РК1 Теория

Физические основы механики

1. Перемещение, скорость, ускорение материальной точки и связь между ними. Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорение.

Вектор перемещения $\Delta \vec{R}$ за интервал времени $(t_1,t_2)$ — вектор, равный векторной разности радиус-векторов: $\Delta \vec{R}=\vec{R}(t_2)-\vec{R}(t_1)$

Скорость - векторная величина, характеризующуая быстроту перемещения и направление движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта.

Мгновенная скорость $\vec{V}$ — вектор, являющийся пределом скорости перемещения при стремлении $\Delta t$ к нулю (первая производная от радиус-вектора по времени). Вектор скорости всегда лежит на касательной к траектории: $\vec{V}={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec{R}}{\Delta t}=\frac{d\vec{R}}{dt}=\dot{\vec{R}}(t)$

Ускорение $\vec{a}$ — вектор, равный мгновенному изменению вектора скорости (производная скорости по времени): $\vec{a}=\frac{d\vec{V}}{dt}=\dot{\vec{V}}$

Связь и компоненты ускорения: Вектор полного ускорения представляется в виде суммы двух векторов: $\vec{a}={\vec{a}}_t+{\vec{a}}_n$.

1. Тангенциальное (касательное) ускорение ${\vec{a}}_t$ — определяет изменение модуля вектора скорости. Направлено по касательной к траектории (параллельно скорости): $a_t=\frac{d|\vec{V}|}{dt}$.

2. Нормальное (перпендикулярное) ускорение ${\vec{a}}_n$ — отвечает за изменение направления вектора скорости. Направлено перпендикулярно скорости к центру кривизны траектории: $a_n=\frac{V^2}{R}$.

Вывод компонент ускорения Введем единичный вектор для направления скорости ${\vec{\tau }}_v=\frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}$. Он направлен по касательной в ту же сторону, что и скорость. Тогда вектор скорости: $\vec{V}=|\vec{V}|{\vec{\tau }}_v$. Берем производную по времени: $\vec{a}=\dot{\vec{V}}=\frac{d(|\vec{V}|{\vec{\tau }}_v)}{dt}=\frac{d|\vec{V}|}{dt}{\vec{\tau }}_v+|\vec{V}|{\dot{\vec{\tau }}}_v$ Первое слагаемое параллельно скорости — это тангенциальное ускорение ${\vec{a}}_t$. Второе слагаемое перпендикулярно скорости, так как длина единичного вектора не меняется, и его производная ортогональна самому вектору. Это нормальное ускорение ${\vec{a}}_n$.

Вывод величины нормального ускорения: Если точка движется по окружности с постоянной по величине скоростью $V$, то за малое время $dt$ она пройдет путь $dl=V\cdot dt=R\cdot d\alpha$, где $d\alpha$ — малый угол поворота радиус-вектора. Так как вектор скорости перпендикулярен радиусу, он повернется на такой же угол, и величина изменения скорости составит $dV=V\cdot d\alpha =a_n\cdot dt$. Подставляя $d\alpha$, получаем: $a_n=\frac{V\cdot d\alpha }{dt}=\frac{V\cdot (V\cdot dt/R)}{dt}=\frac{V^2}{R}$.

2. Векторы угловой скорости и углового ускорения твёрдого тела при вращательном движении. Их связь с линейными величинами. Период и частота вращения.

Угловая скорость $\omega$ — характеризует быстроту изменения угловой координаты $\alpha$: $\omega =\frac{d\alpha }{dt}$ (единица измерения 1/с или рад/с). Угловое ускорение $\epsilon$ — характеризует быстроту изменения угловой скорости: $\epsilon =\frac{d^2\alpha }{d{t}^2}=\frac{d\omega }{dt}$ (единица измерения 1/с${}^2$).

Векторная форма: Вектор малого поворота $d\vec{\phi }$ направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта. Тогда вектор угловой скорости определяется как: $\vec{\omega }=\frac{d\vec{\phi }}{dt}$

Связь с линейными величинами:

• Вектор линейной скорости равен векторному произведению угловой скорости на радиус-вектор: $\vec{V}=\vec{\omega }\times \vec{R}$.
• Модуль линейной скорости: $V=\omega R$ (где $R$ — радиус окружности).
• Тангенциальное ускорение: $a_t=\epsilon R$.
• Нормальное ускорение: $a_n={\omega }^{2}R$.

Период и частота (при постоянной скорости $\omega =\text{const}$):

• Период $T$ — время одного полного оборота ($2\pi$ радиан): $T=\frac{2\pi }{\omega }$.

• Частота вращения $\nu$ — количество оборотов в секунду (Гц): $\nu =\frac{1}{T}$. Отсюда $\omega =2\pi \nu$.

Векторная форма записи угловой скорости Рассмотрим поворот твердого тела на малый угол $d\phi$ вокруг оси $z$. Некоторая точка $A$, находящаяся на расстоянии $r_{\perp }$ от оси, переместится на малый вектор $d\vec{s}$, направленный по касательной к окружности: $ds=r_{\perp }d\phi$. Если задать положение точки радиус-вектором $\vec{R}$ из начала координат на оси вращения, то $r_{\perp }=R\sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между $\vec{R}$ и осью $z$.

Тогда $ds=R\sin \alpha \cdot d\phi$. Задавая вектор поворота $d\vec{\phi }$ вдоль оси вращения по правилу буравчика, получаем векторное равенство: $d\vec{s}=d\vec{\phi }\times \vec{R}$ Разделив на $dt$, получаем связь векторов: $\vec{V}=\vec{\omega }\times \vec{R}$. Направление вектора $\vec{\omega }$ и направление вращения жестко связаны правилом правого винта.

3. I, II и III законы Ньютона. Сила упругости (закон Гука), сила тяжести (закон всемирного тяготения), сила трения скольжения и сила сопротивления среды.

I закон Ньютона: Существуют такие системы отсчета, в которых материальная точка либо покоится, либо движется по прямой линии с постоянной скоростью, если на нее не действуют силы или их сумма равна нулю. (Такие системы называются инерциальными — ИСО). II закон Ньютона: В ИСО вектор ускорения материальной точки сонаправлен с вектором суммы сил. Величина ускорения прямо пропорциональна равнодействующей всех сил и обратно пропорциональна массе: $\vec{a}=\frac{\sum \vec{F}}{m}$. (Или в импульсном виде: $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$). III закон Ньютона: Две материальные точки действуют друг на друга с силами, одинаковыми по величине, одной природы, противоположными по направлению и лежащими на одной прямой: ${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$.

Основные силы в механике:

• Сила всемирного тяготения: $F_{гр}=G\frac{m_1{m}_2}{R^2}$ (где $G$ — гравитационная постоянная).

• Сила тяжести: Действует вблизи поверхности планет. $F_{тяж}=mg$, где $g$ — ускорение свободного падения.

