РАЗДЕЛ I. Семинары по цепям постоянного тока
1. Эквивалентные преобразования пассивных цепей
Последовательное соединение элементов
Соединение, при котором элементы находятся в одной ветви, то есть по ним протекает один и тот же ток.
R экв = R 1 + R 2 + ⋯ + R n
\begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.0] \draw (0,0) -- (0.8,0); \draw (0.8,-0.25) rectangle (1.8,0.25); \node at (1.3,0) {$R_1$}; \draw (1.8,0) -- (2.3,0); \draw (2.3,-0.25) rectangle (3.3,0.25); \node at (2.8,0) {$R_2$}; \draw (3.3,0) -- (3.8,0); \draw (3.8,-0.25) rectangle (4.8,0.25); \node at (4.3,0) {$R_3$}; \draw (4.8,0) -- (5.6,0); \fill (0,0) circle [radius=1.5pt]; \fill (5.6,0) circle [radius=1.5pt]; \draw[->] (0.2,0.5) -- (0.6,0.5) node[midway, above] {$I$}; \end{tikzpicture} \end{document}
Параллельное соединение элементов
Соединение, при котором элементы присоединены к одной паре узлов, то есть находятся под одинаковым напряжением U
Расчёт ведётся через эквивалентную проводимость g экв = R экв 1 [ Sm ] g экв = g 1 + g 2 + ⋯ + g n R экв = R 1 + R 2 R 1 ⋅ R 2
\begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=1.0] \draw (0,1.25) -- (1.0,1.25); \fill (1.0,1.25) circle [radius=2pt] node[above left] {1}; \fill (3.5,1.25) circle [radius=2pt] node[above right] {2};
\draw (1.0,1.25) -- (1.0,2.2) -- (1.6,2.2); \draw (1.6,1.95) rectangle (2.9,2.45); \node at (2.25,2.2) {$R_1$}; \draw (2.9,2.2) -- (3.5,2.2) -- (3.5,1.25);
\draw (1.0,1.25) -- (1.0,0.3) -- (1.6,0.3); \draw (1.6,0.05) rectangle (2.9,0.55); \node at (2.25,0.3) {$R_2$}; \draw (2.9,0.3) -- (3.5,0.3) -- (3.5,1.25);
\draw (3.5,1.25) -- (4.5,1.25); \draw[->] (1.3,1.25) -- (3.2,1.25) node[midway, below] {$U$}; \end{tikzpicture} \end{document} 1.1. Практические примеры свёртывания цепей
Пример 1. Расчёт цепи с несколькими параллельными группами
Даны параллельные участки:
Два резистора по 10 Ω R ′ = 10 + 10 10 ⋅ 10 = 5 Ω
Два резистора по 12 Ω R ′′ = 12 + 12 12 ⋅ 12 = 6 Ω
Пример 2. Неразветвлённая цепь с противоположными источниками ЭДС
Дано: E 1 = 12 В E 2 = 24 В R 1 = 1 Ω R 2 = 2 Ω R 3 = 3 Ω I = R 1 + R 2 + R 3 E 1 − E 2 = 1 + 2 + 3 12 − 24 = 6 − 12 = − 2 А (Знак «минус» означает, что реальный ток течёт навстречу выбранному направлению, то есть в сторону действия большего источника E 2
1.2. Преобразование «Треугольник → Δ → Y
Схема содержит мост сопротивлений (R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , R 5 E
\begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=0.95] \coordinate (A) at (2.5, 4.0); \coordinate (B) at (1.0, 2.0); \coordinate (C) at (4.0, 2.0); \coordinate (D) at (2.5, 0.0);
\draw (0, 4.0) -- (A); \draw (0, 0.0) -- (D); \draw (0, 0.0) -- (0, 1.6); \draw (0, 2.0) circle [radius=0.4]; \draw[->, thick] (0, 1.7) -- (0, 2.3); \node[left=2pt] at (-0.4, 2.0) {$E$}; \draw (0, 2.4) -- (0, 4.0);
