1.1.1-03.09.2026. Двойной интеграл

В обычном определённом интеграле:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n{\xi }_i,{\xi }_i=f(x_i)\Delta x_i$$

Рисунок 1. Криволинейная трапеция (определённый интеграл)

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
  \filldraw[fill=gray!20]
    (1,0) -- (1,2)
    to[out=65,in=180] (1.7,2.45)
    to[out=0,in=150] (2.2,2.15)
    to[out=-30,in=160] (2.6,2.2)
    to[out=20,in=115] (3.2,2)
    -- (3.2,0) -- cycle;
  \draw[->] (-0.3,0) -- (4.3,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.3) -- (0,3.1) node[above] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
  \node[below] at (1,0) {$a$};
  \node[below] at (3.2,0) {$b$};
  \node[above right] at (2.6,2.25) {$y=f(x)$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Идея та же, но для функции двух переменных $f(x,y)$: вместо отрезка $[a,b]$ берём область $D$ на плоскости, и вместо площади трапеции получаем объём тела над областью $D$ под поверхностью $z=f(x,y)$.

Рисунок 2. Криволинейный цилиндр (тело над областью D)

\usetikzlibrary{patterns}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw[->] (0,0) -- (0,4.2) node[above] {$z$};
  \draw[->] (0,0) -- (4.8,0) node[right] {$y$};
  \draw[->] (0,0) -- (-1.7,-1.6) node[below left] {$x$};
  \node[above left] at (0,0) {$O$};
  \filldraw[pattern=north east lines]
    (1.3,-0.8) to[out=80,in=180] (2.3,-0.45)
    to[out=0,in=90] (3.4,-0.95)
    to[out=270,in=0] (2.2,-1.5)
    to[out=180,in=270] (1.3,-0.8);
  \node[fill=white, inner sep=1pt] at (2.5,-1.0) {$D$};
  \draw (1.3,-0.8) -- (1.3,2.3);
  \draw (3.4,-0.95) -- (3.4,2.35);
  \filldraw[fill=gray!15]
    (1.3,2.3) to[out=80,in=180] (2.3,2.75)
    to[out=0,in=100] (3.4,2.35)
    to[out=260,in=0] (2.3,2.05)
    to[out=180,in=280] (1.3,2.3);
  \node[above right] at (2.9,2.6) {$z=f(x,y)$};
  \draw[dashed] (2.3,-0.9) -- (2.3,2.4);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Определение двойного интеграла

Квадрируемая область

Область $D$ (типа такой кружок) называется квадрируемой, если:

Рисунок 3. Область D

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \filldraw[fill=gray!15]
    (0,0) to[out=80,in=180] (1.5,0.9)
          to[out=0,in=90] (3,0.2)
          to[out=270,in=0] (1.8,-0.8)
          to[out=180,in=260] (0,0);
  \node at (1.6,0.05) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Определение 1. Если это замкнутая ограниченная область, граница которой состоит из конечного числа кривых, которые в заданной системе координат $XOY$ описываются функцией $y=f(x)$ или $x=g(y)$, и данная функция $\in C^{\prime }$.

Определение 2. … называют квадрируемой, если точная верхняя грань $S_{\ast }$ множеств площадей всех включённых в эту фигуру многоугольников равна точной нижней грани $S^{\ast }$ множества площадей многоугольников, включающих в себя эту фигуру: $S_{\ast }=S^{\ast }=S$.

То есть квадрируемая область — область, имеющая конечную площадь или объём, и по ней можно посчитать конечный интеграл.

Обычно замыкание обозначается так $\bar{D}$.

Разбиение области

Пусть есть замкнутая квадрируемая область $D$. Нас интересует разбиение этой области на $n$ частей.