• Сила упругости (Закон Гука): Возникает при малой деформации, пропорциональна её величине и направлена противоположно: ${\vec{F}}_{упр}=-k\vec{x}$ ($k$ — жесткость).

• Сила (сухого) трения скольжения: Направлена против относительного движения, не зависит от площади контакта: $F_{тр}=\mu N$ ($\mu$ — коэффициент трения, $N$ — сила нормальной реакции).

• Сила сопротивления среды (жидкости/газа): Всегда направлена против скорости тела. Выражается как ${\vec{F}}_{сопр}=-\alpha S{v}^N{\vec{e}}_v$. При малых скоростях $N=1$, и сила принимает вид ${\vec{F}}_{сопр}=-r\vec{V}$.

Обобщенный закон Гука Рассмотрим деформируемый стержень с площадью сечения $S$ и начальной длиной $L_0$. При деформации на $\Delta L$ возникает сила $F=k\Delta L$.

Введем понятие нормального напряжения в сечении: $\sigma =\frac{F}{S}$ (измеряется в Паскалях). Относительная деформация: $\epsilon =\frac{\Delta L}{L_0}$. Если переписать силу упругости через эти величины, получим: $F=\sigma S=k\Delta L=k{L}_0\frac{\Delta L}{L_0}$. Отсюда следует, что $\sigma =\frac{k{L}_0}{S}\epsilon$. Коэффициент $E=\frac{k{L}_0}{S}$ называется модулем Юнга. Обобщенный закон Гука гласит: напряжение и относительная деформация прямо пропорциональны друг другу: $\sigma =E\cdot \epsilon$.

4. Импульс тела. Импульс силы. Механическая система. Центр масс. Уравнение изменения импульса механической системы. Закон сохранения импульса.

Импульс тела (материальной точки) — вектор $\vec{p}=m\vec{V}$, направленный по касательной к траектории. Импульс силы — величина, равная интегралу от силы по времени: ${\int }_{t_1}^{t_2}{\vec{F}}_{внеш}dt$. Она равна изменению вектора импульса системы за этот интервал: $\Delta {\vec{p}}_c=\int {\vec{F}}_{внеш}dt$.

Механическая система — совокупность материальных точек. Силы, действующие между точками системы, называются внутренними, а со стороны тел вне системы — внешними. Центр масс системы — точка, радиус-вектор которой определяется как ${\vec{R}}_c=\frac{\sum m_i{\vec{R}}_i}{m_c}$ (где $m_c=\sum m_i$ — суммарная масса). Импульс этой точки равен суммарному импульсу всей системы: ${\vec{p}}_c=\sum {\vec{p}}_i$.

Уравнение изменения импульса механической системы: Производная от импульса центра масс системы равна векторной сумме только внешних сил: $\frac{d{\vec{p}}_c}{dt}={\vec{F}}_{внеш}\text{или}{m}_c{\vec{a}}_c={\vec{F}}_{внеш}$

Закон сохранения импульса: Если равнодействующая всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю (${\vec{F}}_{внеш}=\vec{0}$), то вектор суммарного импульса системы сохраняется (система называется замкнутой): ${\vec{p}}_c=m_1{\vec{V}}_1+\cdots +m_N{\vec{V}}_N=\text{const}$

Динамика центра масс системы Рассмотрим систему из двух материальных точек. Запишем для каждой второй закон Ньютона:

1. $m_1{\vec{a}}_1={\vec{F}}_1^{внеш}+{\vec{F}}_1^{внутр}$
2. $m_2{\vec{a}}_2={\vec{F}}_2^{внеш}+{\vec{F}}_2^{внутр}$

Сложим эти уравнения. По третьему закону Ньютона внутренние силы взаимно компенсируются (${\vec{F}}_1^{внутр}=-{\vec{F}}_2^{внутр}$). Останется только векторная сумма внешних сил ${\vec{F}}_{внеш}$: $m_1{\vec{a}}_1+m_2{\vec{a}}_2={\vec{F}}_{внеш}$

Введя радиус-вектор центра масс ${\vec{R}}_c=\frac{m_1{\vec{R}}_1+m_2{\vec{R}}_2}{m_1+m_2}$ и дважды продифференцировав его по времени, получим выражение для ускорения центра масс: ${\vec{a}}_c=\frac{m_1{\vec{a}}_1+m_2{\vec{a}}_2}{m_c}$. Отсюда получаем уравнение движения: $m_c{\vec{a}}_c={\vec{F}}_{внеш}$. То есть центр масс движется так, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы, а все внешние силы были бы приложены к нему одному. Внутренние силы никак не могут изменить суммарный импульс системы.

5. Момент инерции твердого тела относительно оси. Момент инерции шара (без вывода), стержня, трубки (обруча) и цилиндра (диска). Теорема Штейнера.

Момент инерции твердого тела относительно оси $z$ — скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Определяется как сумма произведений элементарных масс тела на квадраты их расстояний до оси вращения: $I_z=\sum \Delta m_i\cdot r_{i\perp }^2\text{или для сплошного тела}{I}_z=\int r_{\perp }^{2}dm$

Моменты инерции однородных тел простых форм:

• Тонкое кольцо, трубка (обруч) радиуса $R$: $I=m{R}^2$.
• Сплошной цилиндр (диск) радиуса $R$: $I=\frac{1}{2}m{R}^2$.
• Тонкий стержень длины $l$ (относительно оси через центр масс, перпендикулярно стержню): $I=\frac{1}{12}m{l}^2$.
• Сплошной шар радиуса $R$ (относительно оси через центр): $I=\frac{2}{5}m{R}^2$.

Теорема Гюйгенса-Штейнера: Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси $z$ равен сумме момента инерции $I_{zC}$ относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела $m$ на квадрат расстояния $a$ между этими осями: $I_z=I_{zC}+m\cdot a^2$

Вычисление моментов инерции и доказательство теоремы Штейнера 1. Диск (сплошной цилиндр): Выделим тонкий цилиндрический слой радиусом $r$ и толщиной $dr$. Масса слоя $dm=\frac{m}{\pi R^2}2\pi rdr=\frac{2m}{R^2}rdr$. Интегрируем от $0$ до $R$: $I_z={\int }_0^R{r}^{2}dm={\int }_0^R{r}^2\frac{2m}{R^2}rdr=\frac{2m}{R^2}{\int }_0^R{r}^{3}dr=\frac{2m}{R^2}\frac{R^4}{4}=\frac{1}{2}m{R}^2$

2. Стержень: Выделим на расстоянии $x$ от центра масс элемент длиной $dx$. Его масса $dm=\frac{m}{l}dx$. $I_z={\int }_{-l/2}^{l/2}{x}^2\frac{m}{l}dx=\frac{m}{l}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-l/2}^{l/2}=\frac{m}{l}\left(\frac{l^3}{24}-\left(-\frac{l^3}{24}\right)\right)=\frac{1}{12}m{l}^2$