\draw (A) -- (B) node[midway, above left] {$R_1$}; \draw (A) -- (C) node[midway, above right] {$R_2$}; \draw (B) -- (C) node[midway, above] {$R_3$}; \draw (B) -- (D) node[midway, below left] {$R_4$}; \draw (C) -- (D) node[midway, below right] {$R_5$};
\fill (A) circle [radius=2pt] node[above] {1}; \fill (B) circle [radius=2pt] node[left] {2}; \fill (C) circle [radius=2pt] node[right] {3}; \fill (D) circle [radius=2pt] node[below] {4}; \end{tikzpicture} \end{document} Формулы эквивалентного преобразования треугольника ( 1 − 2 − 3 )
R ∗ = R 1 + R 2 + R 3 R 13 = R ∗ R 1 ⋅ R 2 , R 12 = R ∗ R 1 ⋅ R 3 , R 23 = R ∗ R 2 ⋅ R 3
Дальнейшие шаги свёртывания:
R 1 = R 12 + R 4 R 2 = R 23 + R 5 R 3 = R 1 + R 2 R 1 ⋅ R 2 R экв = R 13 + R 3
2. Расчёт цепей постоянного тока по законам Кирхгофа
Топологический расчёт числа независимых уравнений
По I закону Кирхгофа: K I = у − 1
По II закону Кирхгофа: K II = в − в J − ( у − 1 )
Всего неизвестных токов: в − в J
Задача 2.1. Расчёт цепи с 5 узлами и источниками тока
Параметры схемы: у = 5 в = 7 в J = 1
Число уравнений по I З.К.: K I = 5 − 1 = 4
Число уравнений по II З.К.: K II = 7 − 1 − 5 + 1 = 2
\begin{document} \begin{tikzpicture}[scale=0.95] \coordinate (N1) at (0, 4); \coordinate (N2) at (4, 4); \coordinate (N3) at (2, 2); \coordinate (N4) at (0, 0); \coordinate (N5) at (4, 0);
\draw (N1) -- (N2) node[midway, above] {$R_2, I_2$}; \draw (N1) -- (N3) node[midway, above right] {$R_1, I_1$}; \draw (N2) -- (N3) node[midway, above left] {$R_3, I_3$}; \draw (N3) -- (N4) node[midway, below left] {$R_4, I_4$}; \draw (N3) -- (N5) node[midway, below right] {$R_5, I_5$}; \draw (N4) -- (N5);
\fill (N1) circle [radius=2pt] node[above left] {1}; \fill (N2) circle [radius=2pt] node[above right] {2}; \fill (N3) circle [radius=2pt] node[right] {3}; \fill (N4) circle [radius=2pt] node[below left] {4}; \fill (N5) circle [radius=2pt] node[below right] {5}; \end{tikzpicture} \end{document} Система уравнений по законам Кирхгофа:
\text{Узел 1:} & I_1 - I_2 + J_{k1} = 0 \\
\text{Узел 2, 5:} & I_5 + I_3 - J_{k2} - J_{k1} = 0 \\
\text{Узел 3:} & I_2 - I_3 + I_4 + J_{k2} = 0 \\
\text{Узел 4:} & -I_1 - I_4 - I_5 = 0 \\
\text{Контур I:} & -I_1 R_1 - I_2 R_2 + I_4 R_4 = E_1 \\
\text{Контур II:} & -I_4 R_4 + I_5 R_5 - I_3 R_3 = 0
\end{cases}$$
#### Матричная форма $[A] \cdot [I] = [B]$:
$$\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\
-R_1 & -R_2 & 0 & R_4 & 0 \\
0 & 0 & -R_3 & -R_4 & R_5
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-J_{k1} \\
J_{k2} + J_{k1} \\
-J_{k2} \\
E_1 \\
0
\end{pmatrix}$$
---
## 3. Метод контурных токов (МКТ) для цепей постоянного тока
> [!tip] Правило для контуров с источником тока
>
> Если в цепи присутствует ветвь с источником тока $J_k$, соответствующий контурный ток выбирается замыкающимся через этот источник тока и становится сразу известным:
> $$I_{33} = J_k$$
> Это уравнение не составляется по II закону Кирхгофа, а подставляется в остальные уравнения, сокращая размерность решаемой системы.