Разбиение $T=\{D_1,\dots ,D_n\}$ на $n$ частей называют множество квадрируемых замкнутых областей $D_i,i=\overline{1,n}$, обладающих следующими свойствами:

1. ${\bigcup }_{i=1}^n{D}_i=D$
2. $D_i$ и $D_j$ при $i\ne j$ не могут иметь общих внутренних точек

Рисунок 4. Пересекающиеся $D_i$ и $D_j$; области с общей границей

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \begin{scope}
    \clip (0,0) circle [radius=1];
    \fill[gray!40] (1.4,0) circle [radius=1];
  \end{scope}
  \draw (0,0) circle [radius=1];
  \draw (1.4,0) circle [radius=1];
  \node at (-0.6,0) {$D_i$};
  \node at (2.0,0) {$D_j$};
  \node[above] at (0.7,1.02) {$D_i\cap D_j$};
\end{tikzpicture}
\qquad
\begin{tikzpicture}
  \filldraw[fill=gray!12] plot[smooth cycle]
    coordinates {(-1.9,0.05) (-1.1,0.75) (0.3,0.95) (1.5,0.55)
                 (1.9,-0.15) (1.0,-0.8) (-0.5,-0.85) (-1.5,-0.5)};
  \draw[thick] (-1.1,0.75) to[out=-40,in=135] (1.0,-0.8);
  \node at (-1.05,-0.3) {$D_i$};
  \node at (0.9,0.35) {$D_j$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Диаметром $d_i$ называется максимальное возможное расстояние между двумя произвольными точками области $D_i$.

$d(T)=\max d_i,i=\overline{1,n}$

$D_i:\Delta S_i$ — площадь.

${\sum }_{i=1}^n\Delta S_i=S_D$

Рисунок 5. Область D с частью $D_i$ и точкой $M_i$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \filldraw[fill=gray!12]
    (1,0.6) to[out=80,in=180] (2.2,1.6)
            to[out=0,in=90] (3.4,0.9)
            to[out=270,in=0] (2,0.2)
            to[out=180,in=270] (1,0.6);
  \draw[->] (-0.5,0) -- (4.3,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.5) -- (0,3.1) node[above] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
  \node at (2.85,1.2) {$D$};
  \draw[dashed] (1.5,0) -- (1.5,0.35);
  \draw[dashed] (0,0.7) -- (1.15,0.7);
  \node[below] at (1.5,0) {$x_i$};
  \node[left] at (0,0.7) {$y_i$};
  \draw[fill=white] (1.5,0.7) circle [radius=0.35];
  \fill (1.5,0.7) circle [radius=1.3pt];
  \node[above] at (1.5,1.07) {$D_i$};
  \node[right] at (1.9,0.72) {$M_i$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Интегральная сумма

Пусть во всех точках области $D$ определена ограниченная действительная функция двух переменных $f(x,y)$. В каждой части $D_i$ выберем точку $M_i=(x_i,y_i)$.

Составим след. сумму:

${\sum }_{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\Delta S_i={\sum }_{i=1}^{n}f(M_i)\Delta S_i$

Значение данной суммы будет зависеть от способа разбиения $T$ и от выбора точек $M_i$.

Определение двойного интеграла

Определение. Функция $f(x,y)\in R(D)$, если

$\exists {\lim }_{d(T)\to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\Delta S_i={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$

не зависящий ни от способа разбиения $T$, ни от выбора точек с координатами $(x_i,y_i)$. Значение предела тогда называют ==двойным интегралом от функции $f(x,y)$ по переменным $x,y$ по области $D$==. Другое обозначение: ${\iint }_{D}f(M)dS$.

Область $D$ называется областью интегрирования.

Геометрический смысл двойного интеграла

Рисунок 6. Поверхность $z=f(x,y)$ над областью $D$ (проекция-«тень» и столбики)