Доказательство теоремы Штейнера: Рассмотрим две параллельные оси $z_1$ и $z_2$, расстояние между которыми $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$. Координаты частицы связаны как $x_{2i}=x_{1i}+a_x$ и $y_{2i}=y_{1i}+a_y$. Момент инерции относительно оси $z_2$: $I_{z2}=\sum \Delta m_i(x_{2i}^2+y_{2i}^2)=\sum \Delta m_i((x_{1i}+a_x{)}^2+(y_{1i}+a_y{)}^2)$ Раскроем скобки: $I_{z2}=\sum \Delta m_i(x_{1i}^2+y_{1i}^2)+\sum \Delta m_i(a_x^2+a_y^2)+2\sum \Delta m_i(x_{1i}{a}_x+y_{1i}{a}_y)$ Первое слагаемое — это момент инерции $I_{z1}$ относительно оси $z_1$. Второе слагаемое — это $a^2\sum \Delta m_i=m\cdot a^2$. Третье слагаемое содержит выражения $\sum \Delta m_i{x}_{1i}=m\cdot x_{1C}$ и $\sum \Delta m_i{y}_{1i}=m\cdot y_{1C}$. Если ось $z_1$ проходит через центр масс, то координаты центра масс $x_{1C}=0$ и $y_{1C}=0$, поэтому третье слагаемое равно нулю. Итог: $I_{z2}=I_{zC}+m\cdot a^2$.

6. Момент силы. Момент импульса материальной точки и механической системы. Уравнение моментов механической системы. Закон сохранения момента импульса. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент силы относительно точки $O$ — вектор ${\vec{M}}_O=\vec{R}\times \vec{F}$, где $\vec{R}$ — радиус-вектор точки приложения силы. Момент импульса материальной точки относительно точки $O$ — вектор $\vec{L}=\vec{R}\times \vec{p}=\vec{R}\times m\vec{v}$. Направлен перпендикулярно плоскости векторов $\vec{R}$ и $\vec{p}$. Момент импульса механической системы — векторная сумма моментов импульса всех её точек: ${\vec{L}}_{sys}=\sum {\vec{L}}_i=\sum ({\vec{R}}_i\times {\vec{p}}_i)$.

Уравнение моментов механической системы: Производная по времени от вектора суммарного момента импульса системы равна векторной сумме моментов только внешних сил, действующих на систему: $\frac{d{\vec{L}}_{sys}}{dt}=\sum {\vec{M}}_i^{внеш}$

Закон сохранения момента импульса: Если суммарный момент внешних сил равен нулю ($\sum {\vec{M}}_i^{внеш}=\vec{0}$), то вектор момента импульса системы сохраняется (остается постоянным): ${\vec{L}}_{sys}=\text{const}$ (Также закон применим к проекциям: если момент внешних сил относительно какой-либо оси $z$ равен нулю, то $L_z=\text{const}$).

Основное уравнение динамики вращательного движения: Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси $z$: угловое ускорение $\epsilon$ прямо пропорционально моменту внешних сил $M_z$ и обратно пропорционально моменту инерции $I_z$: $I_z\epsilon =M_z$

Вывод уравнения моментов и динамики вращательного движения Связь момента импульса и момента силы: Найдем производную от момента импульса точки $\vec{L}=\vec{R}\times \vec{p}$: $\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d\vec{R}}{dt}\times \vec{p}+\vec{R}\times \frac{d\vec{p}}{dt}$ Первое слагаемое: $\vec{V}\times m\vec{V}=\vec{0}$ (векторное произведение параллельных векторов). Второе слагаемое по II закону Ньютона ($\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$) равно $\vec{R}\times \vec{F}=\vec{M}$. Получаем: $\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}$.

Переход к системе точек: Просуммируем производные для всех точек системы: $\frac{d{\vec{L}}_{sys}}{dt}=\sum {\vec{M}}_i^{внутр}+\sum {\vec{M}}_i^{внеш}$. Внутренние силы подчиняются III закону Ньютона (равны, противоположны и лежат на одной прямой), поэтому сумма их моментов попарно обнуляется. Остаются только моменты внешних сил: $\frac{d{\vec{L}}_{sys}}{dt}=\sum {\vec{M}}_i^{внеш}$.

Вывод $I_z\epsilon =M_z$: Рассмотрим момент импульса твердого тела относительно оси вращения $z$. Скорость элементарной массы $\Delta m_i$ равна $v_i=\omega r_{i\perp }$. Её импульс $p_i=\Delta m_i\omega r_{i\perp }$. Момент импульса этой точки относительно оси $z$: $L_{iz}=p_i{r}_{i\perp }=\Delta m_i{r}_{i\perp }^2\omega$. Суммируя по всему телу, получаем $L_z=\sum \Delta m_i{r}_{i\perp }^2\omega =I_z\omega$. Подставим это в уравнение моментов: $\frac{d{L}_z}{dt}=\frac{d(I_z\omega )}{dt}$. Для твердого тела $I_z=\text{const}$, поэтому: $I_z\frac{d\omega }{dt}=M_z^{внеш}⟹I_z\epsilon =M_z^{внеш}$

7. Работа. Кинетическая энергия. Связь работы с изменением кинетической энергии. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия твёрдого тела, как сумма энергии поступательного движения со скоростью центра масс и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс (без вывода).

Работа $\delta A$ силы $\vec{F}$ на малом перемещении $d\vec{r}$ равна скалярному произведению: $\delta A=\vec{F}\cdot d\vec{r}=|\vec{F}|\cdot |d\vec{r}|\cos \alpha$ Полная работа на участке траектории: $A=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$.

Кинетическая энергия $W_k$ материальной точки — величина, зависящая от массы и скорости: $W_k=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{p^2}{2m}$.