---
### Задача 3.1. Расчёт сложной цепи методом МКТ
```tikz
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
\draw (0,0) rectangle (6,4);
\draw (0,2) -- (6,2);
\draw (3,0) -- (3,4);
\draw[fill=white] (1.0, 3.75) rectangle (2.0, 4.25); \node at (1.5, 4) {$R_1$};
\draw[fill=white] (4.0, 3.75) rectangle (5.0, 4.25); \node at (4.5, 4) {$R_2$};
\draw[fill=white] (2.75, 2.5) rectangle (3.25, 3.5); \node at (3, 3) {$R_3$};
\draw[fill=white] (1.0, 1.75) rectangle (2.0, 2.25); \node at (1.5, 2) {$R_4$};
\draw[fill=white] (4.0, 1.75) rectangle (5.0, 2.25); \node at (4.5, 2) {$R_5$};
\draw (0,3) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (0,2.7) -- (0,3.3); \node[left=2pt] at (-0.35,3) {$E_1$};
\draw (6,3) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (6,2.7) -- (6,3.3); \node[right=2pt] at (6.35,3) {$E_2$};
\draw (3,1) circle [radius=0.4];
\draw[->, thick] (3,0.7) -- (3,1.3); \draw[->, thick] (3,0.7) -- (3,1.1);
\node[right=2pt] at (3.4,1) {$J_k$};
\draw[->, thick, red] (1.8, 3.3) arc (45:-225:0.4); \node[red] at (1.5, 3.0) {$I_{11}$};
\draw[->, thick, red] (4.8, 3.3) arc (45:-225:0.4); \node[red] at (4.5, 3.0) {$I_{22}$};
\draw[->, thick, blue] (1.8, 1.3) arc (45:-225:0.4); \node[blue] at (1.5, 1.0) {$I_{33} = J_k$};
\end{tikzpicture}
\end{document}
```
#### Канонические уравнения МКТ:
$$\begin{cases}
I_{11}(R_1 + R_2) - I_{22} R_2 - I_{33} R_1 = -E_2 - E_5 \\
-I_{11} R_2 + I_{22}(R_2 + R_3) - I_{33} R_3 = E_2 - E_4 \\
I_{33} = J_k
\end{cases}$$
Подставляя известное $I_{33} = J_k$:
$$\begin{cases}
I_{11}(R_1 + R_2) - I_{22} R_2 = -E_2 - E_5 + J_k R_1 \\
-I_{11} R_2 + I_{22}(R_2 + R_3) = E_2 - E_4 + J_k R_3
\end{cases}$$
#### Связь реальных токов ветвей с контурными токами:
$$I_1 = I_{11} - I_{33}, \quad I_2 = I_{22} - I_{11}, \quad I_3 = I_{33} - I_{22}, \quad I_4 = I_{22}, \quad I_5 = I_{11}$$
---
## 4. Метод узловых потенциалов (МУП) для цепей постоянного тока
> [!tip] Опорный узел при идеальном источнике ЭДС
>
> Если между узлами 1 и 4 включён идеальный источник ЭДС $E_1$ (без резистора), принимаем:
> $$\varphi_1 = 0 \implies \varphi_4 = E_1 \quad (\text{или } \varphi_4 = 0 \implies \varphi_1 = -E_1)$$
> Это исключает составление уравнения для узла 4 и снижает число неизвестных.