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[x={(0.9cm,-0.35cm)}, y={(-0.9cm,-0.35cm)}, z={(0cm,1cm)}, scale=1.3]
  \fill[gray!10, opacity=0.6] (-3,-3,-1.5) -- (3,-3,-1.5) -- (3,3,-1.5) -- (-3,3,-1.5) -- cycle;
  \draw[->, thick] (-3,0,-1.5) -- (3,0,-1.5) node[right] {$x$};
  \draw[->, thick] (0,-3,-1.5) -- (0,3,-1.5) node[above] {$y$};
  \draw[->, thick] (0,0,-1.5) -- (0,0,3.5) node[above] {$z$};
  \fill[gray!30, opacity=0.6] plot[domain=0:360, samples=120] ({2*cos(\x)}, {2*sin(\x)}, -1.5) -- cycle;
  \foreach \r in {0.5,1.0,...,2.0} {
    \draw[red!75!black, thin] plot[domain=0:360, samples=80] ({\r*cos(\x)}, {\r*sin(\x)}, -1.5);
  }
  \foreach \t in {0,15,...,345} {
    \draw[red!75!black, thin] (0,0,-1.5) -- ({2*cos(\t)}, {2*sin(\t)}, -1.5);
  }
  \draw[red, densely dotted, line width=1.2pt] plot[domain=0:360, samples=120] ({2*cos(\x)}, {2*sin(\x)}, -1.5);
  \foreach \t in {0,30,...,330} {
    \foreach \r in {0.5,1.0,1.5,2.0} {
      \draw[dashed, gray!60!black, thin]
        ({\r*cos(\t)}, {\r*sin(\t)}, -1.5) -- ({\r*cos(\t)}, {\r*sin(\t)}, {1.5 + sin(2*\t)*\r*\r/4});
    }
  }
  \foreach \r in {2.0,1.9,...,0.1} {
    \fill[blue!12, opacity=0.35] plot[domain=0:360, samples=80]
      ({\r*cos(\x)}, {\r*sin(\x)}, {1.5 + sin(2*\x)*\r*\r/4}) -- cycle;
  }
  \foreach \t in {0,15,...,345} {
    \draw[blue!70!black, semithick] plot[domain=0:2, samples=40]
      ({\x*cos(\t)}, {\x*sin(\t)}, {1.5 + sin(2*\t)*\x*\x/4});
  }
  \foreach \r in {0.25,0.5,...,2.0} {
    \draw[blue!70!black, semithick] plot[domain=0:360, samples=80]
      ({\r*cos(\x)}, {\r*sin(\x)}, {1.5 + sin(2*\x)*\r*\r/4});
  }
  \draw[line width=1.2pt, blue!90!black] plot[domain=0:360, samples=120]
    ({2*cos(\x)}, {2*sin(\x)}, {1.5 + sin(2*\x)});
  \foreach \i in {-3,-2,...,3} {
    \draw[gray!30, thin] (\i,-3,-1.5) -- (\i,3,-1.5);
    \draw[gray!30, thin] (-3,\i,-1.5) -- (3,\i,-1.5);
  }
  \draw[thin, gray!40] (-3,-3,-1.5) -- (3,-3,-1.5) -- (3,3,-1.5) -- (-3,3,-1.5) -- cycle;
  \node at (0,0,-1.5) {$D$};
  \node[above] at (0,0,1.6) {$z=f(x,y)$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Если $f(x,y)\ge 0$, двойной интеграл равен объёму тела, ограниченного снизу областью $D$, а сверху поверхностью $z=f(x,y)$: над каждой частью $D_i$ стоит столбик высотой $f(x_i,y_i)$.

Рисунок 7. Столбик над $D_i$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw[->] (0,0) -- (0,4.3) node[above] {$z$};
  \draw[->] (0,0) -- (4.8,0) node[right] {$y$};
  \draw[->] (0,0) -- (-1.7,-1.6) node[below left] {$x$};
  \node[above left] at (0,0) {$O$};
  \filldraw[fill=gray!12]
    (1.3,-0.8) to[out=80,in=180] (2.3,-0.45)
    to[out=0,in=90] (3.4,-0.95)
    to[out=270,in=0] (2.2,-1.5)
    to[out=180,in=270] (1.3,-0.8);
  \node at (2.95,-1.15) {$D$};
  \draw (1.3,-0.8) -- (1.3,2.5);
  \draw (3.4,-0.95) -- (3.4,2.55);
  \filldraw[fill=gray!15]
    (1.3,2.5) to[out=80,in=180] (2.3,2.9)
    to[out=0,in=100] (3.4,2.55)
    to[out=260,in=0] (2.3,2.25)
    to[out=180,in=280] (1.3,2.5);
  \node[above right] at (3.0,2.75) {$z=f(x,y)$};
  \filldraw[fill=gray!40] (2.2,-1.0) circle [radius=0.3];
  \fill (2.2,-1.0) circle [radius=1.2pt];
  \node[left] at (1.85,-1.05) {$D_i$};
  \node[below right] at (2.35,-1.15) {$M_i$};
  \draw (1.9,-1.0) -- (1.9,1.7);
  \draw (2.5,-1.0) -- (2.5,1.7);
  \filldraw[fill=gray!25]
    (1.9,1.7) to[out=70,in=110] (2.5,1.7)
    to[out=250,in=290] (1.9,1.7);
  \node[right] at (2.6,1.8) {$z=f(x_i,y_i)$};
  \draw[dashed] (2.2,-1.0) -- (2.2,2.6);
\end{tikzpicture}
\end{document}

$\Delta V_i\approx f(x_i,y_i)\Delta S_i$

$V\approx {\sum }_{i=1}^n\Delta V_i={\sum }_{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\Delta S_i$

В пределе: $V={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$.