Связь работы с изменением кинетической энергии (Теорема о кинетической энергии): Изменение кинетической энергии материальной точки (или системы) на участке пути равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на неё на этом участке: $W_{k\_конеч}-W_{k\_нач}=A$

Кинетическая энергия твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси: Вычисляется через момент инерции $I_z$ и угловую скорость $\omega$: $W_{k\_вращ}=\frac{I_z{\omega }^2}{2}$

Теорема Кёнига (без вывода): Полная кинетическая энергия твердого тела (или системы точек) равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс и кинетической энергии вращения тела относительно оси, проходящей через центр масс: $W_k=\frac{m{V}_c^2}{2}+W_{k\_вращ}=\frac{m{V}_c^2}{2}+\frac{I_{zc}{\omega }^2}{2}$

Вывод теоремы об изменении кинетической энергии и энергии вращения Доказательство $W_{k2}-W_{k1}=A$: Запишем II закон Ньютона: $m\frac{d\vec{V}}{dt}=\vec{F}$. Умножим обе части скалярно на вектор малого перемещения $d\vec{r}=\vec{V}dt$: $m\frac{d\vec{V}}{dt}\cdot (\vec{V}dt)=\vec{F}\cdot d\vec{r}$ Сокращаем $dt$ в левой части: $m\vec{V}\cdot d\vec{V}=\vec{F}\cdot d\vec{r}$. Заметим, что $\vec{V}\cdot d\vec{V}=\frac{1}{2}d(\vec{V}\cdot \vec{V})=\frac{1}{2}d(V^2)$. Интегрируем обе части вдоль пути: ${\int }_{V_{нач}}^{V_{конеч}}d\left(\frac{m{V}^2}{2}\right)=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$ $\frac{m{V}_{конеч}^2}{2}-\frac{m{V}_{нач}^2}{2}=A$

Вывод кинетической энергии вращения: Суммарная кинетическая энергия всех точек вращающегося тела: $W_{k\_вращ}=\sum \frac{\Delta m_i{v}_i^2}{2}$ Линейная скорость каждой точки связана с угловой: $v_i=\omega r_{i\perp }$. Подставляем: $W_{k\_вращ}=\sum \frac{\Delta m_i(\omega r_{i\perp }{)}^2}{2}=\frac{{\omega }^2}{2}\sum \Delta m_i{r}_{i\perp }^2$ Так как сумма в правой части — это момент инерции $I_z$, получаем: $W_{k\_вращ}=\frac{I_z{\omega }^2}{2}$

8. Консервативные и неконсервативные силы. Работа в потенциальном поле. Потенциальная энергия. Потенциальная энергия упругих деформаций и силы тяжести (в общем случае и для однородного поля). Связь между потенциальной энергией и силой, градиент.

Консервативные силы — силы, зависящие только от взаимного расположения тел, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением. (Гравитация, сила упругости, кулоновская сила). Работа таких сил по любому замкнутому контуру равна нулю: $\oint \vec{F}\cdot d\vec{r}=0$. Неконсервативные (диссипативные) силы — силы, работа которых зависит от пути (например, сила трения, сопротивления среды). Они рассеивают механическую энергию.

Потенциальная энергия $W_{пот}$ — физическая величина, зависящая от положения тел, убыль которой равна работе консервативной силы: $A=W_{пот\_нач}-W_{пот\_конеч}=-\Delta W_{пот}$

Виды потенциальной энергии:

• Силы тяжести в общем случае (всемирное тяготение): $W_{пот}=-G\frac{m_1{m}_2}{R}$ (ноль энергии на бесконечности).
• Силы тяжести в однородном поле (вблизи Земли): $W_{пот}=mgh$ (где $h$ — высота над выбранным нулевым уровнем).
• Упругих деформаций (пружина): $W_{пот}=\frac{k{x}^2}{2}$.
• Для обобщенного закона Гука: $W_{пот}=\frac{E{\epsilon }^2}{2}V$ (где $V$ — объем).

Связь между потенциальной энергией и силой: Вектор консервативной силы направлен в сторону скорейшего убывания потенциальной энергии и равен антиградиенту потенциальной энергии: $\vec{F}=-\text{grad}{W}_{пот}=-\left(\frac{\partial W_{пот}}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial W_{пот}}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial W_{пот}}{\partial z}\vec{k}\right)$

Математическая связь силы и энергии, вывод энергии гравитации Доказательство $\vec{F}=-\text{grad}{W}_{пот}$: Работа консервативной силы при малом перемещении $d\vec{r}=(dx,dy,dz)$ равна $dA=F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz$. С другой стороны, эта работа равна убыли потенциальной энергии: $dA=-d{W}_{пот}$. Полный дифференциал энергии: $d{W}_{пот}=\frac{\partial W_{пот}}{\partial x}dx+\frac{\partial W_{пот}}{\partial y}dy+\frac{\partial W_{пот}}{\partial z}dz$. Приравнивая, получаем: $F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz=-\left(\frac{\partial W_{пот}}{\partial x}dx+\frac{\partial W_{пот}}{\partial y}dy+\frac{\partial W_{пот}}{\partial z}dz\right)$. Так как смещение $d\vec{r}$ произвольно, то $F_x=-\frac{\partial W_{пот}}{\partial x}$, $F_y=-\frac{\partial W_{пот}}{\partial y}$, $F_z=-\frac{\partial W_{пот}}{\partial z}$. Что в векторном виде и есть $\vec{F}=-\text{grad}{W}_{пот}$.

Вывод потенциальной энергии гравитационного взаимодействия: Сила гравитации ${\vec{F}}_{гр}=-G\frac{m_1{m}_2}{R^2}{\vec{e}}_R$. Работа при перемещении из начальной точки в конечную вдоль радиус-вектора $d\vec{r}=d\vec{R}$: $A={\int }_{R_{нач}}^{R_{конеч}}\left(-G\frac{m_1{m}_2}{R^2}\right)dR={G\frac{m_1{m}_2}{R}|}_{R_{нач}}^{R_{конеч}}=G\frac{m_1{m}_2}{R_{конеч}}-G\frac{m_1{m}_2}{R_{нач}}$ Так как $A=W_{пот\_нач}-W_{пот\_конеч}$, получаем $W_{пот}=-G\frac{m_1{m}_2}{R}+C$. Обычно $C=0$.

9. Полная механическая энергия. Изменение полной механической энергии системы. Закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия системы ($W_{мех}$) — сумма её кинетической и потенциальной энергий: $W_{мех}=W_{кин}+W_{пот}$

Изменение полной механической энергии системы: Изменение полной механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех неконсервативных (диссипативных) сил, действующих в системе: $W_{мех\_конеч}-W_{мех\_нач}=A_{неконс}$ (Неконсервативные силы, такие как трение, переводят механическую энергию во внутреннюю, то есть в тепло).

Закон сохранения механической энергии: Если на тело (или в системе тел) действуют только консервативные силы (или работа неконсервативных сил равна нулю), то полная механическая энергия системы остается постоянной: $W_{кин}+W_{пот}=\text{const}$

Вывод закона и пример Теоретический вывод: По теореме об изменении кинетической энергии, изменение кинетической энергии равно суммарной работе всех сил (и консервативных, и неконсервативных): $W_{кин\_конеч}-W_{кин\_нач}=A_{конс}+A_{неконс}$ Но по определению работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии: $A_{конс}=W_{пот\_нач}-W_{пот\_конеч}$ Подставим это в первое уравнение: $W_{кин\_конеч}-W_{кин\_нач}=W_{пот\_нач}-W_{пот\_конеч}+A_{неконс}$ Перенесем конечные состояния влево, а начальные вправо: $(W_{кин\_конеч}+W_{пот\_конеч})-(W_{кин\_нач}+W_{пот\_нач})=A_{неконс}$ $W_{мех\_конеч}-W_{мех\_нач}=A_{неконс}$ Если диссипативных сил нет ($A_{неконс}=0$), получаем $W_{мех\_конеч}=W_{мех\_нач}$.