---
### Задача 4.1. Система МУП для цепи с 4 узлами
$$\begin{cases}
\varphi_1 = 0 \\
\varphi_4 = E_1 \\
\varphi_2 \left(\dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_5}\right) - \varphi_3 \dfrac{1}{R_5} = \dfrac{E_2}{R_2} \\
-\varphi_2 \dfrac{1}{R_5} + \varphi_3 \left(\dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_5} + \dfrac{1}{R_6}\right) = \dfrac{E_6}{R_6} + J_{k1} + \dfrac{E_1}{R_3}
\end{cases}$$
#### Выражение токов ветвей по закону Ома:
$$I_6 = \frac{\varphi_3 - \varphi_1 - E_6}{R_6}, \quad I_4 = \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{R_4}, \quad I_2 = \frac{\varphi_4 - \varphi_2}{R_2}$$
$$I_5 = \frac{\varphi_2 - \varphi_3}{R_5}, \quad I_3 = \frac{\varphi_4 - \varphi_3}{R_3}, \quad I_1 = I_2 + I_3$$
---
## 5. Баланс мощностей для цепей постоянного тока
> [!warning] Допустимая погрешность расчёта
>
> В инженерных расчётах сходимость баланса мощностей проверяется формулой:
> $$\Delta = \left|\frac{P_{ист} - P_{потр}}{P_{потр}}\right| \cdot 100\% \le 3\%$$
* **Мощность потребителей:**
$$P_{потр} = \sum_{k=1}^n I_k^2 R_k$$
* **Мощность источников:**
$$P_{ист} = \sum E_k I_k + \sum J_k U_{ab}$$
где $U_{ab}$ — падение напряжения на зажимах источника тока, определяемое по II закону Кирхгофа:
$$U_{ab} = I_5 R_5 + I_4 R_4$$
---
# РАЗДЕЛ II. Семинары по цепям синусоидального тока (Типовой расчёт / ДЗ №2)
---
## 1. Постановка комплексной задачи и исходная схема
```tikz
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
\coordinate (N1) at (0, 4);
\coordinate (N2) at (4, 4);
\coordinate (N3) at (2, 2);
\coordinate (N4) at (4, 0);
\draw (0, 0) -- (0, 1.6);
\draw (0, 2.0) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (0, 1.75) -- (0, 2.25);
\node[left=3pt] at (-0.35, 2.0) {$E_5$};
\draw (0, 2.35) -- (0, 4) -- (N1);
\draw[->, thick] (0, 0.8) -- (0, 0.4) node[midway, left] {$I_5$};
\draw (N1) -- (1.0, 4);
\draw (1.0, 4) arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.15]
arc[start angle=180, end angle=0, radius=0.15];
\node[above=2pt] at (1.3, 4.2) {$L_1$};
\draw (1.6, 4) -- (N2);
\draw[->, thick] (0.4, 4.2) -- (0.8, 4.2) node[midway, above] {$I_1$};
\draw (N2) -- (4, 3.2);
\draw (3.75, 2.6) rectangle (4.25, 3.2); \node at (4.0, 2.9) {$R_2$};
\draw (4, 2.6) -- (4, 2.1);
\draw (3.8, 2.1) -- (4.2, 2.1); \draw (3.8, 1.9) -- (4.2, 1.9); \node[right=2pt] at (4.2, 2.0) {$C_2$};
\draw (4, 1.9) -- (4, 1.45);
\draw (4, 1.1) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (4, 0.85) -- (4, 1.35); \node[right=2pt] at (4.35, 1.1) {$E_2$};
\draw (4, 0.75) -- (N4);
\draw[->, thick] (4.4, 3.5) -- (4.4, 3.1) node[midway, right] {$I_2$};
\draw (N1) -- (0.8, 3.0) -- (1.4, 3.0);
\draw (1.4, 2.75) rectangle (2.2, 3.25); \node at (1.8, 3.0) {$R_3$};
\draw (2.2, 3.0) -- (2.65, 3.0);
\draw (3.0, 3.0) circle [radius=0.35]; \draw[->, thick] (2.75, 3.0) -- (3.25, 3.0); \node[above=2pt] at (3.0, 3.35) {$E_3$};
\draw (3.35, 3.0) -- (N4);
