0, end angle=90, radius=1] node[above right] {$x^2+y^2=a^2$};
  
  % Парабола y = (a^2 - x^2)/(2a) => y = (1 - x^2)/2
  \draw[thick, red, domain=0:1, smooth, variable=\x] 
    plot ({\x}, {(1 - \x*\x)/2}) node[below left=2pt] {$y = \frac{a^2-x^2}{2a}$};
 
  % Заливка области между параболой и окружностью
  \fill[gray!25, opacity=0.7] 
    plot[domain=0:1, variable=\x] ({\x}, {(1 - \x*\x)/2}) -- 
    (1,0) arc[start angle=0, end angle=90, radius=1] -- cycle;
 
  \fill (0,1) circle [radius=1pt] node[left] {$a$};
  \fill (1,0) circle [radius=1pt] node[below] {$a$};
  \fill (0,0.5) circle [radius=1pt] node[left] {$\frac{a}{2}$};
 
  \draw[dashed, violet] (0,0.5) -- (0.866,0.5);
  \node at (0.35,0.7) {$D_2$};
  \node at (0.6,0.3) {$D_1$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. Уравнения линий:
   • Верхняя граница — дуга окружности: $y=\sqrt{a^2-x^2}⟺x=\sqrt{a^2-y^2}$;
   • Нижняя граница — дуга параболы: $y=\frac{a^2-x^2}{2a}⟺2ay=a^2-x^2⟺x=\sqrt{a^2-2ay}$.
2. Анализ изменения $y$:
   • В точке $x=0$: $y_{\text{пар}}=\frac{a}{2}$, $y_{\text{окр}}=a$;
   • В точке $x=a$: $y_{\text{пар}}=0$, $y_{\text{окр}}=0$.
3. Разбиение при смене порядка:
   Горизонтальная прямая $y=\frac{a}{2}$ делит область на две части:
   • При $y\in \left[0,\frac{a}{2}\right]$: вход через параболу $x=\sqrt{a^2-2ay}$, выход через окружность $x=\sqrt{a^2-y^2}$;
   • При $y\in \left[\frac{a}{2},a\right]$: вход от оси $x=0$, выход через окружность $x=\sqrt{a^2-y^2}$.

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_0^{a/2}dy{\int }_{\sqrt{a^2-2ay}}^{\sqrt{a^2-y^2}}f(x,y)dx+{\int }_{a/2}^{a}dy{\int }_0^{\sqrt{a^2-y^2}}f(x,y)dx$

---

Задача 8 (Демидович, № 2142 — сложная область)

Изменить порядок интегрирования: ${\int }_0^{1}dy{\int }_{y^2/2}^{\sqrt{3-y^2}}f(x,y)dx$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2.2, >=stealth]
  \draw[->] (-0.3,0) -- (2.2,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.3) -- (0,1.5) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};
 
  % Парабола x = y^2 / 2 => y = sqrt(2x)
  \draw[domain=0:1, smooth, variable=\y, thick, blue] 
    plot ({\y*\y/2}, {\y}) node[above left] {$x = \frac{y^2}{2}$};
 
  % Окружность x^2 + y^2 = 3 => y = sqrt(3 - x^2)
  \draw[domain=0:1, smooth, variable=\y, thick, red] 
    plot ({sqrt(3 - \y*\y)}, {\y}) node[above right] {$x^2+y^2=3$};
 
  % Прямая y = 1
  \draw[dashed] (0,1) node[left] {$1$} -- (1.414,1);
  \draw[thick] (0.5,1) -- (1.414,1);
 
  % Заливка области
  \fill[gray!25, opacity=0.7] 
    (0,0) -- plot[domain=0:1, variable=\y] ({\y*\y/2}, {\y}) -- 
    (1.414,1) -- plot[domain=1:0, variable=\y] ({sqrt(3 - \y*\y)}, {\y}) -- cycle;
 
  % Характерные точки по оси Ox
  \draw[dashed, violet] (0.5,0) node[below] {$\frac{1}{2}$} -- (0.5,1);
  \draw[dashed, violet] (1.414,0) node[below] {$\sqrt{2}$} -- (1.414,1);
  \fill (1.732,0) circle [radius=0.8pt] node[below] {$\sqrt{3}$};
 