Пример применения (Вторая космическая скорость): Тело массой $m$ стартует с Земли (масса $M$, радиус $R$) со скоростью $V$. Энергия старта: $W_{мех\_нач}=\frac{m{V}^2}{2}-G\frac{mM}{R}$. Чтобы тело покинуло Землю навсегда, на бесконечности его энергия должна стать равной нулю (остановилось и гравитация ноль): $W_{мех\_конеч}=0$. По закону сохранения энергии: $\frac{m{V}^2}{2}-G\frac{mM}{R}=0⟹V=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$. С учетом $g=\frac{GM}{R^2}$, получаем $V_{II}=\sqrt{2gR}$.

Теория колебаний

10. Гармонические колебания. Амплитуда, частота, период, фаза колебаний. Понятия свободных и вынужденных колебаний.

Гармонические колебания — движения или состояния, параметры которых изменяются во времени по закону синуса или косинуса: $x=A\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )$.

• Амплитуда ($A$) — модуль максимального смещения от равновесного значения ($A>0$).
• Фаза колебания (${\omega }_{0}t+\alpha$) — аргумент гармонической функции. Начальная фаза ($\alpha$) — фаза в момент времени $t=0$.
• Циклическая (круговая) частота (${\omega }_0$) — число колебаний за $2\pi$ секунд (рад/с или 1/с).
• Частота ($\nu$) — число колебаний в секунду (Гц). Связь: ${\omega }_0=2\pi \nu$.
• Период ($T$) — минимальный промежуток времени, через который параметры процесса повторяются: $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$.

Свободные незатухающие колебания происходят в консервативной системе около положения устойчивого равновесия под действием квазиупругой силы. Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней периодической силы (например, $F(t)=F_0\cos (\Omega t+\alpha )$).

Вывод уравнения гармонических колебаний $x_0=0$ — положение равновесия. Второй закон Ньютона для тела под действием квазиупругой силы $F_x=-k_{0}x$ имеет вид: $m{a}_x=-k_{0}x$. Учитывая, что $a_x=\ddot{x}$, получаем $m\ddot{x}=-k_{0}x$, или: $\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$ где ${\omega }_0^2=\frac{k_0}{m}>0$. Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, решением которого и являются гармонические функции от времени $t$.

Пусть координата

11. Квазиупругая сила. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Собственные частоты математического, физического и пружинного маятников.

Квазиупругая сила — консервативная сила вблизи положения устойчивого равновесия, которую можно записать в векторной форме как $\vec{F}=-k_0\Delta \vec{x}$. Она направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению. Дифференциальное уравнение свободных колебаний: $\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$.

Собственные частоты и периоды:

1. Пружинный маятник: Уравнение $m\ddot{x}=-ky$. Частота ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$. Период $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

2. Математический маятник: Уравнение $\ddot{\phi }+\frac{g}{l}\phi =0$. Частота ${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$. Период $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

3. Физический маятник: Уравнение $\ddot{\phi }+\frac{mgl}{I_z}\phi =0$. Частота ${\omega }_0=\sqrt{\frac{mgl}{I_z}}$. Период $T=2\pi \sqrt{\frac{I_z}{mgl}}$.

Положение равновесия и вывод уравнений маятников Положение равновесия и квазиупругая сила: Если в точке $x_0$ наблюдается локальный минимум потенциальной энергии ($d^{2}W/d{x}^2>0$), это устойчивое равновесие. При малых смещениях силу можно разложить в ряд Тейлора: $F_x\approx -{\frac{d^{2}W}{d{x}^2}|}_{x_0}\cdot (x-x_0)=-k_0(x-x_0)$.

Математический маятник: Касательное ускорение $a_{\tau }=-g\sin \phi$. При малых колебаниях $\sin \phi \approx \phi$, длина дуги $x=l\phi$, $a_{\tau }=l\ddot{\phi }$. Отсюда $l\ddot{\phi }=-g\phi ⟹\ddot{\phi }+\frac{g}{l}\phi =0$.

Физический маятник: Закон вращательного движения $\frac{d{L}_z}{dt}=M_z^{внеш}$. Момент силы тяжести $M_z=-mgl\sin \phi \approx -mgl\phi$. Учитывая $L_z=I_z\dot{\phi }$, получаем $I_z\ddot{\phi }=-mgl\phi$.

12. Энергия и импульс гармонического осциллятора. Фазовая траектория.

Импульс осциллятора $x=A\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )$: $p_x=m\dot{x}=-m{\omega }_{0}A\sin ({\omega }_{0}t+\alpha )$. (Среднее по времени значение импульса равно нулю: $⟨p_x⟩=0$).

Механическая энергия: Механическая энергия $W_{MEX}$ в гармоническом колебании сохраняется и равна: $W_{MEX}=W_K+W_{\Pi }=\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+\frac{k_0{x}^2}{2}=\frac{k_0{A}^2}{2}=\text{const}$ (Средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной: $⟨W_K⟩=⟨W_{\Pi }⟩=\frac{k_0{A}^2}{4}$).

Фазовая траектория — кривая в двумерном фазовом пространстве, координатами которого являются координата $x$ и обобщенный импульс $p_x$. Для свободного незатухающего осциллятора фазовая траектория представляет собой эллипс.

Вывод уравнения фазовой траектории $W_{MEX}=\frac{m{\dot{x}}^2}{2}+\frac{k{x}^2}{2}=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{k{x}^2}{2}=\text{const}$ Разделим левую и правую части на полную энергию $W$: $\frac{p_x^2}{2mW}+\frac{k{x}^2}{2W}=1$ Используя соотношение $W=\frac{k{A}^2}{2}$, перепишем уравнение в каноническом виде: ${\left(\frac{p_x}{\sqrt{mk}A}\right)}^2+{\left(\frac{x}{A}\right)}^2=1$ Это уравнение эллипса. Главные полуоси этого эллипса: по оси координат $b=A$, по оси импульсов $a=\sqrt{mk}A=m\omega A=p_{max}$.

Из закона сохранения энергии для пружинного маятника:

13. Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления равных частот. Сложение колебаний одинакового направления близких частот. Биения.

Векторная диаграмма (амплитудная) — представление колебания $x=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$ в виде радиус-вектора длины $A$, вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью $\omega$.