\draw[->, thick] (2.4, 3.3) -- (2.6, 3.3) node[above] {$I_3$};
\draw (N1) -- (2.0, 4) -- (2.0, 2.2);
\draw (1.75, 1.6) rectangle (2.25, 2.2); \node at (2.0, 1.9) {$R_4$};
\draw (2.0, 1.6) arc[start angle=90, end angle=-90, radius=0.15]
arc[start angle=90, end angle=-90, radius=0.15];
\node[left=2pt] at (1.7, 1.3) {$L_4$};
\draw (2.0, 1.0) -- (2.0, 0.8);
\draw (1.8, 0.8) -- (2.2, 0.8); \draw (1.8, 0.6) -- (2.2, 0.6); \node[left=2pt] at (1.8, 0.7) {$C_4$};
\draw (2.0, 0.6) -- (2.0, 0) -- (N4);
\draw[->, thick] (2.3, 1.0) -- (2.3, 0.5) node[midway, right] {$I_4$};
\draw (N4) -- (5.5, 0) -- (5.5, 2.0);
\draw (5.5, 2.4) circle [radius=0.4];
\draw[->, thick] (5.5, 2.1) -- (5.5, 2.7); \draw[->, thick] (5.5, 2.1) -- (5.5, 2.5);
\node[right=2pt] at (5.9, 2.4) {$J_k$};
\draw (5.5, 2.8) -- (5.5, 4.0) -- (N2);
\draw (0, 0) -- (N4);
\fill (N1) circle [radius=2pt] node[above left] {1};
\fill (N2) circle [radius=2pt] node[above right] {2};
\fill (N4) circle [radius=2pt] node[below] {4};
\end{tikzpicture}
\end{document}
```
---
### 1.1. Шаг 1: Перевод параметров в комплексную форму
1. **Начальные фазы источников:** перевод из радиан в градусы:
$$e(t) = E_m \sin(\omega t + \psi_E) \implies \underline{E} = \frac{E_m}{\sqrt{2}} e^{j \psi_E}$$
2. **Комплексные сопротивления ветвей цепи:**
* **Ветвь 1:** чисто индуктивная:
$$\underline{Z}_1 = j X_{L1} = X_{L1} e^{j 90^\circ}$$
* **Ветвь 2:** последовательное $R_2$ и $C_2$:
$$\underline{Z}_2 = R_2 - j X_{C2} = \sqrt{R_2^2 + X_{C2}^2} e^{-j \operatorname{arctg}\left(\frac{X_{C2}}{R_2}\right)} = Z_2 e^{j \varphi_2}$$
* **Ветвь 3:** чисто активная:
$$\underline{Z}_3 = R_3$$
* **Ветвь 4:** последовательное $R_4, L_4, C_4$:
$$\underline{Z}_4 = R_4 + j(X_{L4} - X_{C4}) = \sqrt{R_4^2 + (X_{L4} - X_{C4})^2} e^{j \operatorname{arctg}\left(\frac{X_{L4} - X_{C4}}{R_4}\right)} = Z_4 e^{j \varphi_4}$$
---
## 2. Расчёт комплексной цепи по законам Кирхгофа
* Топология: $у = 4$, $в = 6$, $в_J = 1$.
* Уравнений по I З.К.: $K_I = 4 - 1 = 3$
* Уравнений по II З.К.: $K_{II} = 6 - 1 - 4 + 1 = 2$
### 2.1. Система уравнений:
#### По I закону Кирхгофа:
$$\begin{cases}
\text{Узел 1:} & \underline{I}_5 + \underline{I}_1 - J_k = 0 \\
\text{Узел 2:} & \underline{I}_1 - \underline{I}_3 - \underline{I}_4 = 0 \\
\text{Узел 3:} & \underline{I}_3 - J_k + \underline{I}_2 = 0
\end{cases}$$
#### По II закону Кирхгофа:
$$\begin{cases}
\text{Контур I:} & \underline{I}_1 j X_{L1} + \underline{I}_4 R_4 + \underline{I}_4 j X_{L4} + \underline{I}_4 (-j X_{C4}) = \underline{E}_5 \\
\text{Контур II:} & \underline{I}_2 R_2 + \underline{I}_2 (-j X_{C2}) - \underline{I}_3 R_3 - \underline{I}_1 j X_{L1} = \underline{E}_2 - \underline{E}_3
\end{cases}$$
Матричная форма записи: $[\underline{I}] = [\underline{Z}]^{-1} \cdot [\underline{E}]$.
---
## 3. Расчёт методом контурных токов (МКТ)
Выбираем контурный ток через источник тока: $\underline{I}_{33} = J_k$.
