Шпаргалки

Таблица основных интегралов

1. $\int dx=x+C$
2. $\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C,\alpha \ne -1$
3. $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
4. $\int e^{x}dx=e^x+C$
5. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

---

6. $\int \sin xdx=-\cos x+C$
7. $\int \cos xdx=\sin x+C$
8. $\int \frac{dx}{\sin x}=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$
9. $\int \frac{dx}{\cos x}=\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)\right|+C$
10. $\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\tan x+C$
11. $\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\cot x+C$

---

12. $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$
13. $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$
14. $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$ - высокий логарифм
15. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$ - длинный логарифм
16. $\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$

---

17. $\int \sinh xdx=\cosh x+C$
18. $\int \cosh xdx=\sinh x+C$
19. $\int \frac{dx}{{\cosh }^{2}x}=\tanh x+C$
20. $\int \frac{dx}{{\sinh }^{2}x}=-\coth x+C$

Базовые методы интегрирования ^1-3-base-methods-section

1. Подведение под знак дифференциала и замена переменной

Метод	Формула	Суть
Подведение под $d(x)$	$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(g(x))dg(x)$	Использование инвариантности формул интегрирования
Прямая подстановка	$\int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt=F(\phi (t))+C$	Переход к новой переменной $t$
Обратная замена	$\int f(x)dx=F({\phi }^{-1}(x))+C$	Возврат от переменной $t$ к $x$

Доказательство (Замена переменной) $x=\phi (t)$, $\exists {\phi }^{-1}(x)$. Продифференцируем ответ по $x$: $(F({\phi }^{-1}(x)){)}^{\prime }=F^{\prime }({\phi }^{-1}(x))\cdot ({\phi }^{-1}(x){)}^{\prime }=f(\phi ({\phi }^{-1}(x)))\cdot {\phi }^{\prime }({\phi }^{-1}(x))\cdot \frac{1}{{\phi }^{\prime }({\phi }^{-1}(x))}=f(x)$.

Пусть

2. Метод интегрирования по частям $\int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)$

Формула:

Вид интеграла	Выбор $u$	Выбор $dv$
$\int P(x)\ln xdx,\int P(x)\arcsin xdx\dots$	$u=\ln x,\arcsin x$ (Лог/Обр.триг)	$dv=P(x)dx$
$\int P(x)e^{\alpha x}dx,\int P(x)\sin (\alpha x)dx\dots$	$u=P(x)$ (Многочлен)	$dv=e^{\alpha x}dx,\sin (\alpha x)dx$
$\int e^{\alpha x}\sin (\beta x)dx$ (циклические)	Любая функция	Оставшаяся часть

Доказательство $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\Rightarrow u{v}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }-u^{\prime }v$. Интегрируем обе части: $\int udv=uv-\int vdu$.

Интегрирование рациональных функций ^1-3-rational-section

Алгоритм работы с дробью $\frac{P_m(x)}{Q_n(x)}$

Шаг	Действие	Метод / Формула
1. Проверка правильности	Если $m\ge n$ (неправильная дробь)	Деление уголком: $\frac{P_m}{Q_n}=S_{m-n}+\frac{R_k}{Q_n}$
2. Корни знаменателя	Разложение $Q_n(x)$ на множители	$Q_n(x)=A(x-a{)}^{k_1}\dots (x^2+px+q{)}^{m_1}$ (по т. Безу)
3. Метод неопр. коэфф.	Разбиение правильной дроби на простейшие	$\frac{R_k}{Q_n}=\frac{A_1}{x-a}+\cdots +\frac{B_{1}x+C_1}{x^2+px+q}+\dots$
4. Интегрирование	Взятие интеграла от суммы простейших дробей	Сводится к логарифмам, степенным функциям и арктангенсам

Интегрирование тригонометрических функций ^1-3-trig-section

Таблица методов для $\int {\sin }^{n}x{\cos }^{m}xdx$

Условие для $n,m\in \mathbb{N}$	Метод / Подстановка	Формулы перехода
$n$ — нечётно	$t=\cos x$	Отщепить $\sin xdx$, ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$
$m$ — нечётно	$t=\sin x$	Отщепить $\cos xdx$, ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$
$n,m$ — чётные	Понижение степени	${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

Таблица методов для $\int R(\sin x,\cos x)dx$

Свойство функции $R$	Подстановка	Дифференциал / Связь
$R(-\sin x,\cos x)=-R$	$t=\cos x$	$dt=-\sin xdx$
$R(\sin x,-\cos x)=-R$	$t=\sin x$	$dt=\cos xdx$
$R(-\sin x,-\cos x)=R$	$t=\tan x$	$dt=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}$
Универсальная	$t=\tan \frac{x}{2}$	$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}$

Интегрирование иррациональных функций ^1-3-irrational-section

Таблица методов для иррациональностей

Вид интеграла	Подстановка / Метод	Пояснение
$\int R\left(x,{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{\frac{m_1}{n_1}},\dots \right)dx$	$t^s=\frac{ax+b}{cx+d}$	$s$ — общий знаменатель (НОК) дробей $n_1,n_2,\dots$
$\int \frac{mx+n}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$	Выделение $(a{x}^2+bx+c{)}^{\prime }$	Разбить на: табличный $\int \frac{du}{\sqrt{u}}$ и полный квадрат
$\int \frac{dx}{(mx+n{)}^r\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$	$t=\frac{1}{mx+n}$	Обратная подстановка. Сводит к предыдущему случаю

Тригонометрические подстановки (для $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$) После выделения полного квадрата применяются замены:

Вид корня	Подстановка	Преобразование корня
$\sqrt{l^2-y^2}$	$y=l\sin t$	$\sqrt{l^2-l^2{\sin }^{2}t}=l\cos t$
$\sqrt{l^2+y^2}$	$y=l\tan t$	$\sqrt{l^2+l^2{\tan }^{2}t}=\frac{l}{\cos t}$
$\sqrt{y^2-l^2}$	$y=\frac{l}{\cos t}$	$\sqrt{\frac{l^2}{{\cos }^{2}t}-l^2}=l\tan t$