  \node at (0.3,0.4) {\scriptsize $D_1$};
  \node at (0.95,0.5) {\scriptsize $D_2$};
  \node at (1.5,0.3) {\scriptsize $D_3$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. Линии границы:
   • Парабола $x=\frac{y^2}{2}⟺y=\sqrt{2x}$;
   • Окружность $x=\sqrt{3-y^2}⟺x^2+y^2=3⟺y=\sqrt{3-x^2}$;
   • Горизонтальные пределы: $y=0$ и $y=1$.
2. Пересечение с горизонталью $y=1$:
   • С параболой: $x=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}$;
   • С окружностью: $x=\sqrt{3-1^2}=\sqrt{2}$.
3. При интегрировании по $x$ область разбивается на три участка:
   • $x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$: $y$ меняется от $0$ до параболы $y=\sqrt{2x}$;
   • $x\in \left[\frac{1}{2},\sqrt{2}\right]$: $y$ меняется от $0$ до прямой $y=1$;
   • $x\in \left[\sqrt{2},\sqrt{3}\right]$: $y$ меняется от $0$ до дуги окружности $y=\sqrt{3-x^2}$.

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_0^{1/2}dx{\int }_0^{\sqrt{2x}}f(x,y)dy+{\int }_{1/2}^{\sqrt{2}}dx{\int }_0^{1}f(x,y)dy+{\int }_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}dx{\int }_0^{\sqrt{3-x^2}}f(x,y)dy$

---

Задача 9 (Демидович, № 2143 — от сложного к простому!)

Упростить вычисление суммы интегралов путём объединения их в один: ${\int }_0^{R\frac{\sqrt{2}}{2}}dx{\int }_0^{x}f(x,y)dy+{\int }_{R\frac{\sqrt{2}}{2}}^{R}dx{\int }_0^{\sqrt{R^2-x^2}}f(x,y)dy$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2.2, >=stealth]
  \draw[->] (-0.2,0) -- (1.5,0) node[below] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.2) -- (0,1.5) node[left] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
 
  % Окружность x^2 + y^2 = R^2 (R=1.2)
  \draw[thick, blue] (1.2,0) arc[start angle=0, end angle=90, radius=1.2] node[above right] {$x^2+y^2=R^2$};
  
  % Луч под углом 45 градусов: y = x
  \draw[thick, red] (0,0) -- (1.0,1.0) node[above left] {$y = x$};
 
  % Заливка кругового сектора (угол 45 градусов)
  \fill[red!20, opacity=0.7] 
    (0,0) -- (0.8485,0.8485) arc[start angle=45, end angle=0, radius=1.2] -- cycle;
 
  \draw[dashed] (0.8485,0) node[below] {$\frac{R\sqrt{2}}{2}$} -- (0.8485,0.8485);
  \draw[dashed] (0,0.8485) node[left] {$\frac{R\sqrt{2}}{2}$} -- (0.8485,0.8485);
  \fill (1.2,0) circle [radius=0.8pt] node[below] {$R$};
  \fill (0,1.2) circle [radius=0.8pt] node[left] {$R$};
 
  \draw (0.3,0) arc[start angle=0, end angle=45, radius=0.3];
  \node at (0.42,0.15) {\scriptsize $45^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Решение:

1. По чертежу видно, что оба интеграла складываются в единый круговой сектор радиуса $R$ с углом раствора $45^{\circ }$ ($\phi \in [0,\pi /4]$).
2. При смене порядка интегрирования (проекция на ось $Oy$):
   • Переменная $y$ меняется в диапазоне от $0$ до $R\frac{\sqrt{2}}{2}$;
   • Луч, параллельный $Ox$, входит через прямую $x=y$ и выходит через окружность $x=\sqrt{R^2-y^2}$.

Сумма двух интегралов сворачивается в один интеграл: $={\int }_0^{R\frac{\sqrt{2}}{2}}dy{\int }_y^{\sqrt{R^2-y^2}}f(x,y)dx$

Методическое замечание:

• Стоит начать следующий семинар с проверки домашнего задания по этому примеру при $f(x,y)\equiv 1$.
• Вычисление этого интеграла в ДСК оказывается довольно трудоёмким (потребуется тригонометрическая замена или интегрирование по частям), в то время как в полярных координатах (ПСК) задача решается мгновенно!
• Задача на геометрическую смекалку:
  Если $f(x,y)=1$, интеграл численно равен площади сектора с углом $45^{\circ }$ ($\frac{1}{8}$ круга): ${\int }_0^{R\frac{\sqrt{2}}{2}}dx{\int }_0^{x}1dy+{\int }_{R\frac{\sqrt{2}}{2}}^{R}dx{\int }_0^{\sqrt{R^2-x^2}}1dy=S_D=\frac{\pi R^2}{8}$

Главный вывод: понимание геометрической сути интеграла существенно упрощает его вычисление!

---

Домашнее задание

• Задача № 1 из типового расчёта ДЗ.
• Вариации задач на расстановку пределов и смену порядка интегрирования из РК-1.