$$\begin{cases}
\underline{I}_{11}(\underline{Z}_1 + \underline{Z}_4) - \underline{I}_{22} \underline{Z}_1 + \underline{I}_{33} \underline{Z}_4 = \underline{E}_5 \\
\underline{I}_{22}(\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 + \underline{Z}_3) - \underline{I}_{11} \underline{Z}_1 + \underline{I}_{33} \underline{Z}_3 = -\underline{E}_3 - \underline{E}_2
\end{cases}$$
Подставляя $\underline{I}_{33} = J_k$:
$$\begin{cases}
\underline{I}_{11}(\underline{Z}_1 + \underline{Z}_4) - \underline{I}_{22} \underline{Z}_1 = \underline{E}_5 - J_k \underline{Z}_4 \\
-\underline{I}_{11} \underline{Z}_1 + \underline{I}_{22}(\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 + \underline{Z}_3) = -\underline{E}_3 - \underline{E}_2 - J_k \underline{Z}_3
\end{cases}$$
#### Реальные токи ветвей:
$$\underline{I}_1 = \underline{I}_{11} - \underline{I}_{22}, \quad \underline{I}_2 = \underline{I}_{22}, \quad \underline{I}_3 = -\underline{I}_{22} - \underline{I}_{33}, \quad \underline{I}_4 = \underline{I}_{11} + \underline{I}_{33}$$
---
## 4. Расчёт методом узловых потенциалов (МУП)
* Базисный узел: $\varphi_4 = 0$
* Узел с идеальным источником ЭДС $E_5$: $\varphi_1 = \underline{E}_5$
### Уравнения для неизвестных узлов 2 и 3:
$$\begin{cases}
\varphi_2 \left(\dfrac{1}{\underline{Z}_2} + \dfrac{1}{\underline{Z}_3}\right) - \varphi_3 \dfrac{1}{\underline{Z}_3} - \varphi_1 \dfrac{1}{\underline{Z}_2} = \dfrac{\underline{E}_3}{\underline{Z}_3} - \dfrac{\underline{E}_2}{\underline{Z}_2} + J_k \\
-\varphi_2 \dfrac{1}{\underline{Z}_3} + \varphi_3 \left(\dfrac{1}{\underline{Z}_1} + \dfrac{1}{\underline{Z}_3} + \dfrac{1}{\underline{Z}_4}\right) - \varphi_1 \dfrac{1}{\underline{Z}_1} - \varphi_4 \dfrac{1}{\underline{Z}_4} = -\dfrac{\underline{E}_3}{\underline{Z}_3}
\end{cases}$$
### Токи ветвей:
$$\underline{I}_1 = \frac{\varphi_1 - \varphi_3}{\underline{Z}_1}, \quad \underline{I}_2 = \frac{\varphi_1 - \varphi_2 - \underline{E}_2}{\underline{Z}_2}, \quad \underline{I}_3 = \frac{\varphi_3 - \varphi_2 + \underline{E}_3}{\underline{Z}_3}, \quad \underline{I}_4 = \frac{\varphi_3 - \varphi_4}{\underline{Z}_4}$$
$$\underline{I}_5 = -\underline{I}_3 - \underline{I}_1$$
---
## 5. Метод эквивалентного генератора (МЭГ)
Нахождение тока $\underline{I}_5$ ветви с источником $E_5$:
1. **Напряжение холостого хода $\underline{U}_{xx}$:**
Разомкнув ветвь 5, определяем напряжение между её зажимами:
$$\underline{U}_{xx} - \underline{I}_4 \underline{Z}_4 - \underline{I}_1 \underline{Z}_1 = 0 \implies \underline{U}_{xx} = \underline{I}_4 \underline{Z}_4 + \underline{I}_1 \underline{Z}_1$$
При разомкнутой ветви 5 ток $\underline{I}_4 = J_k$, а ток $\underline{I}_1$ находится из одного уравнения МКТ:
$$\underline{I}_{11}(\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 + \underline{Z}_3) - J_k \underline{Z}_3 = \underline{E}_3 + \underline{E}_2 \implies \underline{I}_1 = \underline{I}_{11}$$
2. **Входное комплексное сопротивление $\underline{Z}_{вх}$:**
Пассивируем схему (источники ЭДС закорачиваются, ветвь источника тока размыкается):