Сложение равных частот (${\omega }_1={\omega }_2=\omega$): Результирующее колебание происходит с той же частотой. По теореме косинусов квадрат результирующей амплитуды: $A_{\Sigma }^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos ({\alpha }_2-{\alpha }_1)$

• Усиление ($A_{\Sigma }=A_1+A_2$) при ${\alpha }_2-{\alpha }_1=2\pi n$.
• Ослабление ($A_{\Sigma }=|A_1-A_2|$) при ${\alpha }_2-{\alpha }_1=\pi +2\pi n$.

Биения (сложение близких частот, $\Delta \omega \ll \omega$): Возникает периодическое изменение амплитуды и скачкообразное изменение фазы. При равных амплитудах $A_1=A_2=A$: $x_{\Sigma }=2A\left|\cos \left(\frac{\Delta \omega }{2}t\right)\right|\cos (\omega t+\theta )$

Вывод формул сложения и биений Метод векторных диаграмм (равные частоты): Зададим два колебания векторами ${\vec{A}}_1$ и ${\vec{A}}_2$. Угол между ними равен ${\alpha }_2-{\alpha }_1$. Вектор суммы ${\vec{A}}_{\Sigma }={\vec{A}}_1+{\vec{A}}_2$ ищется по теореме косинусов, что напрямую даёт амплитуду результирующего колебания.

Вывод биений (для $A_1=A_2=A$, ${\omega }_1=\omega$, ${\omega }_2=\omega +\Delta \omega$): Приняв начальные фазы ${\alpha }_1={\alpha }_2=0$ для упрощения: $x_{\Sigma }=A\cos (\omega t)+A\cos ((\omega +\Delta \omega )t)=2A\cos \left(\frac{\Delta \omega }{2}t\right)\cos \left(\omega t+\frac{\Delta \omega }{2}t\right)$ Пренебрегая малым $\frac{\Delta \omega }{2}t$ в фазе быстрого сомножителя, получаем медленно меняющуюся амплитуду $A_{\Sigma }(t)=2A\left|\cos \left(\frac{\Delta \omega }{2}t\right)\right|$, умноженную на $\cos (\omega t+\theta )$. Это явление называется биением.

14. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний равных и кратных частот. Фигуры Лиссажу.

Если точка совершает колебания по двум взаимно перпендикулярным осям $x=A_x\cos ({\omega }_{x}t+{\alpha }_x)$ и $y=A_y\sin ({\omega }_{y}t+{\alpha }_y)$:

1. Равные частоты (${\omega }_x={\omega }_y$): Траекторией в общем случае является уравнение линии второго порядка (эллипс), оси которого повернуты.

• Если фазы отличаются на $\pi /2$ (то есть $\delta =0$ в формулах лекции), получается канонический эллипс: $(x/A_x{)}^2+(y/A_y{)}^2=1$.
• Если $\delta =\pm \pi /2$ (отличие фаз на 0 или $\pi$), эллипс вырождается в отрезок прямой.

2. Рациональное отношение частот ($\frac{{\omega }_x}{{\omega }_y}=\frac{n_y}{n_x}$): Траектория является замкнутой кривой сложной формы, которая называется фигурой Лиссажу. Соотношение частот можно определить, посчитав максимальное количество точек пересечения фигуры и прямой, параллельной соответствующей оси.

Вывод уравнения траектории ${\omega }_x={\omega }_y=\omega$. Введем $\delta ={\alpha }_y-{\alpha }_x$. $x/A_x=\cos (\omega t+{\alpha }_x)$ $y/A_y=\sin (\omega t+{\alpha }_x+\delta )=\sin (\omega t+{\alpha }_x)\cos \delta +\cos (\omega t+{\alpha }_x)\sin \delta$. Подставим $\cos (\omega t+{\alpha }_x)=x/A_x$ и $\sin (\omega t+{\alpha }_x)=\sqrt{1-(x/A_x{)}^2}$: $\frac{y}{A_y}=\sqrt{1-{\left(\frac{x}{A_x}\right)}^2}\cos \delta +\frac{x}{A_x}\sin \delta$ Перенесём слагаемое $\frac{x}{A_x}\sin \delta$ влево и возведём обе части в квадрат: ${\left(\frac{y}{A_y}-\frac{x}{A_x}\sin \delta \right)}^2=\left(1-{\left(\frac{x}{A_x}\right)}^2\right){\cos }^2\delta$ Раскрывая скобки и перегруппировывая, получаем уравнение траектории: ${\left(\frac{y}{A_y}\right)}^2-2\frac{xy}{A_x{A}_y}\sin \delta +{\left(\frac{x}{A_x}\right)}^2={\cos }^2\delta$

Пусть

15. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение и его решение. Частота свободных затухающих колебаний. Коэффициент затухания, время релаксации, декремент и логарифмический декремент затухания. Добротность.

Дифференциальное уравнение: Возникает при наличии вязкой среды с силой сопротивления ${\vec{F}}_{сопр}=-r\vec{v}$. $\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$ где $\beta =\frac{r}{2m}$ — коэффициент затухания, ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ — собственная частота.

Решение (при ${\beta }^2<{\omega }_0^2$): $x(t)=A_0{e}^{-\beta t}\sin (\omega t+\phi )$. Амплитуда $A_0{e}^{-\beta t}$ экспоненциально убывает.

Характеристики затухания:

• Циклическая частота: $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$.

• Время релаксации ($\tau$): Время, за которое амплитуда убывает в $e$ раз. $\tau =\frac{1}{\beta }$.

• Декремент затухания ($\Delta$): Отношение амплитуд спустя период $T$. $\Delta =\frac{A(t)}{A(t+T)}=e^{\beta T}$.

• Логарифмический декремент ($\delta$): $\delta =\ln \Delta =\beta T$.

• Добротность ($Q$): $Q=\frac{\pi }{\delta }=\frac{\pi }{\beta T}$. Характеризует скорость убывания энергии.

Решение уравнения и фазовый портрет Вывод уравнения: По II закону Ньютона $m{a}_x=-kx-r{v}_x$. Делим на $m$, переносим всё влево и вводим $2\beta =\frac{r}{m}$, ${\omega }_0^2=\frac{k}{m}$.

Поиск решения: Ищем в виде $x=e^{\lambda t}$. Характеристическое уравнение: ${\lambda }^2+2\beta \lambda +{\omega }_0^2=0$. Дискриминант $D=4{\beta }^2-4{\omega }_0^2$. При $\beta <{\omega }_0$ корни комплексные, что с помощью формулы Эйлера приводит к затухающей синусоиде: $x(t)=A_0{e}^{-\beta t}\sin (\omega t+\phi )$.

Фазовый портрет: При затухающих колебаниях амплитуда и импульс стремятся к нулю. Фазовая траектория представляет собой сужающуюся к нулевой точке спираль (вращение происходит по часовой стрелке).

16. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение. Установившиеся вынужденные колебания. Механический резонанс. Резонансная частота.

