РК2

1. Определение линейно зависимой и линейно независимой систем функций.

Определение: Функции $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$, определенные на отрезке $[a,b]$, называются линейно зависимыми, если существуют такие константы ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbb{R}$, не все равные нулю (т.е. ${\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2+\cdots +{\lambda }_n^2\ne 0$), что их линейная комбинация тождественно равна нулю на всем отрезке: ${\lambda }_1{y}_1(x)+{\lambda }_2{y}_2(x)+\cdots +{\lambda }_n{y}_n(x)\equiv 0\forall x\in [a,b]$

Функции называются линейно независимыми, если указанное тождество выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю: ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$. (Критерий: функции линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией остальных).

2. Сформулировать теорему о вронскиане линейно зависимой системы функций.

Теорема: Если система функций $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$ линейно зависима на отрезке $[a,b]$ (при условии, что функции имеют непрерывные производные до $(n-1)$-го порядка включительно, т.е. $y_i\in C^{(n-1)}([a,b])$), то её определитель Вронского (Вронскиан) тождественно равен нулю на этом отрезке: $W[y_1,y_2,\dots ,y_n](x)\equiv 0\forall x\in [a,b]$

3. Сформулировать теорему о вронскиане линейно независимой системы частных решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Теорема: Пусть $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$ — система линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) $n$-го порядка на отрезке $[a,b]$ (при выполнении условий регулярности: непрерывность коэффициентов и $a_0(x)\ne 0$). Тогда их определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка: $W[y_1,y_2,\dots ,y_n](x)\ne 0\forall x\in [a,b]$ (Следствие: обращение Вронскиана решений ЛОДУ в нуль хотя бы в одной точке означает их линейную зависимость).

4. Сформулировать теорему о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Теорема: Для любого линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) $n$-го порядка (коэффициенты которого непрерывны и $a_0(x)\ne 0$ на $[a,b]$) существует фундаментальная система решений (ФСР), то есть система из $n$ линейно независимых частных решений.

5. Сформулировать теорему о размерности пространства решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Теорема: Множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения $n$-го порядка (при выполнении условий регулярности) образует линейное пространство. Размерность этого пространства решений в точности равна $n$ (порядку уравнения).

6. Сформулировать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Теорема: Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) $L_n(y)=f(x)$ равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения (ЛОДУ) $L_n(y)=0$ и любого частного решения данного неоднородного уравнения. $y_{\text{он}}(x)=y_{\text{оо}}(x)+y_{\text{чн}}(x)$ где $y_{\text{оо}}(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\cdots +C_n{y}_n(x)$ ($y_i$ — фундаментальная система решений ЛОДУ, $C_i$ — произвольные постоянные).

7. Написать формулу Остроградского - Лиувилля.

Для линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка, приведенного к стандартному виду: $y^{\prime \prime }+p_1(x)y^{\prime }+p_2(x)y=0$ Определитель Вронского двух любых его решений вычисляется по формуле Остроградского-Лиувилля: $W(x)=W(x_0)\cdot e^{-{\int }_{x_0}^x{p}_1(t)dt}$ где $x_0\in [a,b]$ — произвольная фиксированная точка.

8. Построение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка по известному частному решению.

Пусть задано ЛОДУ 2-го порядка $y^{\prime \prime }+p_1(x)y^{\prime }+p_2(x)y=0$ и известно одно его нетривиальное частное решение $y_1(x)\ne 0$. Из формулы Остроградского-Лиувилля выводится второе, линейно независимое с ним решение $y_2(x)$: $y_2(x)=y_1(x)\int \frac{e^{-\int p_1(x)dx}}{y_1^2(x)}dx$ Общее решение уравнения строится как линейная комбинация этих двух решений: $y_{\text{оо}}=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_1(x)\int \frac{e^{-\int p_1(x)dx}}{y_1^2(x)}dx$

9. Написать формулы общего решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае: а) простых действительных корней; б) кратных корней; в) комплексных корней.

Задано ЛОДУ $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ ($p,q\in \mathbb{R}$). Характеристическое уравнение: ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$.

а) Простые действительные корни ($D>0$) Корни ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\in \mathbb{R}$. ФСР: $y_1=e^{{\lambda }_{1}x},y_2=e^{{\lambda }_{2}x}$. Формула общего решения: $y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$

б) Кратные действительные корни ($D=0$) Корни ${\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda \in \mathbb{R}$. ФСР: $y_1=e^{\lambda x},y_2=x{e}^{\lambda x}$. Формула общего решения: $y=C_1{e}^{\lambda x}+C_{2}x{e}^{\lambda x}=e^{\lambda x}(C_1+C_{2}x)$

в) Комплексно-сопряженные корни ($D<0$) Корни ${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta$. ФСР: $y_1=e^{\alpha x}\cos (\beta x),y_2=e^{\alpha x}\sin (\beta x)$. Формула общего решения: $y=e^{\alpha x}(C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x))$

10. Сформулировать теорему о наложении частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения (принцип суперпозиции).

Теорема: Пусть задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение $L_n(y)=f_1(x)+f_2(x)$. Если функция $y_1(x)$ является частным решением уравнения $L_n(y)=f_1(x)$, а функция $y_2(x)$ является частным решением уравнения $L_n(y)=f_2(x)$, то их сумма: $y(x)=y_1(x)+y_2(x)$ является частным решением исходного уравнения $L_n(y)=f_1(x)+f_2(x)$.

11. Сформулировать теоремы о свойствах частных решений линейных однородного и неоднородного дифференциальных уравнений.

Пусть задан линейный дифференциальный оператор $L_n(y)$. Рассмотрим ЛОДУ $L_n(y)=0$ (1) и ЛНДУ $L_n(y)=f(x)$ (2). Теоремы о свойствах решений:

1. Сумма (или разность) любых двух решений однородного уравнения (1) есть решение однородного уравнения (1).
2. Разность любых двух решений неоднородного уравнения (2) есть решение однородного уравнения (1).
3. Сумма решения однородного уравнения (1) и решения неоднородного уравнения (2) есть решение неоднородного уравнения (2).