$$\underline{Z}_{вх} = \frac{(\underline{Z}_2 + \underline{Z}_3) \cdot \underline{Z}_1}{(\underline{Z}_2 + \underline{Z}_3) + \underline{Z}_1} + \underline{Z}_4$$
3. **Определение тока ветви:**
$$\underline{I}_5 = \frac{\underline{E}_г - \underline{E}_5}{\underline{Z}_{вх}} = \frac{\underline{U}_{xx} - \underline{E}_5}{\underline{Z}_{вх}}$$
---
## 6. Векторная диаграмма цепи синусоидального тока
Строится на комплексной плоскости $(+1, +j)$ для контура, включающего источник $E_5$:
$$\underline{E}_5 = \underline{U}_{L1} + \underline{U}_{R4} + \underline{U}_{L4} + \underline{U}_{C4} = \underline{I}_1 j X_{L1} + \underline{I}_4 R_4 + \underline{I}_4 j X_{L4} + \underline{I}_4 (-j X_{C4})$$
$$\underline{I}_1 = \underline{I}_3 + \underline{I}_4$$
```tikz
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
\draw[->] (-2.5,0) -- (4.0,0) node[right] {$+1$};
\draw[->] (0,-2.5) -- (0,3.5) node[above] {$+j$};
\node[below left] at (0,0) {$0$};
\draw[thick, ->] (0,0) -- (2.5,-0.8) node[right] {$\underline{I}_1$};
\draw[thick, ->] (0,0) -- (1.5,-1.8) node[below] {$\underline{I}_4$};
\draw[thick, ->] (0,0) -- (2.8,0.5) node[right] {$\underline{I}_3$};
\draw[thick, ->, blue] (0,0) -- (0.8,2.2) node[above left] {$\underline{U}_{L1}$};
\draw[thick, ->, blue] (0.8,2.2) -- (2.0,1.2) node[above] {$\underline{U}_{R4}$};
\draw[thick, ->, blue] (2.0,1.2) -- (2.8,2.1) node[above] {$\underline{U}_{L4}$};
\draw[thick, ->, blue] (2.8,2.1) -- (2.4,1.6) node[right] {$\underline{U}_{C4}$};
\draw[thick, ->, red] (0,0) -- (2.4,1.6) node[above left] {$\underline{E}_5$};
\end{tikzpicture}
\end{document}
```
---
## 7. Баланс мощностей цепи синусоидального тока
### 7.1. Баланс активной мощности ($\sum P_{ист} = \sum P_{потр}$)
* **Мощность потребителей:**
$$P_{потр} = I_2^2 R_2 + I_3^2 R_3 + I_4^2 R_4\quad [\mathrm{W}]$$
* **Мощность источников:**
$$P_{ист} = E_3 I_3 \cos\varphi_3 - E_2 I_2 \cos\varphi_2 - E_5 I_5 \cos\varphi_5 + J_k U_{24} \cos\varphi_J\quad [\mathrm{W}]$$
где:
$$\varphi_3 = \psi_{E3} - \psi_{I3}, \quad \varphi_2 = \psi_{E2} - \psi_{I2}, \quad \varphi_5 = \psi_{E5} - \psi_{I5}, \quad \varphi_J = \psi_{U24} - \psi_{Jk}$$
### 7.2. Баланс реактивной мощности ($\sum Q_{ист} = \sum Q_{потр}$)
* **Реактивная мощность потребителей:**
$$Q_{потр} = I_1^2 X_{L1} + I_2^2 (-X_{C2}) + I_4^2 (X_{L4} - X_{C4})\quad [\mathrm{var}]$$
* **Реактивная мощность источников:**
$$Q_{ист} = E_3 I_3 \sin\varphi_3 - E_2 I_2 \sin\varphi_2 - E_5 I_5 \sin\varphi_5 + J_k U_{24} \sin\varphi_J\quad [\mathrm{var}]$$
### 7.3. Баланс комплексной мощности
$$\underline{S}_{ист} = \underline{S}_{потр}$$
$$\underline{S}_{ист} = \underline{E}_3 \underline{I}_3^* - \underline{E}_2 \underline{I}_2^* - \underline{E}_5 \underline{I}_5^* + \underline{U}_{24} \underline{J}_k^* = P + j Q$$
Напряжение на источнике тока определяется из контура:
$$\underline{U}_{24} - \underline{I}_4 \underline{Z}_4 + \underline{I}_3 \underline{Z}_3 = \underline{E}_3 \implies \underline{U}_{24} = \underline{E}_3 + \underline{I}_4 \underline{Z}_4 - \underline{I}_3 \underline{Z}_3$$