Вынужденные колебания происходят в вязкой среде под действием периодической вынуждающей силы $F(t)=F_0\cos (\Omega t+\alpha )$. Дифференциальное уравнение: $\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=f_0\cos (\Omega t+\alpha )$ где $f_0=\frac{F_0}{m}$, $\Omega$ — частота вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания: Со временем свободные затухающие колебания исчезают, остаются только вынужденные с частотой $\Omega$. Частное решение ищется в виде: $x_B=A_B\cos (\Omega t+{\alpha }_B)$.

Механический резонанс — явление резкого возрастания амплитуды $A_B$ установившихся колебаний при приближении частоты вынуждающей силы $\Omega$ к собственной резонансной частоте системы. Резонансная частота: ${\Omega }_{рез}=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\beta }^2}$. Резонанс возможен только при слабом затухании ($\beta <\frac{{\omega }_0}{\sqrt{2}}$).

Векторная диаграмма и резонансная кривая Амплитуда вынужденных колебаний: Для нахождения амплитуды $A_B$ строится векторная диаграмма для уравнения ${\vec{A}}_{B1}+{\vec{A}}_{B2}+{\vec{A}}_{B3}={\vec{f}}_0$, где слагаемые соответствуют величинам ${\omega }_0^{2}x$, $2\beta \dot{x}$ и $\ddot{x}$. Из диаграммы по теореме Пифагора: $f_0^2=({\omega }_0^2{A}_B-{\Omega }^2{A}_B{)}^2+(2\beta \Omega A_B{)}^2$. Откуда: $A_B=\frac{f_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\Omega }^2{)}^2+4{\beta }^2{\Omega }^2}}$

Поиск резонансной частоты: Для нахождения максимума амплитуды берётся производная по $\Omega$ от выражения под корнем и приравнивается к нулю: $\frac{d}{d\Omega }\left[({\omega }_0^2-{\Omega }^2{)}^2+4{\beta }^2{\Omega }^2\right]=0$. Решая это уравнение, получаем ${\Omega }_{рез}=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\beta }^2}$. График зависимости амплитуды от частоты называется резонансной кривой. Чем меньше затухание $\beta$, тем выше и у́же (острее) пик кривой.

---

$\Delta \vec{R}=\vec{R}(t_2)-\vec{R}(t_1)$	$\vec{V}=\frac{d\vec{R}}{dt}=\dot{\vec{R}}$	$\vec{a}=\frac{d\vec{V}}{dt}=\dot{\vec{V}}$
$a_{\tau }=\frac{d\vec{V}}{dt}$	$a_n=\frac{V^2}{R}$	$\vec{a}={\vec{a}}_{\tau }+{\vec{a}}_n$
$\vec{\omega }=\frac{d\vec{\phi }}{dt}$	$\vec{\epsilon }=\frac{d\vec{\omega }}{dt}$	$\vec{V}=\vec{\omega }\times \vec{R}$
$T=\frac{2\pi }{\omega }$	$\nu =\frac{1}{T}$	$\omega =2\pi \nu$
$m\vec{a}=\sum \vec{F}$	$\vec{p}=m\vec{V}$	$\frac{d\vec{p}}{dt}={\vec{F}}_{внеш}$
${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$	$F_{гр}=G\frac{m_1{m}_2}{R^2}$	$F_{тяж}=mg$
$F_{тр}=\mu N$	${\vec{F}}_{сопр}=-r\vec{V}$	${\vec{F}}_{упр}=-k\Delta \vec{x}$
$\sigma =\frac{F}{S}$	$\epsilon =\frac{\Delta L}{L_0}$	$\sigma =E\cdot \epsilon$
${\vec{R}}_c=\frac{\sum m_i{\vec{R}}_i}{m_c}$	$m_c{\vec{a}}_c=\sum {\vec{F}}_{внеш}$	$\frac{d{\vec{P}}_{sys}}{dt}=\sum {\vec{F}}_{внеш}$
$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$	$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$	${\vec{L}}_{sys}=\sum ({\vec{r}}_i\times {\vec{p}}_i)$
$L_z=I_z\omega$	$\frac{d{\vec{L}}_{sys}}{dt}=\sum {\vec{M}}_{внеш}$	$I_z\epsilon =M_z^{внеш}$
$I_z=\sum \Delta m_i{r}_{i\perp }^2$	$I_z=\int r_{\perp }^{2}dm$	$I_z=I_c+m{d}^2$
$I_{кольца}=m{R}^2$	$I_{диска}=\frac{1}{2}m{R}^2$	$I_{шара}=\frac{2}{5}m{R}^2$
$I_{стержня(C)}=\frac{1}{12}m{l}^2$	$I_{стержня(O)}=\frac{1}{3}m{l}^2$	$\delta A=\vec{F}\cdot d\vec{r}$
$A=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}$	$W_k=\frac{m{V}^2}{2}$	$W_{k\_конеч}-W_{k\_нач}=A$
$W_{k\_вращ}=\frac{I_z{\omega }^2}{2}$	$W_k=\frac{m{V}_c^2}{2}+\frac{I_c{\omega }^2}{2}$	$A_{конс}=-\Delta W_p$
$W_p=mgh$	$W_p=\frac{k{x}^2}{2}$	$W_p=-G\frac{m_1{m}_2}{R}$
$\vec{F}=-\text{grad}{W}_p$	$W_{мех}=W_k+W_p$	$\Delta W_{мех}=A_{неконс}$
$x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )$	$\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$	$A_{\Sigma }^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos ({\alpha }_2-{\alpha }_1)$
${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$	$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$	$x_{\Sigma }=2A\cos \left(\frac{\Delta \omega }{2}t\right)\cos (\omega t+\theta )$
${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$	$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$	${\left(\frac{y}{A_y}\right)}^2-2\frac{xy}{A_x{A}_y}\sin \delta +{\left(\frac{x}{A_x}\right)}^2={\cos }^2\delta$
${\omega }_0=\sqrt{\frac{mgd}{I_z}}$	$T=2\pi \sqrt{\frac{I_z}{mgd}}$	$\frac{p_x^2}{2mW}+\frac{k{x}^2}{2W}=1$
$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$	$\beta =\frac{r}{2m}$	$x(t)=A_0{e}^{-\beta t}\cos (\omega t+\phi )$
$\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$	$\tau =\frac{1}{\beta }$	$\Delta =\frac{A(t)}{A(t+T)}=e^{\beta T}$
$\delta =\ln \Delta =\beta T$	$Q=\frac{\pi }{\delta }=\frac{\pi }{\beta T}$	$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=f_0\cos (\Omega t+\alpha )$
$A_B=\frac{f_0}{\sqrt{({\omega }_0^2-{\Omega }^2{)}^2+4{\beta }^2{\Omega }^2}}$	${\Omega }_{рез}=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\beta }^2}$	$J_C=4m\frac{r_2^2{\bar{\epsilon }}_2-r_1^2{\bar{\epsilon }}_1}{{\bar{\epsilon }}_1-{\bar{\epsilon }}_2}-m_0\frac{d^2}{4}$
$\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$	$\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$	$\Delta \bar{x}=t_{P,f}\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n(n-1)}}$
${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$	$\Delta x=k{\sigma }_{\bar{x}}$	$\Delta z=\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y\right)}^2}$
${\sigma }_{сумм}=\sqrt{\frac{1}{3}{\Delta }_{инстр}^2+{\sigma }^2}$	$\epsilon =\frac{\Delta x}{\bar{x}}\cdot 100\%$	$a=\epsilon \frac{d}{2}$