Свойства двойного интеграла

1. Нормировка:

$$\begin{array}{c}{\iint }_{D}dxdy=S_D\\ {\iint }_{D}dxdy=\underset{d(T)\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\Delta S_i=S_D\end{array}$$

2. Линейность: если $f(x,y)$ и $g(x,y)$ интегрируемы по $D\subset R^2$, то $\forall \alpha ,\beta$: $\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)$ — интегрируема в $D$ и ${\iint }_D(\alpha f+\beta g)dxdy=\alpha {\iint }_{D}fdxdy+\beta {\iint }_{D}gdxdy$

3. Аддитивность: если $f\in R(D)$, $D^{\prime }\subset D$, $D^{\prime \prime }=D\setminus D^{\prime }$, то ${\iint }_{D}fdxdy={\iint }_{D^{\prime }}fdxdy+{\iint }_{D^{\prime \prime }}fdxdy$

Рисунок 8. Аддитивность: $D=D^{\prime }\cup D^{\prime \prime }$

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \fill[gray!12]
    (0,0) to[out=80,in=180] (1.6,1.0)
          to[out=-70,in=80] (1.8,-0.7)
          to[out=180,in=260] (0,0);
  \fill[gray!35]
    (1.6,1.0) to[out=0,in=90] (3.2,0.3)
              to[out=270,in=0] (1.8,-0.7)
              to[out=80,in=-70] (1.6,1.0);
  \draw (0,0) to[out=80,in=180] (1.6,1.0)
        to[out=0,in=90] (3.2,0.3)
        to[out=270,in=0] (1.8,-0.7)
        to[out=180,in=260] (0,0);
  \draw (1.6,1.0) to[out=-70,in=80] (1.8,-0.7);
  \node at (0.75,0.2) {$D'$};
  \node at (2.45,0.15) {$D''$};
  \node[above right] at (1.6,1.0) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

4. Неотрицательность: если $f\in R(D)$, $D\subset R^2$ и $\forall M\in D:f(M)\ge 0$, то ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy\ge 0$: ${\iint }_{D}fdxdy={\lim }_{d(T)\to 0}{\sum }_{i=1}^n\underset{\ge 0}{\underbrace{f(x_i,y_i)}}\underset{\ge 0}{\underbrace{\Delta S_i}}\ge 0$

5. Монотонность: если $f,g\in R(D)$ и $\forall M\in D:f(M)\ge g(M)$, то ${\iint }_{D}fdxdy\ge {\iint }_{D}gdxdy$. Доказательство: $f(M)\ge g(M)\Rightarrow f-g\ge 0\forall M\in D$; ${\iint }_D(f-g)dxdy\ge 0$; ${\iint }_{D}fdxdy-{\iint }_{D}gdxdy\ge 0$.

6. Теорема об оценке двойного интеграла по модулю: если $f\in R(D)$, то $|f|\in R(D)$ и $\left|{\iint }_{D}fdxdy\right|\le {\iint }_D|f|dxdy$

7. Теорема об оценке двойного интеграла: если $f\in R(D)$ и $\forall M\in D:m\le f(x,y)\le M$, то $m\cdot S_D\le {\iint }_{D}f(x,y)dxdy\le M\cdot S_D$

8. Теорема о среднем: если $f$ непрерывна в $D\subset R^2$, то $\exists (x_0,y_0)\in D$: ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=f(x_0,y_0)\cdot S_D$

Условия интегрируемости.

1. (необходимое) Если $f(x,y)$ интегрируема в замкнутой области $\bar{D}$, то она ограничена в $D$.
2. (достаточное) Всякая непрерывная в замкнутой области $D$ функция $f(x,y)\in R(D)$.