---

Паттерн 1. Кинематика точки (Векторы и производные)

Как узнать: Дана зависимость радиус-вектора от времени $\vec{r}(t)=\dots \vec{i}+\dots \vec{j}$ или скорости $\vec{v}(t)$. Просят найти скорость, ускорение, тангенциальное ($a_{\tau }$) и нормальное ($a_n$) ускорения. Алгоритм решения:

1. Скорость: Берешь первую производную от $\vec{r}(t)$ по времени: $\vec{v}(t)=\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}$. Модуль скорости: $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.
2. Полное ускорение: Берешь вторую производную от $\vec{r}(t)$ (или первую от $\vec{v}(t)$): $\vec{a}(t)=\ddot{x}\vec{i}+\ddot{y}\vec{j}$. Модуль: $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$.
3. Тангенциальное ускорение ($a_{\tau }$): Ищется через скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{v}$, деленное на модуль скорости: $a_{\tau }=\frac{\vec{a}\cdot \vec{v}}{v}=\frac{a_x{v}_x+a_y{v}_y}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}$ (Это самый быстрый способ, не нужно брать производную от корня).
4. Нормальное ускорение ($a_n$): Ищется по теореме Пифагора из полного ускорения: $a_n=\sqrt{a^2-a_{\tau }^2}$

Паттерн 2. Кинематика и динамика вращения

Как узнать: Дан закон изменения угла $\phi (t)$, угловой скорости $\omega (t)$ или сказано, что тело тормозит от $N_1$ об/мин до остановки. Просят найти момент инерции $I$, момент сил $M$, число оборотов или работу. Алгоритм решения:

1. Связь $\phi ,\omega ,\epsilon$: Помни, что $\omega =\frac{d\phi }{dt}$, а $\epsilon =\frac{d\omega }{dt}$. Если нужно найти угол поворота за время $t$, берешь интеграл: $\Delta \phi =\int \omega dt$.
2. Основной закон динамики: $M=I\cdot \epsilon$.
3. Работа и энергия: Работа момента сил идет на изменение кинетической энергии вращения: $A=M\cdot \Delta \phi \text{и}A=\frac{I{\omega }_{конеч}^2}{2}-\frac{I{\omega }_{нач}^2}{2}$ (Переводи обороты в радианы: $1\text{ об}=2\pi \text{ рад}$, $N\text{ об/мин}=\frac{2\pi N}{60}\text{ рад/с}$).

Паттерн 3. Работа переменной силы (Интегрирование)

Как узнать: Дана сила, зависящая от координаты $F(x)=\dots$ (например, $F_0+\beta x^2$). Просят найти работу силы и скорость в конце пути. Алгоритм решения:

1. Работа: Берешь определенный интеграл от силы по координате на заданном участке: $A={\int }_{x_1}^{x_2}F(x)dx$
2. Скорость: Применяешь теорему об изменении кинетической энергии: $A=\frac{m{v}_{конеч}^2}{2}-\frac{m{v}_{нач}^2}{2}$ Подставляешь найденную работу и выражаешь искомую скорость $v_{конеч}$.

Паттерн 4. Удар с вращением (ЗСМИ + Теорема Штейнера)

Как узнать: Стержень (или дверь) висит на шарнире. В него летит пуля/пластилиновый шарик и застревает. Просят найти угловую скорость после удара или угол отклонения. Алгоритм решения:

1. Момент инерции системы ($I_{sys}$): Вычисляешь момент инерции стержня относительно шарнира (по теореме Штейнера: $I_o=\frac{1}{12}m{l}^2+m(l/2{)}^2=\frac{1}{3}m{l}^2$) и прибавляешь момент инерции застрявшей пули ($m_{пули}\cdot r_{попадания}^2$).
2. Закон сохранения момента импульса (ЗСМИ): Обычный импульс не сохраняется (шарнир держит), сохраняется момент импульса относительно оси шарнира: $L_{до}=L_{после}⟹m_{пули}\cdot v_0\cdot r_{попадания}=I_{sys}\cdot \omega$ Выражаешь $\omega$.
3. Если просят угол отклонения: Пишешь закон сохранения энергии. Вся кинетическая энергия вращения $\frac{I_{sys}{\omega }^2}{2}$ переходит в потенциальную энергию подъема центров масс стержня и пули ($mgh$).

Паттерн 5. Вывод периода малых колебаний

Как узнать: Нарисована сложная система (стержень + пружина + груз), просят найти период или частоту малых колебаний. Алгоритм решения:

1. Записываешь уравнение моментов относительно оси вращения: $I_{sys}\cdot \ddot{\phi }=\sum M_z$.
2. Расписываешь моменты возвращающих сил при отклонении на малый угол $\phi$:
   • Для силы тяжести: $M_g=-mg\cdot l_{ц.м.}\cdot \sin \phi \approx -mg\cdot l_{ц.м.}\cdot \phi$.
   • Для пружины: $F_{упр}=-k\cdot \Delta x\approx -k(r\cdot \phi )$. Момент: $M_{упр}=F_{упр}\cdot r=-k{r}^2\phi$.
3. Подставляешь всё в уравнение, собираешь члены с $\phi$ и делишь на $I_{sys}$: $\ddot{\phi }+\left(\frac{\dots }{I_{sys}}\right)\phi =0$
4. Выражение в скобках — это квадрат собственной частоты ${\omega }_0^2$. Период $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$.

Паттерн 6. Формулы затухающих и вынужденных колебаний

Как узнать: В задаче нет рисунков, дан просто текст со словами «логарифмический декремент», «добротность», «время релаксации», «резонанс». Алгоритм решения: Это задачи чисто на знание связок между формулами (шпаргалка из 15 и 16 вопроса). Выписываешь дано и жонглируешь уравнениями:

1. $\beta =\frac{1}{\tau }$ (коэффициент затухания и время релаксации).
2. $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$ (частота затухающих).
3. $\delta =\beta T=\frac{\beta \cdot 2\pi }{\omega }$ (логарифмический декремент).
4. $Q=\frac{\pi }{\delta }$ (добротность).
5. ${\Omega }_{рез}=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\beta }^2}$ (резонансная частота).