Сведение двойного интеграла к повторному

Область, интегрируемую в $D$, называют правильной в направлении оси $OY$, если её можно задать:

$D=\{(x,y)\in R^2:x\in [a,b],y_1(x)\le y\le y_2(x)\}$, где $y_1(x)$ и $y_2(x)$ непрерывны на $[a,b]$.

Рисунок 9. Область, правильная в направлении OY

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \fill[gray!18]
    (1,0.6) to[out=-10,in=190] (3,0.8) --
    (3,2.1) to[out=190,in=10] (1,1.9) -- cycle;
  \draw[->] (-0.5,0) -- (4.5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.5) -- (0,3.2) node[above] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
  \draw[dashed] (1,-0.05) -- (1,1.9);
  \draw[dashed] (3,-0.05) -- (3,2.1);
  \node[below] at (1,0) {$a$};
  \node[below] at (3,0) {$b$};
  \draw (1,0.6) to[out=-10,in=190] (3,0.8);
  \draw (1,1.9) to[out=10,in=190] (3,2.1);
  \node[below] at (2,0.58) {$y=y_1(x)$};
  \node[above] at (2,2.12) {$y=y_2(x)$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Или область правильна в направлении $OX$: $D=\{(x,y)\in R^2:y\in [c,d],x_1(y)\le x\le x_2(y)\}$.

Рисунок 10. Область, правильная в направлении OX

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \fill[gray!18]
    (0.9,0.8) to[out=70,in=-70] (1.2,2.4) --
    (2.6,2.4) to[out=-70,in=70] (2.3,0.8) -- cycle;
  \draw[->] (-0.5,0) -- (4.2,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.5) -- (0,3.2) node[above] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
  \draw[dashed] (0,0.8) -- (0.9,0.8);
  \draw[dashed] (0,2.4) -- (1.2,2.4);
  \node[left] at (0,0.8) {$c$};
  \node[left] at (0,2.4) {$d$};
  \draw (0.9,0.8) to[out=70,in=-70] (1.2,2.4);
  \draw (2.3,0.8) to[out=70,in=-70] (2.6,2.4);
  \node[below] at (1.0,0.72) {$x=x_1(y)$};
  \node[below] at (2.5,0.72) {$x=x_2(y)$};
  \node at (1.8,1.7) {$D$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Теорема. Пусть область $D$ является правильной в направлении $OY$. Если $\exists {\iint }_{D}f(x,y)dxdy$ и $\forall x\in [a,b]\exists {\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy=:I(x)$, то

${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy={\int }_a^{b}I(x)dx$

Обозначение: ${\int }_a^b\left({\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy\right)dx=:{\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$

Аналогично для правильной в направлении $OX$: ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_c^{d}dy{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$

Пример

$D:y=1,y=-1,y=x+1,x=y^2$

Рисунок 11. Область D в примере

\usetikzlibrary{patterns}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.15]
  \draw[pattern=north west lines]
      (-2,-1) -- (1,-1)
   -- plot[domain=-1:1, samples=41] ({\x*\x},{\x})
   -- (0,1) -- cycle;
  \draw (-2.6,-1.6) -- (0.1,1.1);
  \draw plot[domain=-1.35:1.35, samples=41] ({\x*\x},{\x});
  \draw[->] (-2.7,0) -- (2.9,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-1.75) -- (0,1.95) node[above] {$y$};
  \node[below left] at (0,0) {$O$};
  \draw[dashed] (-2.4,1) -- (1.5,1);
  \draw[dashed] (-2.4,-1) -- (1.5,-1);
  \node[right] at (1.5,1) {$y=1$};
  \node[right] at (1.5,-1) {$y=-1$};
  \node[above left] at (0.2,1.3) {$y=x+1$};
  \node[right] at (1.62,1.27) {$x=y^2$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

$${\iint }_D(x+y)dxdy={\int }_{-1}^{1}dy{\int }_{y-1}^{y^2}(x+y)dx=$$ $$={\int }_{-1}^1\left({\frac{x^2}{2}+yx|}_{y-1}^{y^2}\right)dy=$$ $$={\int }_{-1}^1\left(\frac{y^4}{2}+y^3-\frac{(y-1{)}^2}{2}-y^2+y\right)dy=$$ $$={\left(\frac{y^5}{10}+\frac{y^4}{4}-\frac{(y-1{)}^3}{6}-\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}\right)|}_{-1}^1$$